2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.3.1 圆周角定理 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023九上·怀仁期中）如图，为⊙的直径，点在圆上且在直径的两侧，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵AB是 ⊙的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠B=65°，
∴∠D=65°。
故答案为：C。
【分析】连接BC，首先根据直径所对的圆周角等于90°，再根据三角形内角和为180度，求得∠B=65°，然后再根据圆周角定理得出∠D也等于65°即可。
2．（2017·徐州模拟）（如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC= ∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=90°，
∴ ∠AOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°．
故选：C．
【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC= ∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以 ∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
3．（2023九下·松原月考）如图，在中，圆周角，若P为上一点，，则的度数为（ ）
A．50 B．65 C．75 D．80
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠AOB=140°，
∴∠POB=140°-74°=65°，
故答案为：B
【分析】根据圆周角定理结合题意即可求解。
4．（2023九上·泸州期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD，CB，AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，
∴，
∵∠DOB＝60°，
∴，
∵EB＝2，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理、垂径定理及圆周角定理求解。由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可得CE，求解即可．
5．（2023九上·沙坪坝期中）如图，是的直径，点、点是上任意两点，连接，若点是弧的中点，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；圆周角定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴∠ACB=90°，
∵
∴∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC=AB=，
∵ 点是弧的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠BCD=30°，CE=DE，
∴BE=BC=，DE=CE=BC=，
∴CD=2CE=，
∴=××=.
故答案为：D.
【分析】由是的直径可得∠ACB=90°，由特殊角三角函数值求出∠A=30°，由垂径定理推论及直角三角形性质可得CD⊥AB，CE=DE，∠BCD=30°，从而求出BE、CE、CD的长，根据△BCD的面积=CD×BE计算即可.
6．（2020九上·向阳期末）如图，△ 内接于⊙O， 是⊙O的直径，∠ .则∠ 的度数是 （ ）
A．36° B．33° C．30° D．27°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠D＝90° ∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°．
故答案为：A．
【分析】首先连接BD，由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠CBD的度数，继而求得∠D的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数．
7．（2023·宁波模拟）如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；确定圆的条件；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥CD于点H，作OI⊥AD于点I，连接HI，OP，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴，，
∴四边形OHDI为正方形，HI为正方形OHDI的对角线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与都是等腰直角三角形，
∴，
，
∴E、I、O、P四点共圆，
∴，
∵，
∴点P运动的轨迹是线段HI，
作点A关于直线HI的对称点A'，
当点A'、点P、点G在同一直线上时，PA+PG取得最小值，最小值为A'G的长，
过点A'作A'Q⊥CD交CD延长线于点Q，
同理得四边形A'QDI为正方形，且边长为4，
∴，，
∴.
故答案为：D.
【分析】过点O作OH⊥CD于点H，作OI⊥AD于点I，连接HI，OP，根据正方形的性质得OH=OI=4，∠IDH=90°，则四边形OHDI为正方形，HI为正方形OHDI的对角线，进而用ASA判断出△IOE≌△HOF，得OE=OF，得△EOF与△IOH都是等腰直角三角形，再推出E、I、O、P四点共圆，由圆周角定理得∠OIP=∠OEP=45°，得点P运动的轨迹是线段HI，作点A关于直线HI的对称点A'，当点A'、点P、点G在同一直线上时，PA+PG取得最小值，最小值为A'G的长，过点A'作A'Q⊥CD交CD延长线于点Q，同理得四边形A'QDI为正方形，且边长为4，然后根据勾股定理算出A'G即可.
8．如图所示，已知在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点是轴正半轴上的一点，且满足，现有以下4个结论：①的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC=60°；③△ABC的外接圆的半径等于；④.其中正确的是（ ）.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作出△ABC的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰直角三角形ABE，过点E作ED⊥x轴于点D，连接EC，过点E作EF⊥y轴于点F，
∵△ABC的外接圆的圆心一定在弦AB的垂直平分线上，
∴圆心肯定不在OC上，故①错误；
∵∠ACB=45°，
∴由圆周角定理得弧AB所对的圆心角一定为90°，
∵∠AEB=90°，
∴点E必为圆心，即AE、BE为半径，
∵A（4，0），B（-6，0），
∴AB=10，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，∴AE=，故③正确；
∵AB=10，DE⊥AB，
∴AD=BD=5，
又∵OB=6，
∴OD=1，
∵∠EDO=∠DOF=∠OFE=90°，
∴四边形EDOF是矩形，
∴EF=OD=1，ED=OF=5，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CF=7，
∴OF=12，故④正确；
∵，
∴∠ABC≠60°，故②错误.
