2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.1 点与圆的位置关系以及圆的有关概念 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2020九下·涡阳月考）下列说法中，错误的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是旋转对称图形
B．一个圆的直径的长是它半径的2倍
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．直径是圆的弦，但半径不是弦
2．（2020九下·江阴期中）已知直线y=﹣x+7a+1与直线y=2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M
（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019九下·象山月考）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜4 B．3＜r＜4 C．4＜r＜5 D．r＞5
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD，OD，OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC．若∠ABC=54°，则∠1的大小为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．73°
6．（2023九上·淮南月考）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
7．（2021·沈丘模拟）引理：在 中，若 为 的中点，则 .（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形 中， ， ，点 在以 为直径的半圆上运动，则 的最小值是（ ）
A． B．38 C．40 D．68
二、填空题
8．一个点到圆上最近点的距离为4，最远点的距离为8，则此圆的直径是 .
9．（2023八下·惠城期末）如图，分别以数轴的单位长度1和3为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点O为圆心，这个直角三角形的斜边长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为
10．（2023·凤县模拟）如图，正方形边长为2，点是以为直径的半圆上的一个动点，点是边上的一个动点，点是的中点，则的最小值为 ．
11．（2023·邵阳）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．
12．（2023·温州模拟）如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，整个地漏的高度（G为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 ；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点恰好落在中点，若点到的距离为，则密封盖下沉的最大距离为 .
三、综合题
13．（2023·成都模拟）在矩形中，，，点M为边上一点，连接．
（1）将沿直线翻折，得到对应的．
i）如图1，延长交边于点E，若点E恰为边中点，求线段的长；
ii）如图2，连接，若，求线段的长；
（2）如图3，若，点P为边上一动点（点P不与B，C两点重合），过点P作交线段于点F，在点P的运动过程中，线段的长是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
14．（2023九上·丰台期中） 在平面直角坐标系中，给出如下定义：将图形绕直线上某一点顺时针旋转，得到图形，再将图形关于直线对称，得到图形此时称图形为图形关于点的“二次变换图形”已知点．
（1）若点，直接写出点关于点的“二次变换图形”的坐标；
（2）若点关于点的“二次变换图形”与点重合，求点的坐标；
（3）若点，半径为已知长度为的线段，其关于点的“二次变换图形”上的任意一点都在上或内，直接写出点的纵坐标的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，该选项不符合题意；
B、一个圆的直径的长是它半径的2倍，该选项不符合题意；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，该选项符合题意；
D. 直径是圆的弦，但半径不是弦，该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据圆的特征，轴对称图形的定义，弦的定义逐项进行分析即可．
2．【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解方程组 得 ，
∴P点坐标为（3a﹣1，4a+2），
设x=3a﹣1，y=4a+2，
∴y＝ x+ ，
即点P为直线y＝ x+ 上一动点，
设直线y＝ x+ 与坐标的交点为A、B，如图，则A（﹣ ，0），B（0， ），
∴AB=
过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小.
∵∠MBP=∠ABO，
∴Rt△MBP∽Rt△ABO，
∴MP：OA=BM：AB，即MP： = ： ，
∴MP= ，∴PQ= ﹣1= ，
即线段PQ的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】先解方程组 得P点坐标为（3a﹣1，4a+2），则可确定点P为直线y＝ x+ 上一动点，设直线y＝ x+ 与坐标的交点为A、B，如图，则A（﹣ ，0），B（0， ），利用勾股定理计算出AB＝ ，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，证Rt△MBP∽Rt△ABO，利用相似比计算出MP＝ ，则PQ＝ ，即线段PQ的最小值为 .
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵O（0，0），P（3，4），
∴OP= ，
∵点P(3,4)在⊙O内，⊙O的半径r，
∴r>5，
故答案为：D.
