2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.3.2 圆内接四边形 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·铜川模拟）如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵点A是中优弧的中点，
∴
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等得∠ADB=∠ABD=70°，根据三角形的内角和定理得∠A=40°，进而根据圆内接四边形的对角互补可求∠BCD的度数.
2．（2023九上·游仙期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝2，CD＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，
∴是的直径，
，
，
，
故答案为：C
【分析】连接，先根据圆周角定理即可得到，进而结合题意运用勾股定理即可求解。
3．（2023九上·抚松月考）如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，∠BAD=108°，E 是BC延长线上一点，若∠ECF=60°，则∠DCF等于（ ）
A．30° B．48° C．54° D．60°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是圆的内接四边形，∠BAD=108°，E 是BC延长线上一点 ∴∠DCE=∠BAD=108° ∵ ∠ECF=60° ∴∠DCF=∠DCE-∠ECF=48°
故答案为：B.
【分析】由圆内接四边形的任意一个角等于它的内对角∠DCE=∠BAD=108°，然后根据角平分线的定义来求∠DCF的大小。
4．（2023九上·东阳月考）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D(不与O重合)，连结CD．若∠A=22°，则∠ACD的度数为（ ）
A．46° B．44° C．48° D．68°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接BC，如图：
∵AB为直径，
∴
∴
由折叠得：弧AC所对得圆周角为∠B，弧ABC所对得圆周角为∠ADC，
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】连接BC，根据圆周角定理得到进而求出∠B得度数，再根据折叠得性质得到弧AC所对得圆周角为∠B，弧ABC所对得圆周角为∠ADC，即据此求出∠ADC的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠ACD的度数.
5．（2023九上·杭州期中）如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：接BC，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵四边形ADCB是圆的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°，
∵AD∥OC，
∴∠BAD=∠BOC= x°，
∴x+y+90=180，即x+y=90.
故答案为：A.
【分析】连接BC，由圆内接四边形的性质可得∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°，
又因为∠BAD=∠BOC= y°，即有x+y=90.
6．（2023九上·杭州期中）下列命题正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．圆内接平行四边形一定是矩形
D．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解： A：不在一条直线上的三个点确定一个圆，故A错误；
B：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故B错误；
C：因为圆内接四边形对角互补，平行四边形对角相等，互补且相等的两个角都是直角，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以圆内接平行四边形一定是矩形，故C正确；
D： 因为同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧， 故D错误，
故选：C.
【分析】根据确定圆的条件、 垂径定理 、 圆内接四边形的性质 、圆心角、弧、弦的关系定理求解即可.
7．（2023九上·洞头期中） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：四边形ABCD内接于⊙O，
∠ABC+∠ADC=180°，
又∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＝∠ADC=90°，
AB＝3，BC＝4，
BD平分∠ABC ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过点C作交BD于点H，
，
，
，
.
.
故答案为：B.
【分析】过点C作交BD于点H，根据圆的内接四边形对角互补得∠ABC＝∠ADC=90°，由BD平分∠ABC ，得到，所以，进而根据圆周角定理等腰直角三角形性质及勾股定理可算出BD的长.
