2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.4.1 直线与圆的位置关系 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
2．已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
3．（2023九上·无为月考）已知的半径是一元二次方程的解，且点O到直线AB的距离为2，则与直线AB的位置关系为（ ）．
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
4．（2023九上·古蔺期末）在中，，，，以点C为圆心的的半径为2.6，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
5．（2021九上·宜兴期中）如图，直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）.⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2020九上·罗庄期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点 ，点 是 上一动点，点 为弦 的中点，直线 与x轴、y轴分别交于点 ，则 面积的最小值为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．
二、填空题
7．（2020九上·丰南月考）如图，已知 的半径为2，圆心P在抛物线 上运动；当 与x轴相切时；圆心P的坐标为 .
8．（2022九上·襄汾月考）初中生小明日常骑自行车上下学，某日小明沿地面一条直线骑行，自行车轮胎与这条直线的位置关系是 ．（填“相离”、“相交”或“相切”）
9．（2021九上·宁波月考）如图，在平面坐标系中， ，以O为圆心， 为半径画圆，P为 上一动点，则 的最小值
10．（2021九上·荆州月考）如图，已知A点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O，A为顶点作菱形，使B，C点都在第一象限内，且，若以为圆心，为半径的圆恰好与所在的直线相切，则 .
三、解答题
11．（2021·厦门模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C是⊙O外一点.若 ，直线BC与⊙O相交，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.
12．平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2=0，y1﹣y2=0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）
（1）下列各点中， 点C互为反等点；
D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）
（2）已知点G（﹣5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xP的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．
四、综合题
13．（2023·宜宾模拟）已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ＞0，则称图形M与图形N相离．
（1）已知点A（1，2）、B（0，-5）、C（2，-1）、D（3，4）．
①与直线y＝3x-5相离的点是 ；
②若直线y＝3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；
（2）设直线y＝x+3、直线y＝-x+3及直线y＝-2围成的图形为W，⊙T的半径为1，圆心T的坐标为（t，0），直接写出⊙T与图形W相离的t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2 =8.
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10.
故答案为：A.
【分析】由题意可求得大圆的直径是10，当AB是大圆的直径时，与圆由两个公共点，且AB最长是10；当AB与小圆相切时，AB与小圆只有一个公共点，用勾股定理可求得此时AB的长是8，；综合这两种情况可求得AB的范围是8≤AB≤10.
2．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】①若d＞5时，∵d﹥r，∴直线与圆相离，又∵d-r﹥2，则m=0，故正确；
②若d=5时，∵d﹥r，∴直线与圆相离，又∵d-r=2，则m=1，故正确；
③若1＜d＜5，则m=2，故错误；
④若d=1时，直线与圆相交，则m=3，故错误；
⑤若d＜1时，直线与圆相交，则m=4，故正确.
故答案为：C.
【分析】①由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相离，且由题意d-r﹥2，所以没有这样的点，即m=0；②由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相离，且由题意d-r=2，所以这样的点只有一个，即m=1；③由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相交，这样的点有三个，即m=3；④由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相交，r-d=2，这样的点有三个，即m=3；⑤由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相交，这样的点有四个，即m=4。
3．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】 ，
解得：
的半径是一元二次方程的解，
的半径r=2，
点O到直线AB的距离为2，
与直线AB的位置关系为相切，
故答案为：B.
【分析】先求解方程的根，得到的半径，再根据半径与到直线的距离的大小关系判断，从而求解.
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴点C到直线的距离为，
∵，
∴直线与的位置关系是相交.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理可得AB的值，根据等面积法求出点C到直线AB的距离，据此可判断出直线与圆的位置关系.
5．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线 相切于点M、N，且圆心分别为点 、 ，如下图：
∴ ，且将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P，再点 和 之间
直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ，即
∵
∴
∴ ，即
∴符合题意要求的点P坐标为： ， ， ， ， ， ，
∴当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是：7.
故答案为：C.
