2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.2 垂径定理 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·郧西模拟）如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，
∴，，
∵AC＝4，BC＝2，
∴BA=6，
∴AE=BE=3，
∴CE=1，
设OE=x，
∴，
∵CD⊥OC，
∴，
∴或（舍去）.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，由垂径定理得AE=BE=3，则CE=1，设OE=x，根据勾股定理表示出OC2及OD2，进而根据CD2=OD2-OC2建立方程，求解得出x的值，进而即可得出CD的长.
2．（2023九上·绥阳期中）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OP⊥AB于点P，
∵AB=16，
∴AP=8，
∵OA=10，
∴OP=，
∴6≤OM＜10，
∴OM可取得的整数为6，7，8，9，
∴这样的点M共有7个。
故答案为：C.
【分析】连接OA，过点O作OP⊥AB于点P，根据垂径定理可得AP=8，根据勾股定理可得OP=6，即可得出6≤OM＜10，进而根据对称性可得出符合条件的点共有7个。
3．（2023九上·贵州期末）如图，是弦，于点，交于点，若半径为5，，则弦的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连接OC，如图，
设半径r=5，
，
在Rt△OAD中，
故答案为：D.
【分析】连接OC，利用垂径定理和勾股定理求得AD的长，从而求得结论.
4．（2023九上·石家庄月考）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.6米，最深处水深0.1米，则此输水管道的半径是（ ）米
A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.5
【答案】D
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】过点O作OC⊥AB于点C，连接OA、OB，如图所示：
根据题意可得：AC=BC=AB=0.3m，
设OA=r，则OC=r-0.1，
在Rt△AOC中，AO2=OC2+AC2，
∴r2=（r-0.1）2+0.32，
解得：r=0.5，
故答案为：D.
【分析】设OA=r，则OC=r-0.1，利用勾股定理可得r2=（r-0.1）2+0.32，再求出r的值即可.
5．（2020九上·湖州期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OC∥BD B．AD⊥OC
C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴ ，
∵OC是半径，
∴OC⊥AD，AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BD，
故A、B、D正确，C错误；
故答案为：C.
【分析】由题意易得 ，则根据垂径定理及推论可进行排除选项.
6．（2022九上·温州月考）如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（ ）
A．5 B．18 C．3 D．17
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，分别连接OE、EH，
∴OE＝AG，
∴点E在以AG为直径的圆上，
∵DF∥AE，
∴弧AD＝弧EH，
∴AD＝EH，
∵点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，
∴AC＝a，CB＝a，
∴AD＝DB＝a，
∴HE＝AD＝a，
∵EF＝DC＝a，
∴HF＝＝＝a，
∵BE＝b，BE垂直于FG，
∴EG＝b，
∴FG＝EF+EG＝a+b，
∴HG＝＝ ，
又∵a＝9，b＝6，
∴HG＝＝.
故答案为：C．
【分析】如图，分别连接OE、EH，由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得OE＝AG，从而得出点E在以AG为直径的圆上，再根据垂径定理推论可得AD＝EH，又由点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，推出HE＝AD＝a，再利用勾股定理用字母a和b表示HG的长，最后代入数值进行计算，即可求解.
7．（2021九上·义乌期末）如图，半径为6的分别与轴，轴交于，两点，上两个动点，，使恒成立，设的重心为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接并延长，交于点，
的重心为，
为的中点，
，
，
，
，
，
的重心为，
，
在上取点，使，连接，
，，
，
，
.
在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，，
，
的最小值是，
故答案为：B.
【分析】连接并延长，交于点，由三角形的重心可知点F为的中点，由垂径定理可得OF⊥BC，利用直角三角形的性质可得，由三角形的重心可得，在上取点，使，连接，证明，利用相似三角形的性质求出GE=2，即得G在以为圆心，2为半径的圆上运动，可得点E的坐标，从而可知当点D、E、G共线时DG的长最小，利用DG=DE-GE即得结论.
8．（2020九上·椒江期中）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE.点P为 上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC.过点C作CF⊥BP于点F.给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中， 的值始终等于 .则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作CM⊥AP于M，连接AD.
∵AE⊥OD，OE＝DE，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴AE＝EB，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，故①正确，
∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，
∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，
∴CF＝CM，
∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，
∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），
∴PF＝PM，
∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，
∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），
∴AM＝BF，
∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，
∴ ，
在Rt△CPF中，
∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，
，
，
∴ ，故②正确，
故答案为：A.