【分析】根据两点间的距离公式算出点P到原点O的距离OP的长，然后根据点和圆的位置关系，由点在圆内，则该点到圆心的距离小于该圆的半径，从而得出答案。
4．【答案】D
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解： ∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质，可求出∠DAO的度数，再根据等腰三角形的性质，可求得∠ODA的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠AOD的度数。
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；圆的认识
【解析】【解答】解： ∵l1∥l2，∠ABC=54°，
∴∠2=∠ABC=54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=54°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=72°．
故答案为：C．
【分析】 根据二直线平行内错角相等得出∠2=∠ABC=54°，根据同圆的半径相等得出AC=AB，根据等边对等角得出∠ACB=∠ABC=54°，根据平角的定义即可算出∠1的度数。
6．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
点A、点B关于原点O对称，
，
为斜边上的中线，
，
点P是上的任意一点，
当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，如图：
的半径为2，圆心M的坐标为，
的最大值，
的最大值为，
故选D．
【分析】连接，由对称性及直角三角形的性质可得，当OP取最大值时，AB值就最大，连接OM并延长交于点P'，此时OP'最大，求出此时OP'的长即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，
∵四边形ABCD是矩形， ， ，
∴AE=DE=4，OB=OC=OP=4，
∴CD=AB=OE=6，AD=BC=8，
∴PE=2，
∵点E为AD中点，
∴ =2PE2+2AE2，
∴ 的最小值为2PE2+2AE2=2×22+2×42=40，
故答案为：C.
【分析】设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，由矩形的性质可得AE=DE，OB=OC=OP，于是由线段的构成PE=AB-OP可求得PE的值，由勾股定理可得PA2+PD2=2PE2+2AE2求解.
8．【答案】4或12
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】 解：当点在定圆内时，最近点的距离为4，最远点的距离为8，则直径是12；
当点在圆外时，最近点的距离为4，最远点的距离为8，则直径是4cm.
故答案为：4或12.
【分析】分“点在定圆内”与“点在圆外”两情况，分别计算出直径.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条边分别为1和3，
∴斜边为：，
∵斜边、OA为圆的半径，
∴OA=.
∴A表示的数为.
故答案为：.
【分析】根据勾股定理即可求出斜边长度，利用圆的基本性质即可求出OA长度，从而表示出A的数.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；点与圆的位置关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，设半圆的圆心为O，作点E关于CD的对称点E'，连接E'O交CD于点F'，交半圆于点G'，连接EF'，即点F在F'处，点G在点G'处时，EF+FG=EF'+F'G'=E'F'+F'G'最小等于E'G'，
∵正方形的边长为2，点O与E分别是AB、AD的中点，
∴OA=OB=ED=E'D=1，
∴AE'=AD+DE'=3，
在Rt△AOE'中，由勾股定理得E'O=，
∴E'G'=E'O-OG'=-1，
即EF+FG的最小值为-1.
故答案为：-1.
【分析】设半圆的圆心为O，作点E关于CD的对称点E'，连接E'O交CD于点F'，交半圆于点G'，连接EF'，即点F在F'处，点G在点G'处时，EF+FG=EF'+F'G'=E'F'+F'G'最小等于E'G'，在Rt△AOE'中，由勾股定理算出E'G'，进而根据EF+FG的最小值为E'G'=E'O-OG'即可算出答案.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，
由勾股定理得，
①当点P在CB上时，如图所示：
∴BA=B'A=2，
∴点B'位于以A为圆心，2为半径的圆上运动，
故当A，C，B'三点共线时，CB'最短，
∴；
②当点P在AD上时，如图所示：
由题意得；
③当点P位于CD上时，如图所示：
由题意得；
综上所述，线段的最小值为，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质结合折叠的性质即可得到，进而根据勾股定理即可得到CA的长，然后运用圆外一点到圆上的距离进行分类讨论即可求解。
12．【答案】39；16.5
【知识点】勾股定理的应用；圆的认识；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①设作圆心O，连接交于点H，
设，
∵最高点E到地面的距离为，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
②作，延长，交于点，作交于点Z，
∵，
∴，
∴点是的中点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点到的距离为，
∴，
∵，
回到图，作，
由勾股定理得：，
∴移动前M到地面的距离为：，
∵M移动的距离为密盖下沉的距离，
∴，
∴密封盖下沉的最大距离为.
故答案为：16.5.
