2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.1.1 图形的旋转 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·禄劝期中）下列运动属于数学上的旋转的是（ ）
A．乘坐升降电梯
B．地球绕太阳转动
C．钟表上的时针运动
D．将等腰三角形沿着底边上的高对折
2．（2023九上·章贡期中）在正方形网格中有，绕O点按逆时针旋转90°后的图案应该是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022七上·昌黎期中）图1的摩天轮上以等间隔的方式设置个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为号到号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费分钟．若图2表示号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，号车厢才会运行到最高点？（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·通道期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则说法正确的是 （ ）
A．绕点P逆时针旋转 B．绕点N逆时针旋转
C．绕点Q顺时针旋转 D．绕点M顺时针旋转
5．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，4) ，将OA绕原点O顺时针旋转180°得到OA'，则点A'的坐标是（ ）
A．(-4，3) B．(-3，-4) C．(-4，-3) D．(-3，4)
6．（2023九上·东光期中）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是（ ）
A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
7．如图，将一个直角三角尺直立在桌面上向右翻滚．下列四个说法中，正确的个数是（ ）．
①图①→图②是旋转；②图①→图③是平移；
③图①→图④是平移； ④图②→图③是旋转．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图所示，已知在6×4的正方形网格中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）.
A．点 B．点 C．点 D．点
二、填空题
9．（2023九上·随县期中）将点绕原点顺时针旋转对应的点坐标为 ．
10．（2023九上·肇源月考）一串有趣的图案按一定的规律排列(如图)：
按此规律在右边的圆中画出的第2011个图案： .
11．如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1=70°
．若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转 .
12．（2023九上·黄浦期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接，那么的正切值为 ．
13．（2023九上·榆树月考）如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若，，则的度数为 ．
三、解答题
14．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，在中，，以点为旋转中心，把逆时针旋转，得到，连接，求的长．
15．（2022九上·西城开学考）在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F．
（1）在图1中补全图形；
（2）①求证：EF＝CF．
②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明；
（3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为 ．
四、综合题
16．（2023七下·上蔡期末）如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，①②③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫做格点）.
（1）图中，①经过一次 变换（填“平移”“轴对称”或“旋转”）可以得到②；
（2）图中，③是由①经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是 （填“A”“B”“C”或“D”）；
（3）在图中画出①关于直线l成轴对称的图形④.
17．（2023七下·鹤壁期末）如图所示，已知，，，交于点M，交于点P．
（1）试说明：；
（2）可以经过某种变换得到，请你描述这个变换；
（3）求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：A是平移，不符合题意；
B不是旋转，不符合题意；
C是旋转，符合题意；
D是折叠，不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据旋转的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：根据旋转的性质：旋转前后的图形全等，旋转角相等，
对应点到旋转中心的距离相等，及旋转的方向得：
△ABC绕O点按逆时针旋转90°后的图案是A，
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质逐一分析判定。
3．【答案】B
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：
∴ 经过20分后，9号车厢才会运行到最高点。
故答案为：B
【分析】本题考查旋转的知识。读懂题意，明确从21号旋转到9号所旋转的角度占圆的大小比例是解题之重，再根据一圈花费的时间来计算。
4．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，A、B、C的对应点分别是D、E、F，
A、∵PC≠PF，∴点P不是旋转中心，A不符合题意；
B、∵NA=ND，NB=NE，NC=NF，∠AND=∠BNE=∠CNF=90°，∴两图形绕点N逆时针旋转90°得到，B符合题意；
C、∵QC≠QF，∴点Q不是旋转中心，C不符合题意；
D、∵MA≠MD，∴点M不是旋转中心，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据旋转的定义和性质结合图形即可求解.
5．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】因为点A的坐标为(3,4)，将OA绕O顺时针旋转180°得到OA',则可得出A与A'关于原点对称, 则A'=(- 3,-4)
故答案为:B
【分析】本题中考查在平面坐标系中，点的坐标，以及考查线段绕点逆时针旋转后，得到的另一条直线，可通过建立坐标，即可得到解.
6．【答案】D
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案；图形的平移
【解析】【解答】根据图形可得，图案（3）由图案（1）不可以用平移得到，
故答案为：D.
【分析】利用平移、轴对称、旋转和中心对称的性质分析求解即可.
7．【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：由图形可知：图①→图②是旋转， 图①→图③是旋转； 图①→图④是平移； 图②→图③是旋转；
∴正确的个数为3.
故答案为：C.
【分析】旋转是在一个平面内将一个图形绕着某一个点，按某个方向转动一个角度，观察图形可得到是旋转的正确结论的个数.