故答案为：C.
【分析】作出△ABC的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰直角三角形ABE，过点E作ED⊥x轴于点D，连接EC，过点E作EF⊥y轴于点F，由垂径定理可得圆心一定在弦的垂直平分线上可判断①；再根据圆周角定理证出点E为△ABNC外接圆的圆心，利用勾股定理求出半径可判断③；判断出四边形EDOF是矩形，得EF=OD=1，ED=OF=5，再在Rt△ECF中利用勾股定理算出CF，可求出OC的长及∠ABC的正切值，从而即可判断②④.
二、填空题
9．（2023九上·章贡期中）如图，在中，弦AB，CD相交于点P.若，，则的度数是 .
【答案】32°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形外角的性质可求出，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案．
10．（2023九上·长沙期中）如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 ．
【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OC=BC=2，
即⊙O的半径是2.
故答案为：2.
【分析】连接OC、OB，由圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=60°，可证△OBC为等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解.
11．（2023九上·杭州期中）如图，AB，CD是的弦，连结AD，延长AB，CD相交于点，已知，则BD的度数是 .
【答案】20°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：由 知 可得所以即弧BD的度数为
故答案为：
【分析】由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，计算出，再根据同一个圆中同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，即可求解。
12．（2021九上·上城期中）已知直线l⊥AB于点E，以AB为直径画圆交直线l于点C、D，点G是弧AC上一动点，连结DG交AB于点P，连结AG并延长，交直线l于点F.若∠BAG＝45°，DP＝4，PG＝5，则AG＝ ，CD＝ .
【答案】；
【知识点】垂径定理；圆周角定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
∵∠BAG＝45°，
∴∠ABG＝45°，
∴∠ADG＝∠ABG＝45°，
∵∠AGP＝∠DGA，∠GAP＝∠GDA，
∴△GAP∽△GDA，
∴GA：GD＝GP：GA，即GA：9＝5：GA，
解得GA＝3 ，
∵△ABG为等腰直角三角形，
∴OG⊥AB，
∴OG＝ AG＝ ×3 ＝ ，
∵CD⊥AB，
∴DE＝CE，OG∥CD，
∴ ＝ ＝ ，
∴DE＝ OG＝ × ＝ ，
∴CD＝2DE＝ .
故答案为： ， .
【分析】连接OD，由圆周角定理可得∠AGB＝90°，根据余角的性质可得∠ABG＝45°，由圆周角定理可得∠ADG＝∠ABG＝45°，证明△GAP∽△GDA，根据相似三角形的性质可得GA，由等腰直角三角形的性质可得OG，由垂径定理可得DE＝CE，OG∥CD，根据平行线分线段成比例的性质可得DE，进而可得CD.
13．（2023九上·海曙月考）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝13，AC＝12，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是 ．
【答案】－6
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：取AC的中点O'，连接BO'，BC，EO'，如下图：
∴
∵
∴
∴点D在移动过程中，点E在以AC为直径的一段弧上运动，即上运动，
∴
∵AB是半圆O的直径，
∴
∴
在中，
∴BE的最小值是：
故答案为：.
【分析】取AC的中点O'，连接BO'，BC，EO'，根据圆周角定理判断出点E在以AC为直径的一段弧上运动，从而可得，再根据圆周角定理和勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可求得最小值.
