2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．一条弦将圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：劣弧所对的圆心角=×360°=90°．
故选C．
【分析】一条弦将圆分成1：3两部分，根据圆心角、弧、弦的关系劣弧所对的圆心角为周角的 ，然后根据周角的定义计算即可．
2．（2023九下·姑苏开学考）下列命题正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．圆既是中心对称图形又是轴对称图形
C．两个圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等
D．等弧就是长度相等的弧
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故原命题错误，不符合题意；
B.圆既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，符合题意；
C.同圆或等圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等，故原命题错误，不符合题意；
D.等弧是能够完全重合的弧，长度相等不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可判断A、C；根据圆的对称性可判断B；等弧是能够完全重合的弧，据此判断D.
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（2）同步练习）如图所示，在⊙O中， ，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．150° B．75° C．60° D．15°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵在⊙O中， ，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；
又∠A=30°，
∴∠B= =75°（三角形内角和定理）．
故答案为：B．
【分析】 根据等弧所对的弦相等得出AB=AC，根据等边对等角得出∠B=∠C；然后滚局三角形的内角和即可算出∠B的度数。
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.1 圆的基本元素 同步练习）如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）
A．15 B．15+5 C．20 D．15+5
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连结AD，BP，PA，
∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，
∴∠ABD=90°，
∴AD=
AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB=5，
∴BD=BP=5，
当点P与点D重合时，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=5+5+5+5
=15+5
．
故答案为：B．
【分析】 因为P在半径为5的圆周上，若使四边形周长最大，只要AP最长即可（因为其余三边长为定值5）．当点P与点D重合时，四边形ACBP周长的最大值。
5．（2023九下·德化月考）如图，已知的半径为，、是直径的同侧圆周上的两点，，是的中点，动点在线段上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，
由轴对称确定最短路线问题，CD'与AB的交点即为所求的点P，CD'的长度为PC+PD的最小长度，
，
，
是的中点，
，
，
连接OD'，过点O作OE⊥CD'，
则OE垂直平分CD'，
∴CD'.
故答案为：C.
【分析】作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，由轴对称确定最短路线问题，CD'与AB的交点即为所求的点P，CD'的长度为PC+PD的最小长度，根据弧、弦、圆心角之间的关系可得∠COD'=120°，连接OD'，过点O作OE⊥CD'，由垂径定理得OE垂直平分CD'，从而根据含30°角直角三角形的性质即可解决问题.
6．（2023·河北）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．a，b大小无法比较
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解：连接 ，
∵点 是 的八等分点，
∴，
∴ ，
∴，
∵ 的周长为 ，
∴四边形 的周长为 ，
∴
∵，
∴
故答案为：A
【分析】连接 ，先根据题意得到，进而根据相等的弧对等的弦的相等即可得到 ， ，从而得到，再根据题意结合三角形三边关系即可求解。
7．（2023·庐江模拟）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A：连接OC，OA=OC， 点是的中点 ，则 ，故A正确
B：点E时弧AD的中点
OM是三角形ABD的中位线
故B错误
C：连接AD交OE， 点是的中点 ，所以
因为，所以
故C正确
D： 点D是弧AC的中点
故D正确
故答案为B
【分析】A：等腰三角形角平分线垂直第三边
B：利用三角形中位线性质，判断OE与BD大小关系
C：同旁内角互补，两直线平行
D：证明三角形相似，对应边的比相等即可得出答案。
二、填空题
8．（2023九上·舟山期中）在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为 ．
【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OA、OB，如图：
∵
∴为等边三角形，
∴
∴弦所对的圆心角的度数为：60°，
故答案为：60°.
【分析】连接OA、OB，证明为等边三角形，进而即可求解.
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D是的三等分点．若∠BOC=40°，则∠AOE的大小是 ．
【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ C，D是的三等分点，∠BOC=40°，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=40°，
∴∠BOE=120°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=60°，
故答案为：60°.
【分析】在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，据此可求出∠AOE的度数，再利用邻补角的定义求解即可.
10．如图所示，AB是的直径，，点在上，是弧MB的中点，是直径AB上的一动点，若，则的周长的最小值为 .