8．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，
∵图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等，
∴甲经过旋转后得到格点三角形乙，其旋转中心是点N.
故答案为：B.
【分析】利用旋转的性质：图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等，利用图形，可得到其旋转中心.
9．【答案】
【知识点】点的坐标；图形的旋转
【解析】【解答】解：
如图，点绕原点顺时针旋转90°对应的点C.
故答案为：.
【分析】根据题意，利用图象解决问题即可．
10．【答案】
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：第二个图形是第一个图形旋转90°所得；
第三个图形是第二个图形旋转90°所得；
第四个图形是第三个图形旋转90°所得；
第五个图形与第一个图形相同；
∵2011÷4=5023
∴第2011个图形与第三个图形相同
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质和图形的规律，分析可知每四个图形一循环，看2011除以4以后得余数即可.
11．【答案】20°
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】如图所示：过点A作b′∥a．
∵b′∥a，
∴∠2＝180°-∠1＝180°-70°＝110°，
∴旋转角＝110°-90°＝20°．
【分析】首先画出旋转后的图形，然后求得∠2的度数，旋转角度＝∠2-90°．
12．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；解直角三角形；图形的旋转
【解析】【解答】解：设点C落在射线上的点处，如图，
∵，，.
设，，
则，
∵是的角平分线，
∴，
∵将绕点A旋转，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
由①②得：，
由旋转的性质可知，，
∴，
故答案为：．
【分析】设AC＝3x，BC＝4x，则AB=5x。AE＝5x。证明AC′∥BC，得，再结合AD+BD＝5x，求出AD，可计算出∠AED的正切值。
13．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；图形的旋转
【解析】【解答】解：
由旋转可知AE＝AC＝1，
当＝90°时，∠CAE＝90°，
∴
故答案为：90°
【分析】根据旋转的性质可知AE＝AC＝1，结合CE＝，可知只有当∠CAE＝90°时，满足条件。
14．【答案】解：．
【知识点】勾股定理；图形的旋转
【解析】【解答】∵∠C=90°，∠BAC=30°，BC=2，
∴AB=2BC=2×2=4，
∵以点为旋转中心，把逆时针旋转，得到，
∴AB=A'B=4，∠ABA'=90°，
∴，
故答案为：.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB=2BC=2×2=4，再利用旋转的性质及勾股定理求出AA'的长即可.
15．【答案】（1）解：补全图形如图1所示：
（2）解：①证明：如图1所示
∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴PA＝PE，∠APE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，
∵EFBC于F，
∴∠PFE＝90°＝∠ABP，
∴∠EPF+∠PEF＝90，∠APB+∠EPF＝90，
∴∠APB＝∠PEF，
在△APB和△PEF中，
，
∴△APB≌△PEF（AAS），
∴PB＝EF，AB＝PF，
∵AB＝BC，
∴BC＝PF，
∴PB＝CF，
∴EF＝CF；
②解：结论：CP-CD＝CE．
理由：∵CD＝CB，
∴CP-CD＝CP-CB＝PB＝CF，
∵EF＝CF，∠CFE＝90°，
∴CF＝CE，
∴CP-CD＝CE；
（3）CE＝（CD CP）或CE＝（CD+CP）
【知识点】正方形的性质；图形的旋转；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1） 补全图形如图1所示：
(2)、解：①证明：如图1所示∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴PA＝PE，∠APE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，
∵EFBC于F，
∴∠PFE＝90°＝∠ABP，
∴∠EPF+∠PEF＝90，∠APB+∠EPF＝90，
∴∠APB＝∠PEF，
在△APB和△PEF中，
，
∴△APB≌△PEF（AAS），
∴PB＝EF，AB＝PF，
∵AB＝BC，
∴BC＝PF，
∴PB＝CF，
∴EF＝CF；
②解：结论：CP-CD＝CE．
理由：∵CD＝CB，
∴CP-CD＝CP-CB＝PB＝CF，
∵EF＝CF，∠CFE＝90°，
∴CF＝CE，
∴CP-CD＝CE；
（3）分两种情况：
①当点P在线段BC上时：CE＝（CD-CP），理由如下：
在BA上截取BM＝BP，连接PM．
则△PBM是等腰直角三角形，
∴PM＝PB，∠BMP＝∠BPM＝45°，
∵AB＝BC，
∴AM＝PC，
由旋转的性质得：PE＝PA，∠APE＝90°，
∴∠APM+∠CPE＝180-90°-45°＝45°，
又∵∠MAP+∠APM＝∠BMP＝45°，
∴∠MAP＝∠CPE，
在△PCE和△AMP中，
，
∴△PCE≌△AMP（SAS），
∴CE＝PM，
∵CD-PC＝BC-PC＝BP，
∴CE＝PM＝BP＝（CD-CP）；
②当点P在线段BC的延长线上时，CE＝（CD+CP），理由如下：
在BA上截取BM＝BP，连接PM，如图4所示：
则△PBM是等腰直角三角形，PM＝BP．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠DAM＝∠BAD＝90°，ADBC，
∴AM＝PC，∠DAP＝∠APB，
由旋转的性质得：PE＝PA，∠APE＝90°，
∴∠PAM＝∠EPC，
在△PCE和△AMP中，
，
∴△PCE≌△AMP（SAS），
∴CE＝PM，
∵CD+CP＝BC+CP＝BP，
∴CE＝PM＝BP＝（CD+CP）；
故答案为：CE＝（CD-CP）或CE＝（CD+CP）．
【分析】（1）根据题意作图即可.
