2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.4 圆的确定 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·乐清期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵钝角三角形的钝角所对的外接圆的圆弧大于半个圆周
∴三角形的三个顶点就集中在圆 劣弧上
∴钝角三角形的外心在三角形的外部
故答案为：C.
【分析】三角形的外心是指三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心，锐角三角形的三条边长都小于半个圆周，所以外心位于三角形内部；直角三角形的外接圆的的直径刚好等于斜边长，外心位于斜边上；钝角三角形的钝角所对的外接圆的圆弧大于半个圆周，所以外心在三角形的外部.
2．（2023九上·铜陵期中）下列说法中正确的是（ ）
A．弦是直径 B．相等的弦，所对的弧相等
C．三个点确定一个圆 D．圆内接四边形的对角互补
【答案】D
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、过圆心的弦是直径，故A错误，不符合题意。
B、同圆或等圆中相等的弦，所对的弧相等，故B错误，不符合题意。
C、不共线的三个点确定一个圆，故C错误，不符合题意。
D、圆内接四边形的对角互补，正确，符合题意。
故答案为：D
【分析】根据直径的定义、圆中弦与弧的关系、圆内接四边形性质、不共线三点确定一个圆解题即可。
3．（2023九上·上城期中）已知点A，B，且AB＜6，画经过A、B两点且半径为3的圆又（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：作AB的垂直平分线，以点A为圆心，3为半径画弧，交AB的垂直平分线于两点，
以这两点为圆心，可以画出经过点A、B两点且半径为3的圆有两个.
故答案为：C .
【分析】确定圆的的条件：圆心和半径，据此求解即可.
4．（2023九上·宝安开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．将点A（－2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（1，3）
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；三角形的外接圆与外心；坐标与图形变化﹣平移；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴-2a＜-2b，∴1-2a＜1-2b，此选项不符合题意；
B、 将点A（－2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（-2，6），此选项不符合题意；
C、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可以是等腰梯形，此选项不符合题意；
D、 三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等 ，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”可得1-2a＜1-2b，此选项不符合题意；
B、根据点的坐标的平移规律“左减右加、上加下减”可求解；
C、根据平行四边形的判定可知 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；
D、根据线段的垂直平分线的性质可判断求解.
5．（2023九上·温州期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：三角形的外心事三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，三角形的外心在三角形的外部，则圆周角大于，即三角形为钝角三角形.
故答案为：A.
【分析】根据外心的性质和形成直接判断即可.
6．（2023九上·萧山期中）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
B．三点确定一个圆
C．平分一条弦的直径一定垂直于弦
D．相等的两个圆心角所对的两条弧相等
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故选项A正确；
B、如图，
点A、B、C三点在同一直线上，不在同一圆上，故选项B错误；
C、如图，
直径AB平分弦CD，但AB不垂直于CD，故选项C错误；
D、如图，
，，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；不在同一直线的三点确定一个圆；平分一条弦（非直径）的直径一定垂直于弦；同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，据此逐项判断得出答案.
7．（2023九上·吴兴期中）下列命题中：①任意三点确定一个圆；②同弧或等弧所对的圆心角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④半圆所对的弦是直径.真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①任意三点确定一个圆，错误，应该是不共线三点确定一个圆； ②同弧或等弧所对的圆心角相等，正确；③平分弦的直径垂直于弦 ，应该是 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，错误；④半圆所对的弦是直径. 正确；故综上所述： 真命题的个数是2个.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查命题、确定圆的条件、垂径定理及弦、弧和圆心角的关系.根据确定圆的条件判定①，根据弦、弧和圆心角的关系判定②④，根据垂径定理判定③即可.
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则它的外心与直角顶点的距离是（ ）．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4 ，
∴AB==5，
∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴ 它的外心与直角顶点的距离为AB=2.5，
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出AB的长， 直角三角形它的外心与直角顶点的距离为斜边的一半.
二、填空题
9．已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是 ．
【答案】10
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC的外接圆的半径是×10=5，即外接圆的直径是10．
故答案是10．
【分析】考查三角形的外接圆．
10．确定一个圆需要明确两个要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的 .
【答案】大小
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解： 确定一个圆需要明确两个要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
故答案为：大小.
【分析】根据圆的两个要素可求解.
11．（2023九上·义乌期中）△ABC的三边长分别为6，8，10，则△ABC的外接圆的半径为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： △ABC的三边长分别为6，8，10，
∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，
∴ △ABC的外接圆的半径为=5.
故答案为：5.
【分析】利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，据此计算即可.
12．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片的编号应该是
【答案】②
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：如图，∵第②块是一段完整的弧，在这条弧上任取两条弦并作这两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心，弧上的任意一点与这个圆心的距离为半径，则圆确定，
∴应带②.