8．（2023·玉环模拟）如图，四边形为正方形，其中分别以为直径在正方形内部做半圆，正方形的对角线交于O点，点E是以为直径的半圆上的一个动点，则下列结论错误的是（ ）
A．若正方形的边长为10，连接，则的最小值为
B．连接，则
C．连接，若，，则正方形的边长为
D．若M，N分别为的中点，存在点E，使得
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：A，取DC的中点N，连接BN交弧CD于点E，
此时BE=BN-EN的值最小，
∵正方形ABCD，
∴CD=BC=10，∠BCN=90°，
∴，
∵CD是半圆弧CD的直径，
∴EN=CN=5，
∴此时，故A不符合题意；
B、当点E在弧OC上时，∠OED=45°，当点E在弧OD上时，∠OED=180°-45°=135°，故B符合题意；
C、连接DE，CE，
∵CD是直径，
∴∠DEC=90°，
∴
∴此正方形的边长为，故C不符合题意；
D、∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴以MN为直径的圆，与半圆COD必有交点，
∴存在点E，使∠MEN=90°，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】取DC的中点N，连接BN交弧CD于点N，此时BE=BN-EN的值最小，利用正方形的性质可证得CD=BC=10，∠BCN=90°，利用勾股定理求出BN的长，然后求出BE的最小值，可对A作出判断；当点E在弧OC上时，利用圆周角定理可知∠OED=45°，当点E在弧OD上时，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠OED的度数，可对B作出判断；连接DE，CE，利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠DEC=90°，利用勾股定理求出CD的长，即可得到正方形的边长，可对C作出判断；利用M，N分别为AB，CD的中点，可知以MN为直径的圆，与半圆COD必有交点，这个交点就是点E，利用直径所对的圆周角是直角，可知存在点E，使∠MEN=90°，可对D作出判断.
二、填空题
9．点О是△ABC的外心，若∠BOC=110°，则∠BAC的度数为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图1， 当△ABC的外心O 在三角形内部时， ∠BAC =12∠BOC= 55°.
如图2，当△ABC的外心O 在三角形外部时，在与 ∠BAC 相对的弧上取一点D，则∠BDC =12∠BOC= 55°.又因为∠BAC +∠BDC=180°，所以∠BAC=180°-∠BDC=180°- 55°=125°.
故答案为：55°或125°.
【分析】锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，本题需要分类讨论；当△ABC的外心O 在三角形内部时，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，得 ∠BAC =12∠BOC= 55°；当△ABC的外心O 在三角形外部时，在与 ∠BAC 相对的弧上取一点D，则∠BDC =12∠BOC= 55°，根据圆的内接四边形对角互补可知，∠BAC=180°-∠BDC=180°- 55°=125°.
10．（2023九上·余姚期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是 ．
【答案】50°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解： 如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-20°=70°，
根据翻折的性质知，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°-70°=110°，
∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-20°-110°=50°．
故答案为：50°.
【分析】先根据圆周角定理和直角三角形的性质求出∠B的度数，再根据折叠的性质和圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再根据三角形内角和定理得出∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC，即可得出答案.
11．已知圆内接四边形ABCD中，，，，的度数之比为1：2：3：4，则∠B的度数为
【答案】126°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵：：：=1：2：3：4，
设=k，=2k，=3k，=4k，
∴k+2k+3k+4k=360°，解得：k=36°，
∴∠B=（+）=(4×36°+3×36°）=126°.
故答案为：126°.
【分析】根据已知条件可设=k，=2k，=3k，=4k，然后由四条弧的度数之和等于360°可得关于k的方程，解方程求出k的值，然后根据圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半可求解.
12．（2023·息烽模拟）如图，，分别是边长为的等边三角形的两边，上的动点，且，与交于点，则点到点的最小值为 ．
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
如图，连接设，
当时，点到点的值最小，
，
，
，
，
，，
，
，，，四点共圆，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，，
∽，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
证明△CAD≌△BCE（SAS），∠ACD=∠CBE，再证明∠DFB=60°，连接DE．设AD=CE=x，当AF⊥BE时，点A到点F的值最小，证明A，D，F，E四点共圆，可得∠AED=∠AFD=30°，∠AFE=∠ADE=90°，证明△BDE∽△BFA，进而根据相似三角形的性质得出，代入数据即可求解．
13．（2022九上·宁波月考）如图，在以为直径的半圆中，是半圆的三等分点，点是弧上一动点，连接，，作垂直交于，连接，若，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接.
∵是半圆的三等分点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
作的外接圆，连接.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点在上，运动轨迹是，
过点T作TH⊥AB于H.
