2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2021·毕节）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．2020年~2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A．5.76( 1+x)2=6.58 B．5.76(1+x2)= 6.58
C．5.76(1+2x)= 6.58 D．5.76x2=6.58
3．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买橡多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株橡每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的橡的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3(x-1)x=6210 B．3(x-1)=6210
C．(3x-1)x=6210 D．3x=6 210
4．（2019九上·兰山期中）我省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，今年第一季度的总营业额是3640万元．若设月平均增长率是 ，那么可列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023九上·泸州月考）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为（ ）
A．20％ B．30% C．50% D．120%
7．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=（x>0）的图像上，则点E的坐标为（ ）
A．(，) B．（1，）
C．（2，） D．（，)
二、填空题
8．（2022·济宁模拟）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱.2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 ．
9．（2023九上·麒麟月考）一件商品的原价是300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为 ．
10．（2022八下·诸暨期中）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为 m.
11．（2023九上·仙居开学考）代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为 ．
12．（2023八上·海曙期中）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中AF=a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝ ．
三、解答题
13．某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）为306600元？
14．（2023九上·遵义月考）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
四、综合题
15．（2021九上·江阴月考）如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.
（1）点 P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由.
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点 Q沿射线 CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
16．（2019九上·揭阳月考）已知：如图所示．在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设有x个班级参加比赛，
，
，
解得： （舍），
则共有6个班级参加比赛，
故答案为：B.
【分析】设有x个班级参加比赛，由于单循环形式，可得x个班级比赛场数为，据此列出方程，解之即可.
2．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设人均可支配收入的平均增长率为x ，
由题意得： 5.76( 1+x)2=6.58 .
故答案为：A.
【分析】 设人均可支配收入的平均增长率为x ，根据2020年居民人均可支配收入×（1+增长率）2=2022年居民人均可支配收入 ，列出方程即可.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解： 设这批椽的数量为x株，
根据题意得：3(x-1)x=6210 .
故答案为：A.
【分析】设这批椽的数量为x株， 则一株椽的价钱为3(x-1)文，根据总价=单价×数量，列出方程即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设月平均增长的百分率是 ，则该超市二月份的营业额为 万元，三月份的营业额为 万元，
依题意，得 ．
故答案为：C．
【分析】设月平均增长的百分率是 ，依据题意列方程即可．
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】
解：设平均增长率为x，根据题意得：2.36（1+x）2=2.7
故答案为：B.
【分析】本题考查一元二次方程的应用--平均增长率。设a为起始量，b为终止量，n增长的次数，x为平均增长率，则a (1+x)n=b。根据题意可列出方程。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】本题为增长率问题，增长后的量=增长前的量×（1+增长率)。则每亩收获的花生可加工成花生油的质量是200（1+x) 50%（1+x)，即可列方程求解。
【解答】设新品种花生亩产量的增长率为x，
根据题意得200（1+x) 50%（1+x)=132，
解得x1=0.2=20%，x2=-3.2（不合题意，舍去)，
则新品种花生亩产量的增长率为20%，
故选A.
【点评】本题为一般的增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解。找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】易得点B的坐标，设点E的纵坐标为y，可表示出点E的横纵坐标，代入所给反比例函数即可求得点E的纵坐标，也就求得了点E的横坐标．
【解答】∵四边形OABC是正方形，点B在反比例函数y=（x>0)的图象上，
∴点B的坐标为（1，1)．
设点E的纵坐标为y，
∴点E的横坐标为（1+y)，
∴y×（1+y)=1，
即y2+y-1=0，
即y==，
∵y＞0，
∴y=，
∴点E的横坐标为．
故选A．
【点评】考查反比例函数的比例系数的意义；突破点是得到点B的坐标；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
8．【答案】15（1+x）2=21.6或15（x+1）2=21.6
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得：15（1+x）2=21.6．
故答案为：15（1+x）2=21.6．
【分析】根据“2022年预估当年销售量为21.6万辆”直接列出方程15（1+x）2=21.6即可。
9．【答案】10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这个百分率为x%，由题意得：300（1-x%）2=243，解得x=10或x=190（舍）．
故答案为：10%
【分析】设这个百分率为x%，根据“一件商品的原价是300元，连续两次降价后，现售价是243元”即可列出一元二次方程，进而即可求解。
10．【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝2，x2＝35.
