2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.3 一元二次方程的根的判别式 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程（a+2）x2-3x＋1=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
2．（2019九上·获嘉月考）关于 的方程 有实数根，则 满足（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
3．（2021九上·莲湖期末）关于x的方程 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，方程无实数根
B．当 时，方程只有一个实数根
C．当 时，有两个不相等的实数根
D．当 时，方程有两个相等的实数根
4．（2023九上·游仙月考）二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．不能确定
5．（2021·沂水模拟）已知有等腰三角形两边长为一元二次方程x2-3x+2=0的两根，则等腰三角形周长是（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．不能确定
6．（2023九上·深圳月考）若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
7．（2022八下·高青期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
8．（2023·济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2022八下·怀宁期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
10．（2023九上·浏阳期中）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程无实数根，则c的值可以是 ．
11．（2023八下·合肥期末）若实数，满足，则的最大值与最小值之和为 ．
12．（2023·宁南模拟）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为
三、解答题
13．（2020八上·浦东期中）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0的两根，求m的值．
14．已知a，b是整数，关于x的方程x2-ax+3-6=0有两个不相等的实数根，x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实数根，x2+(4-a)x+5-b=0没有实数根，求a，b的值．
四、综合题
15．（2022九上·岳麓开学考）已知关于的方程
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数的值；
（3）若一元二次方程满足，求的值．
16．（2022八上·奉贤期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x2=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ：（只填写序号即可）
①②x2+4x+4=0 ③
（2）关于x的一元二次方程x2-2x=0与x2+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与
（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，求n的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2-3x＋1=0有实数根，
∴且a+2≠0，
解得，a≤且a≠-2
∴a的取值范围是 ：a≤且a≠-2.
故答案为：A.
【分析】 一元二次方程有实数根， 则根的判别式大于等于0，另外a还要满足二次项系数不为0，根据这两个要求，最终确定a的范围.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=- ；
当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，
所以a的取值范围为a≥1.
故答案为：A.
【分析】分类讨论：当a=5时，方程是一元一次方程，一定有实数根；当a≠5时，方程是一元二次方程，根据方程有实数根可知其根的判别式的值应该不小于0，从而列出不等式，求解得出a的取值范围，综上所述即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有一个实数根，故A选项错误；
B、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有两个相等的实数根，故B选项错误；
C、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有两个不相等的实数根，故C选项正确；
D、当 时， ，所以方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】将a=0代入方程，可求出方程的根，可对A作出判断；将a=-1代入方程，可得到方程有两个相等的实数根，可对B作出判断；将a=1代入方程，求出方程的解，可得到方程有两个不相等的实数根，可对C作出判断；当a≠0时，求出其根的判别式的值，由判别式的值不为负数可得到方程有两个实数根，可对D作出判断.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】
二次函数图象与x轴有一个交点
故选：B
【分析】根据判别式与根的关系来判断交点个数：当判别式大于0时，与x轴有2个交点，当判别式等于0时，与x轴有1个交点，当判别式小于0时，与x轴没有交点。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：x2-3x+2=0，
(x-1)(x-2)=0，
x-1=0，x-2=0，
解得x1=1，x2=2．
分为两种情况：
①三角形的三边长分别为1、1、2时，
∵1+1=2，
∴此时不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形；
②三角形的三边长分别为1、2、2时，
此时符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此等腰三角形的周长是1+2+2=5．
故答案为：B．
【分析】先求出方程的两个根x1=1，x2=2，再利用三角形三边的关系及等腰三角形的性质求解即可。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴对于等腰三角形的腰长，分三种情况：
（1）当a=4时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴42－6×4＋n＋1＝0，解得n=7.
∴一元二次方程为x2－6x＋8＝0，即（x－2）（x－4）=0.
∴x = 2 或 x =4.
∴b=2.
此时等腰三角形三边长分别为4、2、4，符合三边关系；
（2）当b=4时，与（1）同理可得，n=7；
（1）当a=b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴解得n=8.