（2） ① 根据四边形ABCD是正方形，求出∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，证明△APB≌△PEF（AAS），通过线段的等量代换即可证明；②CD＝CB，通过线段的等量代换即可证明.
（3）分两种情况：①当点P在线段BC上时：CE＝（CD-CP），证明△PCE≌△AMP（SAS），求出CE＝PM＝BP＝（CD-CP）②当点P在线段BC的延长线上时，CE＝（CD+CP），证明△PCE≌△AMP（SAS），求出CE＝PM＝BP＝（CD+CP）.
16．【答案】（1）平移
（2）D
（3）如图
【知识点】作图﹣轴对称；平移的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）根据图①、②可得：①经过平移变换可以得到②；
故答案为：平移.
（2）图中，③是由①经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点D；
故答案为：D.
【分析】（1）平移不改变图形的形状、大小与方向，据此判断；
（2）连接①、③中的对应点，然后作垂直平分线，交点即为旋转中心；
（3）找出①三角形中三个顶点关于直线l的对称点，顺次连接即可得到图形④.
17．【答案】（1），
．
．
．
（2）绕点顺时针旋转可以得到．
（3）由（1）知．
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；图形的旋转
【解析】【分析】(1)利用全等三角形的性质可得相等，进而得到 .
(2)观察图形可得 绕点顺时针旋转得度数可以得到.
(3)利用三角形的内角和定理求出的度数.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.1.1 图形的旋转 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·禄劝期中）下列运动属于数学上的旋转的是（ ）
A．乘坐升降电梯
B．地球绕太阳转动
C．钟表上的时针运动
D．将等腰三角形沿着底边上的高对折
【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：A是平移，不符合题意；
B不是旋转，不符合题意；
C是旋转，符合题意；
D是折叠，不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据旋转的定义即可求出答案.
2．（2023九上·章贡期中）在正方形网格中有，绕O点按逆时针旋转90°后的图案应该是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：根据旋转的性质：旋转前后的图形全等，旋转角相等，
对应点到旋转中心的距离相等，及旋转的方向得：
△ABC绕O点按逆时针旋转90°后的图案是A，
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质逐一分析判定。
3．（2022七上·昌黎期中）图1的摩天轮上以等间隔的方式设置个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为号到号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费分钟．若图2表示号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，号车厢才会运行到最高点？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：
∴ 经过20分后，9号车厢才会运行到最高点。
故答案为：B
【分析】本题考查旋转的知识。读懂题意，明确从21号旋转到9号所旋转的角度占圆的大小比例是解题之重，再根据一圈花费的时间来计算。
4．（2023七下·通道期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则说法正确的是 （ ）
A．绕点P逆时针旋转 B．绕点N逆时针旋转
C．绕点Q顺时针旋转 D．绕点M顺时针旋转
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，A、B、C的对应点分别是D、E、F，
A、∵PC≠PF，∴点P不是旋转中心，A不符合题意；
B、∵NA=ND，NB=NE，NC=NF，∠AND=∠BNE=∠CNF=90°，∴两图形绕点N逆时针旋转90°得到，B符合题意；
C、∵QC≠QF，∴点Q不是旋转中心，C不符合题意；
D、∵MA≠MD，∴点M不是旋转中心，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据旋转的定义和性质结合图形即可求解.
5．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，4) ，将OA绕原点O顺时针旋转180°得到OA'，则点A'的坐标是（ ）
A．(-4，3) B．(-3，-4) C．(-4，-3) D．(-3，4)
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】因为点A的坐标为(3,4)，将OA绕O顺时针旋转180°得到OA',则可得出A与A'关于原点对称, 则A'=(- 3,-4)
故答案为:B
【分析】本题中考查在平面坐标系中，点的坐标，以及考查线段绕点逆时针旋转后，得到的另一条直线，可通过建立坐标，即可得到解.