当x＝2时，30﹣2x＝26，符合题意；
当x＝35时，30﹣2x＝﹣40＜0，不合题意，舍去.
故答案为：2.
【分析】设小道进出口的宽度应为xm，则利用平移的性质可得剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积=长×宽，列出方程并解之即可.
11．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：，因为 阴影部分的面积为 ，所以，设，解得：，故同理 先构造一个面积为的正方形 ，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形
，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为
故答案为：4.
【分析】根据题意得，然后计算出增加矩形的边长3，先构造一个面积为的正方形 ，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为在根据题意进行计算即可即可求解.
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： ，，
，，
与的面积相等，
，
b，
，
，
，
解得（负值舍去），
；
故答案为：．
【分析】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，三角形的面积，根据题意得出关于的方程是解题的关键．由与的面积相等得出：，即，解方程得到（负值舍去）代入中进行计算即可得到结论．
13．【答案】（1）解：100-(3600-3000)÷50=88(辆)
答： 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出88辆车；
（2）解：设当每辆车的月租金定为x元时， 租赁公司的月收益为306600元 ，根据题意得，
整理得，
解得，x1=4200， x2=3900
经检验，两个解都符合题意，
答：当每辆车的月租金定为4200元或3900元时，租赁公司的月收益为306600元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】月收益 =租出去车辆的租金-租出去车辆的维护费-未租出去车辆的维护费，设当每辆车的月租金定为x元，列方程进行求解即可.
14．【答案】（1）解：设BC＝xm，则AB＝（39-3x）m，
由题意得：x（39-3x）＝120，
整理得：x2-13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，39-3x＝24＞15，不符合题意；当x＝8时，39-3x＝15，符合题意；
答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与8m．
（2）解：设BC＝xm，则AB＝（39-3x）m，
由题意得：x（39-3x）＝130，
整理得：3x2-39x+130＝0，
Δ＝（-39）2-4×3×130＝1521-1560＜0，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设所求长或宽为未知数，根据39米总长可以找到另一未知数的表达式，根据矩形面积可以列方程，求出x值要检验合理性，要使AB长小于等于墙长15米；
（2）思路同（1）当面积为130时求解方程，有合理的实数解则可以实现目标，否则不能。
15．【答案】（1）解：设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6﹣x，
∴ (6﹣x) 2x= × ×6×8，
∴x2﹣6x+12=0.
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）解：设t秒后，△PBQ的面积为1.分三种情况讨论：
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4.
由题意知： (6﹣t)(8﹣2t)=1，整理得：t2﹣10t+23=0，解得：t1=5+ （不合题意，应舍去），t2=5﹣ ；
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时4＜t≤6，由题意知： (6﹣t)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=t2=5.
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时t＞6，由题意知： (t﹣6)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=5+ ，t2=5- （不合题意，应舍去）.
综上所述：经过5- 秒、5秒或5+ 秒后，△PBQ的面积为1cm2.
故答案为：（1）不能；（2）5﹣ 秒、5秒或5+ 秒.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6-x，结合题意可得(6-x)·2x=××6×8，据此判断；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1，当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4，由题意可得：(6-t)(8-2t)=1，求解即可；同理可求出点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上；点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上，对应的t的值.
16．【答案】（1）解：设t秒后，则：AP=tcm，BP=（5﹣t）cm；BQ=2tcm．
S△PBQ=BP×BQ，即 ，解得：t=1或4．（t=4秒不合题意，舍去）
故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）解：∵PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2，即25=（5﹣t）2+（2t）2，t=0（舍）或2．
故2秒后，PQ的长度为5cm．
（3）解：令S△PQB=7，即：BP× =7， ，整理得：t2﹣5t+7=0．
由于b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，则方程没有实数根．
所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm则△PBQ的面积等于 ×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出正确的解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令 ×2x（5-x）=7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2021·毕节）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设有x个班级参加比赛，
，
，
解得： （舍），
则共有6个班级参加比赛，
故答案为：B.
