2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.1 点与圆的位置关系以及圆的有关概念 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·淮南月考）已知点P在半径为的圆内，则点P到圆心的距离可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ∵点P在半径为的圆内 ，
∴ 点P到圆心的距离＜5cm，
∴ 点P到圆心的距离可以是2cm.
故答案为：A.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此解答即可.
2．（2022·路南模拟）在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵在平面内与点的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上，
∴在平面内与点的距离为1cm的点的个数为无数个，
故答案为：A．
【分析】利用圆的定义及数学常识求解即可。
3．（2023九上·杭州开学考）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：的半径是，中最长的弦长是直径等于， 中最长的弦长是 .
故答案为：B.
【分析】根据圆的定义，和弦长的概念求解.
4．（2020九上·南京期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【答案】D
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、完全重合的弧就是等弧，故原说法错误.
故答案为：D.
【分析】根据圆的基本性质可得：直径是最长的弦； 同圆中，所有的半径都相等 ； 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 ；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，从而即可一一判断得出答案.
5．（2023·台州）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；正方形的性质；圆的认识；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，设点B为圆上任意一点，点D为正方形边上一点，连接BD、OC、OA、AB，
由三角形三边关系可得OB-OD＜BD，OB是圆的半径为定值，当点D在点A时，取得OD取得最大值为OA，
∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB-OA，由题意得AC=4，OB=4，
∵点O为正方形的中心，
∴OA⊥OC，OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴OA=，
∴ 圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为OB-OA=4-.
故答案为：D.
【分析】由三角形三边关系可得OB-OD＜BD，OB是圆的半径为定值，当点D在点A时，取得OD取得最大值为OA，从而得出当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB-AB，进而根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质即可求解.
6．（2023九上·无为月考）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作，点M的坐标是，则点M与的位置关系是（ ）．
A．点M在圆内 B．点M在圆外 C．点M在圆上 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】点M的坐标是，
点M到原点O的距离为，
的半径为2，
，
点M在圆内 ，
故答案为：A.
【分析】根据点M的坐标得到点M离圆心的距离，结合圆的半径即可求解.
7．（2023九上·娄底月考）如图，点P（-2a，a）是反比例函数y＝的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝- B．y＝- C．y＝- D．y＝-
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，根据反比例函数和圆的对称性得：，
解得：，（负根舍去）
∵点P（-2a，a）是⊙O的一个点，
∴，
整理，得a2=8，
∵点P（-2a，a）是反比例函数y＝的图象 上，
∴，
该反比例函数的表达式为。
故答案为：D。
【分析】根据反比例函数和圆的对称性得阴影部分的面积之和为圆的面积的四分之一，据此计算圆的半径，再利用圆上点P的坐标计算a的值，最后利用点P在反比例函数图象上求K的值。
8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠BOC=100°，AD∥OC，则∠AOD的度数是（ ）．
A．20° B．60° C．50° D．40°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵ ∠BOC=100°，
∴∠AOC=180°-100°=80°，
∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠A=80°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠D=80°，
∴∠AOD=180°-∠A-∠D=180°-80°-80°=20°.
故答案为：A.
【分析】利用已知可求出∠AOC的度数，利用平行线的性质可求出∠A的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠AOD的度数.
二、填空题
9．（2023九上·杭州期中）已知⊙O的面积为25π，点P在圆上，则OP= ．
【答案】5
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设该圆的半径为r，解得：r=5，∴OP=5.
故答案为：5.
【分析】由⊙O的面积为25π，即可求出该圆的半径，点P在圆上，半径的长就是OP的长.
10．（2023九上·前郭尔罗斯期中）已知⊙O的半径为2cm，则⊙O最长的弦为 cm．
【答案】4
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O的半径为2cm，
∴⊙O最长弦为4 cm，
故答案为：4.
【分析】根据直径是圆中最长的弦求解．
11．圆是轴对称图形，每一条 的直线都是它的对称轴．
【答案】过圆心(直径所在)
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】因为直径将一个圆分为两个全等的半圆，也就是沿直径对折后，直径两侧的部分能重合，所以直径所在的直线是圆的对称轴，也就过圆心的直线都是它的对称轴.