三、解答题
14．（2023九上·成都期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中点A的坐标为（1，3）．
（1）求双曲线和直线AB的表达式；
（2）将直线AB向下平移，当平移后的直线A'B'与双曲线只有一个交点时，请求出直线A'B'的解析式；
（3）在y轴上是否存在点P使得∠APD＝45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把A（1，3）代入y＝得m＝3，
则双曲线的表达式是y＝，
把A（1，3）代入y＝﹣x+b得﹣1+b＝3，
解得b＝4，
则直线AB的表达式是y＝﹣x+4；
（2）解：将直线AB向下平移n（n＞0）个单位长度得直线A′B′解析式为y＝﹣x+4﹣n，
∵直线AB向下平移n（n＞0）个单位长度后与反比例函数的图象只有一个交点，
∴＝﹣x+4﹣n，
整理得x2+（n﹣4）x+3＝0，
∵Δ＝（n﹣4）2﹣4×1×3＝0，
解得n＝4+2或n＝4﹣2，
∴直线A'B'的解析式为y＝﹣x﹣2或y＝﹣x+2；
（3）解：存在，
过点A作AM⊥x轴于点M，
∵点A的坐标为（1，3）．
∴M（1，0），
∵直线AB的表达式是y＝﹣x+4，
令y＝0，则0＝﹣x+4，解得x＝4，
∴D（4，0），
∴AM＝DM＝3，
∴△ADM是等腰直角三角形，
以M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴交于点P，连接MP，
∴∠APD＝∠AMD＝45°，
设P（0，p），
∴MP＝＝3，
∴p＝±2，
∴点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将 A（1，3）代入y＝得m的值， 从而求得双曲线的解析式，再将 A（1，3）代入y＝﹣x+b求得b的值，从而求得直线AB的解析式；
（2）根据将直线AB向下平移n（n＞0）个单位长度得直线A′B′解析式为y＝﹣x+4﹣n， 且 与反比例函数的图象只有一个交点， 得到关于x的等式，整理得关于x的一元二次方程，利用 Δ＝0，得到关于n的方程，解方程即可求解；
（3）存在，过点A作AM⊥x轴于点M，可得△ADM是等腰直角三角形，以M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴交于点P， 利用圆周角定理可得 ∠APD＝∠AMD＝45°，设P（0，p）和MP的值， 利用勾股定理即可求得点P的坐标.
15．（2023九上·龙泉期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝3.
（1）求证：AD=AF；
（2）求△ABD的周长；
（3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，求AP的长.
【答案】（1）证明：连接AE，如图：
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∵AF⊥AB，
∴∠FAB=90°
∴∠B+∠F=90°，
∵点E为弧AC得中点，
∴
∴∠B=∠EAD，
∴∠F=∠ADE
∴AD=AF；
（2）解：在Rt△ABF中，∵AF=3，AB=4，
∴FB=5，
∵S△ABF=
∴
∴AE=，
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=，
在Rt△AED中，由勾股定理得ED=，
∴BD=BE－ED=，
∴△ABD的周长4＋3＋=；
（3）解：①当AE=AP时，
∵
∴
②当AE=PE时，连接OE交AC于点M，如图：
∵点E为弧AC的中点，
∴
∴P与C重合，
在中，
在中，
∴
解得：
∴
∴
③当AP=PE时，连接OP交AE于N，如图：
∴
在中，
∴
在中，
延长PO交圆O于点P'，则P'E=P'A，
在中，
综上所述，AP的长为：或或或.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接AE，根据"直径所对的圆周角为直角"得到∠AEB=90°，再根据"等弧所对的圆周角相等"得到∠B=∠EAD，进而根据等角的余角相等得到∠F=∠ADE，最后根据"等角对等边"即可求解；
（2）首先由勾股定理算出FB=5，利用等面积法求出AE的长，再利用勾股定理求出BE和DE的长度，进而得到BD的长度，从而即可求出△ABD的周长；
（3）由题意知需分三种情况，①当AE=AP时，②当AE=PE时，P与C重合，③当AP=PE时，分别计算即可求解.
四、综合题
16．（2023九上·淮南月考）如图，在中，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．
（1）求证：点B在上．
（2）当点D移动到使时，求的值．
（3）当点D到移动到使时，求证：．
【答案】（1）证明：根据题意得，
∵，
∴，
∴，
∴点B在上．
（2）解：连接，如图，
∵，为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：过点B作，过点A作，交于点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得， 即得CM=DM=BM，根据点和圆的位置关系即可判断；
（2）由垂径定理可得BD=DE，易求△ADE为等腰直角三角形，可得， 从而得出AD+BD=AB=（）BD，继而得解；
（3） 过点B作，过点A作，交于点N，连接， 先证 ， 可得， 再证，可得NE=EF， 在中，由即可求解.
