2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2020九上·榆林月考）一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x＋4）2＝17 B．（x＋4）2＝15
C．（x－4）2＝17 D．（x－4）2＝15
2．（2019九上·平定月考）若三角形三边的长均能使代数式 的值为零，则此三角形的周长是（ ）
A．9或18 B．12或15 C．9或15或18 D．9或12或15
3．（2023九上·南明期中）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．15 B．7 C．﹣1 D．1
4．（2023九上·贵阳期中）现定义运算：对于任意实数a，b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（ ）
A．1 B．4 C．-1或4 D．1或-4
5．（2020九上·海珠期中）已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
6．（2022九下·泉州开学考）已知x，y为实数，且满足 ，记 的最大值为M，最小值为m，则 （ ）.
A． B． C． D．
7．（2022八下·上虞期末）用[x]表示不大于x的最大整数，则方程 的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023七下·拱墅期末）设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则（ ）
A．与的最大值相等，与的最小值也相等
B．与的最大值相等，与的最小值不相等
C．与的最大值不相等，与的最小值相等
D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等
二、填空题
9．（2019·西藏）一元二次方程 的根是 .
10．将一元二次方程配方为，则k的值是 ．
11．（2023七下·浙江期末）若代数式x2-4x+a可化为(x-b)2-1，则a-b= .
12．（2020七上·重庆月考）已知实数 ， 满足 ，则代数式 的最小值等于 .
13．
（1）代数式-9x2+18x+20的最大值是 .
（2）代数式x2+4y2+4x+12y+29的最小值是 ．
三、解答题
14．若关于x的方程(1-m2)x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，求实数m的取值范围．
15．（2023九上·福田月考）王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x-1）2+3的最小值为 ．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
四、综合题
16．（2023七下·高州期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．
所以，所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
（3）若代数式，试求N的最大值．
17．（2023七下·余姚期末）【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
（1）【知识运用】
请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）：①当时， ；②若，则 ；
（2）试比较与的大小，并说明理由；
（3）【拓展运用】
甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校的研学基地参加研学．甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进；乙班有一半时间以的速度行进，另一半时间以的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为，．
①试用含，，的代数式分别表示和，则 ▲ ， ▲ ．
②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
故答案为：C.
【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方16，左边写成完全平方式，右边合并同类项即可得.
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】x2 9x+18=0
(x 3)(x 6)=0，
x 3=0或x 6=0.
∴x1=3，x2=6，
所以三角形三边的长可以是：3，3，3或6，6，3或6，6，6.
周长是9或15或18.
故答案为：C.
【分析】用因式分解法可以得到方程的两个根分别是3和6，所以三角形的三边可以是：3，3，3或6，6，6或6，6，3．然后求出三角形的周长．
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得x2﹣8x+5＝0可化为，
∴a=-4，b=11，
∴a+b=7，
故答案为：B
【分析】先根据配方法变换一元二次方程，进而即可得到a和b，从而即可求解。
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据定义可得： x★2=x2-3x+2=6，
整理得：x2-3x-4=0，
（x-4）（x+1）=0，
解得：x=4或x=-1，
故答案为：C.
【分析】先根据定义得到 x★2=x2-3x+2=6，整理后利用因式分解法求解即可.
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3，所以三角形周长是4+5+2=11，4+5+3=12，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法解方程可得x1=2，x2=3，再求三角形的周长即可。
6．【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
当且仅当
，
即
，
，
或
，
时，等号成立，
∴ 的最小值为
，
∴ 最小值为：
，
即
，
∵
，
当且仅当
时，
即
，
，
或
，
时等号成立，
∴ 的最大值为
，
∴ 的最大值为
，
即
，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】利用已知等式可得
，根据
=
，根据偶次幂的非负性知当且仅当
时，
的最小值为
，即可得出
最小值为
，即
；根据
，根据偶次幂的非负性当且仅当
时，
的最大值为
，即得M，再代入计算即可.