【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点M关于AB的对称点M'，连接M'N交AB于点P'，当点P运动到点P'的位置时，△PMN的周长最小，再连接MP'与ON、OM'，
∵M、M'关于AB对称，
∴弧MB=弧M'B，
∵∠MAB=20°，
∴弧MB与弧M'B的度数都是40°，
∴∠M'OB=40°，
∵点N是弧MB的中点，
∴弧NB的度数为20°，
∴∠NOB=20°，
∴∠NOM'=∠NOB+∠M'OB=60°，
又∵ON=OM'，
∴△ONM'是等边三角形，
∴M'N=ON=4，
∵点M与点M'关于AB对称，
∴M'P=MP，
∴M'P+NP'=MP'+NP'=M'N=4，
∴△MNP'的周长的最小值为MP'+NP'+MN=4+1=5.
故答案为：5.
【分析】作点M关于AB的对称点M'，连接M'N交AB于点P'，当点P运动到点P'的位置时，△PMN的周长最小，再连接MP'与ON、OM'，根据轴对称的性质及弧、弦、圆心角的关系可得∠M'OB=40°，∠NOB=20°，进而判断出△ONM'是等边三角形，得M'N=ON=4，再根据轴对称的性质得M'P=MP，即M'P+NP'=MP'+NP'=M'N=4，从而即可求出△MNP的周长的最小值了.
11．（2023八下·景德镇期中）圆的半径为4，AB、CD是的两条弦，且，则最大为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形；图形的旋转
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接OA，OB，OC，OD，过点O作OH⊥AB于点H，
∴AH=，
又OA=4，∴，
∴∠AOH=60°，∴∠AOB=120°，
∵AB=CD，∴∠COD=120°，∴∠AOD+∠BOC=120°。
把∠AOD绕点O顺时针旋转至OD与OC重合，点A的对应点为点A'，连接A'C，则∠A'OC=∠AO，
∴∠A'OB=120°，
且S△A'OC=S△AOD，∴S△AOD+S△BOC=S△A'OC+S△BOC=S四边形OBCA'，
当OC平分角∠A'OB时，S四边形OBCA'最大，此时△BOC和△A'OC为两个全等的等边三角形，
S△BOC=
∴S△A'OC= 43 ，∴S△AOD+S△BOC最大值为： 43+43=83.
故第1空答案为：
【分析】根据垂径定理，求得AH的值，然后利用三角函数的定义，求出∠AOH的读数，旋转△AOD到△A'OC的位置，把△AOD和△BOC拼成一个四边形，且∠BOA'为120°，当BA'⊥OC时，即OC平分∠BOA'时，面积最大，根据等边三角形的性质求出最大值即可。
12．（2021九上·慈溪期中）如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；点与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AC，OC．
∵C是半圆的三等分点，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
作△AOC的外接圆⊙T，连接TA＝TC，TN，TB．
∵OM⊥PC，
∴CM＝PM，
∴NC＝NP，
∴∠NPC＝∠NCP＝∠AOC＝30°，
∴∠CNM＝60°，
∴∠CNO＝120°，
∵∠CNO＋∠OAC＝180°，
∴点N在⊙T上，运动轨迹是，
过点T作TH⊥AB于H．
在Rt△ATH中，AH＝OH＝3，∠TAH＝30°，
∴TH＝AH tan30°＝，
∴AT＝TN＝2HN＝2，
在Rt△BHT中，BT＝，
∵BN≥BT TN，
∴BN≥，
∴BN的最小值为．
故答案为：.
【分析】连接AC、OC，由题意可得∠AOC＝60°，推出△AOC是等边三角形，作△AOC的外接圆⊙T，连接TA＝TC、TN、TB，由垂径定理可得CM＝PM，则NC＝NP，根据等腰三角形的性质可得∠NPC＝∠NCP＝30°，则∠CNO＝120°，推出点N在⊙T上，运动轨迹是，过点T作TH⊥AB于H，根据三角函数的概念可得TH、AT，利用勾股定理可得BT，然后根据BN≥BT TN可得BN的最小值.