17．（2023九上·杭州期中） 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“美丽角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数；
（3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5，的“美丽角”为90°，当时，求CE的长．
【答案】（1）解：∠CPD是的“美丽角”理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC＝PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA＝∠EPA．
∵∠BPD＝∠EPA，
∴∠CPA＝∠BPD，
∴∠CPD是的“美丽角”；
（2）解：∵的度数为α，
∴∠CED＝α．
∵CE⊥AB，
∠APE＝90°-∠CED＝90°-α．
∠BPD＝∠APE，
∠APC＝∠BPD，
∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD＝α．
∵∠CPD是的“美丽角”．
∴的“美丽角”＝α；
（3）解：如图，连接OC，OD，
∵的“美丽角”为90°，
∴∠APC＝∠BPD＝45°
∴APE＝∠BPD＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝∠APE＝45°，
∴∠COD＝2∠E＝90°．
∵直径AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴CD＝OC＝5；
∵∠CPD＝90°，∠E＝45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC＝PE．
设PC＝PE＝x，
则PD＝DE-PE＝7-x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2＝CD2，
∴x2+（7-x）2＝（5）2，
解得：x＝3或x＝4，
∴PC＝PE＝3或4，
∴CE＝PC＝6或8．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形；定义新运算；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得AB为EC的垂直平分线得∠CPA＝∠EPA，再根据对顶角相等得∠BPD＝∠EPA，等量代换得∠CPA＝∠BPD；
（2）根据圆周角定理得∠CED＝α，进而得到∠APE＝90°-α，再根据对顶角相等得∠BPD＝∠APE，再根据美丽角得∠APC＝∠BPD，再根据补角得∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD即可求得；
（3）连接OC，OD，根据勾股定理列方程，即可求得PC，CE.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.3.1 圆周角定理 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023九上·怀仁期中）如图，为⊙的直径，点在圆上且在直径的两侧，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2017·徐州模拟）（如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
3．（2023九下·松原月考）如图，在中，圆周角，若P为上一点，，则的度数为（ ）
A．50 B．65 C．75 D．80
4．（2023九上·泸州期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD，CB，AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·沙坪坝期中）如图，是的直径，点、点是上任意两点，连接，若点是弧的中点，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·向阳期末）如图，△ 内接于⊙O， 是⊙O的直径，∠ .则∠ 的度数是 （ ）
A．36° B．33° C．30° D．27°
7．（2023·宁波模拟）如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．
8．如图所示，已知在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点是轴正半轴上的一点，且满足，现有以下4个结论：①的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC=60°；③△ABC的外接圆的半径等于；④.其中正确的是（ ）.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二、填空题
9．（2023九上·章贡期中）如图，在中，弦AB，CD相交于点P.若，，则的度数是 .
10．（2023九上·长沙期中）如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 ．
11．（2023九上·杭州期中）如图，AB，CD是的弦，连结AD，延长AB，CD相交于点，已知，则BD的度数是 .
12．（2021九上·上城期中）已知直线l⊥AB于点E，以AB为直径画圆交直线l于点C、D，点G是弧AC上一动点，连结DG交AB于点P，连结AG并延长，交直线l于点F.若∠BAG＝45°，DP＝4，PG＝5，则AG＝ ，CD＝ .
13．（2023九上·海曙月考）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝13，AC＝12，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是 ．
三、解答题
14．（2023九上·成都期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中点A的坐标为（1，3）．
（1）求双曲线和直线AB的表达式；
（2）将直线AB向下平移，当平移后的直线A'B'与双曲线只有一个交点时，请求出直线A'B'的解析式；
（3）在y轴上是否存在点P使得∠APD＝45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2023九上·龙泉期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝3.
（1）求证：AD=AF；
（2）求△ABD的周长；
（3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，求AP的长.
