2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.3.1 圆周角定理 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC=35°，
∴∠BOC=70°。
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理，可直接得出答案。
2．（2023九上·金华期中）如图，小华同学设计了一个圆的直径的测量器．标有刻度的两把尺子，在点被钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点靠在圆周上，尺子与圆交于点，尺子与圆交于点，读得为个单位长度，为个单位长度．则圆的直径为（ ）
A．个单位长度 B．个单位长度
C．个单位长度 D．个单位长度
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接FE，如图所示：
∵OE⊥OF，
∴FE为圆的直径．
在Rt△FOE中，OE=6，OF=8，
由勾股定理得
故答案为：D.
【分析】连接FE，利用圆周角定理可知FE为圆的直径，结合勾股定理即可求解．
3．（2023九上·永康月考）下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．90 的圆周角所对的弦是直径
C．周长相等的两个圆是等圆
D．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：A：直径是圆中最长的弦，过圆心的弦是圆的直径，正确； B：90 的圆周角所对的圆心角为180°，所对的弦是直径，正确；
C：周长相等的两个圆半径相等，这两个圆是等圆，正确
D：等弧要求弧所在的圆半径相等、所对的圆心角相等，两个大小不同的圆形成的相交弦
所对的两条弧就不是等弧，错误.
故答案为：D.
【分析】此题考查的是圆中有关弦、圆周角、等圆以及弦所对弧的相关知识；其中直径过圆心，是最长的弦； 90 的圆周角所对的弦是直径；半径相等的两个圆能完全重合，是等圆；在同一个圆中，一条弦对两条弧，可能是一条优弧和一条劣弧。在不等的圆中，所对的弧也无法判断是否为等弧，等弧要求弧所在的圆半径相等、所对的圆心角相等。
4．下列命题为真命题的是（ ）．
A．三点确定一个圆
B．度数相等的弧相等
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；确定圆的条件；真命题与假命题
【解析】【解答】解： A、不在一条直线上的三点确定一个圆 ，故不符合题意；
B、 能够互相重合的弧叫做等弧，故不符合题意；
C、 90°的圆周角所对的弦是直径 ，故符合题意；
D、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据确定圆的条件，圆周角定理、弧弦圆心角的关系、等弧的定义逐项判断即可.
5．如图，A，B，C，D是同一个圆上顺次任意四点，则图中相等的圆周角共有（ ）．
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：图中相等的圆周角有∠ADB=∠ACB，∠ACD=∠ABD，∠CDB=∠CAB，∠CAD=∠CBD，
∴ 图中相等的圆周角共有4对；
故答案为：B.
【分析】同弧或等弧所对的圆周角相等，据此解答即可.
6．（2023九上·襄都月考）如图，在中，弦、相交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A+∠B=52°，
∵∠B=∠C，，
∴∠C=29°，
故答案为：C
【分析】先根据三角形外角的性质即可得到∠A+∠B=52°，进而运用圆周角定理结合题意即可求解。
7．（2022·柳南模拟）如图，点在上，，则（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解： 点在上，，
故答案为：D.
【分析】根据弧、弦的关系结合AB=CD可得，由圆周角定理可得∠AOB=2∠CED，据此计算.
8．（2023九上·西山期中）如图，AB是⊙O的直径，已知，，那么∠COE的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】
同理，
故选：C
【分析】根据同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等定理，先判定OE和OC是所在角的平分线，再根据图中角的提示进行等量代换，计算的度数。
二、填空题
9．（2023九上·抚松月考）如图，A、B、D是⊙O上三点，若∠A= 30°，则∠BOD =
【答案】60
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵A、B、D是⊙O上三点，∠A= 30° ∴∠BOD = 60 °
故答案为：60 °.
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可解答。
10．如图，A，B，C，D是⊙O上四点，连结AD，AC，BD，BC．图中相等的角是 (不再添加其他字母)．
【答案】∠A=∠B，∠C=∠D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠C=∠D；
∵，
∴∠A=∠B.
故答案为：∠A=∠B，∠C=∠D.
【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等即可得出答案.