【分析】⊙P沿x轴向左移动，分别与直线AB相切于点M、N，且圆心分别为点P1、P2，则MP1=NP2=OP=2，分别令直线解析式中的x=0、y=0，求出y、x，得到点A、B的坐标，求出AO、BO的值，根据tan∠OAB的值可得∠OAB的度数，求出AP1，OP1，得到点P1的坐标，同理可得P2的坐标，据此解答.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题；直线与圆的位置关系；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ，过点 作 于 ，
的运动轨迹是以点 为圆心、半径为1的圆，设 交 于点 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，得
令 ，得
当点 与点 重合时，
此时 面积的最小值
故答案为：A．
【分析】连接 ，取 的中点 ，连接 ，过点 作 于 ，先证明点C的运动轨迹是以点 为圆心、半径为1的圆，设 交 于点 ，接的直线DE与坐标轴的交点，即可得出OD、OE的长，再由勾股定理得出DE 的长，接着证明，最后当点 与点 重合时，即可得出此时 面积的最小值。
7．【答案】（ ，2）或（- ，2）或（0，-2）
【知识点】直线与圆的位置关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵⊙P的半径为2，圆心P在抛物线 上运动，
∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A，
∴PA=2，
∴
即 ，或 =-2
解得x= 或x=0，
∴P点的坐标为：（ ，2）或（- ，2）或（0，-2）
【分析】根据切线的性质：圆心到x轴的距离等于半径列出方程求解即可。
8．【答案】相切
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵自行车轮胎是圆，
又∵在骑行时，自行车轮胎与这条直线只有一个交点，
∴自行车轮胎与这条直线的位置关系是相切．
故答案为：相切
【分析】根据直线与圆的位置关系求解即可。
9．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，在x轴负半轴上取D（ ，0），则OD=
因为A（-2，0）
∴OA=2
在 上任取一点P’，连接OP'，AP'，P'D
∴OP'=OC=3
∴ ，
∴
∵∠P'OA=∠DOP’
∴△P'OA∽△DOP’
∴
∴P'D= P'A
∴求 P'A+P'B的最小值即求P'D+P'B的最小值
连接BD交 于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长
∴
即 最小值为
故答案为： .
【分析】在x轴负半轴上取D（ ，0），则OD= ，在 上任取一点P'，连接OP'，AP'，P'D，可得到OA的长及OP'=OC=3，由此可证得△P'OA∽△DOP，利用相似三角形的性质可求出P'D= P'A，可推出 P'A+P'B的最小值即求P'D+P'B的最小值；连接BD交 于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长，利用勾股定理求出BD的长，代入计算求出结果.
10．【答案】
【知识点】菱形的性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA=1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC= OA =1+t，
当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，
∴OE=CE=OC，
∴，
在Rt△OPE中，OE=OP cos30°=2，
∴，
∴t=4-1.
故答案为：4-1.
【分析】由题意可得OA=1+t，根据菱形的性质可得OC= OA =1+t，当⊙P与OA，即与x轴相切时，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，由垂径定理可得OE=CE=OC，然后表示出OE，根据三角函数的概念求出OE，据此不难求出t的值.
11．【答案】解：相交，理由如下：
如图，连接 ，
，
， ，
，
，
，
， ，
（SAS），
，
直线BC与⊙O相交，
，
.
直线 与⊙O相交.
线CD与⊙O的位置关系是：相交.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；直线与圆的位置关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】连接OD，由平行线的性质得∠ADO=∠DOC，∠A=∠BOC，由等腰三角形的性质得∠A=∠ADO，推出∠DOC=∠BOC，证明△DOC≌△BOC，得到∠OBC=∠ODC，据此判断.
12．【答案】（1）F
（2）解：由于点C与点F互为反等点．
又因为点P，Q是线段CG上的反等点，
所以点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xP≤3，且xp≠0．
（3）解：如图所示，
当⊙O与CG相离时，此时⊙O与线段CG没有互为反等点；
当⊙O与CG相切时，此时r=4，⊙O与线段CG没有互为反等点；
⊙O与CG相交于点C时，此时r= =5．⊙O与线段CG有互为反等点；
当r＞4，时，⊙O与线段CG有一个交点或者没有交点，
所以没有互为反等点．
综上当4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点．
【知识点】直线与圆的位置关系；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：因为3+（﹣3）=0，4﹣4=0
所以点（﹣3，4）与点（3，4）互为相反等点．
故答案为：点F
【分析】（1）根据互为反等点的定义解答即可。
（2） 因为点P，Q是线段CG上的反等点，所以P、Q点的横坐标小于等于C点横坐标3，又因为是两个点，所以P点横坐标不能为0，故 点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xp≤3，且xp≠0 。
（3）因为⊙O与线段CG的两个交点互为反等点 ，所以⊙O与线段有两个交点，⊙O与CG只有相交才有两个交点，又因为线段CG，当⊙O的半径大于OC后，圆O开始与线段CG又只有一个交点不符合存在两个互为反等点的交点，故 4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点。
13．【答案】（1）解：①A，C；
②当直线y＝3x+b过点A（1，2）时，
∴3+b＝2．
∴b＝-1．
当直线y＝3x+b过点C（2，-1）时，
∴6+b＝-1．
∴b＝-7．
∴b的取值范围是b＞-1或b＜-7．
（2）t＜-或t＞或-＜t＜．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）①令x=1，可得y=-2，则点A不在直线上，与直线相离；
令x=0，可得y=-5，则点B在直线上；
令x=2，可得y=1，则点C不在直线上，与直线相离；
令x=3，可得y=4，则点D在直线上.