四、综合题
16．（2023九上·淮南月考）如图，在中，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．
（1）求证：点B在上．
（2）当点D移动到使时，求的值．
（3）当点D到移动到使时，求证：．
17．（2023九上·杭州期中） 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“美丽角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数；
（3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5，的“美丽角”为90°，当时，求CE的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵AB是 ⊙的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠B=65°，
∴∠D=65°。
故答案为：C。
【分析】连接BC，首先根据直径所对的圆周角等于90°，再根据三角形内角和为180度，求得∠B=65°，然后再根据圆周角定理得出∠D也等于65°即可。
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC= ∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=90°，
∴ ∠AOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°．
故选：C．
【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC= ∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以 ∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠AOB=140°，
∴∠POB=140°-74°=65°，
故答案为：B
【分析】根据圆周角定理结合题意即可求解。
4．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，
∴，
∵∠DOB＝60°，
∴，
∵EB＝2，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理、垂径定理及圆周角定理求解。由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可得CE，求解即可．
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；圆周角定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴∠ACB=90°，
∵
∴∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC=AB=，
∵ 点是弧的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠BCD=30°，CE=DE，
∴BE=BC=，DE=CE=BC=，
∴CD=2CE=，
∴=××=.
故答案为：D.
【分析】由是的直径可得∠ACB=90°，由特殊角三角函数值求出∠A=30°，由垂径定理推论及直角三角形性质可得CD⊥AB，CE=DE，∠BCD=30°，从而求出BE、CE、CD的长，根据△BCD的面积=CD×BE计算即可.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠D＝90° ∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°．
故答案为：A．
【分析】首先连接BD，由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠CBD的度数，继而求得∠D的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数．
7．【答案】D
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；确定圆的条件；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥CD于点H，作OI⊥AD于点I，连接HI，OP，
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴，，
∴四边形OHDI为正方形，HI为正方形OHDI的对角线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与都是等腰直角三角形，
∴，
，
∴E、I、O、P四点共圆，
∴，
∵，
∴点P运动的轨迹是线段HI，
作点A关于直线HI的对称点A'，
当点A'、点P、点G在同一直线上时，PA+PG取得最小值，最小值为A'G的长，
过点A'作A'Q⊥CD交CD延长线于点Q，
同理得四边形A'QDI为正方形，且边长为4，
∴，，
∴.
故答案为：D.
【分析】过点O作OH⊥CD于点H，作OI⊥AD于点I，连接HI，OP，根据正方形的性质得OH=OI=4，∠IDH=90°，则四边形OHDI为正方形，HI为正方形OHDI的对角线，进而用ASA判断出△IOE≌△HOF，得OE=OF，得△EOF与△IOH都是等腰直角三角形，再推出E、I、O、P四点共圆，由圆周角定理得∠OIP=∠OEP=45°，得点P运动的轨迹是线段HI，作点A关于直线HI的对称点A'，当点A'、点P、点G在同一直线上时，PA+PG取得最小值，最小值为A'G的长，过点A'作A'Q⊥CD交CD延长线于点Q，同理得四边形A'QDI为正方形，且边长为4，然后根据勾股定理算出A'G即可.
8．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作出△ABC的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰直角三角形ABE，过点E作ED⊥x轴于点D，连接EC，过点E作EF⊥y轴于点F，
∵△ABC的外接圆的圆心一定在弦AB的垂直平分线上，
∴圆心肯定不在OC上，故①错误；
∵∠ACB=45°，
∴由圆周角定理得弧AB所对的圆心角一定为90°，
∵∠AEB=90°，
∴点E必为圆心，即AE、BE为半径，
∵A（4，0），B（-6，0），
∴AB=10，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，∴AE=，故③正确；
∵AB=10，DE⊥AB，
∴AD=BD=5，
又∵OB=6，
∴OD=1，
∵∠EDO=∠DOF=∠OFE=90°，
∴四边形EDOF是矩形，
∴EF=OD=1，ED=OF=5，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CF=7，
∴OF=12，故④正确；
∵，
∴∠ABC≠60°，故②错误.
故答案为：C.