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2-3，
2x≥x2-3，
解此不等式得：-1≤x≤3.
现将x的取值范围分为5类进行求解
（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，
原方程化为x2-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1 则[x]=0，
原方程化为x2-3=0，
无解；
（3）1≤x＜2，则[x]=1，
原方程化为x2-5=0，
无解；
（4）2≤x＜3，则[x]=2，
原方程化为x2-7=0，
解得x= ；
（5）x=3显然是原方程的解.
综合以上，所以原方程的解为-1， ，3.
故答案为：C.
【分析】根据定义的新运算可将方程变形为2x≥x2-3，求解可得x的范围，然后分：当-1≤x＜0时，[x]=-1，原方程化为x2-1=0，求解可得x的值；当0≤x＜1时，[x]=0，原方程化为x2-3=0，求解即可；同理可求出1≤x＜2、2≤x＜3、x=3时对应的x的值.
8．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；分式的值；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解： =2x2+（2a+b）x+ab，则p=2a+b，
=2x2+（2b+a）x+ab，则q=2b+a，
∵，
∴2a+b+2b+a=6，
即a+b=2，
∴p=2a+b=a+2，q=2b+a=b+2，
∴a=P-2，b=q-2，
∴ab=（P-2）（q-2）=pq-2(p+q)+4=p(6-p)-2×6+4=-p2+6p-8=-(p-3)2+1，
∵ p，q均为正整数 ，
∴p为1、2、3、4、5，
∴ab的最大值为1，最小值为-3，
==，
∵p，q均为正整数 ，
∴q为1、2、3、4、5，
∴的最大值为1，最小值为-3，
∴A项符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘多项式法则计算，先求出p、q，由p+q=6可得a+b=2，继而确定a=P-2，b=q-2，从而得出ab=（P-2）（q-2）=-(p-3)2+1，==，据此分别确定出ab、的最大值与最小值，再判断即可.
9．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
a=1，b=－1，c=－1，
，
，
所以 ，
故答案为： .
【分析】首先算出根的判别式的值，由该值大于0得出方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式就可算出方程的解.
10．【答案】6
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：
故答案为：6
【分析】根据配方法的定义即可求出答案.
11．【答案】1
【知识点】代数式求值；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵x2-4x+a=（x-b）2-1，
∴x2-4x+a=x2-2bx+b2-1，
∴2b=4，a=b2-1，
∴b=2，a=22-1=3，
∴a-b=3-2=1．
故答案为：1.
【分析】将x2-4x+a=（x-b）2-1化简求出a，b的值，代入代数式求值即可.
12．【答案】4
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵m﹣n2=1，
即n2=m-1≥0，
∴m≥1，
∵，
∴（m+3）2≥16，
∴（m+3）2-12≥4，
∴代数式 有最小值：4
故答案为：4
【分析】把m-n2=1变形为n2=m-1，利用非负数的性质可得出m的取值范围，先把 将代数式转化为只含字母m的代数式，再配方根据非负数的特点求出（m+3）2的范围，则知的范围，从而得出最小值.
13．【答案】（1）29
（2）16
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1） -9x2+18x+20
=-9(x2-2x)+20
=-9(x2-2x+1)+29
=-9(x-1)2+29
∵(x-1)2≥0，
∴-9(x-1)2≤0，
∴-9(x-1)2+29≤29，
∴-9(x-1)2+29的最大值是29；
故答案为：29；
（2） x2+4y2+4x+12y+29
=x2+4x+4+4y2+12y+9+16
=(x+2)2+(2y+3)2+16
∵(x+2)2≥0，(2y+3)2≥0，
∴(x+2)2+(2y+3)2+16≥16，
∴(x+2)2+(2y+3)2+16的最小值为16.
故答案为：16.