∵
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中， ，
∵，
∴，
∴的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据弧圆心角、弧、弦的关系得∠AOC=60°，可得△AOC是等边三角形，作△AOC的外接圆，连接TA、TC、TN、TB，根据垂径定理得CM=PM，根据线段垂直平分线的性质得NC=NP，根据等边对等角及圆周角定理得∠NPC=∠NCP=30°，根据圆内接四边形的性质可得点N在圆T上，运动轨迹是弧OC，过点T作TH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=OH=3，在Rt△ATH中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值求出TH，在Rt△BHT中，利用勾股定理算出BT，进而根据两点之间，线段最短可得BN≥BT-TN，从而即可得出答案.
三、解答题
14．（2023九上·杭州期中） 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，点P是的中点，过点P作PD⊥AB，交AB延长线于点D，连接BP．
（1）求证：∠CBP＝∠PBD；
（2）过P作PG⊥BC交BC于G点，若AB＝6，BD＝4，求BC的长．
【答案】（1）证明：如图，连接PC，
∵点P是的中点，
∴∠ACP＝∠PBC（等弧所对的圆周角相等），
∵四边形ABPC是圆内接四边形，
∴∠DBP＝∠ACP，
∴∠CBP＝∠PBD；
（2）解：连接AP，
在△PDB和△PGB中，
，
∴△PDB≌△PGB（AAS），
∴BD＝BG＝4，PD＝PG，
∵点P是的中点，
∴PC＝PA，
在Rt△PCG和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PCG≌Rt△PAD（HL），
∴CG＝AD＝AB+BD＝6+4＝10，
∴BC＝BG+CG＝4+10＝14．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）连接PC，根据等弧对等角得∠ACP＝∠PBC，根据圆内接四边形性质可得∠DBP＝∠ACP，等量代换即可求得；
（2）连接AP，依据AAS判定△PDB≌△PGB，依据HL判定Rt△PCG≌Rt△PAD，可得BC=BG+CG=AB+2BD.
15．（2024九上·天津市期中）如图，四边形内接于是直径，为的中点，延长交于，连结．
（1）求证：；
（2）当时，求线段的长．
【答案】（1）证明：为的中点，
，
是直径，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用等角对等边证明即可。
（2）利用勾股定理分别求出BD ， PB 再利用等腰三角形的性质即可解决问题。
四、综合题
16．（2021九上·息县月考）已知内接于，点D是上一点.
（1）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（2）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小.
【答案】（1）解：为的直径，
∴.
∵在中，，
∴；
∵，
∴.
∴.
（2）解：如图，连接.
∵，
∴.
∵四边形是圆内接四边形，，
∴.
∴.
∴.
∵是的切线，
∴，即.
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠BCD=90°，∠BDC=∠BAC=42°，根据余角的性质得∠DBC=48°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=69°，然后根据∠ACD=∠BCD-∠ACB进行计算；
（2）连接OD，由平行线性质得∠ACD=∠BAC=42°，由圆内接四边形性质得∠ABC+∠ADC=180°，求出∠ADC的度数，利用内角和定理可得∠DAC=27°，根据圆周角定理可得∠DOC=2∠DAC=54°，根据切线的性质可得∠ODE=90°，据此求解.