故答案为：②.
【分析】根据“要确定圆的大小需知道半径”并结合垂径定理可判断求解.
13．如图，在直角坐标系中，一圆弧过正方形网格的格点A，B，C．已知点A的坐标为(-3，5)，点B的坐标为(1，5)，点C的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为
【答案】(-1，0)
【知识点】坐标与图形性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：根据不共线的三点确定一个圆，如图，圆弧的圆心为线段AB和BC的中垂线的交点，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（-1，0）.
故答案为：（-1，0）.
【分析】根据网格图的特征找出AB、BC的垂直平分线的交点即可求解.
三、解答题
14．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若△ABC的外接圆为⊙O，判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
由图可知：
AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：点D在⊙O上，理由如下：
△ABC的外接圆如图，
∵OD=OA，
∴点D在⊙O上．
则点D与⊙O的位置关系是：点D在⊙O上．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；点与圆的位置关系；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】 （1）由正方形网格图可得AB=AC，∠BAC=90°，因此可知△ABC是等腰直角三角形；
（2）根据题意画出△ABC的外接圆，观察图即可判断点D与⊙O的位置关系．
15．（2023九上·无为月考）如图，在等腰直角中，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是的外接圆的直径．
（1）求的度数．
（2）若的直径为2，求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴，∴．
∵PE是的直径，∴，
∴．
（2）如图，过点P作于点M，于点N，则四边形是矩形，
∴．
∵，都是等腰直角三角形，
∴，．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质和同弧所对的圆周角相等得到 ，，再利用直径所对的圆周角是直角以及三角形内角和定理即可求解；
（2） 过点P作于点M，于点N，可得四边形是矩形，进一步得到 ，再利用等腰直角三角形的性质得到 ，，从而得到 ，即可求解.
四、综合题
16．（2022九上·江门期末）如图，在等边三角形中．
（1）请用尺规作图画出三角形的外接圆（保留作图痕迹）；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）解：如图，即为所求作
（2）解：连接，
∵等边三角形，，
∴，
，
∵垂直平分，
∴，
∵O为等边三角形的外接圆的圆心，
∴，
∴中，，
∴（负值舍去）
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）连接OB，先求出，再结合，可得，利用勾股定理可得再求出即可。
17．（2023·宁波竞赛）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为对半四边形，这两个角的夹边称为对半线．
（1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B＝（∠C+∠D），求∠A与∠B的度数之和；
（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB＝30°，求证：四边形ABED是对半四边形；
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD＝CE＝3，CE＝3EB，F为DE的中点，∠AFB＝120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长．
【答案】（1）解：由四边形内角和为360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
则∠A+∠B+2（∠A+∠B）＝360°，
∴∠A+∠B＝120°
（2）证明：如图2，连接OC，由三角形外心的性质可得，OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠OCA＝∠OAC，∠OCE＝∠OBC，
∴∠ACB＝（180°-30°-30°）÷2＝60°，
则∠CAB+∠CBA＝120°，
在四边形ABED中，∠CAB+∠CBA＝120°，
则另两个内角之和为240°，
∴四边形ABED为对半四边形；
（3）解：若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA＝120°，
∴∠C＝60°，
又∵CD＝CE，
∴△CDE为等边三角形，
∵∠CDE＝CED＝60°，DE＝DC＝3，
∴∠ADF＝∠FEB＝120°，
∵∠AFB＝120°，
∴∠DFA+∠EFB＝60°，
又∵∠DAF+∠DFA＝60°，
∴∠DAF＝∠EFB，
∴△ADF∽△FEB，
∴
∵CE＝DE＝3，CE＝3BE，F是DE的中点，
∴BE＝1，DF＝EF＝，
∴＝，
∴AD＝，
∴CA＝CD+AD＝3+＝．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由四边形内角和为360°可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，由已知条件可知∠A+∠B＝(∠C+∠D)，则∠A+∠B+2(∠A+∠B)＝360°，化简即可；
（2）连接OC，由三角形外心的性质可得OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA=30°，∠OCA=∠OAC，∠OCE=∠OBC，结合内角和定理可求出∠ACB的度数，然后求出∠CAB+∠CBA的度数，结合四边形内角和为360°可得另两个内角之和为240°，据此证明；
（3）若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA＝120°，由内角和定理可得∠C＝60°，易得△CDE为等边三角形，则∠CDE＝CED＝60°，DE＝DC＝3，∠ADF＝∠FEB＝120°，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ADF∽△FEB，由已知条件可得BE＝1，DF＝EF＝，利用相似三角形的性质可得AD，然后根据CA＝CD+AD进行计算.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.4 圆的确定 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·乐清期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
2．（2023九上·铜陵期中）下列说法中正确的是（ ）
A．弦是直径 B．相等的弦，所对的弧相等
C．三个点确定一个圆 D．圆内接四边形的对角互补
3．（2023九上·上城期中）已知点A，B，且AB＜6，画经过A、B两点且半径为3的圆又（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
4．（2023九上·宝安开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．将点A（－2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（1，3）
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
5．（2023九上·温州期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
6．（2023九上·萧山期中）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
B．三点确定一个圆
C．平分一条弦的直径一定垂直于弦
D．相等的两个圆心角所对的两条弧相等
7．（2023九上·吴兴期中）下列命题中：①任意三点确定一个圆；②同弧或等弧所对的圆心角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④半圆所对的弦是直径.真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则它的外心与直角顶点的距离是（ ）．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
二、填空题
9．已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是 ．
10．确定一个圆需要明确两个要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的 .