11．（2023九上·昌邑期末）如图，在中，，，则 度.
【答案】28
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴；
又∵∠DCB=28°，
∴∠ABC=28°
故答案为：28
【分析】先根据圆心角、弧的关系即可得到，进而根据圆周角定理即可求解。
12．（2023九上·嵊州期末）如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，则，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
过O作交于H，连接，则，
在中，，
∴，
即到的距离为，
故答案为：.
【分析】连接AD、BC，由圆周角定理可得∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，证明△ADE∽△CBE，根据已知条件结合相似三角形的性质可得DE、CE的值，然后求出CD的值，过O作OH⊥CD交CD于H，连接OC，则CH=CD，利用勾股定理可得OH，据此解答.
13．如图，将一块含30°角的直角三角板的锐角顶点A放在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E．则的度数为 ．
【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE，OD，如图：
∵∠A=30°，
∴∠EOD=2∠A=60°，
∴的度数是60°，
故答案为：60°.
【分析】连接OE，OD，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠DOE=2∠A=60°，进而根据弧的度数等于其所对圆周角的度数可求解.
三、解答题
14．（2023九上·西山期中）如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若EB＝9，AE＝1．
（1）求弦CD的长．
（2）连接AC、BC，若∠AOC＝20°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵EB＝9，AE＝1，
∴AB＝10，OC＝OA＝5，
∴OE＝4，
在Rt△OCE中，CE＝＝3，
∴CD＝2CE＝6；
（2）解：如图，
∵∠AOC＝20°，
∴∠B＝∠AOC＝10°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣10°＝80°．
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，先求弦CD的一半CE的长，根据已知的线段长可推出直径的长，即可知半径的长，在直角三角形中，可用勾股定理求得CE的长，进而求得弦CD的长；
（2）根据圆周角定理的推论可以得知直径所对的圆周角是直角，根据已知圆心角可以推出同弧所对的圆周角是它的一半，所求角是这个圆周角的余角，整理思路求值即可。
15．（2023九上·游仙期中） 如图，已知△ABC，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，∠C＝65°，求∠DOE的度数．
【答案】解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°，
∴∠DOE＝2∠CAE＝50°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接AE，先根据直径说对的角为直角得到∠AEC＝90°，进而结合题意进行角的运算即可求解。
四、综合题
16．（2022·肥东模拟）如图，⊙O的直径CD分别与弦AB、AF交于点E、H，连接CF、AD、AO，已知CF=CH、．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若AE=4、OH=1，求AO的长；
【答案】（1）解：∵CF=CH，
∴∠F=∠CHF．
∵∠F=∠D，∠CHF=∠AHD，
∴∠D=∠AHD，
∴AH=AD．
∵=，
∴∠HAE=∠DAE．
∴AE⊥HD，即AB⊥CD．
（2）解：∵AH=AD，∠HAE=∠DAE，
∴HE=DE．
设OE=x．
∵OH=1，
∴HE=x+1=DE，
∴OD=2x+1=AO．
在Rt△OAE中，∵OE2+AE2=AO2，AE＝4，
∴x2+42=（2x+1）2，
解得x1=-3（舍去），x2=．
∴AO=2×+1=，
即AO的长等于．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理及对顶角相等，可推出∠D=∠AHD，可得AH=AD，由=可得∠HAE=∠DAE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥HD，即得解；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得HE=DE，设OE=x，可得HE=x+1=DE，OD=2x+1=AO，在Rt△OAE中，由OE2+AE2=AO2建立关于x方程并解之即可.
