2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.1.1 相交线 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023七下·南明月考）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·石家庄期末） 下列图形中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·红花岗模拟） 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各图形中，有对顶角的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
5．如图所示，直线AB，CD相交于点O，若∠1+∠2=100°，则∠BOC等于（ ）
A．130° B．140°
C．150°或 125° D．160°
6．如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．（2023八上·江油开学考）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示.小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块.图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是 ( )
A．∠BCD B．∠FDB
C．∠BDN D．∠CDB
8．（2020七上·包河期末）若四条直线在平面内交点的个数为 ，则 的可能取值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题
9．（2023七下·绥中期末）如图，AB、CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON是直角，∠AOC=50°，则∠DON的度数是 .
10．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(7x- 80)°和(100-2x)°，则x=
11．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，∠α与∠β一定相等的图形有 (填序号)
12．（2023七下·都昌期末）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ．
三、解答题
13．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠COB-30°，则∠AOE=度．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠COB．已知∠EOC=60°，求∠AOD和∠BOD的度数．
四、综合题
15．（2023七下·新疆期末）如图，直线，相交于点平分，，．求：
（1）的度数；
（2）的度数．
16．（2022七下·襄州期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.
（1）若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义知：C项中与是对顶角.
故答案为：C.
【分析】有公共顶点的两个角且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，像这样的两个角是对顶角，据此逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】A、根据图形可得，∠1与∠2是补角，但不一定相等，∴A不符合题意；
B、∵两直线平行，内错角相等，但是图中两直线并不一定平行，∴∠1与∠2不一定相等，∴B不符合题意；
C、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，∴C符合题意；
D、∵∠2是三角形的外角，∴∠2＞∠1，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质，三角形的外角及对顶角的性质逐项判断即可.
3．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图可知：∠1=30°
故答案为：A
【分析】根据对顶角相等性质即可求出答案。
4．【答案】B
【知识点】相交线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵B中有两条直线相交，
∴B中有对顶角.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的概念（ 即如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角 ）即可逐项判断.
5．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】∵∠1+∠2=100° ，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的性质和已知条件求出∠1的度数，利用邻补角求出∠BOC的度数.
6．【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；相交线
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴如果有和直线a平行的直线，只能是一条，
即与直线a相交的直线至少有3条，
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，据此即可求解.
7．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】 解：观察图形可得：∠PDM的对顶角是∠BDN，
故答案为：C．
【分析】 根据对顶角的定义，结合图形判断求解即可。
8．【答案】D
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：图1：当四条直线平行时，无交点；
图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点；
图3：当两两直线平行时，有4个交点；
图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点；
图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点；
图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；
图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点；
综上所述，共7种情况，6种交点个数，
故答案为：D．
【分析】根据直线与直线的位置关系，列出所有情况即可，四条直线的位置关系可能有互不平行，两条平行，三条平行，四条平行四种情况，注意不要漏掉
9．【答案】65°
【知识点】角的大小比较；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=∠AOC=50°，
∵OM平分∠BOD，
∴∠DOM=∠BOD=25°，
∵∠MON=90°，
∴∠DON=∠MON-∠DOM=90°-25°=65°.
故答案为：65°.
【分析】由对顶角相等得∠BOD=∠AOC=50°，由角平分线的定义得∠DOM=∠BOD=25°，进而根据角的和差，由∠DON=∠MON-∠DOM可算出答案.
10．【答案】20或32
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】根据题意可得，
(7x- 80)°=(100-2x)°或(7x- 80) °+(100-2x)°= 180° ，
解得x=20或x=32．
【分析】根据两直线相交形成四个角，其中的两个角可能是对顶角也有可能是邻补角，利用对顶角相等和邻补角互补即可求出x的两个值.
11．【答案】①③
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①∵∠α与∠β是对顶角，∴∠α=∠β，
②∵∠α=45°，∠β=60°，∴∠α≠∠β，
③∵∠α与∠β是同一个角的余角，∴∠α=∠β，
④∵∠α=135°，∠β=120°，∴∠α≠∠β，
∴∠α与∠β一定相等的图形有①③.
故答案为：①③.
【分析】根据对顶角的性质可判断①；由三角尺的性质、角的和差和为90°的两个角互为余角可判断②；根据同角的余角相等可判断③；根据三角尺的性质及和为180°的两个角互为补角可判断④.
12．【答案】或
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：①当两角为对顶角时，2x-10=100-x，解得x=；
②当两角为邻补角时，2x-10+100-x=180，解得：x=90；
综上，x的值为或，
故答案为：或.
