2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故选C．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
2．（2023九上·南皮期中）若关于的方程的两根互为倒数，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于的方程的两根互为倒数，
∴两根的乘积为1，
∴，
∴k=-1或2，
故答案为：C
【分析】先根据题意得到两根的乘积为1，再根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
3．（2023九上·金沙期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，
解得m<2，
又m为正整数，
m=1，
原方程为 ，
，
解得，，
故答案为：C.
【分析】先利用根与系数的关系和m的取值范围求出m的值，再利用因式分解法解一元二次方程即可得出结论.
4．（2023九上·资中期中）设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵的两实根为，，
∴ α+β=p， αβ=q，P2≥4q
∵，为根的一元二次方程仍是
∴ α2+β2=p， α2β2=q，
∴ q2=q，p2-2q=p
∴ q=0或1，
当q=0，p2=p，解得p=0或1，
当q=1，p2-p-2=0，解得p=-1（舍）或2
综上，数对（p，q）为（0，0），（1，0），（2，1），共3个
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟悉一元二次方程的两根之和x1+x2=，两根之积x1x2=是本题的关键，列出关于p，q的方程，再求解，注意结合根的判别式对所求结果取舍。
5．（2023九上·桥西期中）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则关于直线y＝ax+k；甲答：一定经过一、四象限，乙答：一定经过一、三象限．则正确的是（ ）
A．甲乙均错 B．甲乙均对 C．甲错乙对 D．甲对乙错
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴kx=ax2-a，
∴ax2-kx-a=0，
∴x1+x2=，
∵x1+x2＜0，
∴，
①当a>0，k<0时，直线y=ax+k经过第一、三、四象限；
②当a<0，k>0时，直线y=ax+k经过第一、二、四象限；
综上，直线y=ax+k一定经过第一、四象限；
∴甲对乙不对，
故答案为：D.
【分析】先求出，再分类讨论，利用一次函数的图象与系数的关系可得答案.
6．（2021八下·安徽期末）关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程 的两根为x1、x2，方程 同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1 x2=2n＞0，y1 y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①符合题意；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②符合题意；
③∵y1 y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1 y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1 x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1 x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，再结合题意对每个结论一一判断即可。
7．一元二次方程 ，其中 ，给出以下四个结论：(1)若方程 有两个不相等的实数根，则方程 也有两个不相等的实数根；(2)若方程 的两根符号相同，则方程 的两根符号也相同；(3)若 是方程 的一个根，则 是方程 的一个根；(4)若方程 和方程 有一个相同的根，则这个根必是 .其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： (1)∵方程 有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac>0，∴方程的△=b2-4ac>0，∴
方程 有两个不相等的实数根，正确；
(2)∵方程 的两根符号相同，∴x1x2=>0，∴方程的中两根之积ac>0，则两根同号，正确；
(3)若 是方程 的一个根，则am2 +bm+c=0，而c× +b×+a=(am2+bm+c)=0，则am2+bm+c=0，正确；
(4) 设ax2+bx+c=cx2+bx+a，则(a-c)x2=(a-c)，解得x=±1，不正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】(1)根据一元二次方程的判别式△的符号进行判断即可；(2)分析根与系数的关系的两根之积的符号进行判断；(3)把m和分别代入两个方程进行比较即可判断；(4)联立两个一元二次方程，求出公共根，即可判断.
8．（2020九上·萧山开学考）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ，∴x1=-4，x2=2， x1=-2x2， 不是倍根方程，错误；
② 由题意得：2x12=2， ∴x1=±1，∴x1=1，x2=2，x1=-1，x2=-2， 则a＝x1+x2=±3， 正确；
③∵x1=3，x2=， 当x1=2x2时，3m=2n， 当x2=2x1时，n=6m， 错误；
④ 由题意得：n=， ∴mx2-3x+=0， ∴x1+x2=，x1x2=， 整理得：2x12-5x1x2+2x22
=0， ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0， ∴x1=2x2， 或x2=2x1，正确； 综上，正确的是②④ .
故答案为：D.
【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程” 的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④ 根据反比例函数式，求出m和n的关系， 利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.
