2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2021九上·阳信期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故答案为：D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可求出答案。
2．（2023九上·廊坊期中）如图，点，，，，将的圆周进行五等分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵点，，，，将的圆周进行五等分，
∴∠AOD=×360°=144°，
故答案为：D.
【分析】利用圆周角是360° 及点，，，，将的圆周进行五等分，列出算式求解即可.
3．（2023九上·杭州期中）下列命题正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．圆是轴对称图形，其对称轴是直径
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】C
【知识点】圆的认识；垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A：错误，应该是：不在同一直线上的三个点确定一个圆；
B：错误，圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线.；
C：90°的圆周角所对的弦是直径说法正确；
D：错误，因为直径也是弦，应该说：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.
故答案为：C.
【分析】根据所学的关于圆的知识点，用排除法对每个选项进行分析，找出正确答案即可.
4．（2023九上·绍兴月考）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，
所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意．
故答案为：A.
【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键．根据圆心角的定义作答即可．
5．如图，均为半径，，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠AOC=0.5∠AOB
∴2劣弧AB=劣弧AC
∴BC＜2AB
故A错误，C正确。
又∵∠ACB-0.5∠AOC，∠ABC=0.5∠AOB
∴∠ACB=2∠ABC=∠AOC
故B、D都正确
故答案为：A
【分析】根据同圆中同弧所对圆心角与圆周角的关系，即弦的关系求解即可。
6．（2023九上·路北期中）在⊙O中，则弦AB与弦CD的大小关系是（ ）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 取的中点E，连接、，则，
，
在中，，即，
则，
故答案为：C．
【分析】根据两弧的关系，作出 的中点E，则，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论．
7．（2020九上·齐河期末）如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA，
则AM＝BM＝ AB，
在Rt△AOM中，AM＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝2AM＝ ，
则 ≤过点M的所有弦≤8，
则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，
故答案为：C．
【分析】先求出AM＝BM＝ AB，再利用勾股定理进行计算求解即可。
8．（2023九上·六安期中）如图，AB为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长DE交于点F．若，，则的直径长为（ ）
A． B．8 C．10 D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，，
解得，x=4，
AB=2x=8.
故答案为：B.
【分析】连接OF，根据圆心角定理和垂径定理得到EF的长度，再根据勾股定理建立方程求解。
二、填空题
9．根据圆的旋转不变性，得到了圆心角与 、弦、 之间的关系．
【答案】弧；弦心距
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 根据圆的旋转不变性，得到了圆心角与弧、弦、弦心距之间的关系，
故答案为：弧、弦心距.
【分析】根据圆旋转不变性，即可得出答案.
10．如图，MN为⊙O的弦，∠M=55°，则∠MON的度数是
【答案】70°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OM与ON都是半径，
∴∠M=∠N.
∵MN为⊙O的弦，∠M=55°，
∴∠MON=180°-2∠M=70°.
故答案为：70°.
【分析】先说明∠M=∠N，再利用三角形的内角和求解.
11．（2023九上·南京开学考）⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是 度．
【答案】60
【知识点】等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴的度数为60°；
故答案为：60.
【分析】如图，连接OA、OB，先证明△ABC为等边三角形，则可得到∠AOB=60°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可得出答案.
12．（2023九上·哈尔滨期中）直径为20cm的⊙O中，弦AB＝10cm，则弦AB所对的圆心角是 ．
【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵直径为20cm，
∴ OA=OB=10cm，
而AB=10cm，
∴ OA=OB = AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴ ∠AOB = 60°，
即弦AB所对的圆心角是60°.
故答案为：60°.
【分析】连接OA、OB，证明△OAB为等边三角形得到∠AOB =60°即可.
13．（2023九上·萧山期中）如图，AB是☉O的直径，四边形ABCD内接于☉O，OD交AC于点E，AD=CD．若AC=10，DE=4，则BC的长为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，，
设，
，
，
，
，
点、分别为、的中点，
.
故答案为：.
【分析】先利用圆心角定理证得，再通过垂径定理可得，，设，通过勾股定理解得，得到OE的长度，然后由三角形的中位线定理求得BC的长度.
三、解答题
14．（2023九上·吉林期中）如图，以平行四边形ABCD顶点A为圆心。AB为半径作圆，交AD、BC于点E、F，延长BA交⊙A于点G，求证.
【答案】证明： 连接AF．
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B=∠GAE，∠EAF=∠AFB，
∵AB=AF，
∴∠B=∠AFB，
∴∠GAE=∠EAF ，
∴
【知识点】平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AF，利用平行线的性质可得∠B=∠GAE，∠EAF=∠AFB，利用等边对等角的性质可得∠B=∠AFB，利用等量代换可得∠GAE=∠EAF ， 再利用圆心角和弧的关系可得.
