2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.3 一元二次方程的根的判别式 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2022·攀枝花）若关于x的方程有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解析：关于x的方程有实数根，
，
解得，
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式，求解即可.
2．（2023九上·邵东月考） 一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴方程无实数根，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判定式判定。先计算判别式的值，利用判别式的值的正负判断根的情况。
3．（2023九上·宁远期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C．. D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
B、，则方程没有实数根，所以该选项符合题意；
C、，则方程有两个相等的实数根，所以该选项不符合题意；
D、，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根的判别式判定。一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4．（2023九上·大城期中）小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有实数根，
∴
∴□ ≤4
则 □ 可能为4
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式：，则一元二次方程有两个不相等的实数根；，则一元二次方程有两个相等的实数根；，则一元二次方程无实数根；，则一元二次方程有实数根；根据此可得 □的范围，得出结论。
5．（2023·岳阳）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：将(k，2k)代入二次函数，得：2k =(t+1) k2+(t+2) k+s，
整理得：(t+1) k2+tk+s=0，
∵(t+1)k2+tk+s=0是关于k的二次方程，总有两个不同的实根，
∴t2-4s(t+1)>0，
令f(t)=t2-4s(t+1)=t2-4st-4s，
∵f (t) >0，
∴(4s)2+16s=16s2+16s <0，
∴s(s+1)<0，
解得：-1＜s＜0，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出(t+1) k2+tk+s=0，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
6．（2023九上·宁德开学考）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥-1 B．m≤1 C．m≥-1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴b2-4ac≥0且m≠0，
∴4-4m≥0且m≠0，
解之：m≤1且m≠0.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则b2-4ac≥0，可得到关于m的不等式，求解即可.
7．关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1 =0的根的情况是（ ）
A．没有实数根．
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： x2+2ax+a2-1 =0
△=（2a）2-4（a2-1 ）=4＞0，
∴ 方程有两个不相等的实数根 .
故答案为：C.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
8．（2023八下·余杭期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则；⑤存在实数，使得．
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤
C．①②③④⑤ D．只有①②③
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴此方程有一个根是x=1，
∴一元二次方程方程必有实数根，即b2-4ac≥0，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac＞0，
∴b2-4ac＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，故②正确；
∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2+bc+c=0，
当c≠0时ac+b+1=0，故③错误；
∵ 若是一元二次方程的根
∴，
∴
∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确；
由，即可看作当x=m与x=n时，函数的值，
结合二次函数图象可知，故当或时，其函数值相等，故⑤正确；
∴正确结论的序号为①②④⑤.
故答案为：A
【分析】利用已知可得到此方程有一个根是x=1，即可得到当a+c+b=0时方程有两个实数根，可对①作出判断；方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，可得到-4ac＞0，由此可确定出b2-4ac的符号，可对②作出判断；将x=c代入方程ax2+bx+c=0，由c≠0可对③作出判断；利用求购呢公式法可得到，将其变形，可对④作出判断；将代数问题转化，即可看作当x=m与x=n时，函数的两个值，结合二次函数对称性，可对⑤作出判断；
二、填空题
9．（2023九上·章贡期中）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解．对于一元二次方程时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．
10．（2023九上·广州月考）一元二次方程根的判别式 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由 得，
a=1， b=-3， c=2，
∴ b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1.
故答案为：1.
【分析】根据根的判别式 b2-4ac即可求得.
11．（2022九上·东城期末）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是 ．
【答案】0，（答案不唯一，即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为方程有两个不相等的实数根，
所以
解得
故答案为：0，（答案不唯一，即可）
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
12．（2023九上·游仙月考）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图形不经过第 象限．
【答案】四
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】根据题意，方程无实数根
一次函数的图象经过第一、二、三象限
不经过第四象限
故填：四
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，无实数根则判别式小于0，解得m的取值范围是大于0的，再根据一次函数图象的性质，y=kx+b，k、b都大于0时，函数图象经过第一、二、三象限不经过第四象限。
13．（2023九上·深圳期中）已知关于x的方程mx2+x-1=0有实数根，则m的取值范围是
【答案】m≥
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当m=0时，方程化为x-1=0，解得x=1；
当m≠0时，根据题意得Δ=12-4m×（-1）≥0，解得m≥且m≠0，
综上所述，m的取值范围为m≥．
故答案为：m≥.
【分析】 需分两种情况讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；
当m≠0时，利用根的判别式的意义得到Δ≥0，解得m≥且m≠0，然后综合两种情况得到m的取值范围．
三、解答题
14．等腰三角形三边的长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的两根，求k的值．
【答案】∵a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+h+2=0的两根，
∴b2- 4ac=(-12)2-4×1×(k+2)≥0，即k≤34．
∵等腰三角形三边的长分别为a，b，4，
∴当a=b时，有b2-4ac =(-12)2-4(k+2)= 0，解得k=34，
此时，方程的两根为x1=x2=6，即a=b=6，满足三角形的三边关系，符合题意；
当a=4时，有42-12×4+k+2=0，解得k=30．
当k=30时，方程的两根为x=4或x=8．
∴4+4=8，不满足三角形的三边关系，
∴k= 30不符合题意．
综上，k的值为34．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先由关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的两根求出k≤34．根据题意得分两种情况：当a=b时和a=4或b=4时，据此分别解答即可.