【分析】根据直径所在的直线是圆的对称轴作答.
12．（2016九上·江岸期中）已知同一平面内存在⊙O和点P，点P与⊙O上的点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为 ．
【答案】3或5
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：P在⊙O内，直径为8+2=10，半径为5，
P在⊙O外，直径为8﹣2=6，半径为3，
故答案为：3或5．
【分析】根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．
13．（2023八下·景德镇期中）如图，在直线上有相距的两点A和（点A在点的右侧），以为圆心作半径为2cm的圆，过点A作直线.将以2cm/s的速度向右移动（点始终在直线上），则经过 秒时，与直线相切.
【答案】5或7
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵AB⊥l，∴当OA=2时，圆O与直线AB相切，又∵12-2=10，∴10÷2=5或者12+2=14，14÷2=7.
故第1空答案为：5或7.
【分析】根据直线和圆的位置关系，当圆心到直线的距离等于半径的长度时，直线和圆相切，所以当直线AB在点O的右侧时，圆O移动的距离为10，当直线AB在点O左侧时，圆O移动的距离为14，根据移动的速度，分别求出时间即可。
三、综合题
14．（2021九上·信都月考）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
【答案】（1）解：点A在⊙C外，则AC>r，即r<3
即当r<3时，点A在在⊙C外；
（2）解：点A在⊙C内，则AC3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4，
综合起来，当3【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先求出 r<3 ，再求解即可；
（2）分类讨论，计算求解即可。
15．（2022·柳南模拟）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线在第一象限上的点，连接AC，CP，AP，若沿着直线AP翻折后点C的对应点E恰好落在x轴上，求P点的坐标；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使得是锐角？若存在，求出点M的纵坐标m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设，
把C（0，4）代入上式，得：，
解得：，
∴（也可写作）；
（2）解：如图2，设AP交OC于点F，设F（0，t），连接EF，
在Rt△AOC中，，，
由勾股定理可得：，
根据题意，得：，
∴，AP平分，
∴，点E坐标为（2，0），
∵AP平分，
∴由对称性得，
在Rt△EOF中，由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
∴点F坐标为F（0，），
设直线AF的表达式，
将点代入上式，得：，
解得：，
∴直线AF的解析式为：，
∴联立抛物线和直线AF的解析式，得：，
解得：（舍弃）或，
∴P（，）；
（3）解：如图3，以AC为直径作⊙N，交对称轴l与S、T两点，作于Q，NQ交y轴于J，连接NS， 设点M（，m），
∵， ，N为AC的中点，
∴N为，
∵抛物线的对称轴方程是直线，
又由（2）知，，即⊙N直径是5，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
同理可得：，
∴S，T的坐标分别为（，）和（，），
根据点与圆的位置关系：圆外角<圆周角=90°，
∴当，时，，
设直线AN解析式为：，
将点， 代入上式可得：，
解得：，
∴直线AN解析式为：，
当时，，
而时，A，C，M三点共线，
∴当，且时，是锐角.