【分析】（1）利用配方法将代数式变形为-9(x-1)2+29，再由偶数次幂的非负性得-9(x-1)2+29≤29，从而即可得出该式的最大值；
（2）利用配方法将代数式变形为(x+2)2+(2y+3)2+16，进而根据偶数次幂的非负性可得(x+2)2+(2y+3)2+16≥16，从而即可得出该式的最小值.
14．【答案】解：①当1-m2=0时，m=±1．
当m=1时，可得2x-1=0，x= ， 符合题意；
当m=-1时，可得-2x-1=0，x=-，不符合题意
②当1-m2≠0时，(1-m2 )x2 +2mx-1=0，
[(1+m)x-1][(1-m)x+1]=0，
∴
关于x的方程(1-m2)x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数， 0< <1，0< <1，解得m>2．
综上可得，实数m的取值范围是m=1或m>2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分两种情况：①当1-m2=0时②当1-m2≠0时，先求出原方程的实数根，再根据方程所有根都是比1小的正实数，列出不等式即可求解.
15．【答案】（1）3
（2）解：x2+10x+32＝x2+10x+25-25+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7．
当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值是7，
∴x2+10x+32的最小值是7；
（3）解：
＝-（x2-6x）+5
＝-（x2-6x+9-9）+5
＝-（x-3）2+3+5
＝-（x-3）2+8，
∵（x-3）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，
∴-（x-3）2+8≤8，
∴当（x-3）2＝0时，-x2+2x+5有最大值，最大值是8．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当x=1时， （x-1）2+3有最小值，为3.
【分析】（1）直接代入x=1即可得出答案；
（2）对代数式x2+10x+32 进行配方，从而得出答案；
（3）对 代数式进行配方，根据-＜0，可得该代数式的最大值.
16．【答案】（1）
（2）解：∵，
其中，，
的最小值是2；
（3）解：
，
的最大值是17．
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵一次项系数为14，
∴添加的常数项为（14÷2）2，即72，
故答案为：72；
【分析】（1）当二次项的系数为1的时候，配方法中的所配的常数项的口诀是：一次项系数一半的平方，据此可得答案；
（2）先将x2-10x进行配方，需要添加的常数项为[（-10）÷2]2=25，因此将27拆成25和2，x2-10x+27可变形为x2-10x+25+2=（x-5）2+2，结合偶数次幂的非负性及不等式的性质即可求出该式的最小值；
（3）进行配方的代数式二次项系数都转化为1，因此将-a2+8a+1先转化为-（a2-8a）+1，a2-8a配方需要加上16，因此原式=-（a2-8a+16-16）+1=-（a2-8a+16）+16+1=-（x-4）2+17，结合偶数次幂的非负性及不等式的性质即可求出该式的最大值.
17．【答案】（1）；
（2）解：，
设，
，
∴
即y恒小于零，
∴，
即；
（3）解：①；；
②，，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，甲、乙同时到达；当时，乙先到；当时，乙先到．
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用；分式的混合运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）①，
，
，
，
故答案为：>；
②∵a3-ab2=a(a2-b2)=a(a+b)(a-b)，
又∵a＜b＜0，
∴a+b＜0，a-b＜0，
∴a(a+b)(a-b)＜0，
，
故答案为：<；
（3）①甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进，
∴，
乙班有一半时间以的速度行进，另一半时间以的速度行进，
∴，则，
故答案为：；；
【分析】（1）①利用作差法计算两个代数式的差为x-y，再通过x>y得到；
②由作差法列出式子，进而将式子利用提取公因式法及平方差公式法分解因式，由a＜b＜0，得a+b＜0，a-b＜0，则a(a+b)(a-b)＜0，从而即可判断得出答案；
（2）先利用作差法计算两个代数式的差，再通过配方法判定y<0，进而证得；
（3）①利用路程公式可知甲班同学前一半路程所花时间为，后一半路程所花时间为，进而得到甲班同学花的总时间t1；利用路程公式可知乙班同学前一半时间的路程为，后一半时间的路程为，再通过总里程s求得t2；
②利用作差法计算t1、t2的差，再通过完全平方公式判定差的正负性，进而判断出哪一个班的同学先到达研学基地.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2020九上·榆林月考）一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x＋4）2＝17 B．（x＋4）2＝15
C．（x－4）2＝17 D．（x－4）2＝15
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
故答案为：C.