15．关于x的一元二次方程x2-mx+2m-4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为x=1 ，求m的值和另一个根．
【答案】（1）证明：x2-mx+2m-4=0，b2-4ac=( -m)2-4×1×(2m-4)=m2-8m+16=(m-4)2，∵不论m为何值， (m-4)2≥0，∴b2-4ac≥0，∴方程总有两个实数根．
（2）解：把x=1代人关于x的一元二次方程x2 -mx+2m-4=0，得1-m+2m-4=0，解得m=3，∴原方程为x2-3x+2=0，
(x-2)(x-1)=0，x1=1，x2=2，∴另一个根为x=2．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先计算出△=m2-8m+16=(m-4)2，即得△=(m-4)2≥0，据此判断即可；
（2）把x=1代入方程x2 -mx+2m-4=0中求出m值，即得方程，再解方程即可.
四、综合题
16．（2023九上·江岸月考）已知关于的一元二次方程．
（1）证明：无论取何值，此方程必有实数根；
（2）等腰三角形中，，、的长是此方程的两个根，求的值．
【答案】（1）证明：
，
无论取何值，此方程必有实数根；
（2）解：解：①当为腰时，则或有一条边为腰，
的解为，
，
解得：，
时原方程两根为和，此时三角形三边为，，，这样的三角形不存在，
不合题意，应舍去，
②当为底时，则，为腰，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
综上所述，的值．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，由时一元二次方程必有实数根，据此计算根的判别式即可；
（2）由题意知需分两种情况讨论：①：当为腰时，②当为底时，分别解方程结合实际情况选取合适题意的m值即可.
17．（2023九上·邵阳月考）阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，但变形一定要保证恒等，即配方前后式子的值不变．
例如：
解方程，则有，，解得，．
已知，求，的值，则有，，解得，，
根据以上材料解答下列各题：
（1）若，求的值；
（2）无论取何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（3）解方程：；
（4）若，，表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，，
；
（2）解：，
无论取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（3）解：，
，
，，
解得，；
（4）解：为等边三角形．理由如下：
，
，
即，
，
，，，
，
为等边三角形．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用配方法将代数式变形为，利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，再将x、y的值代入计算即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（3）利用十字相乘法求解即可；
（4）利用配方法将代数式变形为，利用非负数之和为0的性质可得 ，，，可证出，即可得到 为等边三角形．
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.3 一元二次方程的根的判别式 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2022·攀枝花）若关于x的方程有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·邵东月考） 一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
3．（2023九上·宁远期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C．. D．
4．（2023九上·大城期中）小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023·岳阳）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·宁德开学考）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥-1 B．m≤1 C．m≥-1且m≠0 D．m≤1且m≠0
7．关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1 =0的根的情况是（ ）
A．没有实数根．
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
8．（2023八下·余杭期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则；⑤存在实数，使得．
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤
C．①②③④⑤ D．只有①②③
二、填空题
9．（2023九上·章贡期中）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .
10．（2023九上·广州月考）一元二次方程根的判别式 ．
11．（2022九上·东城期末）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是 ．
12．（2023九上·游仙月考）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图形不经过第 象限．
13．（2023九上·深圳期中）已知关于x的方程mx2+x-1=0有实数根，则m的取值范围是
三、解答题
14．等腰三角形三边的长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的两根，求k的值．
15．关于x的一元二次方程x2-mx+2m-4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为x=1 ，求m的值和另一个根．
四、综合题
16．（2023九上·江岸月考）已知关于的一元二次方程．
（1）证明：无论取何值，此方程必有实数根；
（2）等腰三角形中，，、的长是此方程的两个根，求的值．
17．（2023九上·邵阳月考）阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，但变形一定要保证恒等，即配方前后式子的值不变．
例如：
解方程，则有，，解得，．
已知，求，的值，则有，，解得，，
根据以上材料解答下列各题：
（1）若，求的值；
（2）无论取何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（3）解方程：；
（4）若，，表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解析：关于x的方程有实数根，
，
解得，
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式，求解即可.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴方程无实数根，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判定式判定。先计算判别式的值，利用判别式的值的正负判断根的情况。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
B、，则方程没有实数根，所以该选项符合题意；
C、，则方程有两个相等的实数根，所以该选项不符合题意；
D、，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根的判别式判定。一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有实数根，
∴
∴□ ≤4
则 □ 可能为4
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式：，则一元二次方程有两个不相等的实数根；，则一元二次方程有两个相等的实数根；，则一元二次方程无实数根；，则一元二次方程有实数根；根据此可得 □的范围，得出结论。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：将(k，2k)代入二次函数，得：2k =(t+1) k2+(t+2) k+s，
整理得：(t+1) k2+tk+s=0，
∵(t+1)k2+tk+s=0是关于k的二次方程，总有两个不同的实根，
∴t2-4s(t+1)>0，
令f(t)=t2-4s(t+1)=t2-4st-4s，
∵f (t) >0，
∴(4s)2+16s=16s2+16s <0，
∴s(s+1)<0，
解得：-1＜s＜0，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出(t+1) k2+tk+s=0，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴b2-4ac≥0且m≠0，
∴4-4m≥0且m≠0，
解之：m≤1且m≠0.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则b2-4ac≥0，可得到关于m的不等式，求解即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： x2+2ax+a2-1 =0
△=（2a）2-4（a2-1 ）=4＞0，
∴ 方程有两个不相等的实数根 .