11．（2023九上·义乌期中）△ABC的三边长分别为6，8，10，则△ABC的外接圆的半径为 ．
12．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片的编号应该是
13．如图，在直角坐标系中，一圆弧过正方形网格的格点A，B，C．已知点A的坐标为(-3，5)，点B的坐标为(1，5)，点C的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为
三、解答题
14．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若△ABC的外接圆为⊙O，判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由．
15．（2023九上·无为月考）如图，在等腰直角中，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是的外接圆的直径．
（1）求的度数．
（2）若的直径为2，求的值．
四、综合题
16．（2022九上·江门期末）如图，在等边三角形中．
（1）请用尺规作图画出三角形的外接圆（保留作图痕迹）；
（2）若，求的半径．
17．（2023·宁波竞赛）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为对半四边形，这两个角的夹边称为对半线．
（1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B＝（∠C+∠D），求∠A与∠B的度数之和；
（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB＝30°，求证：四边形ABED是对半四边形；
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD＝CE＝3，CE＝3EB，F为DE的中点，∠AFB＝120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵钝角三角形的钝角所对的外接圆的圆弧大于半个圆周
∴三角形的三个顶点就集中在圆 劣弧上
∴钝角三角形的外心在三角形的外部
故答案为：C.
【分析】三角形的外心是指三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心，锐角三角形的三条边长都小于半个圆周，所以外心位于三角形内部；直角三角形的外接圆的的直径刚好等于斜边长，外心位于斜边上；钝角三角形的钝角所对的外接圆的圆弧大于半个圆周，所以外心在三角形的外部.
2．【答案】D
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、过圆心的弦是直径，故A错误，不符合题意。
B、同圆或等圆中相等的弦，所对的弧相等，故B错误，不符合题意。
C、不共线的三个点确定一个圆，故C错误，不符合题意。
D、圆内接四边形的对角互补，正确，符合题意。
故答案为：D
【分析】根据直径的定义、圆中弦与弧的关系、圆内接四边形性质、不共线三点确定一个圆解题即可。
3．【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：作AB的垂直平分线，以点A为圆心，3为半径画弧，交AB的垂直平分线于两点，
以这两点为圆心，可以画出经过点A、B两点且半径为3的圆有两个.
故答案为：C .
【分析】确定圆的的条件：圆心和半径，据此求解即可.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；三角形的外接圆与外心；坐标与图形变化﹣平移；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴-2a＜-2b，∴1-2a＜1-2b，此选项不符合题意；
B、 将点A（－2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（-2，6），此选项不符合题意；
C、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可以是等腰梯形，此选项不符合题意；
D、 三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等 ，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”可得1-2a＜1-2b，此选项不符合题意；
B、根据点的坐标的平移规律“左减右加、上加下减”可求解；
C、根据平行四边形的判定可知 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；
D、根据线段的垂直平分线的性质可判断求解.
5．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：三角形的外心事三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，三角形的外心在三角形的外部，则圆周角大于，即三角形为钝角三角形.
故答案为：A.
【分析】根据外心的性质和形成直接判断即可.
6．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故选项A正确；
B、如图，
点A、B、C三点在同一直线上，不在同一圆上，故选项B错误；
C、如图，
直径AB平分弦CD，但AB不垂直于CD，故选项C错误；
D、如图，
，，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；不在同一直线的三点确定一个圆；平分一条弦（非直径）的直径一定垂直于弦；同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，据此逐项判断得出答案.
7．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①任意三点确定一个圆，错误，应该是不共线三点确定一个圆； ②同弧或等弧所对的圆心角相等，正确；③平分弦的直径垂直于弦 ，应该是 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，错误；④半圆所对的弦是直径. 正确；故综上所述： 真命题的个数是2个.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查命题、确定圆的条件、垂径定理及弦、弧和圆心角的关系.根据确定圆的条件判定①，根据弦、弧和圆心角的关系判定②④，根据垂径定理判定③即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4 ，
∴AB==5，
∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴ 它的外心与直角顶点的距离为AB=2.5，
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出AB的长， 直角三角形它的外心与直角顶点的距离为斜边的一半.