17．（2023·菏泽）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）P是上一点，，求；
（3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
∵且为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
解得，经检验，是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点B作交于点G，
∴
∵，是的平分线，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理即可得到，进而结合题意即可得到，从而即可求解；
（2）连接，先根据圆周角定理即可得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，设的半径为r，进而即可求出r，再运用勾股定理求出BC，进而结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）过点B作交于点G，进而得到，再根据题意结合角平分线的性质即可得到，进而得到，从而即可得到，再结合题意运用锐角三角函数的定义即可求解。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.3.1 圆周角定理 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
2．（2023九上·金华期中）如图，小华同学设计了一个圆的直径的测量器．标有刻度的两把尺子，在点被钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点靠在圆周上，尺子与圆交于点，尺子与圆交于点，读得为个单位长度，为个单位长度．则圆的直径为（ ）
A．个单位长度 B．个单位长度
C．个单位长度 D．个单位长度
3．（2023九上·永康月考）下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．90 的圆周角所对的弦是直径
C．周长相等的两个圆是等圆
D．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
4．下列命题为真命题的是（ ）．
A．三点确定一个圆
B．度数相等的弧相等
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
5．如图，A，B，C，D是同一个圆上顺次任意四点，则图中相等的圆周角共有（ ）．
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
6．（2023九上·襄都月考）如图，在中，弦、相交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·柳南模拟）如图，点在上，，则（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
8．（2023九上·西山期中）如图，AB是⊙O的直径，已知，，那么∠COE的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
二、填空题
9．（2023九上·抚松月考）如图，A、B、D是⊙O上三点，若∠A= 30°，则∠BOD =
10．如图，A，B，C，D是⊙O上四点，连结AD，AC，BD，BC．图中相等的角是 (不再添加其他字母)．
11．（2023九上·昌邑期末）如图，在中，，，则 度.
12．（2023九上·嵊州期末）如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为 .
13．如图，将一块含30°角的直角三角板的锐角顶点A放在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E．则的度数为 ．
三、解答题
14．（2023九上·西山期中）如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若EB＝9，AE＝1．
（1）求弦CD的长．
（2）连接AC、BC，若∠AOC＝20°，求∠BAC的度数．
15．（2023九上·游仙期中） 如图，已知△ABC，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，∠C＝65°，求∠DOE的度数．
四、综合题
16．（2022·肥东模拟）如图，⊙O的直径CD分别与弦AB、AF交于点E、H，连接CF、AD、AO，已知CF=CH、．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若AE=4、OH=1，求AO的长；
17．（2023·菏泽）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）P是上一点，，求；
（3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC=35°，
∴∠BOC=70°。
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理，可直接得出答案。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接FE，如图所示：
∵OE⊥OF，
∴FE为圆的直径．
在Rt△FOE中，OE=6，OF=8，
由勾股定理得
故答案为：D.
【分析】连接FE，利用圆周角定理可知FE为圆的直径，结合勾股定理即可求解．
3．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：A：直径是圆中最长的弦，过圆心的弦是圆的直径，正确； B：90 的圆周角所对的圆心角为180°，所对的弦是直径，正确；
C：周长相等的两个圆半径相等，这两个圆是等圆，正确
D：等弧要求弧所在的圆半径相等、所对的圆心角相等，两个大小不同的圆形成的相交弦
所对的两条弧就不是等弧，错误.
故答案为：D.
【分析】此题考查的是圆中有关弦、圆周角、等圆以及弦所对弧的相关知识；其中直径过圆心，是最长的弦； 90 的圆周角所对的弦是直径；半径相等的两个圆能完全重合，是等圆；在同一个圆中，一条弦对两条弧，可能是一条优弧和一条劣弧。在不等的圆中，所对的弧也无法判断是否为等弧，等弧要求弧所在的圆半径相等、所对的圆心角相等。
4．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；确定圆的条件；真命题与假命题
【解析】【解答】解： A、不在一条直线上的三点确定一个圆 ，故不符合题意；
B、 能够互相重合的弧叫做等弧，故不符合题意；
C、 90°的圆周角所对的弦是直径 ，故符合题意；
D、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据确定圆的条件，圆周角定理、弧弦圆心角的关系、等弧的定义逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：图中相等的圆周角有∠ADB=∠ACB，∠ACD=∠ABD，∠CDB=∠CAB，∠CAD=∠CBD，
∴ 图中相等的圆周角共有4对；
故答案为：B.
【分析】同弧或等弧所对的圆周角相等，据此解答即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A+∠B=52°，
∵∠B=∠C，，
∴∠C=29°，
故答案为：C
【分析】先根据三角形外角的性质即可得到∠A+∠B=52°，进而运用圆周角定理结合题意即可求解。
7．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解： 点在上，，
故答案为：D.