15．（2023九上·廊坊期中）如图，在中，，，直径于点，连接，．
（1）求的度数；
（2）求的长度．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）利用弧和圆心角的关系可得，从而得解；
（2）先求出，再利用角的运算求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后求出即可.
四、综合题
16．（2023·静安模拟）如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点．
（1）求证：；
（2）当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：．
【答案】（1）解：四边形 是矩形，且点 是边 的中点，
在 和 中，
，
∴
；
（2）证明：如图，连接 ，并延长 交 于点 ，
四边形 是矩形，
∴
∵ ， ，
∴点 、 都在线段 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
，
是以点 为中心的正六边形的一边，
由正六边形性质可得∶ ，
∵ ，
是等边三角形，
又
，
，
．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合题意得到再根据三角形全等的判定与性质得到；
（2）连接 ，并延长 交 于点 ，先根据矩形的性质得到，再运用垂直平分线的性质结合平行线的判定即可得到 ，再根据正六边形的性质即可得到 ，进而即可得到 是等边三角形，最后结合题意，运用圆中圆心角与弧的关系即可求解。
17．（2023·三亚模拟）如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接交于点M．
（1）当时，求证：；
（2）在（1）的条件下，计算的值；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）证明：，
，
四边形是矩形，
，
在和中，
（）
（2）解：由（1）知，
如图所示，延长、，交于G，
，，
同理，
.
（3）解：如图所示：
A、E、F、D四点共圆，且是直径
又
，
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠C=90°，由同角的余角相等可得∠CFE=∠AEB，由已知条件可知AB=EC，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得BE=FC=BC-CE=BC-AB=1，延长BC、AF，交于点G，根据平行线的性质可得∠ADF=∠GCF，∠DAF=∠CGF，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AFD∽△GFC，同理可得△AMD∽△GME，然后根据相似三角形的性质进行求解；
（3）由题意可得：A、E、F、D四点共圆，且AF为直径，根据弧、弦的关系可得AE=AD=4，然后利用勾股定理进行计算.
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一、选择题
1．（2021九上·阳信期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
2．（2023九上·廊坊期中）如图，点，，，，将的圆周进行五等分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·杭州期中）下列命题正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．圆是轴对称图形，其对称轴是直径
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．平分弦的直径垂直于弦
4．（2023九上·绍兴月考）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，均为半径，，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·路北期中）在⊙O中，则弦AB与弦CD的大小关系是（ ）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD
7．（2020九上·齐河期末）如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．（2023九上·六安期中）如图，AB为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长DE交于点F．若，，则的直径长为（ ）
A． B．8 C．10 D．
二、填空题
9．根据圆的旋转不变性，得到了圆心角与 、弦、 之间的关系．
10．如图，MN为⊙O的弦，∠M=55°，则∠MON的度数是
11．（2023九上·南京开学考）⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是 度．
12．（2023九上·哈尔滨期中）直径为20cm的⊙O中，弦AB＝10cm，则弦AB所对的圆心角是 ．
13．（2023九上·萧山期中）如图，AB是☉O的直径，四边形ABCD内接于☉O，OD交AC于点E，AD=CD．若AC=10，DE=4，则BC的长为 ．
三、解答题
14．（2023九上·吉林期中）如图，以平行四边形ABCD顶点A为圆心。AB为半径作圆，交AD、BC于点E、F，延长BA交⊙A于点G，求证.
15．（2023九上·廊坊期中）如图，在中，，，直径于点，连接，．
（1）求的度数；
（2）求的长度．
四、综合题
16．（2023·静安模拟）如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点．
（1）求证：；
（2）当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：．
17．（2023·三亚模拟）如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接交于点M．
（1）当时，求证：；
（2）在（1）的条件下，计算的值；
（3）当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故答案为：D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可求出答案。
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵点，，，，将的圆周进行五等分，
∴∠AOD=×360°=144°，
故答案为：D.
【分析】利用圆周角是360° 及点，，，，将的圆周进行五等分，列出算式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】圆的认识；垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A：错误，应该是：不在同一直线上的三个点确定一个圆；
B：错误，圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线.；
C：90°的圆周角所对的弦是直径说法正确；
D：错误，因为直径也是弦，应该说：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.
故答案为：C.
【分析】根据所学的关于圆的知识点，用排除法对每个选项进行分析，找出正确答案即可.