【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方16，左边写成完全平方式，右边合并同类项即可得.
2．（2019九上·平定月考）若三角形三边的长均能使代数式 的值为零，则此三角形的周长是（ ）
A．9或18 B．12或15 C．9或15或18 D．9或12或15
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】x2 9x+18=0
(x 3)(x 6)=0，
x 3=0或x 6=0.
∴x1=3，x2=6，
所以三角形三边的长可以是：3，3，3或6，6，3或6，6，6.
周长是9或15或18.
故答案为：C.
【分析】用因式分解法可以得到方程的两个根分别是3和6，所以三角形的三边可以是：3，3，3或6，6，6或6，6，3．然后求出三角形的周长．
3．（2023九上·南明期中）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．15 B．7 C．﹣1 D．1
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得x2﹣8x+5＝0可化为，
∴a=-4，b=11，
∴a+b=7，
故答案为：B
【分析】先根据配方法变换一元二次方程，进而即可得到a和b，从而即可求解。
4．（2023九上·贵阳期中）现定义运算：对于任意实数a，b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（ ）
A．1 B．4 C．-1或4 D．1或-4
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据定义可得： x★2=x2-3x+2=6，
整理得：x2-3x-4=0，
（x-4）（x+1）=0，
解得：x=4或x=-1，
故答案为：C.
【分析】先根据定义得到 x★2=x2-3x+2=6，整理后利用因式分解法求解即可.
5．（2020九上·海珠期中）已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3，所以三角形周长是4+5+2=11，4+5+3=12，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法解方程可得x1=2，x2=3，再求三角形的周长即可。
6．（2022九下·泉州开学考）已知x，y为实数，且满足 ，记 的最大值为M，最小值为m，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
当且仅当
，
即
，
，
或
，
时，等号成立，
∴ 的最小值为
，
∴ 最小值为：
，
即
，
∵
，
当且仅当
时，
即
，
，
或
，
时等号成立，
∴ 的最大值为
，
∴ 的最大值为
，
即
，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】利用已知等式可得
，根据
=
，根据偶次幂的非负性知当且仅当
时，
的最小值为
，即可得出
最小值为
，即
；根据
，根据偶次幂的非负性当且仅当
时，
的最大值为
，即得M，再代入计算即可.
7．（2022八下·上虞期末）用[x]表示不大于x的最大整数，则方程 的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2-3，
2x≥x2-3，
解此不等式得：-1≤x≤3.
现将x的取值范围分为5类进行求解
（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，
原方程化为x2-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1 则[x]=0，
原方程化为x2-3=0，
无解；
（3）1≤x＜2，则[x]=1，
原方程化为x2-5=0，
无解；
（4）2≤x＜3，则[x]=2，
原方程化为x2-7=0，
解得x= ；
（5）x=3显然是原方程的解.
综合以上，所以原方程的解为-1， ，3.
故答案为：C.
【分析】根据定义的新运算可将方程变形为2x≥x2-3，求解可得x的范围，然后分：当-1≤x＜0时，[x]=-1，原方程化为x2-1=0，求解可得x的值；当0≤x＜1时，[x]=0，原方程化为x2-3=0，求解即可；同理可求出1≤x＜2、2≤x＜3、x=3时对应的x的值.
