1.5 平方差公式 第1课时 课件 (共14张PPT) 2023-2024学年初中数学北师大版七年级下册

(共14张PPT)
第一章 整式的乘除
第1课时
1.5 平方差公式
1.能掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行计算（重点）
2.能用乘法公式简化运算
一、学习目标
二、新课导入
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗
三、概念剖析
根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(x+1)(x-1) = .
(m+2)(m-2) = .
(2x+1)(2x-1) = .
x2-1
m2-4
4x2-1
上面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘.
三、概念剖析
由于
(a+b)(a-b)=
a2-ab+ab-b2
=a2-b2
抵消
所以，对于这种形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
(a+b)(a-b)=a2-b2
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
这个公式叫做(乘法的)平方差公式.
平分差公式属于多项式乘法计算，它是(a+b)(p+q)中p=a，q=-b的特殊情形.
例1. 下列计算式中，可以用平方差公式计算的是（　　）
A．（m-n）（n-m） B．（a+b）（-b-a）
C．（-a-b）（a-b） D．（a+b）（b+a）
四、典型例题
【分析】根据平方差公式两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差进行判断．
解：根据平方差公式特点，左边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，
因此可以用平方差公式计算的是C．（-a-b）（a-b）．故选：C．
C
1.下列各式能用平方差公式计算的是( )
(A)(3a+b)(a-b) (B)(-3a-b)(-3a+b)
(C)(3a+b)(-3a-b) (D)(-3a+b)(3a-b)
【解析】选B.平方差公式中必须存在一组符号相同的项和一组符号相反的项.A，C，D中不存在相同的项，因此A，C，D都不符合平方差公式的要求.
B
【当堂检测】
【当堂检测】
2.判断下列利用平方差公式运算的过程是否正确.
(1)(x+2)(x-2)=x2-2； (2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4；
(1)错误，实际上答案应为x2-22=x2-4，
解释：这里需要注意直接由平方差公式得出结果时，不要忘记a和b在
结果中都是平方形式出现.
(2)错误，实际上答案应为4-9a2，
解释：将(-3a-2)(3a-2)化成-(3a+2)(3a-2)的形式，最后直接得出结果时忘记考虑前面的负号；其实该题也可将式子看成(-2+3a)(-2-3a).
例2. 运用平方差公式计算.
(1)(3x+2)(3x-2) (2)(-x+2y)(-x-2y)
四、典型例题
解：(1)原式=
(3x)2-22
=9x2-4
总结：先和计算公式对照，分清楚哪部分是a，哪部分是b.
(2)原式=
(-x)2-(2y)2
分析：我们已经知道平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，在(1)中，把3x看作a，
2看成b；在(2)中把-x看作a，2y看作b.
=x2-4y2
3.运用平方差公式计算
【当堂检测】
（2）(x+2y)(x-2y)
（1）（a+2）(a-2)
（3）(-a-3)(3-a)
解：
(1)原式=a2-22=a2-4
(2)原式=x2-(2y)2=x2-4y2
(3)原式=(-a+3)(-a-3)=(-a)2-32=a2-9
提示：像(3)中不管它怎样变换位置，我们只需根据平方差公式中a的
符号相同，b的符号相反便可转化成熟悉的形式.
四、典型例题
例3.利用平方差公式进行化简.
(1)(x+2)(x-2)(x2+4)
解：
(1)原式=(x2-4)(x2+4)
=x4-16
(a+b)(a-b)与(a-b)(a+b)计算结果一致
(2)(a4+b4)(a-b)(a2+b2)(a+b)
思考：上面（2）式能利用平方差公式计算吗？那我们怎样计算？
解：
(2)原式=(a+b)(a-b)(a2+b2)(a4+b4)
=(a2-b2)(a2+b2)(a4+b4)
=(a4-b4)(a4+b4)
=a8-b8
四、典型例题
在复杂的算式运算中，注意运用整体思维，使之符合运用公式的条件，从而简化运算.
归纳总结：
4．化简
(1)(a-1)(a+1)(a2+1) (2)(x-3)(x2+9)(x+3)
【当堂检测】
解：
(1)原式=(a2-1) (a2+1)
=a4-1
(2)原式=(x+3)(x-3)(x2+9)
=(x2-9)(x2+9)
=x4-81
五、课堂总结
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
文字描述：
符号描述：
注意：
1.计算时先和计算公式对照，分清楚哪部分是a，哪部分是b；
2.在复杂的算式运算中，注意运用整体思维，使之符合运用公式的条件，从而简化运算.