二、填空题
9．（2017·泰州模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= ．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，
∵m2+2m﹣5=0
∴m2=5﹣2m
m2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8
故答案为：8．
【分析】此题利用一元二次方程根与系数的关系，求出mn，m+n的值，由于所求代数式中含有m2，再将x=m代入方程，求出m2的值，再整体代入所求代数式，即可求得结果。
10．（2023九上·龙马潭月考）已知a，b是一元二次方程x2-6x+4=0的两个根，则=
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程的两个根，
∴a+b=6，ab=4，
∴==，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解。先根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再利用通分把变形，然后利用整体代入的方法计算．
11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程的两实数根，且，则m的值是 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
解得：，
，
即：，
解得：或（舍去），
故答案为：．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根于系数的关系，根据题意得，再根据根于系数的关系联立等式即可求解．
12．（2023九上·三台期中）已知m为方程的根，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 已知m为方程的根，
∴m2+3m-2022=0，
∴m3+3m2-2022m=0，
∴原式=m3+3m2-2022m+m2+3m-2023
=0+2022-2023
=-1.
故答案为：-1.
【分析】将m的值代入方程后整体代换求值即可。
13．（2023九上·沙洋期中） 已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，有下列说法：①当k=0时，方程无解；②当k=1时，方程有一个实数解；③当k=-1时，方程有两个相等的实数解；④此方程总有实数解．其中正确的是 ．
【答案】③④
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，，解得，错误；
当时，，解得，，错误；
当时，，
，
方程有两个相等的实数解，正确；
当时，，解得；
当时，，
方程总有实数解 ，正确.
故答案为：.
【分析】当时，原方程可化为，解得，故错误；当时，原方程可化为，解得，，故错误；当时，原方程可化为，利用根的判别式可得方程有两个相等的实数解，故正确；当时，原方程可化为一元一次方程解得，当时，原方程可化为一元二次方程，由根的判别式可得方程有实数解 ，故正确.
三、解答题
14．（2023九上·恩阳期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若是原方程的两根，且，求的值．
【答案】（1）证明：原方程总有两个不相等的实数根，中，，，
∴，
∴，
∴无论取何值，原方程的判别式恒大于零，
∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：中，，，且是原方程的两根，，
∴，，
∴，则，
∵，即，
∴，
∴，
整理得，，
解方程得，，，
∴的值或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，方程有两个不相等的实数根，说明判别式是大于0的，此时判别式是关于m的二次函数，整理成顶点式发现最小值是4，故无论m取何值，总有判别式大于0，即原方程总有两个实数根；
（2）根据韦达定理，可以找到两根之和与系数的关系式，两根之积与系数的关系式，已知 ，即 即 ，故代入系数到这个等式即可求出m值。
15．（2023九上·泸州月考） 已知关于 的一元二次方程： 有两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为 ， 且满足 ， 求 的值.
【答案】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
$且
解得 且 ，
的取值范围是 且 ：
（2）解： 原方程的两个实数根为 ，
而 且 .
，
，
， 即 .
，
整理得 ，
解得： .又 且 ，
不合题意， 舍去.
经检验， 是方程 .
的值为 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及应用、根与系数的关系。（1）方程有两个不相等的实数根，则，代入计算，注意方程二次项系数不为0，综合考虑k值；（2）根据根与系数的关系，代入所给等式，可求出k值。
四、综合题
16．（2023八下·永兴期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）试求的取值范围；
（2）若，求的值；
（3）若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或者，
∵根据（1）有，
即；
（3）解：由（2）可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵根据（1）有，
即．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出 ，， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
17．（2023八下·长沙期末）若我们规定：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，和的差构成一个新函数，即．称是的“数天数函数”，为“天数点”，为“天数点”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，．点，在“数天数函数”图像上，求的解析式；
（2）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，，是“数天数函数，求的最小值．
（3）关于的方程的两个实数根、，“数天数函数”．若，，且，求的值．
【答案】（1）解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，，
∴，，
∴，
∵点，在“数天数函数”图像上，
∴，解得，
∴；
（2）解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，，
∴数天数函数，
∴，
∵，
∴，即的最小值为；
（3）解：∵关于的方程的两个实数根、，
∴，，
∵，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
化简得，
解得或．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）先根据“天数点”的定义即可得到，，进而得到，再根据一次函数图象上的点的特征即可求解；
（2）先根据“天数点”的定义即可得到数天数函数，进而结合题意即可求解；
（3）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，进而结合题意即可得到，从而根据题意进行运算即可求解。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2023九上·南皮期中）若关于的方程的两根互为倒数，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
3．（2023九上·金沙期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2023九上·资中期中）设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对的个数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·桥西期中）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则关于直线y＝ax+k；甲答：一定经过一、四象限，乙答：一定经过一、三象限．则正确的是（ ）
