2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·丰南期中）设方程的两个根为，，那么的值等于（ ）
A．-2 B．1 C．-1 D．2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
2．（2023九上·浏阳期中）已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设另外一根为，
由根与系数的关系可知：，
，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
3．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2+3x+4=0 B．x2﹣4x+3=0 C．x2+4x﹣3=0 D．x2+3x﹣4=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为
故答案为：B
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=3+1= p ， x1·x2=3×1=q ，从而得出答案。
4．（2023·天津市）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，
∴，，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
5．（2023九上·金华月考）已知二次方程的两根为和5，则一次函数图象不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+bx+c=0的两根为-1和5，
∴-1+5=-b，-1×5=c，
∴b=-4，c=-5，
∴一次函数的解析式为y=-4x-5，
∵一次函数中自变量的系数为-4＜0，常数项为-5＜0，
∴图象经过第二、三、四象限，
∴该一次函数的图象不经过第一象限.
故答案为：A.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，可求出b、c的值，从而可得出一次函数的解析式，进而根据一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，进行判断得出答案.
6．（2020·湛江模拟）若a≠b，且 则 的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由 得：
∴ 又由 可以将a，b看做是方程 的两个根∴a+b=4，ab=1∴
故答案为B.
【分析】构造一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可。
7．（2023九上·三台期中）下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A：∵x1+x2=-=-2，
∴A错误.
B：∵x1+x2=-=0，
∴B错误.
C：∵x1+x2=-=--2，
∴C错误.
D：∵x1+x2=-=2.
所以D正确.
故答案为：D.
【分析】估计一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-依次判断即可.
8．（2023八下·瑶海期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①根据根与系数的关系可得：，
∴，
∵，∴b=1-a，
∴，
∴故正确；
②∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，
∴m>0，n>0，
故②正确；
③∵一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴4-4（a2+b2+ab）≥0，
∴4-4（a2-a+1）≥0，
∴a≥a2，
故③不正确；
④∵a2+b2+ab=a2-a+1，
∴方程x2-2x+a2+b2+ab=0可化简为x2-2x+a2-a+1=0，
即（x-1）2+a2-a=0，
∵方程（x+1）2+a2-a=0可变形为[（x+2）-1]2+a2-a=0，
∴x1=m-2，x2=n-2，
故④正确；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程根的判别式逐项判断即可.
二、填空题
9．（2023八上·闵行期中）关于的一元二次方程有一个根为零，则m的值为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为一元二次方程有一个根为零，
所以，
解得，
因为，
所以，
故，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解。，．
10．（2023九上·滕州月考）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1和x2为一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2-x1x2=--=2.
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求值即可。
11．（2024九上·汝城期末）已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是 ．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
故答案为：5
【分析】先根据题意得到，进而运用一元二次方程根与系数的关系即可得到，再结合一元二次方程的根即可求解。
12．（2018·徐州模拟）设x1、x2是方程2x2+nx+m=0的两个根，且x1+x2=4，x1x2=3．则m+n= ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ 是方程 的两个根，
∴
∵
∴
解得：
∴
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出m、n的值，再求出它们的和即可。
13．（2021九上·温江期中）一元二次方程的两根为和，则 .
【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意-3+1=0，
则=3-1.
原式=3-1+3+2017
=3（+）-1+2017
=-1+2017
=2025
【分析】由 是方程的根得出=3-1，由一元二次方程的根与系数的关系求出+的值，然后把原式化为3-1+3+2017，最后代值计算即可.
三、解答题
14．已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝1，求m的值．
【答案】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4m
＝m2+4m+4﹣4m
＝m2+4＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，
∵x1+x2+2x1x2＝1，
∴﹣（m+2）+2m＝1，
解得m＝3，
即m的值为3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先求得根的判别式= m2+4 ，然后根据偶次方的非负性，即可得出m2+4＞0，从而得出结论无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）首先根据根与系数的关系得出 x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m， 然后代入 x1+x2+2x1x2＝1中，即可得出关于m的方程﹣（m+2）+2m＝1， 解方程即可求得m的值。
15．（2023九上·怀化期中）已知关于x的方程．
（1）当m满足什么条件时，方程有实数根？
（2）设方程的两实根分别为、，且，求m的值．
【答案】（1）解：∵关于x的方程有实数根，
∴，
∴
∴
∴当时，方程有实数根；
（2）解：∵关于x的方程的两实根分别为、，
∴，，
∵
∴，
∴，
解得，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据 关于x的方程有实数根， 利用得到关于m的不等式，解不等式即可求解；
（2）根据题意先利用韦达定理求得 ，， 再将等式进行变形代入得到关于m的方程，解方程取符合题意的m的值即可求解；
四、综合题
16．（2023九上·淮南月考）一元二次方程．
（1）若方程有两实数根，求的范围．
（2）设方程两实根为，，且，求．
【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，即，
解得且，
的取值范围为．
（2）解：方程两实根为，，
，，
，
，
，
，
解得：；
经检验是原方程的解．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的定义与判别式的关系可得 且即
即可求得m的取值范围；
（2）由韦达定理求出x1+x2的值，x1x2的值，再根据已知条件 ，变形得将x1+x2的值，x1x2的值代入即可求解.