9．【答案】10
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC的外接圆的半径是×10=5，即外接圆的直径是10．
故答案是10．
【分析】考查三角形的外接圆．
10．【答案】大小
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解： 确定一个圆需要明确两个要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
故答案为：大小.
【分析】根据圆的两个要素可求解.
11．【答案】5
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： △ABC的三边长分别为6，8，10，
∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，
∴ △ABC的外接圆的半径为=5.
故答案为：5.
【分析】利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，据此计算即可.
12．【答案】②
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：如图，∵第②块是一段完整的弧，在这条弧上任取两条弦并作这两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心，弧上的任意一点与这个圆心的距离为半径，则圆确定，
∴应带②.
故答案为：②.
【分析】根据“要确定圆的大小需知道半径”并结合垂径定理可判断求解.
13．【答案】(-1，0)
【知识点】坐标与图形性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：根据不共线的三点确定一个圆，如图，圆弧的圆心为线段AB和BC的中垂线的交点，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（-1，0）.
故答案为：（-1，0）.
【分析】根据网格图的特征找出AB、BC的垂直平分线的交点即可求解.
14．【答案】（1）解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
由图可知：
AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：点D在⊙O上，理由如下：
△ABC的外接圆如图，
∵OD=OA，
∴点D在⊙O上．
则点D与⊙O的位置关系是：点D在⊙O上．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；点与圆的位置关系；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】 （1）由正方形网格图可得AB=AC，∠BAC=90°，因此可知△ABC是等腰直角三角形；
（2）根据题意画出△ABC的外接圆，观察图即可判断点D与⊙O的位置关系．
15．【答案】（1）解：∵，，
∴，∴．
∵PE是的直径，∴，
∴．
（2）如图，过点P作于点M，于点N，则四边形是矩形，
∴．
∵，都是等腰直角三角形，
∴，．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质和同弧所对的圆周角相等得到 ，，再利用直径所对的圆周角是直角以及三角形内角和定理即可求解；
（2） 过点P作于点M，于点N，可得四边形是矩形，进一步得到 ，再利用等腰直角三角形的性质得到 ，，从而得到 ，即可求解.
16．【答案】（1）解：如图，即为所求作
（2）解：连接，
∵等边三角形，，
∴，
，
∵垂直平分，
∴，
∵O为等边三角形的外接圆的圆心，
∴，
∴中，，
∴（负值舍去）
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）连接OB，先求出，再结合，可得，利用勾股定理可得再求出即可。
17．【答案】（1）解：由四边形内角和为360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
则∠A+∠B+2（∠A+∠B）＝360°，
∴∠A+∠B＝120°
（2）证明：如图2，连接OC，由三角形外心的性质可得，OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠OCA＝∠OAC，∠OCE＝∠OBC，
∴∠ACB＝（180°-30°-30°）÷2＝60°，
则∠CAB+∠CBA＝120°，
在四边形ABED中，∠CAB+∠CBA＝120°，
则另两个内角之和为240°，
∴四边形ABED为对半四边形；
（3）解：若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA＝120°，
∴∠C＝60°，
又∵CD＝CE，
∴△CDE为等边三角形，
∵∠CDE＝CED＝60°，DE＝DC＝3，
∴∠ADF＝∠FEB＝120°，
∵∠AFB＝120°，
∴∠DFA+∠EFB＝60°，
又∵∠DAF+∠DFA＝60°，
∴∠DAF＝∠EFB，
∴△ADF∽△FEB，
∴
∵CE＝DE＝3，CE＝3BE，F是DE的中点，
∴BE＝1，DF＝EF＝，
∴＝，
∴AD＝，
∴CA＝CD+AD＝3+＝．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由四边形内角和为360°可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，由已知条件可知∠A+∠B＝(∠C+∠D)，则∠A+∠B+2(∠A+∠B)＝360°，化简即可；
（2）连接OC，由三角形外心的性质可得OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA=30°，∠OCA=∠OAC，∠OCE=∠OBC，结合内角和定理可求出∠ACB的度数，然后求出∠CAB+∠CBA的度数，结合四边形内角和为360°可得另两个内角之和为240°，据此证明；
（3）若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA＝120°，由内角和定理可得∠C＝60°，易得△CDE为等边三角形，则∠CDE＝CED＝60°，DE＝DC＝3，∠ADF＝∠FEB＝120°，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ADF∽△FEB，由已知条件可得BE＝1，DF＝EF＝，利用相似三角形的性质可得AD，然后根据CA＝CD+AD进行计算.
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