A．甲乙均错 B．甲乙均对 C．甲错乙对 D．甲对乙错
6．（2021八下·安徽期末）关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．一元二次方程 ，其中 ，给出以下四个结论：(1)若方程 有两个不相等的实数根，则方程 也有两个不相等的实数根；(2)若方程 的两根符号相同，则方程 的两根符号也相同；(3)若 是方程 的一个根，则 是方程 的一个根；(4)若方程 和方程 有一个相同的根，则这个根必是 .其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020九上·萧山开学考）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
二、填空题
9．（2017·泰州模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= ．
10．（2023九上·龙马潭月考）已知a，b是一元二次方程x2-6x+4=0的两个根，则=
11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程的两实数根，且，则m的值是 ．
12．（2023九上·三台期中）已知m为方程的根，那么的值为 ．
13．（2023九上·沙洋期中） 已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，有下列说法：①当k=0时，方程无解；②当k=1时，方程有一个实数解；③当k=-1时，方程有两个相等的实数解；④此方程总有实数解．其中正确的是 ．
三、解答题
14．（2023九上·恩阳期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若是原方程的两根，且，求的值．
15．（2023九上·泸州月考） 已知关于 的一元二次方程： 有两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为 ， 且满足 ， 求 的值.
四、综合题
16．（2023八下·永兴期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）试求的取值范围；
（2）若，求的值；
（3）若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值．
17．（2023八下·长沙期末）若我们规定：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，和的差构成一个新函数，即．称是的“数天数函数”，为“天数点”，为“天数点”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，．点，在“数天数函数”图像上，求的解析式；
（2）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，，是“数天数函数，求的最小值．
（3）关于的方程的两个实数根、，“数天数函数”．若，，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故选C．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于的方程的两根互为倒数，
∴两根的乘积为1，
∴，
∴k=-1或2，
故答案为：C
【分析】先根据题意得到两根的乘积为1，再根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
3．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，
解得m<2，
又m为正整数，
m=1，
原方程为 ，
，
解得，，
故答案为：C.
【分析】先利用根与系数的关系和m的取值范围求出m的值，再利用因式分解法解一元二次方程即可得出结论.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵的两实根为，，
∴ α+β=p， αβ=q，P2≥4q
∵，为根的一元二次方程仍是
∴ α2+β2=p， α2β2=q，
∴ q2=q，p2-2q=p
∴ q=0或1，
当q=0，p2=p，解得p=0或1，
当q=1，p2-p-2=0，解得p=-1（舍）或2
综上，数对（p，q）为（0，0），（1，0），（2，1），共3个
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟悉一元二次方程的两根之和x1+x2=，两根之积x1x2=是本题的关键，列出关于p，q的方程，再求解，注意结合根的判别式对所求结果取舍。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴kx=ax2-a，
∴ax2-kx-a=0，
∴x1+x2=，
∵x1+x2＜0，
∴，
①当a>0，k<0时，直线y=ax+k经过第一、三、四象限；
②当a<0，k>0时，直线y=ax+k经过第一、二、四象限；
综上，直线y=ax+k一定经过第一、四象限；
∴甲对乙不对，
故答案为：D.
【分析】先求出，再分类讨论，利用一次函数的图象与系数的关系可得答案.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程 的两根为x1、x2，方程 同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1 x2=2n＞0，y1 y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①符合题意；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②符合题意；
③∵y1 y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1 y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1 x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1 x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，再结合题意对每个结论一一判断即可。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： (1)∵方程 有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac>0，∴方程的△=b2-4ac>0，∴
方程 有两个不相等的实数根，正确；
(2)∵方程 的两根符号相同，∴x1x2=>0，∴方程的中两根之积ac>0，则两根同号，正确；
(3)若 是方程 的一个根，则am2 +bm+c=0，而c× +b×+a=(am2+bm+c)=0，则am2+bm+c=0，正确；
(4) 设ax2+bx+c=cx2+bx+a，则(a-c)x2=(a-c)，解得x=±1，不正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】(1)根据一元二次方程的判别式△的符号进行判断即可；(2)分析根与系数的关系的两根之积的符号进行判断；(3)把m和分别代入两个方程进行比较即可判断；(4)联立两个一元二次方程，求出公共根，即可判断.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ，∴x1=-4，x2=2， x1=-2x2， 不是倍根方程，错误；
② 由题意得：2x12=2， ∴x1=±1，∴x1=1，x2=2，x1=-1，x2=-2， 则a＝x1+x2=±3， 正确；
③∵x1=3，x2=， 当x1=2x2时，3m=2n， 当x2=2x1时，n=6m， 错误；
④ 由题意得：n=， ∴mx2-3x+=0， ∴x1+x2=，x1x2=， 整理得：2x12-5x1x2+2x22
=0， ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0， ∴x1=2x2， 或x2=2x1，正确； 综上，正确的是②④ .