【分析】设作圆心O，连接CD交CE于点H，设OH=xmm，由题意可得OE=(6+x)mm，根据CD的值可得DH，由勾股定理表示出OD，然后根据OE=OD可得x的值，进而可得OE；作M′P′⊥E′G，延长GE′，交AB于点Q′，作M′Z⊥AB交AB于点Z，易得M′Z为△GQ′B的中位线，则M′Z=GQ′，根据线段的和差关系可得GQ′，然后求出M′Z，由题意可得OM=OE=39mm，作MJ⊥EG，由勾股定理可得OJ，据此求解.
13．【答案】（1）解：i）是边的中点，
，
在中，，，
由勾股定理可得：，
沿直线翻折，得到对应的，
，
，
，
，则，
即是直角三角形，
设，则，
由勾股定理得：，
则，
解得，
∴．
ii）如图：过点作，交于R，交于S，
由题意得：设，
则，
在与中，由勾股定理得：
即，
解得，
在中，由勾股定理可得，
∵，
，
又
，且，
可得，
，
设，则，
，
解得，
．
（2）解：过点F作，交于G，交于N，
，
是等腰直角三角形，，
，
则也是等腰直角三角形，
欲求线段的最大值，即为、最大，
是定值，当最大时，最小，
点F在线段上，
在中，
当最小时，最小．
故最小时，最大．
取的中点O，连接，过点O作交于点H，
，
点P是以O为圆心，为直径的圆与的交点，
∵，
∴，
当点P与点H重合时，最小，则也最小，
此时，以O为圆心，为直径的圆与相切，
是的中点，
为的中点，
，
可得，
∴，
设，，
，
则，
解得（舍去），
是等腰直角三角形，
，
∴的最大值为．
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）i）根据中点的概念可得DE=AE=3，由勾股定理可得CE的值，根据折叠的性质可得CD=CD′=4，则ED′=EC-CD′=1，易得△MD′E为直角三角形，设MD=MD′=x，则ME=3-x，由勾股定理可得x的值，进而可得MD；
ii）过点D′作RS⊥AD，交AD于点R，交BC于点S，设CS=x，则BS=6-x，在Rt△BSD′、Rt△CSD′中，根据勾股定理可得x、D′S的值，根据同角的余角相等可得∠RD′M=∠D′CS，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△MRD′∽△D′SC，根据相似三角形的性质可设MR=y，MD=MD′=3y，由RD=RM+MD=RM+MD′可得y的值，进而可得MD；
（2）过点F作GN⊥AD，交AD于点G，交BC于点N，易得△CDM、△FNC为等腰直角三角形，当FN最大时，GF最小，取AF的中点O，连接OP，过O作OH⊥BC交BC于H，则点P是以O为圆心，AF为直径的圆与BC的交点， 当点P与H重合时，OP最小，则AF也最小，此时以O为圆心，AF为直径的圆与BC相切， 根据两角对应相等的两个三角形相似可得△ABP∽△PNF，设FN=x，BP=PN=，根据相似三角形的性质可求出x的值，进而可得FC.
14．【答案】（1）点关于点的“二次变换图形”的坐标
（2）解：分析可知点在轴的下方，如图，过点作轴于点，过点作轴交于点，
设点的纵坐标为，
由知，
，
，
由题意可知，点与点关于直线对称，
解得，
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的认识；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：(1)如图，过点作轴于点，
，
由旋转可知，，
，
，
，
，
，
点关于点的“二次变换图形”的坐标；
(3)由知，
若点在上，则
解得舍或；
线段，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
若其关于点的“二次变换图形”上的任意一点都在及其内部，如图，可知点是一个临界点，
连接 ，
是等边三角形，
过点作轴于点，则，，
，，
，
由对称性可知，另外一点的坐标为，
的取值范围为：．
【分析】(1 )根据题意画出图形，过点A'作A' D⊥xc轴于点D，可得△AOP≌△PDA'，可求出点A'的坐标，进而可得点A"的坐标；
(2)分析可知点P在x轴下方，根据题意作出图形，设出点P的纵坐标为m，表达点A'的坐标，列方程可解得答案；
(3)由(2) 可知，点A"的坐标，由A关于点P的“二次变换图形”在O上且不与点A重合可得出点 A"的坐标，由线段AB= 1，其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在O及其内部，找到临界点B"，可得出B"的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出yB的取值范围.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.1 点与圆的位置关系以及圆的有关概念 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2020九下·涡阳月考）下列说法中，错误的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是旋转对称图形
B．一个圆的直径的长是它半径的2倍
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．直径是圆的弦，但半径不是弦
【答案】C
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，该选项不符合题意；
B、一个圆的直径的长是它半径的2倍，该选项不符合题意；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，该选项符合题意；
D. 直径是圆的弦，但半径不是弦，该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据圆的特征，轴对称图形的定义，弦的定义逐项进行分析即可．
2．（2020九下·江阴期中）已知直线y=﹣x+7a+1与直线y=2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M
（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解方程组 得 ，
∴P点坐标为（3a﹣1，4a+2），
设x=3a﹣1，y=4a+2，
∴y＝ x+ ，
即点P为直线y＝ x+ 上一动点，
设直线y＝ x+ 与坐标的交点为A、B，如图，则A（﹣ ，0），B（0， ），
∴AB=
过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小.