【分析】作CM⊥AP于M，连接AD，根据AE⊥OD，OE＝DE，可得AD=OA=OD，即可得△AOD是等边三角形，故可得①正确；利用全等三角形的性质可得AM=BF，PM=PF，CF=PF可判断②.
二、填空题
9．（2024九上·贵州期末） 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O的半径等于 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示：
∵OC⊥AB，CO过圆心O，
∴AC=BC=AB=4，
由勾股定理得AO=5，
故答案为：5
【分析】连接OA，先根据垂径定理即可得到AC，进而运用勾股定理即可求解。
10．（2023九上·石家庄月考）圆O的半径为5，为两条平行的弦，．则这两条平行弦之间的距离为 ．
【答案】1或7
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】①当弦AB和弦CD在圆心同侧时，如图所示：
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB//CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=AB=4，CF=CD=3，
∵OA=OC=5，
∴EO=，OF=，
∴EF=OF-EO=4-3=1，
②当弦AB和弦CD在圆心异侧时，如图所示：
过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA，OC，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=AB=4，CF=CD=3，
∵OA=OC=5，
∴EO=，OF=，
∴EF=OF+EO=4+3=7，
综上，这两条平行弦之间的距离为1或7，
故答案为：1或7.
【分析】分类讨论：①当弦AB和弦CD在圆心同侧时，②当弦AB和弦CD在圆心异侧时，再分别画出图象并利用垂径定理及勾股定理求解即可.
11．（2024九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=AE=8cm，则OC的长为 cm.
【答案】5
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，则，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的长为，
故答案为：5．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解。设圆的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
12．（2017·襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ，则∠BAC的度数为 ．
【答案】15°或105°
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE= AC= ，AD= AB= ，
∴sin∠AOE= = ，sin∠AOD= = ，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
故答案是：15°或105°．
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
13．（2023九上·杭州期中） 如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点G作GM⊥AC于点M，连接AG，BG，如图，
∵ GO⊥AB，∴ OA=OB，
在Rt△AOG中，∵ AG=2，OG=1，
∴ AO=，
∴ AB=2AO=，
∵ ∠GAO=30°，
∴ ∠AGO=60°，
∵ GA=GC，
∴ ∠GAC=∠GCA=30°，
∵ GM⊥AC，
∴ MG=1，AC=，
∵CF⊥AE于F， 即∠CFA=90°，
∴ 点F在以AC为直径的圆上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM-GM=.
【分析】作GM⊥AC于点M，连接AG，BG，根据∠CFA=90°，推出点F在以AC为直径的圆上得出点F在MG的延长线上时，FG最小，再求出FM和GM即可.
三、解答题
14．如图所示，在半径为的中，弦AB与CD交于点，，求CD的长.
【答案】解：过点O作OF⊥CD于点F，作OG⊥AB于点G，连接OB，OD，OE，
∵OF⊥DC，OG⊥AB，
∴AG=BG=AB=3，CD=2DF，
∵AE=1，
∴EG=AG-AE=2，
在Rt△BGO中，由勾股定理得OG=2，
∴EG=OG=2，
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴∠OEG=45°，OE=，
∵∠DEB=75°，
∴∠FEO=75°-45°=30°，
在Rt△OEF中，∠FEO=30°，
∴OF=OE=，
在Rt△DOF中，由勾股定理得DF=，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】过点O作OF⊥CD于点F，作OG⊥AB于点G，连接OB，OD，OE，由垂径定理得AG=BG=AB=3，CD=2DF，从而由线段的和差算出EG的长，进而利用勾股定理算出OG的长，得出△OEG是等腰直角三角形，则∠OEG=45°，OE=，由角的和差得出∠FEO=30°，由含30°角直角三角形的性质求出OF的长，最后再在Rt△DOF中，利用勾股定理算出DF的长，从而可得出CD的长了.
