2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.2 垂径定理 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·洞头期中） 如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2023九上·海曙期中）如图，是的直径，弦于，若，，则直径的长为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
3．（2023九上·诸暨月考）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
4．（2023九上·期末）如图所示为一名同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全升出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）.
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分
5．（2023九上·南皮期中）如图，是直径，弦，垂足为，若，，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2023九上·蒙城月考）已知，在中，，垂足分别为相交于点，则的长度的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．（2023九上·巧家期中）如图，在半径为4的中，于，点为中点，弦的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·石家庄期中）如图，⊙O的半径是6，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，AC＝6，BC＝2，点P是⊙O上一动点，则点P与点C之间的最大距离是（ ）
A．6+ B．12 C．6+ D．不存在
二、填空题
9．（2023九上·河西期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O 的半径为 cm.
10．（2023九上·杭州开学考）如图，在中的半径，圆心到弦的距离为，则弦的长度为 ．
11．①弦心距指圆心到圆的一条 的距离．在同一个圆中，弦长越大，弦心距越小；弦长越小，弦心距 .
②弦长、弦心距、半径这三个量中，只要知道其中的两个量，就可以求出第三个量．
12．（2022九下·巴中月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 .
13．（2020九上·晋城期末）如图， 是 的两条相交弦， ，则 的直径是 ．
三、解答题
14．点A，B，C都在⊙O上，且，若，的半径为5，连接CO，求的长．
15．（2023九上·游仙期中） 如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB＝32米，拱高CD＝8米
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF高度．
四、综合题
16．（2022九上·拱墅期中）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8.
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长.
17．（2019九上·立山期中）如图，一圆弧形桥拱的圆心为 ，拱桥的水面跨度 米，桥拱到水面的最大高度 为 米.求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为 米，求水面上涨的高度为 米.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： 弦心距.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理和勾股定理，代入求解.
2．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，根据题意得，
∵BE=2
∴设OD=x，OE=x-2
∴
解得：x=10
∴直径AB=2×10=20
故答案为：D.
【分析】连接OD，因为点E为CD的中点，在中，设OD为x，OE=x-2，DE=6，根据勾股定理计算出OD的长，从而求出直径AB的长.
3．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：A、垂直于弦（不是直径）的直线平分弦所对的两条弧，则本项错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，则本项错误，不符合题意；
C、垂直于直径的弦（不是直径）平分这条直径，则本项错误，不符合题意；
D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，则本项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，及其推论逐项分析即可.
4．【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设圆心为点O，过点O作OE⊥AB于点E，
∴AE=AB=8，
∴，
海平面以下的高度为6+10=16cm，
∴“图上”太阳升起的速度为16÷16=1cm/分.
故答案为：A.
【分析】设圆心为点O，过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可求出AE的长，利用勾股定理求出OE的长，可得到海平面以下的高度，然后列式计算求出“图上”太阳升起的速度.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：C
【分析】连接，设，，进而结合题意即可得到x，从而得到EO，再运用勾股定理结合题意即可求解。
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵内接于，，
∴当取得最大值时，的长度也取得最大值，
∵弦是定值，
∴当经过圆心时，取得最大值，
由垂径定理得，
∴是线段的垂直平分线，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∴的长度的最大值为．
故答案为：A
【分析】先根据内接三角形得到当取得最大值时，的长度也取得最大值，从而得到当经过圆心时，取得最大值，再根据垂径定理得到，从而根据线段垂直平分线的性质结合等边三角形的性质即可得到，进而结合题意解直角三角形即可求解。
7．【答案】C
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OA，由题知：OA=4，OD=2，∠ODA=90°
AD=
则AB=
故答案为：C
【分析】连接OA，由题可得△AOD为直角三角形，通过勾股定理可求出AD的长，进而可求出AB长。
8．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O点作OH⊥AB于点H，连接OA，则AH=BH
∵AC=6，BC=2
∴AB=4
∴AH=BH=4
∴CH=AC-AH=2
在Rt△OAH中，
在Rt△OCH中，
∵PC≤OP+OC
∴点P与点C之间的最大距离为
故答案为：A
【分析】过O点作OH⊥AB于点H，连接OA，根据垂径定理可得AH=BH，再根据勾股定理可得OH，OC长，再根据三角形三边关系可得PC≤OP+OC，即可求出答案.
9．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示：过点O作OE⊥AB，连接OA，
∵在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，
∴AE=4cm，OE=3cm，
∴，
即⊙O 的半径为5cm，
故答案为：5.
【分析】根据垂径定理以及勾股定理计算求解即可。
10．【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：的半径，圆心到弦的距离为，弦的长度为.
故答案为：8.
【分析】根据圆的弦长定义，求解弦的长度 .
11．【答案】弦；越大
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】 弦心距指圆心到圆的一条弦的距离．在同一个圆中，弦长越大，弦心距越小；弦长越小，弦心距越大 .
故答案为：弦，越大.
【分析】 根据弦心距的意义填写，半弦长、弦心距、半径三者可构成直角三角形，可知当弦长越长，弦心距越短；弦长越短，弦心距长.