17．（2023·株洲）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．
（1）求证：直线直线；
（2）若；
①求证：；
②若，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：在中，
，
，即，
在中，
，
，
即直线直线；
（2）解：①四边形是半径为R的的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
由（1）可知，
，
在与中，
，
，
②在中，，
，
是的直径，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
由①可知，
，
，
四边形的周长为：
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理即可得到，即，进而得到即可求解；
（2）①先根据圆内接四边形的性质即可得到，进而结合题意即可得到，再根据圆周角定理即可得到，进而得到，再根据三角形全等的判定（AAS）即可求解；
②先根据题意得到AB的长，进而结合题意即可得到，再运用勾股定理即可求出DA的长，进而根据三角形全等的性质结合题意即可求解。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.3.2 圆内接四边形 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·铜川模拟）如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·游仙期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝2，CD＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2023九上·抚松月考）如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，∠BAD=108°，E 是BC延长线上一点，若∠ECF=60°，则∠DCF等于（ ）
A．30° B．48° C．54° D．60°
4．（2023九上·东阳月考）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D(不与O重合)，连结CD．若∠A=22°，则∠ACD的度数为（ ）
A．46° B．44° C．48° D．68°
5．（2023九上·杭州期中）如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y
6．（2023九上·杭州期中）下列命题正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．圆内接平行四边形一定是矩形
D．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等
7．（2023九上·洞头期中） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4 B． C． D．
8．（2023·玉环模拟）如图，四边形为正方形，其中分别以为直径在正方形内部做半圆，正方形的对角线交于O点，点E是以为直径的半圆上的一个动点，则下列结论错误的是（ ）
A．若正方形的边长为10，连接，则的最小值为
B．连接，则
C．连接，若，，则正方形的边长为
D．若M，N分别为的中点，存在点E，使得
二、填空题
9．点О是△ABC的外心，若∠BOC=110°，则∠BAC的度数为 .
10．（2023九上·余姚期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是 ．
11．已知圆内接四边形ABCD中，，，，的度数之比为1：2：3：4，则∠B的度数为
12．（2023·息烽模拟）如图，，分别是边长为的等边三角形的两边，上的动点，且，与交于点，则点到点的最小值为 ．
13．（2022九上·宁波月考）如图，在以为直径的半圆中，是半圆的三等分点，点是弧上一动点，连接，，作垂直交于，连接，若，则的最小值是 .
三、解答题
14．（2023九上·杭州期中） 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，点P是的中点，过点P作PD⊥AB，交AB延长线于点D，连接BP．
（1）求证：∠CBP＝∠PBD；
（2）过P作PG⊥BC交BC于G点，若AB＝6，BD＝4，求BC的长．
15．（2024九上·天津市期中）如图，四边形内接于是直径，为的中点，延长交于，连结．
（1）求证：；
（2）当时，求线段的长．
四、综合题
16．（2021九上·息县月考）已知内接于，点D是上一点.
（1）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（2）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小.
17．（2023·株洲）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．
（1）求证：直线直线；
（2）若；
①求证：；
②若，求四边形的周长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵点A是中优弧的中点，
∴
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等得∠ADB=∠ABD=70°，根据三角形的内角和定理得∠A=40°，进而根据圆内接四边形的对角互补可求∠BCD的度数.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，
∴是的直径，
，
，
，
故答案为：C
【分析】连接，先根据圆周角定理即可得到，进而结合题意运用勾股定理即可求解。
3．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是圆的内接四边形，∠BAD=108°，E 是BC延长线上一点 ∴∠DCE=∠BAD=108° ∵ ∠ECF=60° ∴∠DCF=∠DCE-∠ECF=48°
故答案为：B.
【分析】由圆内接四边形的任意一个角等于它的内对角∠DCE=∠BAD=108°，然后根据角平分线的定义来求∠DCF的大小。
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接BC，如图：
∵AB为直径，
∴
∴
由折叠得：弧AC所对得圆周角为∠B，弧ABC所对得圆周角为∠ADC，
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】连接BC，根据圆周角定理得到进而求出∠B得度数，再根据折叠得性质得到弧AC所对得圆周角为∠B，弧ABC所对得圆周角为∠ADC，即据此求出∠ADC的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠ACD的度数.
5．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：接BC，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵四边形ADCB是圆的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°，
∵AD∥OC，
∴∠BAD=∠BOC= x°，
∴x+y+90=180，即x+y=90.
故答案为：A.
【分析】连接BC，由圆内接四边形的性质可得∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°，
又因为∠BAD=∠BOC= y°，即有x+y=90.