15．（2018九上·右玉月考）已知：如图，∠PAC=30o，在射线AC上顺次截取AD=3 cm，DB=10 cm，以DB为直径作⊙O，交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．
【答案】解：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF，解直角三角形OAG可得OG，AG的值，然后再利用垂径定理求EF的值．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】利用辅助线，与30度角的直角三角形的性质，可先得出O到EF的距离，再利用勾股定理求出EF的一半即可。
四、综合题
16．（2023·广州）已知点在函数的图象上．
（1）若m=-2，求n的值；
（2）抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，⊙C与轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入得；
故n的值为；
（2）解：在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：正值已舍去，
即时，点到达最高处；
假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由得，， ，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为：
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
，或
【知识点】平行四边形的性质；垂径定理；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把m=-2代入反比例函数的解析式可算出对应的函数值，从而即可得出n的值；
（2）①令抛物线y=（x-m）（x-n）中的y=0，算出对应的x的值，可得点M、N的坐标，根据反比例函数图象上的点的坐标特点可得mn=-2，将代入y=（x-m）（x-n）并整理得，由偶数次幂的非负性得，故当m+n=0，且mn=-2，求解即可得出m的值；
②先令抛物线y=（x-m）（x-n）中的x=0，算出对应的y的值，可得点G的坐标，用含m、n的式子分别表示出点M、N、E的坐标及对称轴直线，由正切函数的定义表示出∠OMG的正切值，作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，根据点的坐标与图形的性质用含m的式子表示出点T的坐标，进而再根据正切函数的定义表示出∠MKT的正切值，利用待定系数法求出直线TS的表达式，将代入直线TS的解析式算出对应的y的值，从而即可求出点C的坐标；由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，根据两点间的距离公式算出FG，由平行四边形的性质可得CE=FG，据此建立方程可求出E点纵坐标，从而此题得解.
17．（2023·鄞州模拟）如图1，圆O的直径AB垂直弦CD于点E，点P为弧AC上的一点，连结PE并延长交圆O于点Q，连结DQ，过点P画PF∥DQ交DC的延长线于点F，若圆O的直径为10， OE=3.
（1）求CD的长；
（2）如图2，当∠PQD=90°时，求∠PEC的正切值；
（3）如图1，设PE=x， DF=y.
①求y关于x的函数解析式；②若PF×DQ=20，求y的值.
【答案】（1）解：如图，连结OC，
∵ 直径AB⊥CD ，
∴CD=2CE，∠OEC=90°，
在RtOCE中，OE=3，OC=5，
∴CE=4，
∴CD=2CE=8，
（2）解：如图，连接PD、PC，
∵∠PQD=∠PCD=90°，
∴PD是该圆的直径，
在Rt△PCD中，，
∴tan∠PEC=；
（3）解：（1）①连接PC，如图，
∵PF∥DQ，
∴∠F=∠D，
∵∠D=∠CPE，
∴∠CPE=∠F，
又∵∠PEF=∠CEP，
∴△PCE∽△FPE，
∴，
∴PE2=CE·EF，
∴x2=4（y-4），
∴；
②如图，连接BC、BP、PA、OC，过点P作PH⊥AB于点H，
∵△PCE∽△FPE，
∴（1），
∵∠PQD=∠PCE，∠PEC=∠DEQ，
∴△PCE∽△DQE，
∴（2），
（1）×（2）得，
∵CE=DE，
∴PC2=PF·DQ=20，
∴，
在Rt△BCE中，，
∴PC=BC，
∴弧PC=弧BC=弧BD，
∴∠PAB=∠COE，
∵cos∠COE=，
∴cos∠PAB=，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴，
∴PA=AB·cosA=6，AH=PA·cosA=，
∴，
在Rt△PHE中，PE2=PH2+HE2=，
把x2=代入得，
∴y的值为.
【知识点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得CD=2CE，∠OEC=90°，在RtOCE中，用勾股定理算出CE的长，从而即可求出CD的长；
（2）连接PD、PC，由同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是90°得∠PQD=∠PCD=90°，PD是该圆的直径，在Rt△PCD中，用勾股定理算出PC，进而根据正切函数的定义可求出答案；
（3）①连接PC，由平行线的性质及同弧所对的圆周角相等可得∠D=∠CPE，进而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△PCE∽△FPE，根据相似三角形对应边成比例即可建立出y关于x的函数解析式；
②连接BC、BP、PA、OC，过点P作PH⊥AB于点H，由△PCE∽△FPE，得（1），判断出△PCE∽△DQE，得（2），将两式相乘可求出，由勾股定理算出，可得弧PC=弧BC=弧BD，得∠PAB=∠COE，由等角所对的同名三角函数值相等得cos∠PAB=，由∠A的余弦函数可求出PA、AH，用勾股定理算出PH，PE2，可求x2的值，进而代入①所求的函数解析式可求出y的值.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.2 垂径定理 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·郧西模拟）如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2023九上·绥阳期中）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
3．（2023九上·贵州期末）如图，是弦，于点，交于点，若半径为5，，则弦的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2023九上·石家庄月考）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.6米，最深处水深0.1米，则此输水管道的半径是（ ）米
A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.5
5．（2020九上·湖州期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OC∥BD B．AD⊥OC
C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
6．（2022九上·温州月考）如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（ ）
A．5 B．18 C．3 D．17
7．（2021九上·义乌期末）如图，半径为6的分别与轴，轴交于，两点，上两个动点，，使恒成立，设的重心为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·椒江期中）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE.点P为 上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC.过点C作CF⊥BP于点F.给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中， 的值始终等于 .则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
二、填空题
9．（2024九上·贵州期末） 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O的半径等于 ．
10．（2023九上·石家庄月考）圆O的半径为5，为两条平行的弦，．则这两条平行弦之间的距离为 ．
11．（2024九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=AE=8cm，则OC的长为 cm.