三、解答题
13．如图，在半径为5的扇形OAB中，∠AOB=90°，C是上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．
（1）当BC=6时，求线段OD的长．
（2）求DE的长．
（3）在△ODE中，是否存在度数不变的角？若存在，请直接指出是哪个角，并求出它的度数．
【答案】（1）解：∵OD⊥BC，
∴BD=BC= ×6=3，
∵∠BDO= 90°，OB=5，BD=3，
OD= =4，
即线段OD的长为4；
（2）解：如图，连结AB，DE，
∵∠AOB=90° ，OA=OB=5，
∴AB= ．
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D，E分别是线段BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB= ；
（3）解：∠DOE的度数不变，为45°，理由如下：
设OD交弧BC于点M，OE交弧AC于点N，
∵
∴
∴
∵
∴
即
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到BD=BC，在Rt△BDO中利用勾股定理即可求出OD的长；
（2）连结AB，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，由垂径定理得D，E分别是线段BC，AC的中点，最后根据三角形中位线定理即可求出DE的长；
（3）∠DOE的度数不变，为45°，理由如下：根据垂径定理即可求得，进而根据圆心角、弧、弦的关系可求出∠DOE的度数.
四、综合题
14．（2021·苏州模拟）如图，已知 是⊙ 的直径，且 ，点 在半径 上(点 与点 、点 不重合)，过点 作 的垂线交⊙ 于点 . 连接 ，过点 作 的平行线交⊙ 于点 ，交 的延长线于点 .
（1）若点 是弧BD的中点，求 的度数；
（2）求证： ；
（3）设 ，则当 为何值时 的值最大 最大值是多少
【答案】（1）解：如图1，连接OE.
∵ ，
∴∠BOE=∠EOD，
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）证明：连接OE，过O作OM⊥BE于M，
∵OB=OE，
∴BE=2BM，
∵OD∥BF，
∴∠COD=∠B，在△OBM与△ODC中
∴△OBM≌△ODC，
∴BM=OC，
∴BE=2OC；
（3）解：∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴ ，
∵AC=x，AB=4，
∴OA=OB=OD=2，
∴OC=2-x，BE=2OC=4-2x，
∴ ，
∴BF= ，
∴EF=BF-BE= ，
∴BE EF= 2（2-x）=-4x2+12x=-4（x- ）2+9，
∴当x＝ 时，最大值=9.
【知识点】二次函数的最值；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接OE，易得，根据等弧所对的圆心角相等可得∠BOE=∠EOD，根据平行线的性质得∠DOE=∠BEO，由等腰三角形的性质得∠OBE=∠OEB，则∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，据此求解；
（2）连接OE，过O作OM⊥BE于M，由等腰三角形性质得BE=2BM，由平行线性质得∠COD=∠B，证明△OBM≌△ODC，得到BM=OC，据此证明；
（3）易证△COD∽△CBF，根据AB、AC的值可得OA=OB=OD=2，OC=2-x，BE=4-2x，然后根据相似三角形的性质表示出BF，进而得到，FE表示出BE·EF，然后根据二次函数的性质可得最大值以及对应的x的值.
15．（2022九上·舟山期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
（1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 ；
（3）如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
【答案】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 的中点，
∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）3
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE= AB=4 ，
则△BDC的周长=2BE+BC=8 +8．
故答案为：8+8 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS；阿基米德折弦定理模型
【解析】【解答】解：（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
【分析】（1）在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG，利用弧的中点和弧、弦、圆心角之间的关系定理，可证得MA=MC，利用SAS证明△MBA≌△MGC，利用全等三角形的性质可得到MB=MG，利用等腰三角形的性质可证得BD=GD，由此可证得DC=AB+BD.
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，利用SAS证明△DCF≌△DBA，利用全等三角形的性质可证得DF=AD，利用等腰三角形的性质可证得AE=EF，即可求出AE的长.