12．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AB于C，
∵AB为弦，
∴AC=BC=，
∵直线与相交于A，B两点，
∴当y=0时，，解得x=-2，
∴OA=2，
∴当x=0时，，
∴OD=，
在Rt△AOD中，由勾股定理，
∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，
∴△OAC∽△DAO，
即，
∴AB=2AC=2.
故答案为：2.
【分析】过O作OE⊥AB于C，根据垂径定理可得AC=BC=AB，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、D的坐标，进而得到OA，OD，利用勾股定理求出AD，易证△OAC∽△DAO，根据相似三角形的性质可得AC，进而可得AB.
13．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB、OC，作OE⊥BC于E交 于点F，如图所示：
∵∠A＝∠CDB＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC＝2 ，
∵OE⊥BC，
∴ ，BE＝ BC＝ ，
∴∠BOE＝∠BOE＝ ∠BOC，
∵∠CDB＝ ∠BOC＝60°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∴OB＝2OE＝2，
由勾股定理得OB2＝OE2＋BE2，
即OB2－( OB)2＝3，
解得OB＝2，
∴⊙O的直径＝2OB＝4．
故答案为：4．
【分析】先求出△ABC为等边三角形，再求出OB＝2OE＝2，最后利用勾股定理计算求解即可。
14．【答案】解：如图，连接，，
则，
∵，∴垂直平分，即；
∴，
∵⊙O的半径为5，∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理，勾股定理，圆的基本性质求解。连接，，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可．
15．【答案】（1）解：设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）解：OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF中，HF＝＝16，
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，进而根据勾股定理即可求解；
（2）先根据勾股定理求出HF，进而结合题意即可求解。
16．【答案】（1）解：连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4，
在Rt△ODE中，
∵OE＝r-3，OD＝r，DE＝4，
∴（r-2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）解：在Rt△BCE中，
∵CE＝4，BE＝AB-AE＝8，
∴BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，
在Rt△OBF中，OF＝＝，
即OF的长为.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）连接OD，设⊙O的半径长为r，由垂径定理可得DE＝CE＝CD＝4，然后利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理可得BC的值， 由垂径定理可得BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，再在Rt△OBF中，利用勾股定理计算即可.
17．【答案】（1）如图，
设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF=FB= AB=40，EF=ED-FD=AE-DF，
由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE-DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2=402+（r-20）2，
解得：r=50；
即桥拱的半径为50米；
（2）10
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示
则MH=NH= MN=30，
∴EH= =40（米），
∵EF=50-20=30（米），
∴HF=EH-EF=10（米）；
故答案为10.
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.2 垂径定理 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·洞头期中） 如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： 弦心距.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理和勾股定理，代入求解.
2．（2023九上·海曙期中）如图，是的直径，弦于，若，，则直径的长为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，根据题意得，
∵BE=2
∴设OD=x，OE=x-2
∴
解得：x=10
∴直径AB=2×10=20
故答案为：D.
【分析】连接OD，因为点E为CD的中点，在中，设OD为x，OE=x-2，DE=6，根据勾股定理计算出OD的长，从而求出直径AB的长.
3．（2023九上·诸暨月考）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：A、垂直于弦（不是直径）的直线平分弦所对的两条弧，则本项错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，则本项错误，不符合题意；
C、垂直于直径的弦（不是直径）平分这条直径，则本项错误，不符合题意；
D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，则本项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，及其推论逐项分析即可.
4．（2023九上·期末）如图所示为一名同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全升出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）.
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分
【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设圆心为点O，过点O作OE⊥AB于点E，
∴AE=AB=8，
∴，
海平面以下的高度为6+10=16cm，
∴“图上”太阳升起的速度为16÷16=1cm/分.
故答案为：A.
【分析】设圆心为点O，过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可求出AE的长，利用勾股定理求出OE的长，可得到海平面以下的高度，然后列式计算求出“图上”太阳升起的速度.
5．（2023九上·南皮期中）如图，是直径，弦，垂足为，若，，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：C
【分析】连接，设，，进而结合题意即可得到x，从而得到EO，再运用勾股定理结合题意即可求解。
6．（2023九上·蒙城月考）已知，在中，，垂足分别为相交于点，则的长度的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵内接于，，
∴当取得最大值时，的长度也取得最大值，
∵弦是定值，
∴当经过圆心时，取得最大值，
由垂径定理得，
∴是线段的垂直平分线，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∴的长度的最大值为．
故答案为：A
【分析】先根据内接三角形得到当取得最大值时，的长度也取得最大值，从而得到当经过圆心时，取得最大值，再根据垂径定理得到，从而根据线段垂直平分线的性质结合等边三角形的性质即可得到，进而结合题意解直角三角形即可求解。
7．（2023九上·巧家期中）如图，在半径为4的中，于，点为中点，弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OA，由题知：OA=4，OD=2，∠ODA=90°
AD=
则AB=
故答案为：C
【分析】连接OA，由题可得△AOD为直角三角形，通过勾股定理可求出AD的长，进而可求出AB长。
8．（2023九上·石家庄期中）如图，⊙O的半径是6，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，AC＝6，BC＝2，点P是⊙O上一动点，则点P与点C之间的最大距离是（ ）
A．6+ B．12 C．6+ D．不存在
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O点作OH⊥AB于点H，连接OA，则AH=BH
∵AC=6，BC=2
∴AB=4
∴AH=BH=4
∴CH=AC-AH=2
在Rt△OAH中，
在Rt△OCH中，
∵PC≤OP+OC
∴点P与点C之间的最大距离为
故答案为：A
【分析】过O点作OH⊥AB于点H，连接OA，根据垂径定理可得AH=BH，再根据勾股定理可得OH，OC长，再根据三角形三边关系可得PC≤OP+OC，即可求出答案.
