2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.4.1 直线与圆的位置关系同步分层训练 基础卷
一、选择题
1．（2023九下·青山月考）已知的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与的位置关系（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
2．（2021九上·海淀期末）在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
3．（2021九上·永城月考）如图，若的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·鄞州月考）已知圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为5cm，那么直线l和这个圆的公共点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
5．（2023·淮阴模拟）已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
6．（2022九上·阳信期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
7．（2022九上·临清期中）在中，，以点C为圆心，R为半径作圆．若与边只有一个公共点，则R的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．（2022九上·宿豫开学考）面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定与（ ）
A．轴相交 B．轴相交 C．轴相切 D．轴相切
二、填空题
9．（2021九上·崆峒期末）以平面直角坐标系原点O为圆心，半径为3的圆与直线x=3的位置关系是 .
10．（2020九上·勃利期末）如图所示，⊙A的圆心坐标为（0，4），若⊙A的半径为3，则直线y=x与⊙A 的位置关系是 ．
11．（2020九上·金昌期中）在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心，2.5为半径作圆，那么直线AB与这个圆的位置关系分别是 .
12．（2023九上·路桥月考）如图，是以原点为圆心，半径为的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为 ．
13．（2022·浦东模拟）如图，在中，为边上的中线，，以点B为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为 ．
三、解答题
14．（2020八下·右玉期中）如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交会，且∠QPN=30°．点 A 处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机从 P 沿公路 MN 前行，假设拖拉机行驶时周围 100m 以内会受到噪声影响，那么该所中学是否会受到噪声影响，请说明理由，若受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多长？
15．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由.
四、综合题
16．（2021九上·南沙期末）在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的⊙O半径为3．
（1）试判断点A（3，3）与⊙O的位置关系，并加以说明．
（2）若直线y＝x+b与⊙O相交，求b的取值范围．
（3）若直线y＝x+3与⊙O相交于点A，B．点P是x轴正半轴上的一个动点，以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标．
17．（2022·南开模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上．
（1）的周长为 ．
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上确定一点M，使以点M为圆心，以MC为半径的与AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）： ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的直径为12，
∴的半径为6，
∵点O到直线l上一点的距离为，无法确定点O到直线l的距离，
∴不能确定直线l与的位置关系，
故答案为：D.
【分析】设圆的半径为r，直线到圆心的距离为d，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；此题给的是点O到直线l上一点的距离，而无法确定点O到直线l的距离，故不能判断直线与圆的位置关系.
2．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接，
，点O为AB中点．
CO为⊙C的半径，
是的切线，
⊙C 与AB的位置关系是相切
故答案为：B
【分析】连接CO，根据直线与圆的位置关系即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，，
∴这条直线与圆相交，
由图可知只有直线与圆相交，
故答案为：B.
【分析】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交，结合题意观察图形，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为5cm，
∴直线l和这个圆的公共点有1个.
故答案为：B.
【分析】根据圆心到直线l的距离等于半径可知：直线与圆相切，据此可得公共点的个数.
5．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为5，直线与有2个公共点，
∴点到直线的距离.
故答案为：A.
【分析】设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，当d＜r时，直线与⊙O相交；当d=r时，直线与⊙O相切，当d＞r时，直线与⊙O相离，据此解答即可.
6．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=4，
在Rt△ABH中，AH==3，
∵AB=5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC=5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH=3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用直线与圆的位置关系求解即可。
7．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点D．
，．
①如果以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切，则．此时．
②当时，圆与边也只有一个公共点．
综上，或．
故答案为：D．
【分析】利用点与圆的位置，直线与圆的位置关系求解即可。
8．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：是以点为圆心，为半径的圆，
如图所示：
这个圆与轴相切，与轴相离.
故答案为：D.
【分析】根据题意画出示意图，据此可得圆与x轴、y轴的关系.
9．【答案】相切
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵原点到直线x=3的距离为3，半径为3，
则有3=3，
∴这个圆与直线x=3相切.
故答案为：相切.
【分析】由原点，即圆心到直线x=3的距离和半径相等，从而得出这个圆与直线x=3相切，即可解答.