（3）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，利用SAS证明△ABF≌△ACD，利用全等三角形的性质可得到AF=AD，利用等腰三角形的性质可证得FE=DE，可推出CD+DE=BE；从而可求出BE的长，然后证明△BDC的周长=2BE+BC，代入计算求出△BDC的周长.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．一条弦将圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．（2023九下·姑苏开学考）下列命题正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．圆既是中心对称图形又是轴对称图形
C．两个圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等
D．等弧就是长度相等的弧
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（2）同步练习）如图所示，在⊙O中， ，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．150° B．75° C．60° D．15°
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.1 圆的基本元素 同步练习）如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）
A．15 B．15+5 C．20 D．15+5
5．（2023九下·德化月考）如图，已知的半径为，、是直径的同侧圆周上的两点，，是的中点，动点在线段上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．a，b大小无法比较
7．（2023·庐江模拟）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023九上·舟山期中）在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为 ．
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D是的三等分点．若∠BOC=40°，则∠AOE的大小是 ．
10．如图所示，AB是的直径，，点在上，是弧MB的中点，是直径AB上的一动点，若，则的周长的最小值为 .
11．（2023八下·景德镇期中）圆的半径为4，AB、CD是的两条弦，且，则最大为 ．
12．（2021九上·慈溪期中）如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是 ．
三、解答题
13．如图，在半径为5的扇形OAB中，∠AOB=90°，C是上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．
（1）当BC=6时，求线段OD的长．
（2）求DE的长．
（3）在△ODE中，是否存在度数不变的角？若存在，请直接指出是哪个角，并求出它的度数．
四、综合题
14．（2021·苏州模拟）如图，已知 是⊙ 的直径，且 ，点 在半径 上(点 与点 、点 不重合)，过点 作 的垂线交⊙ 于点 . 连接 ，过点 作 的平行线交⊙ 于点 ，交 的延长线于点 .
（1）若点 是弧BD的中点，求 的度数；
（2）求证： ；
（3）设 ，则当 为何值时 的值最大 最大值是多少
15．（2022九上·舟山期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
（1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 ；
（3）如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：劣弧所对的圆心角=×360°=90°．
故选C．
【分析】一条弦将圆分成1：3两部分，根据圆心角、弧、弦的关系劣弧所对的圆心角为周角的 ，然后根据周角的定义计算即可．
2．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故原命题错误，不符合题意；
B.圆既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，符合题意；
C.同圆或等圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等，故原命题错误，不符合题意；
D.等弧是能够完全重合的弧，长度相等不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可判断A、C；根据圆的对称性可判断B；等弧是能够完全重合的弧，据此判断D.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵在⊙O中， ，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；
又∠A=30°，
∴∠B= =75°（三角形内角和定理）．
故答案为：B．
【分析】 根据等弧所对的弦相等得出AB=AC，根据等边对等角得出∠B=∠C；然后滚局三角形的内角和即可算出∠B的度数。
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连结AD，BP，PA，
∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，
∴∠ABD=90°，
∴AD=
AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB=5，
∴BD=BP=5，
当点P与点D重合时，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=5+5+5+5
=15+5
．
故答案为：B．
【分析】 因为P在半径为5的圆周上，若使四边形周长最大，只要AP最长即可（因为其余三边长为定值5）．当点P与点D重合时，四边形ACBP周长的最大值。
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，
由轴对称确定最短路线问题，CD'与AB的交点即为所求的点P，CD'的长度为PC+PD的最小长度，
，
，
是的中点，
，
，
连接OD'，过点O作OE⊥CD'，
则OE垂直平分CD'，
∴CD'.
故答案为：C.
【分析】作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，由轴对称确定最短路线问题，CD'与AB的交点即为所求的点P，CD'的长度为PC+PD的最小长度，根据弧、弦、圆心角之间的关系可得∠COD'=120°，连接OD'，过点O作OE⊥CD'，由垂径定理得OE垂直平分CD'，从而根据含30°角直角三角形的性质即可解决问题.