【分析】根据弧、弦的关系结合AB=CD可得，由圆周角定理可得∠AOB=2∠CED，据此计算.
8．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】
同理，
故选：C
【分析】根据同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等定理，先判定OE和OC是所在角的平分线，再根据图中角的提示进行等量代换，计算的度数。
9．【答案】60
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵A、B、D是⊙O上三点，∠A= 30° ∴∠BOD = 60 °
故答案为：60 °.
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可解答。
10．【答案】∠A=∠B，∠C=∠D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠C=∠D；
∵，
∴∠A=∠B.
故答案为：∠A=∠B，∠C=∠D.
【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等即可得出答案.
11．【答案】28
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴；
又∵∠DCB=28°，
∴∠ABC=28°
故答案为：28
【分析】先根据圆心角、弧的关系即可得到，进而根据圆周角定理即可求解。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，则，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
过O作交于H，连接，则，
在中，，
∴，
即到的距离为，
故答案为：.
【分析】连接AD、BC，由圆周角定理可得∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，证明△ADE∽△CBE，根据已知条件结合相似三角形的性质可得DE、CE的值，然后求出CD的值，过O作OH⊥CD交CD于H，连接OC，则CH=CD，利用勾股定理可得OH，据此解答.
13．【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE，OD，如图：
∵∠A=30°，
∴∠EOD=2∠A=60°，
∴的度数是60°，
故答案为：60°.
【分析】连接OE，OD，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠DOE=2∠A=60°，进而根据弧的度数等于其所对圆周角的度数可求解.
14．【答案】（1）解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵EB＝9，AE＝1，
∴AB＝10，OC＝OA＝5，
∴OE＝4，
在Rt△OCE中，CE＝＝3，
∴CD＝2CE＝6；
（2）解：如图，
∵∠AOC＝20°，
∴∠B＝∠AOC＝10°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣10°＝80°．
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，先求弦CD的一半CE的长，根据已知的线段长可推出直径的长，即可知半径的长，在直角三角形中，可用勾股定理求得CE的长，进而求得弦CD的长；
（2）根据圆周角定理的推论可以得知直径所对的圆周角是直角，根据已知圆心角可以推出同弧所对的圆周角是它的一半，所求角是这个圆周角的余角，整理思路求值即可。
15．【答案】解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°，
∴∠DOE＝2∠CAE＝50°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接AE，先根据直径说对的角为直角得到∠AEC＝90°，进而结合题意进行角的运算即可求解。
16．【答案】（1）解：∵CF=CH，
∴∠F=∠CHF．
∵∠F=∠D，∠CHF=∠AHD，
∴∠D=∠AHD，
∴AH=AD．
∵=，
∴∠HAE=∠DAE．
∴AE⊥HD，即AB⊥CD．
（2）解：∵AH=AD，∠HAE=∠DAE，
∴HE=DE．
设OE=x．
∵OH=1，
∴HE=x+1=DE，
∴OD=2x+1=AO．
在Rt△OAE中，∵OE2+AE2=AO2，AE＝4，
∴x2+42=（2x+1）2，
解得x1=-3（舍去），x2=．
∴AO=2×+1=，
即AO的长等于．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理及对顶角相等，可推出∠D=∠AHD，可得AH=AD，由=可得∠HAE=∠DAE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥HD，即得解；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得HE=DE，设OE=x，可得HE=x+1=DE，OD=2x+1=AO，在Rt△OAE中，由OE2+AE2=AO2建立关于x方程并解之即可.
17．【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
∵且为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
解得，经检验，是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点B作交于点G，
∴
∵，是的平分线，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理即可得到，进而结合题意即可得到，从而即可求解；
（2）连接，先根据圆周角定理即可得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，设的半径为r，进而即可求出r，再运用勾股定理求出BC，进而结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）过点B作交于点G，进而得到，再根据题意结合角平分线的性质即可得到，进而得到，从而即可得到，再结合题意运用锐角三角函数的定义即可求解。
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