10．【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】作AB垂直于直线y=x于B．
在等腰直角三角形AOB中，根据勾股定理得AB=OB=2 ＜3，所以直线和圆相交．
故答案为：相交.
【分析】根据勾股定理即可得出圆心到直线的距离。
11．【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 如图， 作 于点 .
∵ 的两条直角边 ， ，
斜边 .
，即
，
.
半径是 ，
直线与圆C相交 .
故答案为：相交.
【分析】 作 于点 ，利用勾股定理求出AB=5，由，求出CD的长，然后与半径相比，根据直线与圆的位置关系进行判断即可.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 为 的切线，
∴，
又∵ 圆的半径为，
∴OQ=2，
∴，
则欲求的最小值 ，只需求的最小值；
又∵为直角三角形，
∴，即，
∴当OP最小时，PQ最小；
由题意，当时，OP最小；
根据直线，可得OB=6，OA=6；
由勾股定理可得，
当时，，
即，
解得，
此时由，可得，解
∴；
故答案为：.
【分析】根据可将 的最小值转化为求的最小值，根据勾股定理和等面积法求的最小值即可.
13．【答案】或
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：在中，为边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴边的高，
∵与中线有且只有一个公共点，
∴的半径r的取值范围为或．
故答案为：或．
【分析】根据三角函数可得BC、AC的值，根据直角三角形斜边上的中线性质，可求得CD、BD的值，根据三角形面积公式可求CD边上的高，再根据直线与圆的位置关系即可求解。
14．【答案】解：过点A作AB⊥MN于B，
∵∠QPN=30°，AP=160m，
∴ ，
∵80＜100，
∴该所中学会受到噪声影响；
以A为圆心，100m为半径作圆，交MN于点C与D，
则AC=AD=100m，
在Rt△ABC中， ，
∵AC=AD，AB⊥MN，
∴BD=BC=60m，
∴CD=BC+BD=120m，
∵ ，
∴学校受影响的时间为：120÷5=24（秒）．
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】过 点A作AB⊥MN于B， 由 ∠QPN=30°，AP=160m， 根据直角三角形中30°对的直角边是斜边的一半，即可求得AB的长，即可知该所中学是否会受到噪声影响，然后以A为圆心，100m为半径作圆，交MN于点C与D，由勾股定理，即可求得BC的长，继而求得CD的长，则可求得学校受影响的时间 。
15．【答案】解：⊙A与直线BC相交.
过A作AD⊥BC，垂足为点D.
∵AB=AC，BC=16，
∴BD= BC= ×16=8，
在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，
∴AD= =6，
∵⊙O的半径为7，
∴AD＜r，
⊙A与直线BC相交.
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】
过A作AD⊥BC，垂足为点D，由等腰三角形的三线合一可得BD=
BC，在Rt△ABC中， 用勾股定理可求得AD的值，把AD的值与圆的半径比较大小可知AD
＜r，根据直线和圆的位置关系可得⊙A与直线BC相交。
16．【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴点A在外
（2）解：如图，当直线与相切于点C时，连接OC，则OC=3
∵∠
∴
∴直线与相交时，；
（3）解：∵直线与相交于点A，B，
∴，
∴
当时，点P坐标为：
，（舍去）
当时，
∵轴
∴
∴
当时，点P与点O重合，
∴（舍去）
综上，点P的坐标为：或
【知识点】等腰三角形的判定；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）计算OA与半径3进行比较即可；
（2）当直线y=x+b与⊙O相交，求出OB的长，即可得出b的取值范围；
（3）先得出点A、B的坐标，分当时，当时，当时，三种情况讨论即可。
17．【答案】（1）12
（2）解：如图
延长BC到点D，使，连接AD，取中点E，连接BE，BE交AC于点M．
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】（1）根据题意，得，，
∴
∴的周长
故答案为：12；
（2）延长BC到点D，使，连接AD，取中点E，连接BE，BE交AC于点M，如下图
∵，
∴，即
∴点M到AB和BC的距离相等
∴以点M为圆心，以MC为半径的与AB相切
故答案为：延长BC到点D，使，连接AD，取中点E，连接BE，BE交AC于点M．
【分析】（1）根据勾股定理可得AB，即可求出的周长；
（2）利用格点，勾股定理构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质作出的平分线。
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.4.1 直线与圆的位置关系同步分层训练 基础卷
一、选择题
1．（2023九下·青山月考）已知的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与的位置关系（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的直径为12，
∴的半径为6，
∵点O到直线l上一点的距离为，无法确定点O到直线l的距离，
∴不能确定直线l与的位置关系，
故答案为：D.