【分析】分类讨论，①当两角为对顶角时，②当两角为邻补角时，再分别列出方程求解即可.
13．【答案】解：∵∠AOC+∠COB=180°，∠AOC=∠COB-30°，
∴∠COB-30°+∠COB=180°，
∴∠COB=105°，
∴∠AOC=∠COB-30°=105°-30°=75°，
∴∠BOD=∠AOC=75°，∠DOA=∠COB=105°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD=1/2
∠BOD＝1/2
×75°＝37.5°，
∴∠AOE=∠DOA+∠EOD=105°+37.5°=142.5°.
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；邻补角互补，即和为180°得出∠AOC+∠COB=180°，结合已知∠AOC=∠COB-30°即可求出∠AOC、∠COB的度数，再根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；对顶角相等求出∠BOD、∠DOA的度数，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出∠EOD的度数，即可求出∠AOE的度数.
14．【答案】解：∵OE平分∠COB，
∴∠COB=2∠EOC，
∵∠EOC=60°，
∴∠COB=2×60°=120°，
∴∠AOD=∠COB=120°，
∠BOD=180°-∠AOD=180°-120°=60°.
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠COB=2∠EOC；再根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；对顶角相等求出∠AOD的度数；根据两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角；一个角与它的邻补角的和等于180°列式求出∠BOD即可求解.
15．【答案】（1）解：∵平分，，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴
∵，
∴
∴.
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线求出 ， 再计算求解即可；
（2）根据对顶角求出，再计算求解即可。
16．【答案】（1）解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠EOF＝55°，OD⊥OF，
∴∠DOE＝35°，
∴∠BOE＝35°，
∴∠AOC＝70°；
（2）解：∵OF平分∠COE，
∴∠COF＝∠EOF，
∵∠BOF＝15°，
∴设∠DOE＝∠BOE＝x，
则∠COF＝x+15°，
∴x+15°+x+15°+x＝180°，
解得：x＝50°，
故∠DOE的度数为：50°.
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念得∠BOE＝∠DOE，由余角的性质得∠DOE=90°-∠EOF=35°，据此可得∠BOD的度数，然后根据对顶角的性质进行解答；
（2）根据角平分线的概念可得∠COF＝∠EOF，设∠DOE＝∠BOE＝x，则∠COF＝x+15°，然后根据平角的概念进行计算.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.1.1 相交线 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023七下·南明月考）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义知：C项中与是对顶角.
故答案为：C.
【分析】有公共顶点的两个角且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，像这样的两个角是对顶角，据此逐项判断即可.
2．（2023七下·石家庄期末） 下列图形中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】A、根据图形可得，∠1与∠2是补角，但不一定相等，∴A不符合题意；
B、∵两直线平行，内错角相等，但是图中两直线并不一定平行，∴∠1与∠2不一定相等，∴B不符合题意；
C、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，∴C符合题意；
D、∵∠2是三角形的外角，∴∠2＞∠1，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质，三角形的外角及对顶角的性质逐项判断即可.
3．（2023·红花岗模拟） 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图可知：∠1=30°
故答案为：A
【分析】根据对顶角相等性质即可求出答案。
4．下列各图形中，有对顶角的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【知识点】相交线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵B中有两条直线相交，
∴B中有对顶角.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的概念（ 即如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角 ）即可逐项判断.
5．如图所示，直线AB，CD相交于点O，若∠1+∠2=100°，则∠BOC等于（ ）
A．130° B．140°
C．150°或 125° D．160°
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】∵∠1+∠2=100° ，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的性质和已知条件求出∠1的度数，利用邻补角求出∠BOC的度数.
6．如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；相交线
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴如果有和直线a平行的直线，只能是一条，
即与直线a相交的直线至少有3条，
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，据此即可求解.
7．（2023八上·江油开学考）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示.小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块.图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是 ( )
A．∠BCD B．∠FDB
C．∠BDN D．∠CDB
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】 解：观察图形可得：∠PDM的对顶角是∠BDN，
故答案为：C．
【分析】 根据对顶角的定义，结合图形判断求解即可。
8．（2020七上·包河期末）若四条直线在平面内交点的个数为 ，则 的可能取值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：图1：当四条直线平行时，无交点；
图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点；
图3：当两两直线平行时，有4个交点；
图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点；
图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点；
图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；
图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点；
综上所述，共7种情况，6种交点个数，
故答案为：D．
【分析】根据直线与直线的位置关系，列出所有情况即可，四条直线的位置关系可能有互不平行，两条平行，三条平行，四条平行四种情况，注意不要漏掉
二、填空题
9．（2023七下·绥中期末）如图，AB、CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON是直角，∠AOC=50°，则∠DON的度数是 .