故答案为：D.
【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程” 的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④ 根据反比例函数式，求出m和n的关系， 利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.
9．【答案】8
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，
∵m2+2m﹣5=0
∴m2=5﹣2m
m2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8
故答案为：8．
【分析】此题利用一元二次方程根与系数的关系，求出mn，m+n的值，由于所求代数式中含有m2，再将x=m代入方程，求出m2的值，再整体代入所求代数式，即可求得结果。
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程的两个根，
∴a+b=6，ab=4，
∴==，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解。先根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再利用通分把变形，然后利用整体代入的方法计算．
11．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
解得：，
，
即：，
解得：或（舍去），
故答案为：．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根于系数的关系，根据题意得，再根据根于系数的关系联立等式即可求解．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 已知m为方程的根，
∴m2+3m-2022=0，
∴m3+3m2-2022m=0，
∴原式=m3+3m2-2022m+m2+3m-2023
=0+2022-2023
=-1.
故答案为：-1.
【分析】将m的值代入方程后整体代换求值即可。
13．【答案】③④
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，，解得，错误；
当时，，解得，，错误；
当时，，
，
方程有两个相等的实数解，正确；
当时，，解得；
当时，，
方程总有实数解 ，正确.
故答案为：.
【分析】当时，原方程可化为，解得，故错误；当时，原方程可化为，解得，，故错误；当时，原方程可化为，利用根的判别式可得方程有两个相等的实数解，故正确；当时，原方程可化为一元一次方程解得，当时，原方程可化为一元二次方程，由根的判别式可得方程有实数解 ，故正确.
14．【答案】（1）证明：原方程总有两个不相等的实数根，中，，，
∴，
∴，
∴无论取何值，原方程的判别式恒大于零，
∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：中，，，且是原方程的两根，，
∴，，
∴，则，
∵，即，
∴，
∴，
整理得，，
解方程得，，，
∴的值或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，方程有两个不相等的实数根，说明判别式是大于0的，此时判别式是关于m的二次函数，整理成顶点式发现最小值是4，故无论m取何值，总有判别式大于0，即原方程总有两个实数根；
（2）根据韦达定理，可以找到两根之和与系数的关系式，两根之积与系数的关系式，已知 ，即 即 ，故代入系数到这个等式即可求出m值。
15．【答案】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
$且
解得 且 ，
的取值范围是 且 ：
（2）解： 原方程的两个实数根为 ，
而 且 .
，
，
， 即 .
，
整理得 ，
解得： .又 且 ，
不合题意， 舍去.
经检验， 是方程 .
的值为 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及应用、根与系数的关系。（1）方程有两个不相等的实数根，则，代入计算，注意方程二次项系数不为0，综合考虑k值；（2）根据根与系数的关系，代入所给等式，可求出k值。
16．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或者，
∵根据（1）有，
即；
（3）解：由（2）可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵根据（1）有，
即．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出 ，， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
17．【答案】（1）解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，，
∴，，
∴，
∵点，在“数天数函数”图像上，
∴，解得，
∴；
（2）解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，，
∴数天数函数，
∴，
∵，
∴，即的最小值为；
（3）解：∵关于的方程的两个实数根、，
∴，，
∵，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
化简得，
解得或．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）先根据“天数点”的定义即可得到，，进而得到，再根据一次函数图象上的点的特征即可求解；
（2）先根据“天数点”的定义即可得到数天数函数，进而结合题意即可求解；
（3）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，进而结合题意即可得到，从而根据题意进行运算即可求解。
1 / 1