4．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，
所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意．
故答案为：A.
【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键．根据圆心角的定义作答即可．
5．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠AOC=0.5∠AOB
∴2劣弧AB=劣弧AC
∴BC＜2AB
故A错误，C正确。
又∵∠ACB-0.5∠AOC，∠ABC=0.5∠AOB
∴∠ACB=2∠ABC=∠AOC
故B、D都正确
故答案为：A
【分析】根据同圆中同弧所对圆心角与圆周角的关系，即弦的关系求解即可。
6．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 取的中点E，连接、，则，
，
在中，，即，
则，
故答案为：C．
【分析】根据两弧的关系，作出 的中点E，则，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA，
则AM＝BM＝ AB，
在Rt△AOM中，AM＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝2AM＝ ，
则 ≤过点M的所有弦≤8，
则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，
故答案为：C．
【分析】先求出AM＝BM＝ AB，再利用勾股定理进行计算求解即可。
8．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，，
解得，x=4，
AB=2x=8.
故答案为：B.
【分析】连接OF，根据圆心角定理和垂径定理得到EF的长度，再根据勾股定理建立方程求解。
9．【答案】弧；弦心距
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 根据圆的旋转不变性，得到了圆心角与弧、弦、弦心距之间的关系，
故答案为：弧、弦心距.
【分析】根据圆旋转不变性，即可得出答案.
10．【答案】70°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OM与ON都是半径，
∴∠M=∠N.
∵MN为⊙O的弦，∠M=55°，
∴∠MON=180°-2∠M=70°.
故答案为：70°.
【分析】先说明∠M=∠N，再利用三角形的内角和求解.
11．【答案】60
【知识点】等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴的度数为60°；
故答案为：60.
【分析】如图，连接OA、OB，先证明△ABC为等边三角形，则可得到∠AOB=60°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可得出答案.
12．【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵直径为20cm，
∴ OA=OB=10cm，
而AB=10cm，
∴ OA=OB = AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴ ∠AOB = 60°，
即弦AB所对的圆心角是60°.
故答案为：60°.
【分析】连接OA、OB，证明△OAB为等边三角形得到∠AOB =60°即可.
13．【答案】
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，，
设，
，
，
，
，
点、分别为、的中点，
.
故答案为：.
【分析】先利用圆心角定理证得，再通过垂径定理可得，，设，通过勾股定理解得，得到OE的长度，然后由三角形的中位线定理求得BC的长度.
14．【答案】证明： 连接AF．
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B=∠GAE，∠EAF=∠AFB，
∵AB=AF，
∴∠B=∠AFB，
∴∠GAE=∠EAF ，
∴
【知识点】平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AF，利用平行线的性质可得∠B=∠GAE，∠EAF=∠AFB，利用等边对等角的性质可得∠B=∠AFB，利用等量代换可得∠GAE=∠EAF ， 再利用圆心角和弧的关系可得.
15．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）利用弧和圆心角的关系可得，从而得解；
（2）先求出，再利用角的运算求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后求出即可.
16．【答案】（1）解：四边形 是矩形，且点 是边 的中点，
在 和 中，
，
∴
；
（2）证明：如图，连接 ，并延长 交 于点 ，
四边形 是矩形，
∴
∵ ， ，
∴点 、 都在线段 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
，
是以点 为中心的正六边形的一边，
由正六边形性质可得∶ ，
∵ ，
是等边三角形，
又
，
，
．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合题意得到再根据三角形全等的判定与性质得到；
（2）连接 ，并延长 交 于点 ，先根据矩形的性质得到，再运用垂直平分线的性质结合平行线的判定即可得到 ，再根据正六边形的性质即可得到 ，进而即可得到 是等边三角形，最后结合题意，运用圆中圆心角与弧的关系即可求解。
17．【答案】（1）证明：，
，
四边形是矩形，
，
在和中，
（）
（2）解：由（1）知，
如图所示，延长、，交于G，
，，
同理，
.
（3）解：如图所示：
A、E、F、D四点共圆，且是直径
又
，
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠C=90°，由同角的余角相等可得∠CFE=∠AEB，由已知条件可知AB=EC，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得BE=FC=BC-CE=BC-AB=1，延长BC、AF，交于点G，根据平行线的性质可得∠ADF=∠GCF，∠DAF=∠CGF，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AFD∽△GFC，同理可得△AMD∽△GME，然后根据相似三角形的性质进行求解；
（3）由题意可得：A、E、F、D四点共圆，且AF为直径，根据弧、弦的关系可得AE=AD=4，然后利用勾股定理进行计算.
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