12．（2017·襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ，则∠BAC的度数为 ．
13．（2023九上·杭州期中） 如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
三、解答题
14．如图所示，在半径为的中，弦AB与CD交于点，，求CD的长.
15．（2018九上·右玉月考）已知：如图，∠PAC=30o，在射线AC上顺次截取AD=3 cm，DB=10 cm，以DB为直径作⊙O，交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．
四、综合题
16．（2023·广州）已知点在函数的图象上．
（1）若m=-2，求n的值；
（2）抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，⊙C与轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2023·鄞州模拟）如图1，圆O的直径AB垂直弦CD于点E，点P为弧AC上的一点，连结PE并延长交圆O于点Q，连结DQ，过点P画PF∥DQ交DC的延长线于点F，若圆O的直径为10， OE=3.
（1）求CD的长；
（2）如图2，当∠PQD=90°时，求∠PEC的正切值；
（3）如图1，设PE=x， DF=y.
①求y关于x的函数解析式；②若PF×DQ=20，求y的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，
∴，，
∵AC＝4，BC＝2，
∴BA=6，
∴AE=BE=3，
∴CE=1，
设OE=x，
∴，
∵CD⊥OC，
∴，
∴或（舍去）.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，由垂径定理得AE=BE=3，则CE=1，设OE=x，根据勾股定理表示出OC2及OD2，进而根据CD2=OD2-OC2建立方程，求解得出x的值，进而即可得出CD的长.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OP⊥AB于点P，
∵AB=16，
∴AP=8，
∵OA=10，
∴OP=，
∴6≤OM＜10，
∴OM可取得的整数为6，7，8，9，
∴这样的点M共有7个。
故答案为：C.
【分析】连接OA，过点O作OP⊥AB于点P，根据垂径定理可得AP=8，根据勾股定理可得OP=6，即可得出6≤OM＜10，进而根据对称性可得出符合条件的点共有7个。
3．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连接OC，如图，
设半径r=5，
，
在Rt△OAD中，
故答案为：D.
【分析】连接OC，利用垂径定理和勾股定理求得AD的长，从而求得结论.
4．【答案】D
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】过点O作OC⊥AB于点C，连接OA、OB，如图所示：
根据题意可得：AC=BC=AB=0.3m，
设OA=r，则OC=r-0.1，
在Rt△AOC中，AO2=OC2+AC2，
∴r2=（r-0.1）2+0.32，
解得：r=0.5，
故答案为：D.
【分析】设OA=r，则OC=r-0.1，利用勾股定理可得r2=（r-0.1）2+0.32，再求出r的值即可.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴ ，
∵OC是半径，
∴OC⊥AD，AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BD，
故A、B、D正确，C错误；
故答案为：C.
【分析】由题意易得 ，则根据垂径定理及推论可进行排除选项.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，分别连接OE、EH，
∴OE＝AG，
∴点E在以AG为直径的圆上，
∵DF∥AE，
∴弧AD＝弧EH，
∴AD＝EH，
∵点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，
∴AC＝a，CB＝a，
∴AD＝DB＝a，
∴HE＝AD＝a，
∵EF＝DC＝a，
∴HF＝＝＝a，
∵BE＝b，BE垂直于FG，
∴EG＝b，
∴FG＝EF+EG＝a+b，
∴HG＝＝ ，
又∵a＝9，b＝6，
∴HG＝＝.