【分析】作出△ABC的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰直角三角形ABE，过点E作ED⊥x轴于点D，连接EC，过点E作EF⊥y轴于点F，由垂径定理可得圆心一定在弦的垂直平分线上可判断①；再根据圆周角定理证出点E为△ABNC外接圆的圆心，利用勾股定理求出半径可判断③；判断出四边形EDOF是矩形，得EF=OD=1，ED=OF=5，再在Rt△ECF中利用勾股定理算出CF，可求出OC的长及∠ABC的正切值，从而即可判断②④.
9．【答案】32°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形外角的性质可求出，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案．
10．【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OC=BC=2，
即⊙O的半径是2.
故答案为：2.
【分析】连接OC、OB，由圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=60°，可证△OBC为等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解.
11．【答案】20°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：由 知 可得所以即弧BD的度数为
故答案为：
【分析】由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，计算出，再根据同一个圆中同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，即可求解。
12．【答案】；
【知识点】垂径定理；圆周角定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
∵∠BAG＝45°，
∴∠ABG＝45°，
∴∠ADG＝∠ABG＝45°，
∵∠AGP＝∠DGA，∠GAP＝∠GDA，
∴△GAP∽△GDA，
∴GA：GD＝GP：GA，即GA：9＝5：GA，
解得GA＝3 ，
∵△ABG为等腰直角三角形，
∴OG⊥AB，
∴OG＝ AG＝ ×3 ＝ ，
∵CD⊥AB，
∴DE＝CE，OG∥CD，
∴ ＝ ＝ ，
∴DE＝ OG＝ × ＝ ，
∴CD＝2DE＝ .
故答案为： ， .
【分析】连接OD，由圆周角定理可得∠AGB＝90°，根据余角的性质可得∠ABG＝45°，由圆周角定理可得∠ADG＝∠ABG＝45°，证明△GAP∽△GDA，根据相似三角形的性质可得GA，由等腰直角三角形的性质可得OG，由垂径定理可得DE＝CE，OG∥CD，根据平行线分线段成比例的性质可得DE，进而可得CD.
13．【答案】－6
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：取AC的中点O'，连接BO'，BC，EO'，如下图：
∴
∵
∴
∴点D在移动过程中，点E在以AC为直径的一段弧上运动，即上运动，
∴
∵AB是半圆O的直径，
∴
∴
在中，
∴BE的最小值是：
故答案为：.
【分析】取AC的中点O'，连接BO'，BC，EO'，根据圆周角定理判断出点E在以AC为直径的一段弧上运动，从而可得，再根据圆周角定理和勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可求得最小值.
14．【答案】（1）解：把A（1，3）代入y＝得m＝3，
则双曲线的表达式是y＝，
把A（1，3）代入y＝﹣x+b得﹣1+b＝3，
解得b＝4，
则直线AB的表达式是y＝﹣x+4；
（2）解：将直线AB向下平移n（n＞0）个单位长度得直线A′B′解析式为y＝﹣x+4﹣n，
∵直线AB向下平移n（n＞0）个单位长度后与反比例函数的图象只有一个交点，
∴＝﹣x+4﹣n，
整理得x2+（n﹣4）x+3＝0，
∵Δ＝（n﹣4）2﹣4×1×3＝0，
解得n＝4+2或n＝4﹣2，
∴直线A'B'的解析式为y＝﹣x﹣2或y＝﹣x+2；
（3）解：存在，
过点A作AM⊥x轴于点M，
∵点A的坐标为（1，3）．
∴M（1，0），
∵直线AB的表达式是y＝﹣x+4，
令y＝0，则0＝﹣x+4，解得x＝4，
∴D（4，0），
∴AM＝DM＝3，
∴△ADM是等腰直角三角形，
以M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴交于点P，连接MP，
∴∠APD＝∠AMD＝45°，
设P（0，p），
∴MP＝＝3，
∴p＝±2，
∴点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将 A（1，3）代入y＝得m的值， 从而求得双曲线的解析式，再将 A（1，3）代入y＝﹣x+b求得b的值，从而求得直线AB的解析式；
（2）根据将直线AB向下平移n（n＞0）个单位长度得直线A′B′解析式为y＝﹣x+4﹣n， 且 与反比例函数的图象只有一个交点， 得到关于x的等式，整理得关于x的一元二次方程，利用 Δ＝0，得到关于n的方程，解方程即可求解；
（3）存在，过点A作AM⊥x轴于点M，可得△ADM是等腰直角三角形，以M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴交于点P， 利用圆周角定理可得 ∠APD＝∠AMD＝45°，设P（0，p）和MP的值， 利用勾股定理即可求得点P的坐标.