∵∠MBP=∠ABO，
∴Rt△MBP∽Rt△ABO，
∴MP：OA=BM：AB，即MP： = ： ，
∴MP= ，∴PQ= ﹣1= ，
即线段PQ的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】先解方程组 得P点坐标为（3a﹣1，4a+2），则可确定点P为直线y＝ x+ 上一动点，设直线y＝ x+ 与坐标的交点为A、B，如图，则A（﹣ ，0），B（0， ），利用勾股定理计算出AB＝ ，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，证Rt△MBP∽Rt△ABO，利用相似比计算出MP＝ ，则PQ＝ ，即线段PQ的最小值为 .
3．（2019九下·象山月考）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜4 B．3＜r＜4 C．4＜r＜5 D．r＞5
【答案】D
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵O（0，0），P（3，4），
∴OP= ，
∵点P(3,4)在⊙O内，⊙O的半径r，
∴r>5，
故答案为：D.
【分析】根据两点间的距离公式算出点P到原点O的距离OP的长，然后根据点和圆的位置关系，由点在圆内，则该点到圆心的距离小于该圆的半径，从而得出答案。
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD，OD，OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解： ∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质，可求出∠DAO的度数，再根据等腰三角形的性质，可求得∠ODA的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠AOD的度数。
5．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC．若∠ABC=54°，则∠1的大小为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．73°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；圆的认识
【解析】【解答】解： ∵l1∥l2，∠ABC=54°，
∴∠2=∠ABC=54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=54°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=72°．
故答案为：C．
【分析】 根据二直线平行内错角相等得出∠2=∠ABC=54°，根据同圆的半径相等得出AC=AB，根据等边对等角得出∠ACB=∠ABC=54°，根据平角的定义即可算出∠1的度数。
6．（2023九上·淮南月考）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
点A、点B关于原点O对称，
，
为斜边上的中线，
，
点P是上的任意一点，
当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，如图：
的半径为2，圆心M的坐标为，
的最大值，
的最大值为，
故选D．
【分析】连接，由对称性及直角三角形的性质可得，当OP取最大值时，AB值就最大，连接OM并延长交于点P'，此时OP'最大，求出此时OP'的长即可.
7．（2021·沈丘模拟）引理：在 中，若 为 的中点，则 .（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形 中， ， ，点 在以 为直径的半圆上运动，则 的最小值是（ ）
A． B．38 C．40 D．68
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，
∵四边形ABCD是矩形， ， ，
∴AE=DE=4，OB=OC=OP=4，
∴CD=AB=OE=6，AD=BC=8，
∴PE=2，
∵点E为AD中点，
∴ =2PE2+2AE2，
∴ 的最小值为2PE2+2AE2=2×22+2×42=40，
故答案为：C.
【分析】设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，由矩形的性质可得AE=DE，OB=OC=OP，于是由线段的构成PE=AB-OP可求得PE的值，由勾股定理可得PA2+PD2=2PE2+2AE2求解.
二、填空题
8．一个点到圆上最近点的距离为4，最远点的距离为8，则此圆的直径是 .