6．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解：连接 ，
∵点 是 的八等分点，
∴，
∴ ，
∴，
∵ 的周长为 ，
∴四边形 的周长为 ，
∴
∵，
∴
故答案为：A
【分析】连接 ，先根据题意得到，进而根据相等的弧对等的弦的相等即可得到 ， ，从而得到，再根据题意结合三角形三边关系即可求解。
7．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A：连接OC，OA=OC， 点是的中点 ，则 ，故A正确
B：点E时弧AD的中点
OM是三角形ABD的中位线
故B错误
C：连接AD交OE， 点是的中点 ，所以
因为，所以
故C正确
D： 点D是弧AC的中点
故D正确
故答案为B
【分析】A：等腰三角形角平分线垂直第三边
B：利用三角形中位线性质，判断OE与BD大小关系
C：同旁内角互补，两直线平行
D：证明三角形相似，对应边的比相等即可得出答案。
8．【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OA、OB，如图：
∵
∴为等边三角形，
∴
∴弦所对的圆心角的度数为：60°，
故答案为：60°.
【分析】连接OA、OB，证明为等边三角形，进而即可求解.
9．【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ C，D是的三等分点，∠BOC=40°，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=40°，
∴∠BOE=120°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=60°，
故答案为：60°.
【分析】在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，据此可求出∠AOE的度数，再利用邻补角的定义求解即可.
10．【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点M关于AB的对称点M'，连接M'N交AB于点P'，当点P运动到点P'的位置时，△PMN的周长最小，再连接MP'与ON、OM'，
∵M、M'关于AB对称，
∴弧MB=弧M'B，
∵∠MAB=20°，
∴弧MB与弧M'B的度数都是40°，
∴∠M'OB=40°，
∵点N是弧MB的中点，
∴弧NB的度数为20°，
∴∠NOB=20°，
∴∠NOM'=∠NOB+∠M'OB=60°，
又∵ON=OM'，
∴△ONM'是等边三角形，
∴M'N=ON=4，
∵点M与点M'关于AB对称，
∴M'P=MP，
∴M'P+NP'=MP'+NP'=M'N=4，
∴△MNP'的周长的最小值为MP'+NP'+MN=4+1=5.
故答案为：5.
【分析】作点M关于AB的对称点M'，连接M'N交AB于点P'，当点P运动到点P'的位置时，△PMN的周长最小，再连接MP'与ON、OM'，根据轴对称的性质及弧、弦、圆心角的关系可得∠M'OB=40°，∠NOB=20°，进而判断出△ONM'是等边三角形，得M'N=ON=4，再根据轴对称的性质得M'P=MP，即M'P+NP'=MP'+NP'=M'N=4，从而即可求出△MNP的周长的最小值了.
11．【答案】
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形；图形的旋转
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接OA，OB，OC，OD，过点O作OH⊥AB于点H，
∴AH=，
又OA=4，∴，
∴∠AOH=60°，∴∠AOB=120°，
∵AB=CD，∴∠COD=120°，∴∠AOD+∠BOC=120°。
把∠AOD绕点O顺时针旋转至OD与OC重合，点A的对应点为点A'，连接A'C，则∠A'OC=∠AO，
∴∠A'OB=120°，
且S△A'OC=S△AOD，∴S△AOD+S△BOC=S△A'OC+S△BOC=S四边形OBCA'，
当OC平分角∠A'OB时，S四边形OBCA'最大，此时△BOC和△A'OC为两个全等的等边三角形，
S△BOC=
∴S△A'OC= 43 ，∴S△AOD+S△BOC最大值为： 43+43=83.
故第1空答案为：
【分析】根据垂径定理，求得AH的值，然后利用三角函数的定义，求出∠AOH的读数，旋转△AOD到△A'OC的位置，把△AOD和△BOC拼成一个四边形，且∠BOA'为120°，当BA'⊥OC时，即OC平分∠BOA'时，面积最大，根据等边三角形的性质求出最大值即可。
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；点与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AC，OC．
∵C是半圆的三等分点，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
作△AOC的外接圆⊙T，连接TA＝TC，TN，TB．
∵OM⊥PC，
∴CM＝PM，
∴NC＝NP，
∴∠NPC＝∠NCP＝∠AOC＝30°，
∴∠CNM＝60°，
∴∠CNO＝120°，
∵∠CNO＋∠OAC＝180°，
∴点N在⊙T上，运动轨迹是，
过点T作TH⊥AB于H．
在Rt△ATH中，AH＝OH＝3，∠TAH＝30°，
∴TH＝AH tan30°＝，
∴AT＝TN＝2HN＝2，
在Rt△BHT中，BT＝，
∵BN≥BT TN，
∴BN≥，
∴BN的最小值为．
故答案为：.