15．【答案】（1）证明：连接AE，如图：
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∵AF⊥AB，
∴∠FAB=90°
∴∠B+∠F=90°，
∵点E为弧AC得中点，
∴
∴∠B=∠EAD，
∴∠F=∠ADE
∴AD=AF；
（2）解：在Rt△ABF中，∵AF=3，AB=4，
∴FB=5，
∵S△ABF=
∴
∴AE=，
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=，
在Rt△AED中，由勾股定理得ED=，
∴BD=BE－ED=，
∴△ABD的周长4＋3＋=；
（3）解：①当AE=AP时，
∵
∴
②当AE=PE时，连接OE交AC于点M，如图：
∵点E为弧AC的中点，
∴
∴P与C重合，
在中，
在中，
∴
解得：
∴
∴
③当AP=PE时，连接OP交AE于N，如图：
∴
在中，
∴
在中，
延长PO交圆O于点P'，则P'E=P'A，
在中，
综上所述，AP的长为：或或或.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接AE，根据"直径所对的圆周角为直角"得到∠AEB=90°，再根据"等弧所对的圆周角相等"得到∠B=∠EAD，进而根据等角的余角相等得到∠F=∠ADE，最后根据"等角对等边"即可求解；
（2）首先由勾股定理算出FB=5，利用等面积法求出AE的长，再利用勾股定理求出BE和DE的长度，进而得到BD的长度，从而即可求出△ABD的周长；
（3）由题意知需分三种情况，①当AE=AP时，②当AE=PE时，P与C重合，③当AP=PE时，分别计算即可求解.
16．【答案】（1）证明：根据题意得，
∵，
∴，
∴，
∴点B在上．
（2）解：连接，如图，
∵，为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：过点B作，过点A作，交于点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得， 即得CM=DM=BM，根据点和圆的位置关系即可判断；
（2）由垂径定理可得BD=DE，易求△ADE为等腰直角三角形，可得， 从而得出AD+BD=AB=（）BD，继而得解；
（3） 过点B作，过点A作，交于点N，连接， 先证 ， 可得， 再证，可得NE=EF， 在中，由即可求解.
17．【答案】（1）解：∠CPD是的“美丽角”理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC＝PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA＝∠EPA．
∵∠BPD＝∠EPA，
∴∠CPA＝∠BPD，
∴∠CPD是的“美丽角”；
（2）解：∵的度数为α，
∴∠CED＝α．
∵CE⊥AB，
∠APE＝90°-∠CED＝90°-α．
∠BPD＝∠APE，
∠APC＝∠BPD，
∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD＝α．
∵∠CPD是的“美丽角”．
∴的“美丽角”＝α；
（3）解：如图，连接OC，OD，
∵的“美丽角”为90°，
∴∠APC＝∠BPD＝45°
∴APE＝∠BPD＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝∠APE＝45°，
∴∠COD＝2∠E＝90°．
∵直径AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴CD＝OC＝5；
∵∠CPD＝90°，∠E＝45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC＝PE．
设PC＝PE＝x，
则PD＝DE-PE＝7-x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2＝CD2，
∴x2+（7-x）2＝（5）2，
解得：x＝3或x＝4，
∴PC＝PE＝3或4，
∴CE＝PC＝6或8．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形；定义新运算；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得AB为EC的垂直平分线得∠CPA＝∠EPA，再根据对顶角相等得∠BPD＝∠EPA，等量代换得∠CPA＝∠BPD；
（2）根据圆周角定理得∠CED＝α，进而得到∠APE＝90°-α，再根据对顶角相等得∠BPD＝∠APE，再根据美丽角得∠APC＝∠BPD，再根据补角得∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD即可求得；
（3）连接OC，OD，根据勾股定理列方程，即可求得PC，CE.
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