河南省南阳市重点学校2022-2023学年高二上学期期末质量评估数学试题（含解析）

2022年秋期高二年级期末质量评估
数学试题
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若直线：与直线：平行，则的值为（ ）
A．3 B． C．3或 D．或4
2．随机变量X服从正态分布，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B. C． D．
3．已知定点和直线：，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D.
5．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，每位医务人员只能分配到一个社区工作.则不同的分配方法有（　　）
A．25种 B．50种 C．150种 D．300种
9．如图，直三棱柱的底面为正三角形，M，N分别为AC，的中点，若，则异面直线与MN所成角的大小为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
10．已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．2
11．设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，体积为，若PA⊥平面ABCD，且PA＝2，则四棱锥P﹣ABCD的外接球体积的最小值是（　　）
A．π B．π C．125π D．π
Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在答题卡的横线上.）
13．设随机变量的概率分布为，(为常数，，，，)，则 ______ ．
14．由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有_________种.
15．的展开式中的系数为______（用数字作答）.
16．若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
17．已知展开式的二项式系数和为512，．
(1)求的值；
(2)求系数绝对值最大的项.
18．有甲、乙、丙三个厂家生产同种规格的产品，甲、乙、丙三个厂家生产的产品的合格率分别为、、，已知甲、乙、丙三个厂家生产的产品数所占比例为，将三个厂家生产的产品混放在一起，从混合产品中任取件．
(1)求这件产品为合格品的概率；
(2)已知取到的产品是合格品，问它是哪个厂生产的可能性最大？
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点.
(1)若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程；
(2)圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由.
20．如图所示，在四棱锥中，底面，底面是菱形，且，，是的中点，是棱上靠近点的一个三等分点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
21．某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立．
(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p；
(2)若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望．
已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率e＝．
若P为椭圆C上一动点，证明P到F的距离与P到直线x＝的距离之比为定值，并求出该定值；
设c＝1，过定点（0，c）且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在y轴上是否存在一点Q，使得y轴始终平分∠MQN？若存在，出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
期末质量评估参考答案：
1．A
【详解】因为，直线：与直线：平行，
所以，解得：或，
当时，：，：，，符合题意；
当时，：，：，均可化为，即，重合，舍去.
故.
故选：A.
2．B 【详解】因为，由正态分布的对称性可得，
故选：B．
3．C
【详解】直线，整理得，
由，解得，故直线过定点
故点到直线的距离的最大值为.
故选：C
4．D
【详解】由已知可设双曲线的标准方程为.
由已知可得，所以，则，所以.
所以，双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
5．C
【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，
动圆圆心为，半径为，
当两圆外切时：，所以；
当两圆内切时：，所以；
即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，
所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，
，
所以动圆圆心的轨迹方程为：，
故选：C.
6．D
【详解】解：椭圆的焦点为，
又双曲线：的一条渐近线方程为，
所以，解得，所以双曲线方程为.
故选：D
7．A
【分析】根据条件概率公式可求出结果.
【详解】设事件：第一次取出的是语文书，事件：第二次取出的是数学书，
则.
故选：A
8．C
【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.
【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种；
②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种.
综上，选法共有.
故选:C.
9．C
【分析】解法一，解法二：设直三棱柱的底面边长为2，，利用勾股定理求出m的值，再作辅助线，找到异面直线与所成的角或其补角，解三角形即可得解；
解法三：设高为h，利用空间向量和列方程得到，然后利用空间向量的方法求异面直线所成角即可.
【详解】解法一：
如图，设直三棱柱的底面边长为2，，连接，
则，，，
因为，所以在中，由勾股定理可得，得.
连接，交于点P，取的中点Q，连接PQ，AQ，则，，
所以为异面直线与MN所成的角或其补角.
易知，故为等边三角形，，
所以异面直线与MN所成角的大小为60°.
解法二：
设直三棱柱的底面边长为2，，连接，
则，，，
因为，所以在中，由勾股定理可得，得.
如图，把三棱柱补成一个四棱柱，连接，，
则，，故为异面直线与所成的角或其补角.
连接AD，易知，故为等边三角形，，
所以异面直线与所成角的大小为60°.
解法三 由题可以A为坐标原点，分别以AB，所在直线为y，z轴，
在平面ABC上过点A作与AB垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设直三棱柱的底面边长为2，高为h，则，，，，
所以，，，由可得，
所以，得，所以，，则，
因为异面直线所成角的取值范围为，所以异面直线与MN所成角的大小为60°.