∴一元二次方程为x2－6x＋9＝0，即（x－3）2=0.
∴x = 3.
∴a=b= 3.
此时等腰三角形三边长分别为3、3、4，符合三边关系.
综上所述，n的值为8或7.
故答案为：C.
【分析】首先对于等腰三角形的腰长，分三种情况讨论，然后根据一元二次方程的性质求解a，b，n的值，最后根据三角形的三边关系判断是否符合题意，即可得出结论.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0，即得x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，故此项正确.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；两点间的距离；定义新运算
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，，
∴，
∴点是点的“倍增点”；
∵， ，
∴，，
∴，
∴点 是点的“倍增点”；
∴结论①正确；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：a=0，
∴A（0，2）；
∴结论②错误；
③设点是的“倍增点”，
∴，
∴，
∴，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线上存在两个点是点的“倍增点”，
∴结论③正确；
④设点B（m，n），
∵点是点的“倍增点”，
∴2（m+1)=n，
∵B（m，n）， ，
∴，
∵5＞0，
∴的最小值是，
∴的最小值是，
∴结论④正确；
综上所述：正确结论的个数是①③④，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据所给的定义，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式等对每个结论逐一判断求解即可。
9．【答案】且m≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且m≠0．
故答案为：且m≠0．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式组求解即可。
10．【答案】2答案不唯一
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，．
，
．
故答案为：2（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解。无实数根满足的条件是判别式，即可得出关于的不等式，解之即可求出的取值范围．
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：实数，满足
∴2ab2-2ab+a+4=0
∴
即
∴或
解得：
∴的最大值与最小值之和为-8
故答案为：.
【分析】将式子转化为关于b的一元二次方程，根据判别式大于或等于0，列出不等式，求得a的最值，进而即可求解．
12．【答案】15
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当a=6是三角形的腰时，则b、c中还有一个值为6，
∴x=6是方程的一个根，
∴36-（3k+3）×6+9k=0，
解得：k=2，
此时方程为x2-9x+18=0，
解得：x1=3，x2=6，
此时三角形的三边长为3，6，6，
∴C△ABC=3+6+6=15；
②当a=6是三角形的底时，则b、c为三角形的腰，
∴b=c，即方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴，
解得k=1，
此时方程为：x2-6x+9=0，
∴x1=x2=3，
此时三角形的三边长为3，3，6，
∵3+3=6，
∴这三边长不能围成三角形，舍掉；
综上，△ABC的周长为15，
故答案为：15.
【分析】分类讨论：①当a=6是三角形的腰时，②当a=6是三角形的底时，再分别利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根求出三角形三边长，再利用三角形的周长公式求解即可.
13．【答案】解：等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b＝c，若b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0的两个实数根，
则△＝（-m）2-12m＝0，
解得：m＝0（舍去）或m＝12；
当a为腰时，则b＝4或c＝4，若b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0的两个实数根，
则42-4m+3m＝0，
解得：m＝16；
此时x＝4或12，三角形三边为4，4，12，
∵4+4＜12
∴不满足三角形三边关系，应舍去，
故m的值为12．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系求解即可。
14．【答案】根据题意得对于x2-ax+3-b=0， b2-4ac=a2-4(3-b)= a2+4b-12>0，即a2+4b>12①，
对于x2+(6-a)x+7-b=0，b2-4ac=(6-a)2-4(7-b)= a2 +4b- 12a+8=0，即a2+4b=12a-8②，
对于x2 +(4-a)x+5-b=0，b2-4ac=(4-a)2-4(5-b)=a2 +4b-8a-4< 0，即a2 +4b<8a+4③，
把②分别代人①③，得
解不等式组得
再代人②，得4+4b=12x2-8 ，解得b=3，
∴a=2，b=3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】 由关于x的方程x2-ax+3-6=0有两个不相等的实数根，可得△=a2+4b-12>0①，由x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实数根，可得△=a2 +4b- 12a+8=0②，由x2+(4-a)x+5-b=0没有实数根，可得△=a2 +4b-8a-4＜0③，把②分别代人①③可求出整数a值，再将其代入②即可求出b值.