6．（2023九上·东光期中）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是（ ）
A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
【答案】D
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案；图形的平移
【解析】【解答】根据图形可得，图案（3）由图案（1）不可以用平移得到，
故答案为：D.
【分析】利用平移、轴对称、旋转和中心对称的性质分析求解即可.
7．如图，将一个直角三角尺直立在桌面上向右翻滚．下列四个说法中，正确的个数是（ ）．
①图①→图②是旋转；②图①→图③是平移；
③图①→图④是平移； ④图②→图③是旋转．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：由图形可知：图①→图②是旋转， 图①→图③是旋转； 图①→图④是平移； 图②→图③是旋转；
∴正确的个数为3.
故答案为：C.
【分析】旋转是在一个平面内将一个图形绕着某一个点，按某个方向转动一个角度，观察图形可得到是旋转的正确结论的个数.
8．如图所示，已知在6×4的正方形网格中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）.
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，
∵图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等，
∴甲经过旋转后得到格点三角形乙，其旋转中心是点N.
故答案为：B.
【分析】利用旋转的性质：图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等，利用图形，可得到其旋转中心.
二、填空题
9．（2023九上·随县期中）将点绕原点顺时针旋转对应的点坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；图形的旋转
【解析】【解答】解：
如图，点绕原点顺时针旋转90°对应的点C.
故答案为：.
【分析】根据题意，利用图象解决问题即可．
10．（2023九上·肇源月考）一串有趣的图案按一定的规律排列(如图)：
按此规律在右边的圆中画出的第2011个图案： .
【答案】
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：第二个图形是第一个图形旋转90°所得；
第三个图形是第二个图形旋转90°所得；
第四个图形是第三个图形旋转90°所得；
第五个图形与第一个图形相同；
∵2011÷4=5023
∴第2011个图形与第三个图形相同
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质和图形的规律，分析可知每四个图形一循环，看2011除以4以后得余数即可.
11．如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1=70°
．若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转 .
【答案】20°
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】如图所示：过点A作b′∥a．
∵b′∥a，
∴∠2＝180°-∠1＝180°-70°＝110°，
∴旋转角＝110°-90°＝20°．
【分析】首先画出旋转后的图形，然后求得∠2的度数，旋转角度＝∠2-90°．
12．（2023九上·黄浦期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接，那么的正切值为 ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；解直角三角形；图形的旋转
【解析】【解答】解：设点C落在射线上的点处，如图，
∵，，.
设，，
则，
∵是的角平分线，
∴，
∵将绕点A旋转，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
由①②得：，
由旋转的性质可知，，
∴，
故答案为：．
【分析】设AC＝3x，BC＝4x，则AB=5x。AE＝5x。证明AC′∥BC，得，再结合AD+BD＝5x，求出AD，可计算出∠AED的正切值。
13．（2023九上·榆树月考）如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；图形的旋转
【解析】【解答】解：
由旋转可知AE＝AC＝1，
当＝90°时，∠CAE＝90°，
∴
故答案为：90°
【分析】根据旋转的性质可知AE＝AC＝1，结合CE＝，可知只有当∠CAE＝90°时，满足条件。
三、解答题
14．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，在中，，以点为旋转中心，把逆时针旋转，得到，连接，求的长．
【答案】解：．
【知识点】勾股定理；图形的旋转
【解析】【解答】∵∠C=90°，∠BAC=30°，BC=2，
∴AB=2BC=2×2=4，
∵以点为旋转中心，把逆时针旋转，得到，
∴AB=A'B=4，∠ABA'=90°，
∴，
故答案为：.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB=2BC=2×2=4，再利用旋转的性质及勾股定理求出AA'的长即可.