故答案为：C．
【分析】如图，分别连接OE、EH，由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得OE＝AG，从而得出点E在以AG为直径的圆上，再根据垂径定理推论可得AD＝EH，又由点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，推出HE＝AD＝a，再利用勾股定理用字母a和b表示HG的长，最后代入数值进行计算，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接并延长，交于点，
的重心为，
为的中点，
，
，
，
，
，
的重心为，
，
在上取点，使，连接，
，，
，
，
.
在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，，
，
的最小值是，
故答案为：B.
【分析】连接并延长，交于点，由三角形的重心可知点F为的中点，由垂径定理可得OF⊥BC，利用直角三角形的性质可得，由三角形的重心可得，在上取点，使，连接，证明，利用相似三角形的性质求出GE=2，即得G在以为圆心，2为半径的圆上运动，可得点E的坐标，从而可知当点D、E、G共线时DG的长最小，利用DG=DE-GE即得结论.
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作CM⊥AP于M，连接AD.
∵AE⊥OD，OE＝DE，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴AE＝EB，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，故①正确，
∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，
∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，
∴CF＝CM，
∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，
∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），
∴PF＝PM，
∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，
∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），
∴AM＝BF，
∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，
∴ ，
在Rt△CPF中，
∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，
，
，
∴ ，故②正确，
故答案为：A.
【分析】作CM⊥AP于M，连接AD，根据AE⊥OD，OE＝DE，可得AD=OA=OD，即可得△AOD是等边三角形，故可得①正确；利用全等三角形的性质可得AM=BF，PM=PF，CF=PF可判断②.
9．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示：
∵OC⊥AB，CO过圆心O，
∴AC=BC=AB=4，
由勾股定理得AO=5，
故答案为：5
【分析】连接OA，先根据垂径定理即可得到AC，进而运用勾股定理即可求解。
10．【答案】1或7
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】①当弦AB和弦CD在圆心同侧时，如图所示：
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB//CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=AB=4，CF=CD=3，
∵OA=OC=5，
∴EO=，OF=，
∴EF=OF-EO=4-3=1，
②当弦AB和弦CD在圆心异侧时，如图所示：
过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA，OC，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=AB=4，CF=CD=3，
∵OA=OC=5，
∴EO=，OF=，
∴EF=OF+EO=4+3=7，
综上，这两条平行弦之间的距离为1或7，
故答案为：1或7.
【分析】分类讨论：①当弦AB和弦CD在圆心同侧时，②当弦AB和弦CD在圆心异侧时，再分别画出图象并利用垂径定理及勾股定理求解即可.
11．【答案】5
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，则，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的长为，
故答案为：5．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解。设圆的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
12．【答案】15°或105°
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE= AC= ，AD= AB= ，
∴sin∠AOE= = ，sin∠AOD= = ，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
故答案是：15°或105°．
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
13．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点G作GM⊥AC于点M，连接AG，BG，如图，
∵ GO⊥AB，∴ OA=OB，
在Rt△AOG中，∵ AG=2，OG=1，
∴ AO=，
∴ AB=2AO=，
∵ ∠GAO=30°，
∴ ∠AGO=60°，
∵ GA=GC，
∴ ∠GAC=∠GCA=30°，
∵ GM⊥AC，
∴ MG=1，AC=，
∵CF⊥AE于F， 即∠CFA=90°，
∴ 点F在以AC为直径的圆上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM-GM=.
【分析】作GM⊥AC于点M，连接AG，BG，根据∠CFA=90°，推出点F在以AC为直径的圆上得出点F在MG的延长线上时，FG最小，再求出FM和GM即可.
14．【答案】解：过点O作OF⊥CD于点F，作OG⊥AB于点G，连接OB，OD，OE，
∵OF⊥DC，OG⊥AB，
∴AG=BG=AB=3，CD=2DF，
∵AE=1，
∴EG=AG-AE=2，
在Rt△BGO中，由勾股定理得OG=2，
∴EG=OG=2，
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴∠OEG=45°，OE=，
∵∠DEB=75°，
∴∠FEO=75°-45°=30°，
在Rt△OEF中，∠FEO=30°，
∴OF=OE=，
在Rt△DOF中，由勾股定理得DF=，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】过点O作OF⊥CD于点F，作OG⊥AB于点G，连接OB，OD，OE，由垂径定理得AG=BG=AB=3，CD=2DF，从而由线段的和差算出EG的长，进而利用勾股定理算出OG的长，得出△OEG是等腰直角三角形，则∠OEG=45°，OE=，由角的和差得出∠FEO=30°，由含30°角直角三角形的性质求出OF的长，最后再在Rt△DOF中，利用勾股定理算出DF的长，从而可得出CD的长了.