【分析】设有x个班级参加比赛，由于单循环形式，可得x个班级比赛场数为，据此列出方程，解之即可.
2．2020年~2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A．5.76( 1+x)2=6.58 B．5.76(1+x2)= 6.58
C．5.76(1+2x)= 6.58 D．5.76x2=6.58
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设人均可支配收入的平均增长率为x ，
由题意得： 5.76( 1+x)2=6.58 .
故答案为：A.
【分析】 设人均可支配收入的平均增长率为x ，根据2020年居民人均可支配收入×（1+增长率）2=2022年居民人均可支配收入 ，列出方程即可.
3．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买橡多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株橡每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的橡的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3(x-1)x=6210 B．3(x-1)=6210
C．(3x-1)x=6210 D．3x=6 210
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解： 设这批椽的数量为x株，
根据题意得：3(x-1)x=6210 .
故答案为：A.
【分析】设这批椽的数量为x株， 则一株椽的价钱为3(x-1)文，根据总价=单价×数量，列出方程即可.
4．（2019九上·兰山期中）我省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，今年第一季度的总营业额是3640万元．若设月平均增长率是 ，那么可列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设月平均增长的百分率是 ，则该超市二月份的营业额为 万元，三月份的营业额为 万元，
依题意，得 ．
故答案为：C．
【分析】设月平均增长的百分率是 ，依据题意列方程即可．
5．（2023九上·泸州月考）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】
解：设平均增长率为x，根据题意得：2.36（1+x）2=2.7
故答案为：B.
【分析】本题考查一元二次方程的应用--平均增长率。设a为起始量，b为终止量，n增长的次数，x为平均增长率，则a (1+x)n=b。根据题意可列出方程。
6．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为（ ）
A．20％ B．30% C．50% D．120%
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】本题为增长率问题，增长后的量=增长前的量×（1+增长率)。则每亩收获的花生可加工成花生油的质量是200（1+x) 50%（1+x)，即可列方程求解。
【解答】设新品种花生亩产量的增长率为x，
根据题意得200（1+x) 50%（1+x)=132，
解得x1=0.2=20%，x2=-3.2（不合题意，舍去)，
则新品种花生亩产量的增长率为20%，
故选A.
【点评】本题为一般的增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解。找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键。
7．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=（x>0）的图像上，则点E的坐标为（ ）
A．(，) B．（1，）
C．（2，） D．（，)
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】易得点B的坐标，设点E的纵坐标为y，可表示出点E的横纵坐标，代入所给反比例函数即可求得点E的纵坐标，也就求得了点E的横坐标．
【解答】∵四边形OABC是正方形，点B在反比例函数y=（x>0)的图象上，
∴点B的坐标为（1，1)．
设点E的纵坐标为y，
∴点E的横坐标为（1+y)，
∴y×（1+y)=1，
即y2+y-1=0，
即y==，
∵y＞0，
∴y=，
∴点E的横坐标为．
故选A．
【点评】考查反比例函数的比例系数的意义；突破点是得到点B的坐标；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
二、填空题
8．（2022·济宁模拟）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱.2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 ．
【答案】15（1+x）2=21.6或15（x+1）2=21.6
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得：15（1+x）2=21.6．
故答案为：15（1+x）2=21.6．
【分析】根据“2022年预估当年销售量为21.6万辆”直接列出方程15（1+x）2=21.6即可。
9．（2023九上·麒麟月考）一件商品的原价是300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为 ．
【答案】10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这个百分率为x%，由题意得：300（1-x%）2=243，解得x=10或x=190（舍）．
故答案为：10%
【分析】设这个百分率为x%，根据“一件商品的原价是300元，连续两次降价后，现售价是243元”即可列出一元二次方程，进而即可求解。
10．（2022八下·诸暨期中）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为 m.
【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝2，x2＝35.
当x＝2时，30﹣2x＝26，符合题意；
当x＝35时，30﹣2x＝﹣40＜0，不合题意，舍去.