8．（2023七下·拱墅期末）设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则（ ）
A．与的最大值相等，与的最小值也相等
B．与的最大值相等，与的最小值不相等
C．与的最大值不相等，与的最小值相等
D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；分式的值；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解： =2x2+（2a+b）x+ab，则p=2a+b，
=2x2+（2b+a）x+ab，则q=2b+a，
∵，
∴2a+b+2b+a=6，
即a+b=2，
∴p=2a+b=a+2，q=2b+a=b+2，
∴a=P-2，b=q-2，
∴ab=（P-2）（q-2）=pq-2(p+q)+4=p(6-p)-2×6+4=-p2+6p-8=-(p-3)2+1，
∵ p，q均为正整数 ，
∴p为1、2、3、4、5，
∴ab的最大值为1，最小值为-3，
==，
∵p，q均为正整数 ，
∴q为1、2、3、4、5，
∴的最大值为1，最小值为-3，
∴A项符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘多项式法则计算，先求出p、q，由p+q=6可得a+b=2，继而确定a=P-2，b=q-2，从而得出ab=（P-2）（q-2）=-(p-3)2+1，==，据此分别确定出ab、的最大值与最小值，再判断即可.
二、填空题
9．（2019·西藏）一元二次方程 的根是 .
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
a=1，b=－1，c=－1，
，
，
所以 ，
故答案为： .
【分析】首先算出根的判别式的值，由该值大于0得出方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式就可算出方程的解.
10．将一元二次方程配方为，则k的值是 ．
【答案】6
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：
故答案为：6
【分析】根据配方法的定义即可求出答案.
11．（2023七下·浙江期末）若代数式x2-4x+a可化为(x-b)2-1，则a-b= .
【答案】1
【知识点】代数式求值；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵x2-4x+a=（x-b）2-1，
∴x2-4x+a=x2-2bx+b2-1，
∴2b=4，a=b2-1，
∴b=2，a=22-1=3，
∴a-b=3-2=1．
故答案为：1.
【分析】将x2-4x+a=（x-b）2-1化简求出a，b的值，代入代数式求值即可.
12．（2020七上·重庆月考）已知实数 ， 满足 ，则代数式 的最小值等于 .
【答案】4
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵m﹣n2=1，
即n2=m-1≥0，
∴m≥1，
∵，
∴（m+3）2≥16，
∴（m+3）2-12≥4，
∴代数式 有最小值：4
故答案为：4
【分析】把m-n2=1变形为n2=m-1，利用非负数的性质可得出m的取值范围，先把 将代数式转化为只含字母m的代数式，再配方根据非负数的特点求出（m+3）2的范围，则知的范围，从而得出最小值.
13．
（1）代数式-9x2+18x+20的最大值是 .
（2）代数式x2+4y2+4x+12y+29的最小值是 ．
【答案】（1）29
（2）16
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1） -9x2+18x+20
=-9(x2-2x)+20
=-9(x2-2x+1)+29
=-9(x-1)2+29
∵(x-1)2≥0，
∴-9(x-1)2≤0，
∴-9(x-1)2+29≤29，
∴-9(x-1)2+29的最大值是29；
故答案为：29；
（2） x2+4y2+4x+12y+29
=x2+4x+4+4y2+12y+9+16
=(x+2)2+(2y+3)2+16
∵(x+2)2≥0，(2y+3)2≥0，
∴(x+2)2+(2y+3)2+16≥16，
∴(x+2)2+(2y+3)2+16的最小值为16.
故答案为：16.
【分析】（1）利用配方法将代数式变形为-9(x-1)2+29，再由偶数次幂的非负性得-9(x-1)2+29≤29，从而即可得出该式的最大值；
（2）利用配方法将代数式变形为(x+2)2+(2y+3)2+16，进而根据偶数次幂的非负性可得(x+2)2+(2y+3)2+16≥16，从而即可得出该式的最小值.
三、解答题
14．若关于x的方程(1-m2)x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，求实数m的取值范围．
【答案】解：①当1-m2=0时，m=±1．
当m=1时，可得2x-1=0，x= ， 符合题意；
当m=-1时，可得-2x-1=0，x=-，不符合题意
②当1-m2≠0时，(1-m2 )x2 +2mx-1=0，
[(1+m)x-1][(1-m)x+1]=0，
∴
关于x的方程(1-m2)x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数， 0< <1，0< <1，解得m>2．
综上可得，实数m的取值范围是m=1或m>2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分两种情况：①当1-m2=0时②当1-m2≠0时，先求出原方程的实数根，再根据方程所有根都是比1小的正实数，列出不等式即可求解.