15．【答案】（1）证明：当，即时，原方程为，
解得：；
当，即时，，
方程有实数根．
综上可知：无论取何值，此方程总有实数根．
（2）解：方程有两个整数根，
，，且，
为整数，为正整数，
或．
（3）解：由得，，且，
，
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故的值为-3或0．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意分两种情况：①当二次项系数为0时，即k+1=0，可得关于x的一元一次方程为-4x-4=0，解得x=-1；②当K+1≠0时，计算b2-4ac=（3k-1）2-4(k+1)(2k-2)=(k-3)2，由平方的非负性可得b2-4ac=(k-3)2≥0，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得原方程有两个实数根；结合两种情况可得：无论k取何值，原方程总有两个实数根；
（2）由题意用公式法解方程可得x1=-1；x2=-2+，根据方程有两个整数根且k为正整数可得k=1或k=3；
（3）由（2）可得x1=-1；x2=-2+，且k≠-1；把x1、x2代入已知的等式=3可得关于k的方程，解方程可求解.
16．【答案】（1）解：①②
（2）解：一元二次方程 x2-2x=0的解为，
当相同的根是x=0时，m-1=0，解得：m=1，
当相同的根是x=2时，4+2+m-1=0，解得：m=-5，
综上所述： m=1或-5.
（3）解：∵关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，
∴关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是，
∴（x-n）（x+3）=0 的两个根是，
∵ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，
∴n=-1或3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）①，
解得：，
②，
解得：，
③，
，
解得：，
∴属于“同伴方程”的有①②.
故答案为：①②.
【分析】（1）利用“同伴方程”的定义一一判断即可；
（2）先求出，再分类讨论求解即可；
（3）先求出（x-n）（x+3）=0 的两个根是，再求解即可。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.3 一元二次方程的根的判别式 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程（a+2）x2-3x＋1=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2-3x＋1=0有实数根，
∴且a+2≠0，
解得，a≤且a≠-2
∴a的取值范围是 ：a≤且a≠-2.
故答案为：A.
【分析】 一元二次方程有实数根， 则根的判别式大于等于0，另外a还要满足二次项系数不为0，根据这两个要求，最终确定a的范围.
2．（2019九上·获嘉月考）关于 的方程 有实数根，则 满足（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=- ；
当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，
所以a的取值范围为a≥1.
故答案为：A.
【分析】分类讨论：当a=5时，方程是一元一次方程，一定有实数根；当a≠5时，方程是一元二次方程，根据方程有实数根可知其根的判别式的值应该不小于0，从而列出不等式，求解得出a的取值范围，综上所述即可得出答案。
3．（2021九上·莲湖期末）关于x的方程 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，方程无实数根
B．当 时，方程只有一个实数根
C．当 时，有两个不相等的实数根
D．当 时，方程有两个相等的实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有一个实数根，故A选项错误；
B、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有两个相等的实数根，故B选项错误；
C、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有两个不相等的实数根，故C选项正确；
D、当 时， ，所以方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】将a=0代入方程，可求出方程的根，可对A作出判断；将a=-1代入方程，可得到方程有两个相等的实数根，可对B作出判断；将a=1代入方程，求出方程的解，可得到方程有两个不相等的实数根，可对C作出判断；当a≠0时，求出其根的判别式的值，由判别式的值不为负数可得到方程有两个实数根，可对D作出判断.