二、填空题
9．（2023九上·河西期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O 的半径为 cm.
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示：过点O作OE⊥AB，连接OA，
∵在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，
∴AE=4cm，OE=3cm，
∴，
即⊙O 的半径为5cm，
故答案为：5.
【分析】根据垂径定理以及勾股定理计算求解即可。
10．（2023九上·杭州开学考）如图，在中的半径，圆心到弦的距离为，则弦的长度为 ．
【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：的半径，圆心到弦的距离为，弦的长度为.
故答案为：8.
【分析】根据圆的弦长定义，求解弦的长度 .
11．①弦心距指圆心到圆的一条 的距离．在同一个圆中，弦长越大，弦心距越小；弦长越小，弦心距 .
②弦长、弦心距、半径这三个量中，只要知道其中的两个量，就可以求出第三个量．
【答案】弦；越大
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】 弦心距指圆心到圆的一条弦的距离．在同一个圆中，弦长越大，弦心距越小；弦长越小，弦心距越大 .
故答案为：弦，越大.
【分析】 根据弦心距的意义填写，半弦长、弦心距、半径三者可构成直角三角形，可知当弦长越长，弦心距越短；弦长越短，弦心距长.
12．（2022九下·巴中月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 .
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AB于C，
∵AB为弦，
∴AC=BC=，
∵直线与相交于A，B两点，
∴当y=0时，，解得x=-2，
∴OA=2，
∴当x=0时，，
∴OD=，
在Rt△AOD中，由勾股定理，
∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，
∴△OAC∽△DAO，
即，
∴AB=2AC=2.
故答案为：2.
【分析】过O作OE⊥AB于C，根据垂径定理可得AC=BC=AB，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、D的坐标，进而得到OA，OD，利用勾股定理求出AD，易证△OAC∽△DAO，根据相似三角形的性质可得AC，进而可得AB.
13．（2020九上·晋城期末）如图， 是 的两条相交弦， ，则 的直径是 ．
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB、OC，作OE⊥BC于E交 于点F，如图所示：
∵∠A＝∠CDB＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC＝2 ，
∵OE⊥BC，
∴ ，BE＝ BC＝ ，
∴∠BOE＝∠BOE＝ ∠BOC，
∵∠CDB＝ ∠BOC＝60°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∴OB＝2OE＝2，
由勾股定理得OB2＝OE2＋BE2，
即OB2－( OB)2＝3，
解得OB＝2，
∴⊙O的直径＝2OB＝4．
故答案为：4．
【分析】先求出△ABC为等边三角形，再求出OB＝2OE＝2，最后利用勾股定理计算求解即可。
三、解答题
14．点A，B，C都在⊙O上，且，若，的半径为5，连接CO，求的长．
【答案】解：如图，连接，，
则，
∵，∴垂直平分，即；
∴，
∵⊙O的半径为5，∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理，勾股定理，圆的基本性质求解。连接，，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可．
15．（2023九上·游仙期中） 如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB＝32米，拱高CD＝8米
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF高度．
【答案】（1）解：设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）解：OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF中，HF＝＝16，
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，进而根据勾股定理即可求解；
（2）先根据勾股定理求出HF，进而结合题意即可求解。
四、综合题
16．（2022九上·拱墅期中）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8.
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长.
【答案】（1）解：连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4，
在Rt△ODE中，
∵OE＝r-3，OD＝r，DE＝4，
∴（r-2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）解：在Rt△BCE中，
∵CE＝4，BE＝AB-AE＝8，
∴BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，
在Rt△OBF中，OF＝＝，
即OF的长为.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）连接OD，设⊙O的半径长为r，由垂径定理可得DE＝CE＝CD＝4，然后利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理可得BC的值， 由垂径定理可得BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，再在Rt△OBF中，利用勾股定理计算即可.
17．（2019九上·立山期中）如图，一圆弧形桥拱的圆心为 ，拱桥的水面跨度 米，桥拱到水面的最大高度 为 米.求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为 米，求水面上涨的高度为 米.
【答案】（1）如图，
设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF=FB= AB=40，EF=ED-FD=AE-DF，
由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE-DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2=402+（r-20）2，
解得：r=50；
即桥拱的半径为50米；
（2）10
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示
则MH=NH= MN=30，
∴EH= =40（米），
∵EF=50-20=30（米），
∴HF=EH-EF=10（米）；
故答案为10.
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可.
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