15．（2023九上·福田月考）王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x-1）2+3的最小值为 ．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
【答案】（1）3
（2）解：x2+10x+32＝x2+10x+25-25+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7．
当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值是7，
∴x2+10x+32的最小值是7；
（3）解：
＝-（x2-6x）+5
＝-（x2-6x+9-9）+5
＝-（x-3）2+3+5
＝-（x-3）2+8，
∵（x-3）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，
∴-（x-3）2+8≤8，
∴当（x-3）2＝0时，-x2+2x+5有最大值，最大值是8．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当x=1时， （x-1）2+3有最小值，为3.
【分析】（1）直接代入x=1即可得出答案；
（2）对代数式x2+10x+32 进行配方，从而得出答案；
（3）对 代数式进行配方，根据-＜0，可得该代数式的最大值.
四、综合题
16．（2023七下·高州期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．
所以，所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
（3）若代数式，试求N的最大值．
【答案】（1）
（2）解：∵，
其中，，
的最小值是2；
（3）解：
，
的最大值是17．
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵一次项系数为14，
∴添加的常数项为（14÷2）2，即72，
故答案为：72；
【分析】（1）当二次项的系数为1的时候，配方法中的所配的常数项的口诀是：一次项系数一半的平方，据此可得答案；
（2）先将x2-10x进行配方，需要添加的常数项为[（-10）÷2]2=25，因此将27拆成25和2，x2-10x+27可变形为x2-10x+25+2=（x-5）2+2，结合偶数次幂的非负性及不等式的性质即可求出该式的最小值；
（3）进行配方的代数式二次项系数都转化为1，因此将-a2+8a+1先转化为-（a2-8a）+1，a2-8a配方需要加上16，因此原式=-（a2-8a+16-16）+1=-（a2-8a+16）+16+1=-（x-4）2+17，结合偶数次幂的非负性及不等式的性质即可求出该式的最大值.
17．（2023七下·余姚期末）【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
（1）【知识运用】
请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）：①当时， ；②若，则 ；
（2）试比较与的大小，并说明理由；
（3）【拓展运用】
甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校的研学基地参加研学．甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进；乙班有一半时间以的速度行进，另一半时间以的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为，．
①试用含，，的代数式分别表示和，则 ▲ ， ▲ ．
②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：，
设，
，
∴
即y恒小于零，
∴，
即；
（3）解：①；；
②，，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，甲、乙同时到达；当时，乙先到；当时，乙先到．
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用；分式的混合运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）①，
，
，
，
故答案为：>；
②∵a3-ab2=a(a2-b2)=a(a+b)(a-b)，
又∵a＜b＜0，
∴a+b＜0，a-b＜0，
∴a(a+b)(a-b)＜0，
，
故答案为：<；
（3）①甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进，
∴，
乙班有一半时间以的速度行进，另一半时间以的速度行进，
∴，则，
故答案为：；；
【分析】（1）①利用作差法计算两个代数式的差为x-y，再通过x>y得到；
②由作差法列出式子，进而将式子利用提取公因式法及平方差公式法分解因式，由a＜b＜0，得a+b＜0，a-b＜0，则a(a+b)(a-b)＜0，从而即可判断得出答案；
（2）先利用作差法计算两个代数式的差，再通过配方法判定y<0，进而证得；
（3）①利用路程公式可知甲班同学前一半路程所花时间为，后一半路程所花时间为，进而得到甲班同学花的总时间t1；利用路程公式可知乙班同学前一半时间的路程为，后一半时间的路程为，再通过总里程s求得t2；
②利用作差法计算t1、t2的差，再通过完全平方公式判定差的正负性，进而判断出哪一个班的同学先到达研学基地.
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