故答案为：2.
【分析】设小道进出口的宽度应为xm，则利用平移的性质可得剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积=长×宽，列出方程并解之即可.
11．（2023九上·仙居开学考）代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：，因为 阴影部分的面积为 ，所以，设，解得：，故同理 先构造一个面积为的正方形 ，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形
，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为
故答案为：4.
【分析】根据题意得，然后计算出增加矩形的边长3，先构造一个面积为的正方形 ，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为在根据题意进行计算即可即可求解.
12．（2023八上·海曙期中）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中AF=a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝ ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： ，，
，，
与的面积相等，
，
b，
，
，
，
解得（负值舍去），
；
故答案为：．
【分析】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，三角形的面积，根据题意得出关于的方程是解题的关键．由与的面积相等得出：，即，解方程得到（负值舍去）代入中进行计算即可得到结论．
三、解答题
13．某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）为306600元？
【答案】（1）解：100-(3600-3000)÷50=88(辆)
答： 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出88辆车；
（2）解：设当每辆车的月租金定为x元时， 租赁公司的月收益为306600元 ，根据题意得，
整理得，
解得，x1=4200， x2=3900
经检验，两个解都符合题意，
答：当每辆车的月租金定为4200元或3900元时，租赁公司的月收益为306600元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】月收益 =租出去车辆的租金-租出去车辆的维护费-未租出去车辆的维护费，设当每辆车的月租金定为x元，列方程进行求解即可.
14．（2023九上·遵义月考）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）解：设BC＝xm，则AB＝（39-3x）m，
由题意得：x（39-3x）＝120，
整理得：x2-13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，39-3x＝24＞15，不符合题意；当x＝8时，39-3x＝15，符合题意；
答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与8m．
（2）解：设BC＝xm，则AB＝（39-3x）m，
由题意得：x（39-3x）＝130，
整理得：3x2-39x+130＝0，
Δ＝（-39）2-4×3×130＝1521-1560＜0，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设所求长或宽为未知数，根据39米总长可以找到另一未知数的表达式，根据矩形面积可以列方程，求出x值要检验合理性，要使AB长小于等于墙长15米；
（2）思路同（1）当面积为130时求解方程，有合理的实数解则可以实现目标，否则不能。
四、综合题
15．（2021九上·江阴月考）如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.
（1）点 P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由.
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点 Q沿射线 CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
【答案】（1）解：设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6﹣x，
∴ (6﹣x) 2x= × ×6×8，
∴x2﹣6x+12=0.
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）解：设t秒后，△PBQ的面积为1.分三种情况讨论：
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4.
由题意知： (6﹣t)(8﹣2t)=1，整理得：t2﹣10t+23=0，解得：t1=5+ （不合题意，应舍去），t2=5﹣ ；
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时4＜t≤6，由题意知： (6﹣t)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=t2=5.
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时t＞6，由题意知： (t﹣6)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=5+ ，t2=5- （不合题意，应舍去）.
综上所述：经过5- 秒、5秒或5+ 秒后，△PBQ的面积为1cm2.
故答案为：（1）不能；（2）5﹣ 秒、5秒或5+ 秒.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6-x，结合题意可得(6-x)·2x=××6×8，据此判断；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1，当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4，由题意可得：(6-t)(8-2t)=1，求解即可；同理可求出点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上；点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上，对应的t的值.
16．（2019九上·揭阳月考）已知：如图所示．在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．
【答案】（1）解：设t秒后，则：AP=tcm，BP=（5﹣t）cm；BQ=2tcm．
S△PBQ=BP×BQ，即 ，解得：t=1或4．（t=4秒不合题意，舍去）
故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）解：∵PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2，即25=（5﹣t）2+（2t）2，t=0（舍）或2．
故2秒后，PQ的长度为5cm．
（3）解：令S△PQB=7，即：BP× =7， ，整理得：t2﹣5t+7=0．
由于b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，则方程没有实数根．
所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm则△PBQ的面积等于 ×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出正确的解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令 ×2x（5-x）=7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
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