6．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解： A：不在一条直线上的三个点确定一个圆，故A错误；
B：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故B错误；
C：因为圆内接四边形对角互补，平行四边形对角相等，互补且相等的两个角都是直角，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以圆内接平行四边形一定是矩形，故C正确；
D： 因为同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧， 故D错误，
故选：C.
【分析】根据确定圆的条件、 垂径定理 、 圆内接四边形的性质 、圆心角、弧、弦的关系定理求解即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：四边形ABCD内接于⊙O，
∠ABC+∠ADC=180°，
又∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＝∠ADC=90°，
AB＝3，BC＝4，
BD平分∠ABC ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过点C作交BD于点H，
，
，
，
.
.
故答案为：B.
【分析】过点C作交BD于点H，根据圆的内接四边形对角互补得∠ABC＝∠ADC=90°，由BD平分∠ABC ，得到，所以，进而根据圆周角定理等腰直角三角形性质及勾股定理可算出BD的长.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：A，取DC的中点N，连接BN交弧CD于点E，
此时BE=BN-EN的值最小，
∵正方形ABCD，
∴CD=BC=10，∠BCN=90°，
∴，
∵CD是半圆弧CD的直径，
∴EN=CN=5，
∴此时，故A不符合题意；
B、当点E在弧OC上时，∠OED=45°，当点E在弧OD上时，∠OED=180°-45°=135°，故B符合题意；
C、连接DE，CE，
∵CD是直径，
∴∠DEC=90°，
∴
∴此正方形的边长为，故C不符合题意；
D、∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴以MN为直径的圆，与半圆COD必有交点，
∴存在点E，使∠MEN=90°，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】取DC的中点N，连接BN交弧CD于点N，此时BE=BN-EN的值最小，利用正方形的性质可证得CD=BC=10，∠BCN=90°，利用勾股定理求出BN的长，然后求出BE的最小值，可对A作出判断；当点E在弧OC上时，利用圆周角定理可知∠OED=45°，当点E在弧OD上时，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠OED的度数，可对B作出判断；连接DE，CE，利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠DEC=90°，利用勾股定理求出CD的长，即可得到正方形的边长，可对C作出判断；利用M，N分别为AB，CD的中点，可知以MN为直径的圆，与半圆COD必有交点，这个交点就是点E，利用直径所对的圆周角是直角，可知存在点E，使∠MEN=90°，可对D作出判断.
9．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图1， 当△ABC的外心O 在三角形内部时， ∠BAC =12∠BOC= 55°.
如图2，当△ABC的外心O 在三角形外部时，在与 ∠BAC 相对的弧上取一点D，则∠BDC =12∠BOC= 55°.又因为∠BAC +∠BDC=180°，所以∠BAC=180°-∠BDC=180°- 55°=125°.
故答案为：55°或125°.
【分析】锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，本题需要分类讨论；当△ABC的外心O 在三角形内部时，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，得 ∠BAC =12∠BOC= 55°；当△ABC的外心O 在三角形外部时，在与 ∠BAC 相对的弧上取一点D，则∠BDC =12∠BOC= 55°，根据圆的内接四边形对角互补可知，∠BAC=180°-∠BDC=180°- 55°=125°.
10．【答案】50°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解： 如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-20°=70°，
根据翻折的性质知，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°-70°=110°，
∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-20°-110°=50°．
故答案为：50°.
【分析】先根据圆周角定理和直角三角形的性质求出∠B的度数，再根据折叠的性质和圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再根据三角形内角和定理得出∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC，即可得出答案.
11．【答案】126°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵：：：=1：2：3：4，
设=k，=2k，=3k，=4k，
∴k+2k+3k+4k=360°，解得：k=36°，
∴∠B=（+）=(4×36°+3×36°）=126°.
故答案为：126°.
【分析】根据已知条件可设=k，=2k，=3k，=4k，然后由四条弧的度数之和等于360°可得关于k的方程，解方程求出k的值，然后根据圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半可求解.