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意可设y=a(x+3)(x-4)，将C（0，4）代入求出a的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）设AP交OC于点F，设F（0，t），连接EF，利用勾股定理可得AC，根据折叠的性质可得△APC≌
△APE，得到AE=AC=5，AP平分∠CAE，则E（2，0），由对称性可得EF=CF=4-t，根据勾股定理可得t的值，得到点F的坐标，然后求出直线AF的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标；
（3）以AC为直径作⊙N，交对称轴l与S、T两点，作NQ⊥l于Q，NQ交y轴于J，连接NS，设M（，m），则N（，2），易得NQ、NS的值，利用勾股定理求出SQ，同理可得TQ，据此可得点S、T的坐标，根据点与圆的位置关系：圆外角<圆周角=90°可得当m>，m<时，∠AMC<90°，求出直线AN的解析式，易得当m=时，A，C，M三点共线，据此解答.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.1 点与圆的位置关系以及圆的有关概念 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·淮南月考）已知点P在半径为的圆内，则点P到圆心的距离可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·路南模拟）在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2023九上·杭州开学考）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·南京期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
5．（2023·台州）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．
A． B．2 C． D．
6．（2023九上·无为月考）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作，点M的坐标是，则点M与的位置关系是（ ）．
A．点M在圆内 B．点M在圆外 C．点M在圆上 D．无法确定
7．（2023九上·娄底月考）如图，点P（-2a，a）是反比例函数y＝的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝- B．y＝- C．y＝- D．y＝-
8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠BOC=100°，AD∥OC，则∠AOD的度数是（ ）．
A．20° B．60° C．50° D．40°
二、填空题
9．（2023九上·杭州期中）已知⊙O的面积为25π，点P在圆上，则OP= ．
10．（2023九上·前郭尔罗斯期中）已知⊙O的半径为2cm，则⊙O最长的弦为 cm．
11．圆是轴对称图形，每一条 的直线都是它的对称轴．
12．（2016九上·江岸期中）已知同一平面内存在⊙O和点P，点P与⊙O上的点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为 ．
13．（2023八下·景德镇期中）如图，在直线上有相距的两点A和（点A在点的右侧），以为圆心作半径为2cm的圆，过点A作直线.将以2cm/s的速度向右移动（点始终在直线上），则经过 秒时，与直线相切.
三、综合题
14．（2021九上·信都月考）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
15．（2022·柳南模拟）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线在第一象限上的点，连接AC，CP，AP，若沿着直线AP翻折后点C的对应点E恰好落在x轴上，求P点的坐标；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使得是锐角？若存在，求出点M的纵坐标m的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ∵点P在半径为的圆内 ，
∴ 点P到圆心的距离＜5cm，
∴ 点P到圆心的距离可以是2cm.
故答案为：A.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵在平面内与点的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上，
∴在平面内与点的距离为1cm的点的个数为无数个，
故答案为：A．
【分析】利用圆的定义及数学常识求解即可。
3．【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：的半径是，中最长的弦长是直径等于， 中最长的弦长是 .
故答案为：B.
【分析】根据圆的定义，和弦长的概念求解.
4．【答案】D
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、完全重合的弧就是等弧，故原说法错误.
故答案为：D.
【分析】根据圆的基本性质可得：直径是最长的弦； 同圆中，所有的半径都相等 ； 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 ；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，从而即可一一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；正方形的性质；圆的认识；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，设点B为圆上任意一点，点D为正方形边上一点，连接BD、OC、OA、AB，
由三角形三边关系可得OB-OD＜BD，OB是圆的半径为定值，当点D在点A时，取得OD取得最大值为OA，
∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB-OA，由题意得AC=4，OB=4，
∵点O为正方形的中心，
∴OA⊥OC，OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴OA=，
∴ 圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为OB-OA=4-.
故答案为：D.
【分析】由三角形三边关系可得OB-OD＜BD，OB是圆的半径为定值，当点D在点A时，取得OD取得最大值为OA，从而得出当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB-AB，进而根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质即可求解.
6．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】点M的坐标是，
点M到原点O的距离为，
的半径为2，
，
点M在圆内 ，
故答案为：A.
【分析】根据点M的坐标得到点M离圆心的距离，结合圆的半径即可求解.
7．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，根据反比例函数和圆的对称性得：，
解得：，（负根舍去）
∵点P（-2a，a）是⊙O的一个点，
∴，
整理，得a2=8，
∵点P（-2a，a）是反比例函数y＝的图象 上，
∴，
该反比例函数的表达式为。
故答案为：D。
【分析】根据反比例函数和圆的对称性得阴影部分的面积之和为圆的面积的四分之一，据此计算圆的半径，再利用圆上点P的坐标计算a的值，最后利用点P在反比例函数图象上求K的值。
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵ ∠BOC=100°，
∴∠AOC=180°-100°=80°，
∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠A=80°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠D=80°，
∴∠AOD=180°-∠A-∠D=180°-80°-80°=20°.