15．【答案】解：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF，解直角三角形OAG可得OG，AG的值，然后再利用垂径定理求EF的值．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】利用辅助线，与30度角的直角三角形的性质，可先得出O到EF的距离，再利用勾股定理求出EF的一半即可。
16．【答案】（1）解：把代入得；
故n的值为；
（2）解：在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：正值已舍去，
即时，点到达最高处；
假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由得，， ，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为：
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
，或
【知识点】平行四边形的性质；垂径定理；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把m=-2代入反比例函数的解析式可算出对应的函数值，从而即可得出n的值；
（2）①令抛物线y=（x-m）（x-n）中的y=0，算出对应的x的值，可得点M、N的坐标，根据反比例函数图象上的点的坐标特点可得mn=-2，将代入y=（x-m）（x-n）并整理得，由偶数次幂的非负性得，故当m+n=0，且mn=-2，求解即可得出m的值；
②先令抛物线y=（x-m）（x-n）中的x=0，算出对应的y的值，可得点G的坐标，用含m、n的式子分别表示出点M、N、E的坐标及对称轴直线，由正切函数的定义表示出∠OMG的正切值，作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，根据点的坐标与图形的性质用含m的式子表示出点T的坐标，进而再根据正切函数的定义表示出∠MKT的正切值，利用待定系数法求出直线TS的表达式，将代入直线TS的解析式算出对应的y的值，从而即可求出点C的坐标；由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，根据两点间的距离公式算出FG，由平行四边形的性质可得CE=FG，据此建立方程可求出E点纵坐标，从而此题得解.
17．【答案】（1）解：如图，连结OC，
∵ 直径AB⊥CD ，
∴CD=2CE，∠OEC=90°，
在RtOCE中，OE=3，OC=5，
∴CE=4，
∴CD=2CE=8，
（2）解：如图，连接PD、PC，
∵∠PQD=∠PCD=90°，
∴PD是该圆的直径，
在Rt△PCD中，，
∴tan∠PEC=；
（3）解：（1）①连接PC，如图，
∵PF∥DQ，
∴∠F=∠D，
∵∠D=∠CPE，
∴∠CPE=∠F，
又∵∠PEF=∠CEP，
∴△PCE∽△FPE，
∴，
∴PE2=CE·EF，
∴x2=4（y-4），
∴；
②如图，连接BC、BP、PA、OC，过点P作PH⊥AB于点H，
∵△PCE∽△FPE，
∴（1），
∵∠PQD=∠PCE，∠PEC=∠DEQ，
∴△PCE∽△DQE，
∴（2），
（1）×（2）得，
∵CE=DE，
∴PC2=PF·DQ=20，
∴，
在Rt△BCE中，，
∴PC=BC，
∴弧PC=弧BC=弧BD，
∴∠PAB=∠COE，
∵cos∠COE=，
∴cos∠PAB=，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴，
∴PA=AB·cosA=6，AH=PA·cosA=，
∴，
在Rt△PHE中，PE2=PH2+HE2=，
把x2=代入得，
∴y的值为.
【知识点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得CD=2CE，∠OEC=90°，在RtOCE中，用勾股定理算出CE的长，从而即可求出CD的长；
（2）连接PD、PC，由同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是90°得∠PQD=∠PCD=90°，PD是该圆的直径，在Rt△PCD中，用勾股定理算出PC，进而根据正切函数的定义可求出答案；
（3）①连接PC，由平行线的性质及同弧所对的圆周角相等可得∠D=∠CPE，进而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△PCE∽△FPE，根据相似三角形对应边成比例即可建立出y关于x的函数解析式；
②连接BC、BP、PA、OC，过点P作PH⊥AB于点H，由△PCE∽△FPE，得（1），判断出△PCE∽△DQE，得（2），将两式相乘可求出，由勾股定理算出，可得弧PC=弧BC=弧BD，得∠PAB=∠COE，由等角所对的同名三角函数值相等得cos∠PAB=，由∠A的余弦函数可求出PA、AH，用勾股定理算出PH，PE2，可求x2的值，进而代入①所求的函数解析式可求出y的值.
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