故答案为：A、C.
（2）图形W为△ABC，直线y=x+3与y轴交于点A，与x轴交于点D，
令x=0，得y=3；令y=0，得x=，
∴OA=3，OD=，
∴∠OAD=30°，∠ADO=60°.
当⊙T位于直线AC右侧，且与直线AC相切于点H时，连接TH，
∵TH=1，
∴DT=，
∴OT=OD+DT=，
∴T（，0），
∴当t>时，⊙T与图形W相离.
当⊙T位于直线左侧，且与直线AB相切于点H时，连接TH，直线AB与x轴交于点E，
同理可得：TE=，OE=，
∴OT=，
∴T（-，0），
∴当t<-时，⊙T与图形W相离.
当⊙T位于直线AC左侧，且与直线AC相切时，
同理可得：TD=，OD=，
∴OT=，
∴T（，0）.
当⊙T与AB相切，且位于直线AB的右侧时，T（-，0），
∴当-综上可得：t>或t<-或-【分析】（1）①分别令x=1、0、2、3，求出y的值，然后进行判断；
②当直线y＝3x+b过点A（1，2）或C（2，-1）时，代入求解可得b的值，进而可得b的范围；
（2）图形W为△ABC，直线y=x+3与y轴交于点A，与x轴交于点D，易得OA=3，OD=，则∠OAD=30°，∠ADO=60°，当⊙T位于直线AC右侧，且与直线AC相切于点H时，连接TH，求出DT、OT的值，得到点T的坐标，进而可得t的范围；当⊙T位于直线左侧，且与直线AB相切于点H时，连接TH，直线AB与x轴交于点E，同理进行解答；当⊙T位于直线AC左侧，且与直线AC相切时；当⊙T与AB相切，且位于直线AB的右侧时，同理进行解答.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.4.1 直线与圆的位置关系 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2 =8.
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10.
故答案为：A.
【分析】由题意可求得大圆的直径是10，当AB是大圆的直径时，与圆由两个公共点，且AB最长是10；当AB与小圆相切时，AB与小圆只有一个公共点，用勾股定理可求得此时AB的长是8，；综合这两种情况可求得AB的范围是8≤AB≤10.
2．已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】①若d＞5时，∵d﹥r，∴直线与圆相离，又∵d-r﹥2，则m=0，故正确；
②若d=5时，∵d﹥r，∴直线与圆相离，又∵d-r=2，则m=1，故正确；
③若1＜d＜5，则m=2，故错误；
④若d=1时，直线与圆相交，则m=3，故错误；
⑤若d＜1时，直线与圆相交，则m=4，故正确.
故答案为：C.
【分析】①由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相离，且由题意d-r﹥2，所以没有这样的点，即m=0；②由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相离，且由题意d-r=2，所以这样的点只有一个，即m=1；③由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相交，这样的点有三个，即m=3；④由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相交，r-d=2，这样的点有三个，即m=3；⑤由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相交，这样的点有四个，即m=4。
3．（2023九上·无为月考）已知的半径是一元二次方程的解，且点O到直线AB的距离为2，则与直线AB的位置关系为（ ）．
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】 ，
解得：
的半径是一元二次方程的解，
的半径r=2，
点O到直线AB的距离为2，
与直线AB的位置关系为相切，
故答案为：B.
【分析】先求解方程的根，得到的半径，再根据半径与到直线的距离的大小关系判断，从而求解.
4．（2023九上·古蔺期末）在中，，，，以点C为圆心的的半径为2.6，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴点C到直线的距离为，
∵，
∴直线与的位置关系是相交.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理可得AB的值，根据等面积法求出点C到直线AB的距离，据此可判断出直线与圆的位置关系.
5．（2021九上·宜兴期中）如图，直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）.⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线 相切于点M、N，且圆心分别为点 、 ，如下图：
∴ ，且将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P，再点 和 之间
直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ，即
∵
∴
∴ ，即
∴符合题意要求的点P坐标为： ， ， ， ， ， ，
∴当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是：7.
故答案为：C.