故选：C
10．A
【详解】的展开式的通项公式为，，
∵， ∴，解得，
故选：A.
11．B【详解】由椭圆的定义可知：，因为，
所以，在中，由余弦定理可得：
，
化简整理可得：，所以，
故选：B.
12.D【解答】解：底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD的体积为，若PA⊥平面ABCD，且PA＝2，可得底面面积为：8，设AB＝a，BC＝b，则ab＝8，
四棱锥的外接球就是扩展的长方体的外接球，PC就是外接球的直径，
可得：2R＝≥＝＝2，当且仅当a＝b＝2，取等号，R． 外接球的体积的最小值为：×（）3＝．
故选：D．
13．
【详解】由题意知：随机变量的所有可能取值的概率和为1，
即，则，所以，得.
故答案为：
14．480
【详解】先除去甲乙，另外4位专家排成一排，站法共有种，
4位专家排成一排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有种，
由分步乘法计数原理得种，即不同的站法有480种，
故答案为：480
15．
【详解】因为的二项式展开式的通项为，
当因式取时，则二项式取，此时系数为;
当因式取时，则二项式取，此时系数为;
故的展开式中的系数为，
故答案为：.
16．8
【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形为矩形，进而有，再根据椭圆定义、勾股定理求即可.
【详解】由已知及对称性得：四边形为矩形，即，
所以，
由椭圆定义与勾股定理知：，可得．
所以四边形的面积为8.
故答案为：8
17．(1) (2)
【分析】（1）先根据二项式系数和求出，然后利用换元后进行处理；
（2）先表示出系数绝对值的表达式，通过研究该表达式的单调性进行处理；
【详解】（1）由二项展开式的系数和为，于是，解得，设，于是，根据二项展开式的通项，为求，令，则
（2）展开式中第项的绝对值为，记，，令，解得，即时，；令，解得，即时，.于是，且，即最大，故原式中最大，最大项为
18．(1)
(2)这件产品由丙厂生产的可能性最大
【详解】（1）解：设事件表示取到的产品为合格品，、、分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．
则，且、、两两互斥，
由已知，，，
，，，
由全概率公式得.
（2）解：由贝叶斯公式得，
．
．
所以，，故这件产品由丙厂生产的可能性最大．
19．(1)或
(2)存在，两个
【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；
(2) 假设圆上存在点，设，则，利用题干条件得到点也满足，根据两圆的位置关系即可得出结果.
【详解】（1）圆可化为，圆心为，
若的斜率不存在时，，此时符合要求.
当的斜率存在时，设的斜率为，则令，
因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离
，

所以直线的方程为或.
（2）假设圆上存在点，设，则，
，
即，即，
，
与相交，则点有两个.
20．(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）连接，交于点，连接.
∵四边形为菱形，且为的中点.
∴，∴为线段上靠近的三等分点.
在中，为三等分点，为三等分点，即，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
（2）如图，取中点，连接.因为是菱形，且，所以，
又因为且，所以四边形为矩形，则，
又因为底面， 平面，所以，也即、、两两垂直，
以为原点，、、分别为，，轴，建立空间直角坐标系.
，，，，
∵，∴，∴，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则.取平面的一个法向量，
从而.
∵二面角为锐二面角，∴其余弦值为.
21．(1)
(2)分布列见解析；
【详解】（1）设小明在处投篮为事件，在处投篮分别为
已知小明同学恰好投中2次，分三种情况:
中中不中；
中不中中；
不中中中；
其概率为：， 解得：.
（2）由题意可得得分的可能取值分别为，，，，
；
；
；
；
.
综上所述可得的分布列为
5 3 2 1 0
22 .【解答】解：（1）设点P（x0，y0），则根据题意可得，
∵F（c，0），
∴|PF|＝＝＝a﹣，
又∵点P到直线的距离为：，
∴，
即得点P到点F的距离与点P到直线的距离之比为定值．
（2）由（1）可得，设c＝1，则a＝2，即得b＝，因此可得椭圆的标准方程即为：，
根据题意，假设存在这样的一点Q（0，t），设直线l的方程为：y＝kx+1，
联立椭圆方程得到方程组： （3﹣4k2）x2+8kx﹣8＝0，结合题意，
设点M（x1，y1），N（x2，y2），则有，
因为y轴平分∠MQN，所以直线QM与QN的斜率互为相反数，
即得＝＝0，
化简可得，，
∵3+4k2＞0，
∴8k（t﹣3）＝0 t＝3，
即得存在点Q（0，3），使得y轴始终平分∠MQN．