17．（2023八下·长沙期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围；
（2）若此方程的两根互为倒数，求的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，，且互为倒数，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·丰南期中）设方程的两个根为，，那么的值等于（ ）
A．-2 B．1 C．-1 D．2
2．（2023九上·浏阳期中）已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A． B．4 C．5 D．
3．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2+3x+4=0 B．x2﹣4x+3=0 C．x2+4x﹣3=0 D．x2+3x﹣4=0
4．（2023·天津市）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·金华月考）已知二次方程的两根为和5，则一次函数图象不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
6．（2020·湛江模拟）若a≠b，且 则 的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
7．（2023九上·三台期中）下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·瑶海期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·闵行期中）关于的一元二次方程有一个根为零，则m的值为 .
10．（2023九上·滕州月考）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ．
11．（2024九上·汝城期末）已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是 ．
12．（2018·徐州模拟）设x1、x2是方程2x2+nx+m=0的两个根，且x1+x2=4，x1x2=3．则m+n= ．
13．（2021九上·温江期中）一元二次方程的两根为和，则 .
三、解答题
14．已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝1，求m的值．
15．（2023九上·怀化期中）已知关于x的方程．
（1）当m满足什么条件时，方程有实数根？
（2）设方程的两实根分别为、，且，求m的值．
四、综合题
16．（2023九上·淮南月考）一元二次方程．
（1）若方程有两实数根，求的范围．
（2）设方程两实根为，，且，求．
17．（2023八下·长沙期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围；
（2）若此方程的两根互为倒数，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设另外一根为，
由根与系数的关系可知：，
，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为
故答案为：B
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=3+1= p ， x1·x2=3×1=q ，从而得出答案。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，
∴，，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+bx+c=0的两根为-1和5，
∴-1+5=-b，-1×5=c，
∴b=-4，c=-5，
∴一次函数的解析式为y=-4x-5，
∵一次函数中自变量的系数为-4＜0，常数项为-5＜0，
∴图象经过第二、三、四象限，
∴该一次函数的图象不经过第一象限.
故答案为：A.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，可求出b、c的值，从而可得出一次函数的解析式，进而根据一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，进行判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由 得：
∴ 又由 可以将a，b看做是方程 的两个根∴a+b=4，ab=1∴
故答案为B.
【分析】构造一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A：∵x1+x2=-=-2，
∴A错误.
B：∵x1+x2=-=0，
∴B错误.
C：∵x1+x2=-=--2，
∴C错误.
D：∵x1+x2=-=2.
所以D正确.
故答案为：D.
【分析】估计一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-依次判断即可.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①根据根与系数的关系可得：，
∴，
∵，∴b=1-a，
∴，
∴故正确；
②∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，
∴m>0，n>0，
故②正确；
③∵一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴4-4（a2+b2+ab）≥0，
∴4-4（a2-a+1）≥0，
∴a≥a2，
故③不正确；
④∵a2+b2+ab=a2-a+1，
∴方程x2-2x+a2+b2+ab=0可化简为x2-2x+a2-a+1=0，
即（x-1）2+a2-a=0，
∵方程（x+1）2+a2-a=0可变形为[（x+2）-1]2+a2-a=0，
∴x1=m-2，x2=n-2，
故④正确；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程根的判别式逐项判断即可.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为一元二次方程有一个根为零，
所以，
解得，
因为，
所以，
故，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解。，．
10．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1和x2为一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2-x1x2=--=2.
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求值即可。
11．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
故答案为：5
【分析】先根据题意得到，进而运用一元二次方程根与系数的关系即可得到，再结合一元二次方程的根即可求解。
12．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ 是方程 的两个根，
∴
∵
∴
解得：
∴
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出m、n的值，再求出它们的和即可。
13．【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意-3+1=0，
则=3-1.
原式=3-1+3+2017
=3（+）-1+2017
=-1+2017
=2025
【分析】由 是方程的根得出=3-1，由一元二次方程的根与系数的关系求出+的值，然后把原式化为3-1+3+2017，最后代值计算即可.
14．【答案】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4m
＝m2+4m+4﹣4m
＝m2+4＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，
∵x1+x2+2x1x2＝1，
∴﹣（m+2）+2m＝1，
解得m＝3，
即m的值为3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先求得根的判别式= m2+4 ，然后根据偶次方的非负性，即可得出m2+4＞0，从而得出结论无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）首先根据根与系数的关系得出 x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m， 然后代入 x1+x2+2x1x2＝1中，即可得出关于m的方程﹣（m+2）+2m＝1， 解方程即可求得m的值。
15．【答案】（1）解：∵关于x的方程有实数根，
∴，
∴
∴
∴当时，方程有实数根；
（2）解：∵关于x的方程的两实根分别为、，
∴，，
∵
∴，
∴，
解得，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据 关于x的方程有实数根， 利用得到关于m的不等式，解不等式即可求解；
（2）根据题意先利用韦达定理求得 ，， 再将等式进行变形代入得到关于m的方程，解方程取符合题意的m的值即可求解；
16．【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，即，
解得且，
的取值范围为．
（2）解：方程两实根为，，
，，
，
，
，
，
解得：；
经检验是原方程的解．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的定义与判别式的关系可得 且即
即可求得m的取值范围；
（2）由韦达定理求出x1+x2的值，x1x2的值，再根据已知条件 ，变形得将x1+x2的值，x1x2的值代入即可求解.
17．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，，且互为倒数，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
1 / 1