【分析】设圆的半径为r，直线到圆心的距离为d，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；此题给的是点O到直线l上一点的距离，而无法确定点O到直线l的距离，故不能判断直线与圆的位置关系.
2．（2021九上·海淀期末）在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接，
，点O为AB中点．
CO为⊙C的半径，
是的切线，
⊙C 与AB的位置关系是相切
故答案为：B
【分析】连接CO，根据直线与圆的位置关系即可得出答案。
3．（2021九上·永城月考）如图，若的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，，
∴这条直线与圆相交，
由图可知只有直线与圆相交，
故答案为：B.
【分析】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交，结合题意观察图形，可得答案.
4．（2021九上·鄞州月考）已知圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为5cm，那么直线l和这个圆的公共点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为5cm，
∴直线l和这个圆的公共点有1个.
故答案为：B.
【分析】根据圆心到直线l的距离等于半径可知：直线与圆相切，据此可得公共点的个数.
5．（2023·淮阴模拟）已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为5，直线与有2个公共点，
∴点到直线的距离.
故答案为：A.
【分析】设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，当d＜r时，直线与⊙O相交；当d=r时，直线与⊙O相切，当d＞r时，直线与⊙O相离，据此解答即可.
6．（2022九上·阳信期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=4，
在Rt△ABH中，AH==3，
∵AB=5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC=5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH=3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用直线与圆的位置关系求解即可。
7．（2022九上·临清期中）在中，，以点C为圆心，R为半径作圆．若与边只有一个公共点，则R的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点D．
，．
①如果以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切，则．此时．
②当时，圆与边也只有一个公共点．
综上，或．
故答案为：D．
【分析】利用点与圆的位置，直线与圆的位置关系求解即可。
8．（2022九上·宿豫开学考）面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定与（ ）
A．轴相交 B．轴相交 C．轴相切 D．轴相切
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：是以点为圆心，为半径的圆，
如图所示：
这个圆与轴相切，与轴相离.
故答案为：D.
【分析】根据题意画出示意图，据此可得圆与x轴、y轴的关系.
二、填空题
9．（2021九上·崆峒期末）以平面直角坐标系原点O为圆心，半径为3的圆与直线x=3的位置关系是 .
【答案】相切
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵原点到直线x=3的距离为3，半径为3，
则有3=3，
∴这个圆与直线x=3相切.
故答案为：相切.
【分析】由原点，即圆心到直线x=3的距离和半径相等，从而得出这个圆与直线x=3相切，即可解答.
10．（2020九上·勃利期末）如图所示，⊙A的圆心坐标为（0，4），若⊙A的半径为3，则直线y=x与⊙A 的位置关系是 ．
【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】作AB垂直于直线y=x于B．
在等腰直角三角形AOB中，根据勾股定理得AB=OB=2 ＜3，所以直线和圆相交．
故答案为：相交.
【分析】根据勾股定理即可得出圆心到直线的距离。
11．（2020九上·金昌期中）在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心，2.5为半径作圆，那么直线AB与这个圆的位置关系分别是 .
【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 如图， 作 于点 .
∵ 的两条直角边 ， ，
斜边 .
，即
，
.
半径是 ，
直线与圆C相交 .
故答案为：相交.
【分析】 作 于点 ，利用勾股定理求出AB=5，由，求出CD的长，然后与半径相比，根据直线与圆的位置关系进行判断即可.
12．（2023九上·路桥月考）如图，是以原点为圆心，半径为的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 为 的切线，
∴，
又∵ 圆的半径为，
∴OQ=2，
∴，
则欲求的最小值 ，只需求的最小值；
又∵为直角三角形，
∴，即，
∴当OP最小时，PQ最小；
由题意，当时，OP最小；
根据直线，可得OB=6，OA=6；
由勾股定理可得，
当时，，
即，
解得，
此时由，可得，解
∴；
故答案为：.