【答案】65°
【知识点】角的大小比较；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=∠AOC=50°，
∵OM平分∠BOD，
∴∠DOM=∠BOD=25°，
∵∠MON=90°，
∴∠DON=∠MON-∠DOM=90°-25°=65°.
故答案为：65°.
【分析】由对顶角相等得∠BOD=∠AOC=50°，由角平分线的定义得∠DOM=∠BOD=25°，进而根据角的和差，由∠DON=∠MON-∠DOM可算出答案.
10．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(7x- 80)°和(100-2x)°，则x=
【答案】20或32
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】根据题意可得，
(7x- 80)°=(100-2x)°或(7x- 80) °+(100-2x)°= 180° ，
解得x=20或x=32．
【分析】根据两直线相交形成四个角，其中的两个角可能是对顶角也有可能是邻补角，利用对顶角相等和邻补角互补即可求出x的两个值.
11．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，∠α与∠β一定相等的图形有 (填序号)
【答案】①③
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①∵∠α与∠β是对顶角，∴∠α=∠β，
②∵∠α=45°，∠β=60°，∴∠α≠∠β，
③∵∠α与∠β是同一个角的余角，∴∠α=∠β，
④∵∠α=135°，∠β=120°，∴∠α≠∠β，
∴∠α与∠β一定相等的图形有①③.
故答案为：①③.
【分析】根据对顶角的性质可判断①；由三角尺的性质、角的和差和为90°的两个角互为余角可判断②；根据同角的余角相等可判断③；根据三角尺的性质及和为180°的两个角互为补角可判断④.
12．（2023七下·都昌期末）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ．
【答案】或
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：①当两角为对顶角时，2x-10=100-x，解得x=；
②当两角为邻补角时，2x-10+100-x=180，解得：x=90；
综上，x的值为或，
故答案为：或.
【分析】分类讨论，①当两角为对顶角时，②当两角为邻补角时，再分别列出方程求解即可.
三、解答题
13．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠COB-30°，则∠AOE=度．
【答案】解：∵∠AOC+∠COB=180°，∠AOC=∠COB-30°，
∴∠COB-30°+∠COB=180°，
∴∠COB=105°，
∴∠AOC=∠COB-30°=105°-30°=75°，
∴∠BOD=∠AOC=75°，∠DOA=∠COB=105°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD=1/2
∠BOD＝1/2
×75°＝37.5°，
∴∠AOE=∠DOA+∠EOD=105°+37.5°=142.5°.
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；邻补角互补，即和为180°得出∠AOC+∠COB=180°，结合已知∠AOC=∠COB-30°即可求出∠AOC、∠COB的度数，再根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；对顶角相等求出∠BOD、∠DOA的度数，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出∠EOD的度数，即可求出∠AOE的度数.
14．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠COB．已知∠EOC=60°，求∠AOD和∠BOD的度数．
【答案】解：∵OE平分∠COB，
∴∠COB=2∠EOC，
∵∠EOC=60°，
∴∠COB=2×60°=120°，
∴∠AOD=∠COB=120°，
∠BOD=180°-∠AOD=180°-120°=60°.
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠COB=2∠EOC；再根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；对顶角相等求出∠AOD的度数；根据两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角；一个角与它的邻补角的和等于180°列式求出∠BOD即可求解.
四、综合题
15．（2023七下·新疆期末）如图，直线，相交于点平分，，．求：
（1）的度数；
（2）的度数．
【答案】（1）解：∵平分，，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴
∵，
∴
∴.
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线求出 ， 再计算求解即可；
（2）根据对顶角求出，再计算求解即可。
16．（2022七下·襄州期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.
（1）若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数.
【答案】（1）解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠EOF＝55°，OD⊥OF，
∴∠DOE＝35°，
∴∠BOE＝35°，
∴∠AOC＝70°；
（2）解：∵OF平分∠COE，
∴∠COF＝∠EOF，
∵∠BOF＝15°，
∴设∠DOE＝∠BOE＝x，
则∠COF＝x+15°，
∴x+15°+x+15°+x＝180°，
解得：x＝50°，
故∠DOE的度数为：50°.
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念得∠BOE＝∠DOE，由余角的性质得∠DOE=90°-∠EOF=35°，据此可得∠BOD的度数，然后根据对顶角的性质进行解答；
（2）根据角平分线的概念可得∠COF＝∠EOF，设∠DOE＝∠BOE＝x，则∠COF＝x+15°，然后根据平角的概念进行计算.
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