4.1 认识三角形 第3课时 课件(共20张PPT) 2023-2024学年初中数学北师大版七年级下册

(共20张PPT)
第四章 三角形
4.1 认识三角形
第3课时
一、学习目标
1.掌握三角形的中线、角平分线及高线的概念及其画法.（重点）
2.了解三角形重心的概念.
二、新课导入
旧知回顾：
2.角的平分线：
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,
叫这个角的平分线.
如图所示，射线OB为∠A0C的角平分线，
其中∠A0B=∠B0C.
1.线段中点的定义：
把一条线段分成两条相等的线段的点.
A
B
O
如图所示，若AO=B0,则0点为线段AB中点.
二、新课导入
旧知回顾：
3.垂线的定义：
两直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这
两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
A
B
C
D
90°
如图所示，直线CD为直线AB的垂线.
三、概念剖析
(一)三角形的中线
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中
点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
A
B
C
D
一个三角形有三条中线，用同样的方法，我们
还可以画出三角形的另外两条中线.
总结：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形
这边上的中线.
三、概念剖析
画出任意一个三角形的三条中线，我们会发现三角形的三条中线相交于一点；我们把这个交点叫做三角形的重心.
A
B
C
D
取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心.
F
E
(一)三角形的中线
例1.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm
两部分，求△ABC的各边长．
分析：如图，因为中线BD将△ABC的周长分成两部分：
(BC＋CD)和(AD＋AB)，无法确定谁为12 cm，谁为15cm，
故应分类讨论．
A
B
C
D
典型例题
解：设AB＝xcm，则AD＝CD＝0.5x cm.
(1)如图①，若AB＋AD＝12 cm，则x＋0.5x＝12.解得x＝8，
即AB＝AC＝8 cm，则CD＝4 cm.故BC＝15－4＝11(cm)．
此时AB＋AC＞BC，符合三角形三边关系，
所以三边长分别为8cm，8cm，11cm.
A
B
C
D
图①
(2)如图②，若AB＋AD＝15 cm，
则x＋0.5x＝15.
解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm，则CD＝5 cm.
故BC＝12－5＝7(cm)．
此时AB＋BC＞AC，符合三角形三边关系，
所以三边长分别为10cm，10cm，7cm.
综上所述，△ABC的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.
A
B
C
D
图②
典型例题
【当堂检测】
1.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=6cm, △DBC的周长为20cm,求△ADC
的周长.
解：∵CD是△ABC的中线，∴BD=AD .
∵BC-AC=6cm,
∴(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=6cm，
∴ △DBC与△ADC的周长差是6cm；
又∵ △DBC的周长为20cm，
∴ △ADC的周长=20-6=14(cm).
发现：△ABC中线CD把原三角形分成的两个三角形的周长差就是BC与AC的差.
A
D
B
C
三、概念剖析
如图，在△ABC中作∠A的角平分线交BC于D点，
则线段AD为△ABC的一条角平分线；这时就有：
∠BAD=∠CAD= ∠BAC.
△ABC的角平分线有三条，都是线段；角的平分线是射线.
总结：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点
与交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线.
A
B
C
D
(二)三角形的角平分线
三、概念剖析
试一试：任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角
平分线,你发现了什么
结论：三角形的三条角平分线相交于一点,交点在
三角形的内部.
A
B
C
D
F
E
(二)三角形的角平分线
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
例2.如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
典型例题
【当堂检测】
2.如图，AD, BE, CF是△ ABC的三条角平分线，∠2=50°，∠ABC=50°，∠ACB=30°；则∠1=______, ∠3=_______, ∠4=_______.
50°
25°
15°
A
C
B
F
E
D
1
2
3
4
分析：根据三角形角平分线的性质可得：∠1=∠2，
∠3= ∠ABC,∠4= ∠ACB.
三、概念剖析
我们已经学了过直线外的一个点作该直线的垂线，而且只能画出1条垂线.
那如果在△ABC中，我们也可以过顶点A画出对边BC的垂线，如图：
(三)三角形的高
A
B
C
D
如果直线AD与直线BC的交点为D，
那么我们就说线段AD就是△ABC的一条高.
总结：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之
间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高.
三、概念剖析
(三)三角形的高
探究交流1：先画出一个锐角三角形，再画出这个锐角三角形的三条高；
最后观察三条高的位置关系，得出结论.
O
A
B
C
D
E
F
结论：1.锐角三角形的三条高交于同一点；
2.锐角三角形的三条高的交点和三条高
都在三角形的内部.
三、概念剖析
(三)三角形的高
探究交流2：先画出一个直角三角形，再画出这个直角三角形的三条高；
最后观察三条高的位置关系，得出结论.
结论：1.直角三角形的三条高交于直角顶点；
2.直角三角形的有两条高为直角边.
A
B
C
D
三、概念剖析
(三)三角形的高
探究交流3：先画出一个钝角三角形，再画出这个钝角三角形的三条高；
最后观察三条高的位置关系，得出结论.
结论：1.钝角三角形的三条高不相交于一点；
2.钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
A
B
C
D
E
F
例3.如图，(1)(2)(3)中的三个∠B有什么不同？画出各个△ABC的边BC上的高AD，并观察AD在各自三角形的什么位置？
A
B
C
(1)
A
B
C
(2)
A
B
C
(3)
解：(1)中的∠B是锐角，高AD在△ABC内部．
(2)中的∠B是直角，高AD与边AB重合．
(3)中的∠B是钝角，垂足在CB的延长线上，
即高AD在△ABC的外部.
(D)
D
D
典型例题
3.下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（　　）
【当堂检测】
D
五、课堂总结
三角形
高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和
垂足之间的线段，三条高所在直线交于一点.
角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段，三条角平分线交于一点.
中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段；
三条中线交于一点，为“重心”.