【分析】⊙P沿x轴向左移动，分别与直线AB相切于点M、N，且圆心分别为点P1、P2，则MP1=NP2=OP=2，分别令直线解析式中的x=0、y=0，求出y、x，得到点A、B的坐标，求出AO、BO的值，根据tan∠OAB的值可得∠OAB的度数，求出AP1，OP1，得到点P1的坐标，同理可得P2的坐标，据此解答.
6．（2020九上·罗庄期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点 ，点 是 上一动点，点 为弦 的中点，直线 与x轴、y轴分别交于点 ，则 面积的最小值为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题；直线与圆的位置关系；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ，过点 作 于 ，
的运动轨迹是以点 为圆心、半径为1的圆，设 交 于点 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，得
令 ，得
当点 与点 重合时，
此时 面积的最小值
故答案为：A．
【分析】连接 ，取 的中点 ，连接 ，过点 作 于 ，先证明点C的运动轨迹是以点 为圆心、半径为1的圆，设 交 于点 ，接的直线DE与坐标轴的交点，即可得出OD、OE的长，再由勾股定理得出DE 的长，接着证明，最后当点 与点 重合时，即可得出此时 面积的最小值。
二、填空题
7．（2020九上·丰南月考）如图，已知 的半径为2，圆心P在抛物线 上运动；当 与x轴相切时；圆心P的坐标为 .
【答案】（ ，2）或（- ，2）或（0，-2）
【知识点】直线与圆的位置关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵⊙P的半径为2，圆心P在抛物线 上运动，
∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A，
∴PA=2，
∴
即 ，或 =-2
解得x= 或x=0，
∴P点的坐标为：（ ，2）或（- ，2）或（0，-2）
【分析】根据切线的性质：圆心到x轴的距离等于半径列出方程求解即可。
8．（2022九上·襄汾月考）初中生小明日常骑自行车上下学，某日小明沿地面一条直线骑行，自行车轮胎与这条直线的位置关系是 ．（填“相离”、“相交”或“相切”）
【答案】相切
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵自行车轮胎是圆，
又∵在骑行时，自行车轮胎与这条直线只有一个交点，
∴自行车轮胎与这条直线的位置关系是相切．
故答案为：相切
【分析】根据直线与圆的位置关系求解即可。
9．（2021九上·宁波月考）如图，在平面坐标系中， ，以O为圆心， 为半径画圆，P为 上一动点，则 的最小值
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，在x轴负半轴上取D（ ，0），则OD=
因为A（-2，0）
∴OA=2
在 上任取一点P’，连接OP'，AP'，P'D
∴OP'=OC=3
∴ ，
∴
∵∠P'OA=∠DOP’
∴△P'OA∽△DOP’
∴
∴P'D= P'A
∴求 P'A+P'B的最小值即求P'D+P'B的最小值
连接BD交 于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长
∴
即 最小值为
故答案为： .
【分析】在x轴负半轴上取D（ ，0），则OD= ，在 上任取一点P'，连接OP'，AP'，P'D，可得到OA的长及OP'=OC=3，由此可证得△P'OA∽△DOP，利用相似三角形的性质可求出P'D= P'A，可推出 P'A+P'B的最小值即求P'D+P'B的最小值；连接BD交 于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长，利用勾股定理求出BD的长，代入计算求出结果.
10．（2021九上·荆州月考）如图，已知A点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O，A为顶点作菱形，使B，C点都在第一象限内，且，若以为圆心，为半径的圆恰好与所在的直线相切，则 .
【答案】
【知识点】菱形的性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA=1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC= OA =1+t，
当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，
∴OE=CE=OC，
∴，
在Rt△OPE中，OE=OP cos30°=2，
∴，
∴t=4-1.
故答案为：4-1.
【分析】由题意可得OA=1+t，根据菱形的性质可得OC= OA =1+t，当⊙P与OA，即与x轴相切时，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，由垂径定理可得OE=CE=OC，然后表示出OE，根据三角函数的概念求出OE，据此不难求出t的值.
三、解答题
11．（2021·厦门模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C是⊙O外一点.若 ，直线BC与⊙O相交，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.
【答案】解：相交，理由如下：
如图，连接 ，
，
， ，
，
，
，
， ，
（SAS），
，
直线BC与⊙O相交，
，
.
直线 与⊙O相交.
线CD与⊙O的位置关系是：相交.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；直线与圆的位置关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】连接OD，由平行线的性质得∠ADO=∠DOC，∠A=∠BOC，由等腰三角形的性质得∠A=∠ADO，推出∠DOC=∠BOC，证明△DOC≌△BOC，得到∠OBC=∠ODC，据此判断.