【分析】根据可将 的最小值转化为求的最小值，根据勾股定理和等面积法求的最小值即可.
13．（2022·浦东模拟）如图，在中，为边上的中线，，以点B为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为 ．
【答案】或
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：在中，为边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴边的高，
∵与中线有且只有一个公共点，
∴的半径r的取值范围为或．
故答案为：或．
【分析】根据三角函数可得BC、AC的值，根据直角三角形斜边上的中线性质，可求得CD、BD的值，根据三角形面积公式可求CD边上的高，再根据直线与圆的位置关系即可求解。
三、解答题
14．（2020八下·右玉期中）如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交会，且∠QPN=30°．点 A 处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机从 P 沿公路 MN 前行，假设拖拉机行驶时周围 100m 以内会受到噪声影响，那么该所中学是否会受到噪声影响，请说明理由，若受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多长？
【答案】解：过点A作AB⊥MN于B，
∵∠QPN=30°，AP=160m，
∴ ，
∵80＜100，
∴该所中学会受到噪声影响；
以A为圆心，100m为半径作圆，交MN于点C与D，
则AC=AD=100m，
在Rt△ABC中， ，
∵AC=AD，AB⊥MN，
∴BD=BC=60m，
∴CD=BC+BD=120m，
∵ ，
∴学校受影响的时间为：120÷5=24（秒）．
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】过 点A作AB⊥MN于B， 由 ∠QPN=30°，AP=160m， 根据直角三角形中30°对的直角边是斜边的一半，即可求得AB的长，即可知该所中学是否会受到噪声影响，然后以A为圆心，100m为半径作圆，交MN于点C与D，由勾股定理，即可求得BC的长，继而求得CD的长，则可求得学校受影响的时间 。
15．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由.
【答案】解：⊙A与直线BC相交.
过A作AD⊥BC，垂足为点D.
∵AB=AC，BC=16，
∴BD= BC= ×16=8，
在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，
∴AD= =6，
∵⊙O的半径为7，
∴AD＜r，
⊙A与直线BC相交.
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】
过A作AD⊥BC，垂足为点D，由等腰三角形的三线合一可得BD=
BC，在Rt△ABC中， 用勾股定理可求得AD的值，把AD的值与圆的半径比较大小可知AD
＜r，根据直线和圆的位置关系可得⊙A与直线BC相交。
四、综合题
16．（2021九上·南沙期末）在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的⊙O半径为3．
（1）试判断点A（3，3）与⊙O的位置关系，并加以说明．
（2）若直线y＝x+b与⊙O相交，求b的取值范围．
（3）若直线y＝x+3与⊙O相交于点A，B．点P是x轴正半轴上的一个动点，以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴点A在外
（2）解：如图，当直线与相切于点C时，连接OC，则OC=3
∵∠
∴
∴直线与相交时，；
（3）解：∵直线与相交于点A，B，
∴，
∴
当时，点P坐标为：
，（舍去）
当时，
∵轴
∴
∴
当时，点P与点O重合，
∴（舍去）
综上，点P的坐标为：或
【知识点】等腰三角形的判定；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）计算OA与半径3进行比较即可；
（2）当直线y=x+b与⊙O相交，求出OB的长，即可得出b的取值范围；
（3）先得出点A、B的坐标，分当时，当时，当时，三种情况讨论即可。
17．（2022·南开模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上．
（1）的周长为 ．
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上确定一点M，使以点M为圆心，以MC为半径的与AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）： ▲ ．
【答案】（1）12
（2）解：如图
延长BC到点D，使，连接AD，取中点E，连接BE，BE交AC于点M．
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】（1）根据题意，得，，
∴
∴的周长
故答案为：12；
（2）延长BC到点D，使，连接AD，取中点E，连接BE，BE交AC于点M，如下图
∵，
∴，即
∴点M到AB和BC的距离相等
∴以点M为圆心，以MC为半径的与AB相切
故答案为：延长BC到点D，使，连接AD，取中点E，连接BE，BE交AC于点M．
【分析】（1）根据勾股定理可得AB，即可求出的周长；
（2）利用格点，勾股定理构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质作出的平分线。
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