15．（2022九上·西城开学考）在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F．
（1）在图1中补全图形；
（2）①求证：EF＝CF．
②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明；
（3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为 ．
【答案】（1）解：补全图形如图1所示：
（2）解：①证明：如图1所示
∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴PA＝PE，∠APE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，
∵EFBC于F，
∴∠PFE＝90°＝∠ABP，
∴∠EPF+∠PEF＝90，∠APB+∠EPF＝90，
∴∠APB＝∠PEF，
在△APB和△PEF中，
，
∴△APB≌△PEF（AAS），
∴PB＝EF，AB＝PF，
∵AB＝BC，
∴BC＝PF，
∴PB＝CF，
∴EF＝CF；
②解：结论：CP-CD＝CE．
理由：∵CD＝CB，
∴CP-CD＝CP-CB＝PB＝CF，
∵EF＝CF，∠CFE＝90°，
∴CF＝CE，
∴CP-CD＝CE；
（3）CE＝（CD CP）或CE＝（CD+CP）
【知识点】正方形的性质；图形的旋转；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1） 补全图形如图1所示：
(2)、解：①证明：如图1所示∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴PA＝PE，∠APE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，
∵EFBC于F，
∴∠PFE＝90°＝∠ABP，
∴∠EPF+∠PEF＝90，∠APB+∠EPF＝90，
∴∠APB＝∠PEF，
在△APB和△PEF中，
，
∴△APB≌△PEF（AAS），
∴PB＝EF，AB＝PF，
∵AB＝BC，
∴BC＝PF，
∴PB＝CF，
∴EF＝CF；
②解：结论：CP-CD＝CE．
理由：∵CD＝CB，
∴CP-CD＝CP-CB＝PB＝CF，
∵EF＝CF，∠CFE＝90°，
∴CF＝CE，
∴CP-CD＝CE；
（3）分两种情况：
①当点P在线段BC上时：CE＝（CD-CP），理由如下：
在BA上截取BM＝BP，连接PM．
则△PBM是等腰直角三角形，
∴PM＝PB，∠BMP＝∠BPM＝45°，
∵AB＝BC，
∴AM＝PC，
由旋转的性质得：PE＝PA，∠APE＝90°，
∴∠APM+∠CPE＝180-90°-45°＝45°，
又∵∠MAP+∠APM＝∠BMP＝45°，
∴∠MAP＝∠CPE，
在△PCE和△AMP中，
，
∴△PCE≌△AMP（SAS），
∴CE＝PM，
∵CD-PC＝BC-PC＝BP，
∴CE＝PM＝BP＝（CD-CP）；
②当点P在线段BC的延长线上时，CE＝（CD+CP），理由如下：
在BA上截取BM＝BP，连接PM，如图4所示：
则△PBM是等腰直角三角形，PM＝BP．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠DAM＝∠BAD＝90°，ADBC，
∴AM＝PC，∠DAP＝∠APB，
由旋转的性质得：PE＝PA，∠APE＝90°，
∴∠PAM＝∠EPC，
在△PCE和△AMP中，
，
∴△PCE≌△AMP（SAS），
∴CE＝PM，
∵CD+CP＝BC+CP＝BP，
∴CE＝PM＝BP＝（CD+CP）；
故答案为：CE＝（CD-CP）或CE＝（CD+CP）．
【分析】（1）根据题意作图即可.
（2） ① 根据四边形ABCD是正方形，求出∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，证明△APB≌△PEF（AAS），通过线段的等量代换即可证明；②CD＝CB，通过线段的等量代换即可证明.
（3）分两种情况：①当点P在线段BC上时：CE＝（CD-CP），证明△PCE≌△AMP（SAS），求出CE＝PM＝BP＝（CD-CP）②当点P在线段BC的延长线上时，CE＝（CD+CP），证明△PCE≌△AMP（SAS），求出CE＝PM＝BP＝（CD+CP）.
四、综合题
16．（2023七下·上蔡期末）如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，①②③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫做格点）.
（1）图中，①经过一次 变换（填“平移”“轴对称”或“旋转”）可以得到②；
（2）图中，③是由①经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是 （填“A”“B”“C”或“D”）；
（3）在图中画出①关于直线l成轴对称的图形④.
【答案】（1）平移
（2）D
（3）如图
【知识点】作图﹣轴对称；平移的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）根据图①、②可得：①经过平移变换可以得到②；
故答案为：平移.
（2）图中，③是由①经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点D；
故答案为：D.
【分析】（1）平移不改变图形的形状、大小与方向，据此判断；
（2）连接①、③中的对应点，然后作垂直平分线，交点即为旋转中心；
（3）找出①三角形中三个顶点关于直线l的对称点，顺次连接即可得到图形④.
17．（2023七下·鹤壁期末）如图所示，已知，，，交于点M，交于点P．
（1）试说明：；
（2）可以经过某种变换得到，请你描述这个变换；
（3）求的度数．
【答案】（1），
．
．
．
（2）绕点顺时针旋转可以得到．
（3）由（1）知．
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；图形的旋转
【解析】【分析】(1)利用全等三角形的性质可得相等，进而得到 .
(2)观察图形可得 绕点顺时针旋转得度数可以得到.
(3)利用三角形的内角和定理求出的度数.
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