12．平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2=0，y1﹣y2=0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）
（1）下列各点中， 点C互为反等点；
D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）
（2）已知点G（﹣5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xP的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．
【答案】（1）F
（2）解：由于点C与点F互为反等点．
又因为点P，Q是线段CG上的反等点，
所以点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xP≤3，且xp≠0．
（3）解：如图所示，
当⊙O与CG相离时，此时⊙O与线段CG没有互为反等点；
当⊙O与CG相切时，此时r=4，⊙O与线段CG没有互为反等点；
⊙O与CG相交于点C时，此时r= =5．⊙O与线段CG有互为反等点；
当r＞4，时，⊙O与线段CG有一个交点或者没有交点，
所以没有互为反等点．
综上当4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点．
【知识点】直线与圆的位置关系；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：因为3+（﹣3）=0，4﹣4=0
所以点（﹣3，4）与点（3，4）互为相反等点．
故答案为：点F
【分析】（1）根据互为反等点的定义解答即可。
（2） 因为点P，Q是线段CG上的反等点，所以P、Q点的横坐标小于等于C点横坐标3，又因为是两个点，所以P点横坐标不能为0，故 点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xp≤3，且xp≠0 。
（3）因为⊙O与线段CG的两个交点互为反等点 ，所以⊙O与线段有两个交点，⊙O与CG只有相交才有两个交点，又因为线段CG，当⊙O的半径大于OC后，圆O开始与线段CG又只有一个交点不符合存在两个互为反等点的交点，故 4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点。
四、综合题
13．（2023·宜宾模拟）已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ＞0，则称图形M与图形N相离．
（1）已知点A（1，2）、B（0，-5）、C（2，-1）、D（3，4）．
①与直线y＝3x-5相离的点是 ；
②若直线y＝3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；
（2）设直线y＝x+3、直线y＝-x+3及直线y＝-2围成的图形为W，⊙T的半径为1，圆心T的坐标为（t，0），直接写出⊙T与图形W相离的t的取值范围．
【答案】（1）解：①A，C；
②当直线y＝3x+b过点A（1，2）时，
∴3+b＝2．
∴b＝-1．
当直线y＝3x+b过点C（2，-1）时，
∴6+b＝-1．
∴b＝-7．
∴b的取值范围是b＞-1或b＜-7．
（2）t＜-或t＞或-＜t＜．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）①令x=1，可得y=-2，则点A不在直线上，与直线相离；
令x=0，可得y=-5，则点B在直线上；
令x=2，可得y=1，则点C不在直线上，与直线相离；
令x=3，可得y=4，则点D在直线上.
故答案为：A、C.
（2）图形W为△ABC，直线y=x+3与y轴交于点A，与x轴交于点D，
令x=0，得y=3；令y=0，得x=，
∴OA=3，OD=，
∴∠OAD=30°，∠ADO=60°.
当⊙T位于直线AC右侧，且与直线AC相切于点H时，连接TH，
∵TH=1，
∴DT=，
∴OT=OD+DT=，
∴T（，0），
∴当t>时，⊙T与图形W相离.
当⊙T位于直线左侧，且与直线AB相切于点H时，连接TH，直线AB与x轴交于点E，
同理可得：TE=，OE=，
∴OT=，
∴T（-，0），
∴当t<-时，⊙T与图形W相离.
当⊙T位于直线AC左侧，且与直线AC相切时，
同理可得：TD=，OD=，
∴OT=，
∴T（，0）.
当⊙T与AB相切，且位于直线AB的右侧时，T（-，0），
∴当-综上可得：t>或t<-或-【分析】（1）①分别令x=1、0、2、3，求出y的值，然后进行判断；
②当直线y＝3x+b过点A（1，2）或C（2，-1）时，代入求解可得b的值，进而可得b的范围；
（2）图形W为△ABC，直线y=x+3与y轴交于点A，与x轴交于点D，易得OA=3，OD=，则∠OAD=30°，∠ADO=60°，当⊙T位于直线AC右侧，且与直线AC相切于点H时，连接TH，求出DT、OT的值，得到点T的坐标，进而可得t的范围；当⊙T位于直线左侧，且与直线AB相切于点H时，连接TH，直线AB与x轴交于点E，同理进行解答；当⊙T位于直线AC左侧，且与直线AC相切时；当⊙T与AB相切，且位于直线AB的右侧时，同理进行解答.
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