【答案】4或12
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】 解：当点在定圆内时，最近点的距离为4，最远点的距离为8，则直径是12；
当点在圆外时，最近点的距离为4，最远点的距离为8，则直径是4cm.
故答案为：4或12.
【分析】分“点在定圆内”与“点在圆外”两情况，分别计算出直径.
9．（2023八下·惠城期末）如图，分别以数轴的单位长度1和3为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点O为圆心，这个直角三角形的斜边长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为
【答案】
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条边分别为1和3，
∴斜边为：，
∵斜边、OA为圆的半径，
∴OA=.
∴A表示的数为.
故答案为：.
【分析】根据勾股定理即可求出斜边长度，利用圆的基本性质即可求出OA长度，从而表示出A的数.
10．（2023·凤县模拟）如图，正方形边长为2，点是以为直径的半圆上的一个动点，点是边上的一个动点，点是的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；点与圆的位置关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，设半圆的圆心为O，作点E关于CD的对称点E'，连接E'O交CD于点F'，交半圆于点G'，连接EF'，即点F在F'处，点G在点G'处时，EF+FG=EF'+F'G'=E'F'+F'G'最小等于E'G'，
∵正方形的边长为2，点O与E分别是AB、AD的中点，
∴OA=OB=ED=E'D=1，
∴AE'=AD+DE'=3，
在Rt△AOE'中，由勾股定理得E'O=，
∴E'G'=E'O-OG'=-1，
即EF+FG的最小值为-1.
故答案为：-1.
【分析】设半圆的圆心为O，作点E关于CD的对称点E'，连接E'O交CD于点F'，交半圆于点G'，连接EF'，即点F在F'处，点G在点G'处时，EF+FG=EF'+F'G'=E'F'+F'G'最小等于E'G'，在Rt△AOE'中，由勾股定理算出E'G'，进而根据EF+FG的最小值为E'G'=E'O-OG'即可算出答案.
11．（2023·邵阳）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，
由勾股定理得，
①当点P在CB上时，如图所示：
∴BA=B'A=2，
∴点B'位于以A为圆心，2为半径的圆上运动，
故当A，C，B'三点共线时，CB'最短，
∴；
②当点P在AD上时，如图所示：
由题意得；
③当点P位于CD上时，如图所示：
由题意得；
综上所述，线段的最小值为，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质结合折叠的性质即可得到，进而根据勾股定理即可得到CA的长，然后运用圆外一点到圆上的距离进行分类讨论即可求解。
12．（2023·温州模拟）如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，整个地漏的高度（G为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 ；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点恰好落在中点，若点到的距离为，则密封盖下沉的最大距离为 .
【答案】39；16.5
【知识点】勾股定理的应用；圆的认识；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①设作圆心O，连接交于点H，
设，
∵最高点E到地面的距离为，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
②作，延长，交于点，作交于点Z，
∵，
∴，
∴点是的中点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点到的距离为，
∴，
∵，
回到图，作，
由勾股定理得：，
∴移动前M到地面的距离为：，
∵M移动的距离为密盖下沉的距离，
∴，
∴密封盖下沉的最大距离为.
故答案为：16.5.
【分析】设作圆心O，连接CD交CE于点H，设OH=xmm，由题意可得OE=(6+x)mm，根据CD的值可得DH，由勾股定理表示出OD，然后根据OE=OD可得x的值，进而可得OE；作M′P′⊥E′G，延长GE′，交AB于点Q′，作M′Z⊥AB交AB于点Z，易得M′Z为△GQ′B的中位线，则M′Z=GQ′，根据线段的和差关系可得GQ′，然后求出M′Z，由题意可得OM=OE=39mm，作MJ⊥EG，由勾股定理可得OJ，据此求解.