12．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
如图，连接设，
当时，点到点的值最小，
，
，
，
，
，，
，
，，，四点共圆，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，，
∽，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
证明△CAD≌△BCE（SAS），∠ACD=∠CBE，再证明∠DFB=60°，连接DE．设AD=CE=x，当AF⊥BE时，点A到点F的值最小，证明A，D，F，E四点共圆，可得∠AED=∠AFD=30°，∠AFE=∠ADE=90°，证明△BDE∽△BFA，进而根据相似三角形的性质得出，代入数据即可求解．
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接.
∵是半圆的三等分点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
作的外接圆，连接.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点在上，运动轨迹是，
过点T作TH⊥AB于H.
∵
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中， ，
∵，
∴，
∴的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据弧圆心角、弧、弦的关系得∠AOC=60°，可得△AOC是等边三角形，作△AOC的外接圆，连接TA、TC、TN、TB，根据垂径定理得CM=PM，根据线段垂直平分线的性质得NC=NP，根据等边对等角及圆周角定理得∠NPC=∠NCP=30°，根据圆内接四边形的性质可得点N在圆T上，运动轨迹是弧OC，过点T作TH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=OH=3，在Rt△ATH中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值求出TH，在Rt△BHT中，利用勾股定理算出BT，进而根据两点之间，线段最短可得BN≥BT-TN，从而即可得出答案.
14．【答案】（1）证明：如图，连接PC，
∵点P是的中点，
∴∠ACP＝∠PBC（等弧所对的圆周角相等），
∵四边形ABPC是圆内接四边形，
∴∠DBP＝∠ACP，
∴∠CBP＝∠PBD；
（2）解：连接AP，
在△PDB和△PGB中，
，
∴△PDB≌△PGB（AAS），
∴BD＝BG＝4，PD＝PG，
∵点P是的中点，
∴PC＝PA，
在Rt△PCG和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PCG≌Rt△PAD（HL），
∴CG＝AD＝AB+BD＝6+4＝10，
∴BC＝BG+CG＝4+10＝14．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）连接PC，根据等弧对等角得∠ACP＝∠PBC，根据圆内接四边形性质可得∠DBP＝∠ACP，等量代换即可求得；
（2）连接AP，依据AAS判定△PDB≌△PGB，依据HL判定Rt△PCG≌Rt△PAD，可得BC=BG+CG=AB+2BD.
15．【答案】（1）证明：为的中点，
，
是直径，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用等角对等边证明即可。
（2）利用勾股定理分别求出BD ， PB 再利用等腰三角形的性质即可解决问题。
16．【答案】（1）解：为的直径，
∴.
∵在中，，
∴；
∵，
∴.
∴.
（2）解：如图，连接.
∵，
∴.
∵四边形是圆内接四边形，，
∴.
∴.
∴.
∵是的切线，
∴，即.
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠BCD=90°，∠BDC=∠BAC=42°，根据余角的性质得∠DBC=48°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=69°，然后根据∠ACD=∠BCD-∠ACB进行计算；
（2）连接OD，由平行线性质得∠ACD=∠BAC=42°，由圆内接四边形性质得∠ABC+∠ADC=180°，求出∠ADC的度数，利用内角和定理可得∠DAC=27°，根据圆周角定理可得∠DOC=2∠DAC=54°，根据切线的性质可得∠ODE=90°，据此求解.
17．【答案】（1）证明：在中，
，
，即，
在中，
，
，
即直线直线；
（2）解：①四边形是半径为R的的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
由（1）可知，
，
在与中，
，
，
②在中，，
，
是的直径，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
由①可知，
，
，
四边形的周长为：
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理即可得到，即，进而得到即可求解；
（2）①先根据圆内接四边形的性质即可得到，进而结合题意即可得到，再根据圆周角定理即可得到，进而得到，再根据三角形全等的判定（AAS）即可求解；
②先根据题意得到AB的长，进而结合题意即可得到，再运用勾股定理即可求出DA的长，进而根据三角形全等的性质结合题意即可求解。
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