故答案为：C.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴此方程有一个根是x=1，
∴一元二次方程方程必有实数根，即b2-4ac≥0，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac＞0，
∴b2-4ac＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，故②正确；
∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2+bc+c=0，
当c≠0时ac+b+1=0，故③错误；
∵ 若是一元二次方程的根
∴，
∴
∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确；
由，即可看作当x=m与x=n时，函数的值，
结合二次函数图象可知，故当或时，其函数值相等，故⑤正确；
∴正确结论的序号为①②④⑤.
故答案为：A
【分析】利用已知可得到此方程有一个根是x=1，即可得到当a+c+b=0时方程有两个实数根，可对①作出判断；方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，可得到-4ac＞0，由此可确定出b2-4ac的符号，可对②作出判断；将x=c代入方程ax2+bx+c=0，由c≠0可对③作出判断；利用求购呢公式法可得到，将其变形，可对④作出判断；将代数问题转化，即可看作当x=m与x=n时，函数的两个值，结合二次函数对称性，可对⑤作出判断；
9．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解．对于一元二次方程时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．
10．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由 得，
a=1， b=-3， c=2，
∴ b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1.
故答案为：1.
【分析】根据根的判别式 b2-4ac即可求得.
11．【答案】0，（答案不唯一，即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为方程有两个不相等的实数根，
所以
解得
故答案为：0，（答案不唯一，即可）
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
12．【答案】四
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】根据题意，方程无实数根
一次函数的图象经过第一、二、三象限
不经过第四象限
故填：四
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，无实数根则判别式小于0，解得m的取值范围是大于0的，再根据一次函数图象的性质，y=kx+b，k、b都大于0时，函数图象经过第一、二、三象限不经过第四象限。
13．【答案】m≥
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当m=0时，方程化为x-1=0，解得x=1；
当m≠0时，根据题意得Δ=12-4m×（-1）≥0，解得m≥且m≠0，
综上所述，m的取值范围为m≥．
故答案为：m≥.
【分析】 需分两种情况讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；
当m≠0时，利用根的判别式的意义得到Δ≥0，解得m≥且m≠0，然后综合两种情况得到m的取值范围．
14．【答案】∵a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+h+2=0的两根，
∴b2- 4ac=(-12)2-4×1×(k+2)≥0，即k≤34．
∵等腰三角形三边的长分别为a，b，4，
∴当a=b时，有b2-4ac =(-12)2-4(k+2)= 0，解得k=34，
此时，方程的两根为x1=x2=6，即a=b=6，满足三角形的三边关系，符合题意；
当a=4时，有42-12×4+k+2=0，解得k=30．
当k=30时，方程的两根为x=4或x=8．
∴4+4=8，不满足三角形的三边关系，
∴k= 30不符合题意．
综上，k的值为34．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先由关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的两根求出k≤34．根据题意得分两种情况：当a=b时和a=4或b=4时，据此分别解答即可.
15．【答案】（1）证明：x2-mx+2m-4=0，b2-4ac=( -m)2-4×1×(2m-4)=m2-8m+16=(m-4)2，∵不论m为何值， (m-4)2≥0，∴b2-4ac≥0，∴方程总有两个实数根．
（2）解：把x=1代人关于x的一元二次方程x2 -mx+2m-4=0，得1-m+2m-4=0，解得m=3，∴原方程为x2-3x+2=0，
(x-2)(x-1)=0，x1=1，x2=2，∴另一个根为x=2．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先计算出△=m2-8m+16=(m-4)2，即得△=(m-4)2≥0，据此判断即可；
（2）把x=1代入方程x2 -mx+2m-4=0中求出m值，即得方程，再解方程即可.
16．【答案】（1）证明：
，
无论取何值，此方程必有实数根；
（2）解：解：①当为腰时，则或有一条边为腰，
的解为，
，
解得：，
时原方程两根为和，此时三角形三边为，，，这样的三角形不存在，
不合题意，应舍去，
②当为底时，则，为腰，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
综上所述，的值．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，由时一元二次方程必有实数根，据此计算根的判别式即可；
（2）由题意知需分两种情况讨论：①：当为腰时，②当为底时，分别解方程结合实际情况选取合适题意的m值即可.
17．【答案】（1）解：，
，
，，
；
（2）解：，
无论取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（3）解：，
，
，，
解得，；
（4）解：为等边三角形．理由如下：
，
，
即，
，
，，，
，
为等边三角形．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用配方法将代数式变形为，利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，再将x、y的值代入计算即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（3）利用十字相乘法求解即可；
（4）利用配方法将代数式变形为，利用非负数之和为0的性质可得 ，，，可证出，即可得到 为等边三角形．
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