三、综合题
13．（2023·成都模拟）在矩形中，，，点M为边上一点，连接．
（1）将沿直线翻折，得到对应的．
i）如图1，延长交边于点E，若点E恰为边中点，求线段的长；
ii）如图2，连接，若，求线段的长；
（2）如图3，若，点P为边上一动点（点P不与B，C两点重合），过点P作交线段于点F，在点P的运动过程中，线段的长是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：i）是边的中点，
，
在中，，，
由勾股定理可得：，
沿直线翻折，得到对应的，
，
，
，
，则，
即是直角三角形，
设，则，
由勾股定理得：，
则，
解得，
∴．
ii）如图：过点作，交于R，交于S，
由题意得：设，
则，
在与中，由勾股定理得：
即，
解得，
在中，由勾股定理可得，
∵，
，
又
，且，
可得，
，
设，则，
，
解得，
．
（2）解：过点F作，交于G，交于N，
，
是等腰直角三角形，，
，
则也是等腰直角三角形，
欲求线段的最大值，即为、最大，
是定值，当最大时，最小，
点F在线段上，
在中，
当最小时，最小．
故最小时，最大．
取的中点O，连接，过点O作交于点H，
，
点P是以O为圆心，为直径的圆与的交点，
∵，
∴，
当点P与点H重合时，最小，则也最小，
此时，以O为圆心，为直径的圆与相切，
是的中点，
为的中点，
，
可得，
∴，
设，，
，
则，
解得（舍去），
是等腰直角三角形，
，
∴的最大值为．
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）i）根据中点的概念可得DE=AE=3，由勾股定理可得CE的值，根据折叠的性质可得CD=CD′=4，则ED′=EC-CD′=1，易得△MD′E为直角三角形，设MD=MD′=x，则ME=3-x，由勾股定理可得x的值，进而可得MD；
ii）过点D′作RS⊥AD，交AD于点R，交BC于点S，设CS=x，则BS=6-x，在Rt△BSD′、Rt△CSD′中，根据勾股定理可得x、D′S的值，根据同角的余角相等可得∠RD′M=∠D′CS，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△MRD′∽△D′SC，根据相似三角形的性质可设MR=y，MD=MD′=3y，由RD=RM+MD=RM+MD′可得y的值，进而可得MD；
（2）过点F作GN⊥AD，交AD于点G，交BC于点N，易得△CDM、△FNC为等腰直角三角形，当FN最大时，GF最小，取AF的中点O，连接OP，过O作OH⊥BC交BC于H，则点P是以O为圆心，AF为直径的圆与BC的交点， 当点P与H重合时，OP最小，则AF也最小，此时以O为圆心，AF为直径的圆与BC相切， 根据两角对应相等的两个三角形相似可得△ABP∽△PNF，设FN=x，BP=PN=，根据相似三角形的性质可求出x的值，进而可得FC.
14．（2023九上·丰台期中） 在平面直角坐标系中，给出如下定义：将图形绕直线上某一点顺时针旋转，得到图形，再将图形关于直线对称，得到图形此时称图形为图形关于点的“二次变换图形”已知点．
（1）若点，直接写出点关于点的“二次变换图形”的坐标；
（2）若点关于点的“二次变换图形”与点重合，求点的坐标；
（3）若点，半径为已知长度为的线段，其关于点的“二次变换图形”上的任意一点都在上或内，直接写出点的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）点关于点的“二次变换图形”的坐标
（2）解：分析可知点在轴的下方，如图，过点作轴于点，过点作轴交于点，
设点的纵坐标为，
由知，
，
，
由题意可知，点与点关于直线对称，
解得，
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的认识；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：(1)如图，过点作轴于点，
，
由旋转可知，，
，
，
，
，
，
点关于点的“二次变换图形”的坐标；
(3)由知，
若点在上，则
解得舍或；
线段，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
若其关于点的“二次变换图形”上的任意一点都在及其内部，如图，可知点是一个临界点，
连接 ，
是等边三角形，
过点作轴于点，则，，
，，
，
由对称性可知，另外一点的坐标为，
的取值范围为：．
【分析】(1 )根据题意画出图形，过点A'作A' D⊥xc轴于点D，可得△AOP≌△PDA'，可求出点A'的坐标，进而可得点A"的坐标；
(2)分析可知点P在x轴下方，根据题意作出图形，设出点P的纵坐标为m，表达点A'的坐标，列方程可解得答案；
(3)由(2) 可知，点A"的坐标，由A关于点P的“二次变换图形”在O上且不与点A重合可得出点 A"的坐标，由线段AB= 1，其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在O及其内部，找到临界点B"，可得出B"的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出yB的取值范围.
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