【分析】连接AC、OC，由题意可得∠AOC＝60°，推出△AOC是等边三角形，作△AOC的外接圆⊙T，连接TA＝TC、TN、TB，由垂径定理可得CM＝PM，则NC＝NP，根据等腰三角形的性质可得∠NPC＝∠NCP＝30°，则∠CNO＝120°，推出点N在⊙T上，运动轨迹是，过点T作TH⊥AB于H，根据三角函数的概念可得TH、AT，利用勾股定理可得BT，然后根据BN≥BT TN可得BN的最小值.
13．【答案】（1）解：∵OD⊥BC，
∴BD=BC= ×6=3，
∵∠BDO= 90°，OB=5，BD=3，
OD= =4，
即线段OD的长为4；
（2）解：如图，连结AB，DE，
∵∠AOB=90° ，OA=OB=5，
∴AB= ．
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D，E分别是线段BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB= ；
（3）解：∠DOE的度数不变，为45°，理由如下：
设OD交弧BC于点M，OE交弧AC于点N，
∵
∴
∴
∵
∴
即
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到BD=BC，在Rt△BDO中利用勾股定理即可求出OD的长；
（2）连结AB，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，由垂径定理得D，E分别是线段BC，AC的中点，最后根据三角形中位线定理即可求出DE的长；
（3）∠DOE的度数不变，为45°，理由如下：根据垂径定理即可求得，进而根据圆心角、弧、弦的关系可求出∠DOE的度数.
14．【答案】（1）解：如图1，连接OE.
∵ ，
∴∠BOE=∠EOD，
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）证明：连接OE，过O作OM⊥BE于M，
∵OB=OE，
∴BE=2BM，
∵OD∥BF，
∴∠COD=∠B，在△OBM与△ODC中
∴△OBM≌△ODC，
∴BM=OC，
∴BE=2OC；
（3）解：∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴ ，
∵AC=x，AB=4，
∴OA=OB=OD=2，
∴OC=2-x，BE=2OC=4-2x，
∴ ，
∴BF= ，
∴EF=BF-BE= ，
∴BE EF= 2（2-x）=-4x2+12x=-4（x- ）2+9，
∴当x＝ 时，最大值=9.
【知识点】二次函数的最值；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接OE，易得，根据等弧所对的圆心角相等可得∠BOE=∠EOD，根据平行线的性质得∠DOE=∠BEO，由等腰三角形的性质得∠OBE=∠OEB，则∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，据此求解；
（2）连接OE，过O作OM⊥BE于M，由等腰三角形性质得BE=2BM，由平行线性质得∠COD=∠B，证明△OBM≌△ODC，得到BM=OC，据此证明；
（3）易证△COD∽△CBF，根据AB、AC的值可得OA=OB=OD=2，OC=2-x，BE=4-2x，然后根据相似三角形的性质表示出BF，进而得到，FE表示出BE·EF，然后根据二次函数的性质可得最大值以及对应的x的值.
15．【答案】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 的中点，
∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）3
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE= AB=4 ，
则△BDC的周长=2BE+BC=8 +8．
故答案为：8+8 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS；阿基米德折弦定理模型
【解析】【解答】解：（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
【分析】（1）在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG，利用弧的中点和弧、弦、圆心角之间的关系定理，可证得MA=MC，利用SAS证明△MBA≌△MGC，利用全等三角形的性质可得到MB=MG，利用等腰三角形的性质可证得BD=GD，由此可证得DC=AB+BD.
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，利用SAS证明△DCF≌△DBA，利用全等三角形的性质可证得DF=AD，利用等腰三角形的性质可证得AE=EF，即可求出AE的长.
（3）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，利用SAS证明△ABF≌△ACD，利用全等三角形的性质可得到AF=AD，利用等腰三角形的性质可证得FE=DE，可推出CD+DE=BE；从而可求出BE的长，然后证明△BDC的周长=2BE+BC，代入计算求出△BDC的周长.
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