4．（2023九上·游仙月考）二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．不能确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】
二次函数图象与x轴有一个交点
故选：B
【分析】根据判别式与根的关系来判断交点个数：当判别式大于0时，与x轴有2个交点，当判别式等于0时，与x轴有1个交点，当判别式小于0时，与x轴没有交点。
5．（2021·沂水模拟）已知有等腰三角形两边长为一元二次方程x2-3x+2=0的两根，则等腰三角形周长是（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．不能确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：x2-3x+2=0，
(x-1)(x-2)=0，
x-1=0，x-2=0，
解得x1=1，x2=2．
分为两种情况：
①三角形的三边长分别为1、1、2时，
∵1+1=2，
∴此时不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形；
②三角形的三边长分别为1、2、2时，
此时符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此等腰三角形的周长是1+2+2=5．
故答案为：B．
【分析】先求出方程的两个根x1=1，x2=2，再利用三角形三边的关系及等腰三角形的性质求解即可。
6．（2023九上·深圳月考）若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴对于等腰三角形的腰长，分三种情况：
（1）当a=4时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴42－6×4＋n＋1＝0，解得n=7.
∴一元二次方程为x2－6x＋8＝0，即（x－2）（x－4）=0.
∴x = 2 或 x =4.
∴b=2.
此时等腰三角形三边长分别为4、2、4，符合三边关系；
（2）当b=4时，与（1）同理可得，n=7；
（1）当a=b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴解得n=8.
∴一元二次方程为x2－6x＋9＝0，即（x－3）2=0.
∴x = 3.
∴a=b= 3.
此时等腰三角形三边长分别为3、3、4，符合三边关系.
综上所述，n的值为8或7.
故答案为：C.
【分析】首先对于等腰三角形的腰长，分三种情况讨论，然后根据一元二次方程的性质求解a，b，n的值，最后根据三角形的三边关系判断是否符合题意，即可得出结论.
7．（2022八下·高青期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0，即得x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，故此项正确.
8．（2023·济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；两点间的距离；定义新运算
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，，
∴，
∴点是点的“倍增点”；
∵， ，
∴，，
∴，
∴点 是点的“倍增点”；
∴结论①正确；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：a=0，
∴A（0，2）；
∴结论②错误；
③设点是的“倍增点”，
∴，
∴，
∴，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线上存在两个点是点的“倍增点”，
∴结论③正确；
④设点B（m，n），
∵点是点的“倍增点”，
∴2（m+1)=n，
∵B（m，n）， ，
∴，
∵5＞0，
∴的最小值是，
∴的最小值是，
∴结论④正确；
综上所述：正确结论的个数是①③④，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据所给的定义，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式等对每个结论逐一判断求解即可。
二、填空题
9．（2022八下·怀宁期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】且m≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且m≠0．
故答案为：且m≠0．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式组求解即可。
10．（2023九上·浏阳期中）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程无实数根，则c的值可以是 ．
【答案】2答案不唯一
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，．
，
．
故答案为：2（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解。无实数根满足的条件是判别式，即可得出关于的不等式，解之即可求出的取值范围．
11．（2023八下·合肥期末）若实数，满足，则的最大值与最小值之和为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：实数，满足
∴2ab2-2ab+a+4=0
∴
即
∴或
解得：
∴的最大值与最小值之和为-8
故答案为：.
【分析】将式子转化为关于b的一元二次方程，根据判别式大于或等于0，列出不等式，求得a的最值，进而即可求解．
12．（2023·宁南模拟）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为
【答案】15
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当a=6是三角形的腰时，则b、c中还有一个值为6，
∴x=6是方程的一个根，
∴36-（3k+3）×6+9k=0，
解得：k=2，
此时方程为x2-9x+18=0，
解得：x1=3，x2=6，
此时三角形的三边长为3，6，6，
∴C△ABC=3+6+6=15；
②当a=6是三角形的底时，则b、c为三角形的腰，
∴b=c，即方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴，
解得k=1，
此时方程为：x2-6x+9=0，
∴x1=x2=3，
此时三角形的三边长为3，3，6，
∵3+3=6，
∴这三边长不能围成三角形，舍掉；
综上，△ABC的周长为15，
故答案为：15.