故答案为：A.
【分析】利用已知可求出∠AOC的度数，利用平行线的性质可求出∠A的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠AOD的度数.
9．【答案】5
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设该圆的半径为r，解得：r=5，∴OP=5.
故答案为：5.
【分析】由⊙O的面积为25π，即可求出该圆的半径，点P在圆上，半径的长就是OP的长.
10．【答案】4
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O的半径为2cm，
∴⊙O最长弦为4 cm，
故答案为：4.
【分析】根据直径是圆中最长的弦求解．
11．【答案】过圆心(直径所在)
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】因为直径将一个圆分为两个全等的半圆，也就是沿直径对折后，直径两侧的部分能重合，所以直径所在的直线是圆的对称轴，也就过圆心的直线都是它的对称轴.
【分析】根据直径所在的直线是圆的对称轴作答.
12．【答案】3或5
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：P在⊙O内，直径为8+2=10，半径为5，
P在⊙O外，直径为8﹣2=6，半径为3，
故答案为：3或5．
【分析】根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．
13．【答案】5或7
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵AB⊥l，∴当OA=2时，圆O与直线AB相切，又∵12-2=10，∴10÷2=5或者12+2=14，14÷2=7.
故第1空答案为：5或7.
【分析】根据直线和圆的位置关系，当圆心到直线的距离等于半径的长度时，直线和圆相切，所以当直线AB在点O的右侧时，圆O移动的距离为10，当直线AB在点O左侧时，圆O移动的距离为14，根据移动的速度，分别求出时间即可。
14．【答案】（1）解：点A在⊙C外，则AC>r，即r<3
即当r<3时，点A在在⊙C外；
（2）解：点A在⊙C内，则AC3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4，
综合起来，当3【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先求出 r<3 ，再求解即可；
（2）分类讨论，计算求解即可。
15．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设，
把C（0，4）代入上式，得：，
解得：，
∴（也可写作）；
（2）解：如图2，设AP交OC于点F，设F（0，t），连接EF，
在Rt△AOC中，，，
由勾股定理可得：，
根据题意，得：，
∴，AP平分，
∴，点E坐标为（2，0），
∵AP平分，
∴由对称性得，
在Rt△EOF中，由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
∴点F坐标为F（0，），
设直线AF的表达式，
将点代入上式，得：，
解得：，
∴直线AF的解析式为：，
∴联立抛物线和直线AF的解析式，得：，
解得：（舍弃）或，
∴P（，）；
（3）解：如图3，以AC为直径作⊙N，交对称轴l与S、T两点，作于Q，NQ交y轴于J，连接NS， 设点M（，m），
∵， ，N为AC的中点，
∴N为，
∵抛物线的对称轴方程是直线，
又由（2）知，，即⊙N直径是5，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
同理可得：，
∴S，T的坐标分别为（，）和（，），
根据点与圆的位置关系：圆外角<圆周角=90°，
∴当，时，，
设直线AN解析式为：，
将点， 代入上式可得：，
解得：，
∴直线AN解析式为：，
当时，，
而时，A，C，M三点共线，
∴当，且时，是锐角.
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意可设y=a(x+3)(x-4)，将C（0，4）代入求出a的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）设AP交OC于点F，设F（0，t），连接EF，利用勾股定理可得AC，根据折叠的性质可得△APC≌
△APE，得到AE=AC=5，AP平分∠CAE，则E（2，0），由对称性可得EF=CF=4-t，根据勾股定理可得t的值，得到点F的坐标，然后求出直线AF的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标；
（3）以AC为直径作⊙N，交对称轴l与S、T两点，作NQ⊥l于Q，NQ交y轴于J，连接NS，设M（，m），则N（，2），易得NQ、NS的值，利用勾股定理求出SQ，同理可得TQ，据此可得点S、T的坐标，根据点与圆的位置关系：圆外角<圆周角=90°可得当m>，m<时，∠AMC<90°，求出直线AN的解析式，易得当m=时，A，C，M三点共线，据此解答.
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