【分析】分类讨论：①当a=6是三角形的腰时，②当a=6是三角形的底时，再分别利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根求出三角形三边长，再利用三角形的周长公式求解即可.
三、解答题
13．（2020八上·浦东期中）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0的两根，求m的值．
【答案】解：等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b＝c，若b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0的两个实数根，
则△＝（-m）2-12m＝0，
解得：m＝0（舍去）或m＝12；
当a为腰时，则b＝4或c＝4，若b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0的两个实数根，
则42-4m+3m＝0，
解得：m＝16；
此时x＝4或12，三角形三边为4，4，12，
∵4+4＜12
∴不满足三角形三边关系，应舍去，
故m的值为12．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系求解即可。
14．已知a，b是整数，关于x的方程x2-ax+3-6=0有两个不相等的实数根，x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实数根，x2+(4-a)x+5-b=0没有实数根，求a，b的值．
【答案】根据题意得对于x2-ax+3-b=0， b2-4ac=a2-4(3-b)= a2+4b-12>0，即a2+4b>12①，
对于x2+(6-a)x+7-b=0，b2-4ac=(6-a)2-4(7-b)= a2 +4b- 12a+8=0，即a2+4b=12a-8②，
对于x2 +(4-a)x+5-b=0，b2-4ac=(4-a)2-4(5-b)=a2 +4b-8a-4< 0，即a2 +4b<8a+4③，
把②分别代人①③，得
解不等式组得 再代人②，得4+4b=12x2-8 ，解得b=3，
∴a=2，b=3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】 由关于x的方程x2-ax+3-6=0有两个不相等的实数根，可得△=a2+4b-12>0①，由x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实数根，可得△=a2 +4b- 12a+8=0②，由x2+(4-a)x+5-b=0没有实数根，可得△=a2 +4b-8a-4＜0③，把②分别代人①③可求出整数a值，再将其代入②即可求出b值.
四、综合题
15．（2022九上·岳麓开学考）已知关于的方程
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数的值；
（3）若一元二次方程满足，求的值．
【答案】（1）证明：当，即时，原方程为，
解得：；
当，即时，，
方程有实数根．
综上可知：无论取何值，此方程总有实数根．
（2）解：方程有两个整数根，
，，且，
为整数，为正整数，
或．
（3）解：由得，，且，
，
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故的值为-3或0．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意分两种情况：①当二次项系数为0时，即k+1=0，可得关于x的一元一次方程为-4x-4=0，解得x=-1；②当K+1≠0时，计算b2-4ac=（3k-1）2-4(k+1)(2k-2)=(k-3)2，由平方的非负性可得b2-4ac=(k-3)2≥0，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得原方程有两个实数根；结合两种情况可得：无论k取何值，原方程总有两个实数根；
（2）由题意用公式法解方程可得x1=-1；x2=-2+，根据方程有两个整数根且k为正整数可得k=1或k=3；
（3）由（2）可得x1=-1；x2=-2+，且k≠-1；把x1、x2代入已知的等式=3可得关于k的方程，解方程可求解.
16．（2022八上·奉贤期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x2=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ：（只填写序号即可）
①②x2+4x+4=0 ③
（2）关于x的一元二次方程x2-2x=0与x2+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与
（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，求n的值.
【答案】（1）解：①②
（2）解：一元二次方程 x2-2x=0的解为，
当相同的根是x=0时，m-1=0，解得：m=1，
当相同的根是x=2时，4+2+m-1=0，解得：m=-5，
综上所述： m=1或-5.
（3）解：∵关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，
∴关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是，
∴（x-n）（x+3）=0 的两个根是，
∵ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，
∴n=-1或3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）①，
解得：，
②，
解得：，
③，
，
解得：，
∴属于“同伴方程”的有①②.
故答案为：①②.
【分析】（1）利用“同伴方程”的定义一一判断即可；
（2）先求出，再分类讨论求解即可；
（3）先求出（x-n）（x+3）=0 的两个根是，再求解即可。
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