2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.4.2 切线的判定与性质 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·天津市月考）如图，与相切于点，，，则长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】 与相切于点，，，
，
故答案为：A.
【分析】利用切线的性质得到再利用直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半定理即可求解.
2．（2023·道外模拟）如图，、是的切线，切点分别是A、B，点E在上，，那么等于（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接OA，OB，
∵、是的切线，切点分别是A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AEB=60°，
∴∠AOB=2∠AEB=120°，
∴∠P=360°-120°-90°-90°=60°，
故答案为：D.
【分析】根据切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°，再根据∠AEB=60°，计算求解即可。
3．（2023九下·威远月考）下列结论正确的是（ ）
A．圆的切线垂直于半径 B．圆心角等于圆周角的2倍
C．圆内接四边形的对角互补 D．平分弦的直径垂直于这条弦
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：A、圆的切线垂直于过切点的半径，选项说法错误，不符合题意；
B、同（等）弧所对的圆心角是圆周角的2倍，选项说法错误，不符合题意；
C、圆内接四边形的对角互补，选项说法正确，符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，选项说法错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据圆的切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理的推论分别判断即可.
4．（2023九上·厦门期末）如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的
C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆
【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：∵PC⊥l于C，
∴以点P为圆心，PC为半径的圆与直线l相切.
故答案为：C.
【分析】根据经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线就是圆的切线，可得答案.
5．（2023九上·石家庄期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，Q是优弧上一点，若∠APB＝40°，则∠AQB的度数是（ ）
A．50° B．70° C．80° D．85°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，OB
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=40°
∴
∴
故答案为：B
【分析】连接OA，OB，根据圆的切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形内角和定理可得∠AOB=140°，再根据圆周角定理即可求出答案.
6．（2023九上·东光期中）在黑板上有如下内容：“如图，是半圆所在圆的直径，，点在半圆上，过点的直线交的延长线于点.”王老师要求添加条件后，编制一道题目.
嘉嘉：若给出，则可证明直线是半圆的切线；
淇淇：若给出直线是的切线，且，则可求出的面积.
下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉和淇淇的都正确 B．只有淇淇的正确
C．嘉嘉和淇淇的都不正确 D．只有嘉嘉的正确
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定与性质
【解析】【解答】连接OC，如图所示：
∵OA，OC是圆的半径，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠OAC+∠OCB=90°，
∵嘉嘉给的条件是，
∴∠DCB+∠OCB=90°，即OC⊥CD，且点C在圆上，
∴直线CD是圆O的切线，
∴嘉嘉给出的条件是正确的；
∵淇淇给出的条件是直线是的切线，且，如下图所示，
∴OC⊥CD，且△BCD是等腰三角形，
∴∠DCB+∠BCO=∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∵∠COB=2∠ACO，∠CBO=2∠DCB，
∴CO=CB，
∵CO=BO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CAB=∠ACB=∠BCD=∠D=30°，
∵AB=2，
∴OA=OC=OB=BC=BD=1，
∴AD=3，
过点C作CE⊥OB于点E，如图所示：
在等边△OBC中，CE=，
∴S△ADC=×AD×CE=×3×=，
∴淇淇给出的条件正确，
综上，嘉嘉和淇淇给出的条件均是正确的，
故答案为：A.
【分析】利用切线的判定方法和性质，等边三角形的判定和性质及三角形的面积公式逐项分析判断即可.
7．（2023九上·张北期中）如图，在中，，，．O是边AB上一点，以点O为圆心，OA长为半径在边AB的右侧作半圆O，交边AB于点P，交边AC于点Q．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：当BQ的长度最短时，半圆O的单径为
结论Ⅱ：当时，BQ与半圆O相切，且
A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ对
C．结论Ⅰ、Ⅱ都对 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质；切线的判定
【解析】【解答】
解：BQ长度最短时，BQ⊥AC，如图所示：
∵ ∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2
∴ AC=4，AB=
∴ 半圆O的半径为···················结论Ⅰ正确；
当BQ=BC，如图所示，连接OQ
∴ ∠BQC=∠C
∵ ∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴ ∠C=∠BQC=60°
∵ OA=OQ
∴ ∠BAC=∠AQO=30°
∴ ∠BQC+AQO=90°，∠BOD=60°
即∠OQB=90°
∴ OB=2OD=OP+BP
∵ OP=OQ
∴ OP=BP
∵ OQ为半圆半径
∴BQ与半圆O相切，··················结论Ⅱ正确；
故答案为：C
【分析】本题考查圆的切线判定与性质、等边三角形的性质、30°直角三角形性质和勾股定理等知识，熟悉这些基础知识是解题之要。BQ长度最短时，BQ⊥AC，根据“ ∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2
”得 AC=4，AB=，可得半圆O的半径为；则结论Ⅰ正确；连接OQ，根据BQ=BC，∠ABC=90°，∠BAC=30°得 ∠C=∠BQC=60°；根据∠BAC=30°， OA=OQ，可得∠BOD=60°，∠OQB=90°，则 OB=2OD=OP+BP， 结合OQ为半圆半径可得BQ与半圆O相切，OP=BP，则结论Ⅱ正确。
8．（2023·娄底模拟） 如图，为的切线，切点为，连接、，交于点，点在上，连接、，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵，
∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°，
∵为的切线，切点为，
∴∠BAO=90°，
在Rt△ABO中，∠AOB=60°，OA=1，
∴tan∠AOB=，
∴AB=，
故答案为：B.
【分析】先利用圆周角的性质求出∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°，再利用tan∠AOB=，求出AB的长即可.
二、填空题
9．（2023九上·衢州期末）如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，，则的半径等于 .
【答案】3
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，
∵是的切线，
∴，
，
在中，
，
即，
∴，
解得，
故答案为：3.
【分析】连接OA，根据切线的性质得∠PAO=90°，在Rt△PAO中，根据勾股定理建立方程可求出OA的长.
10．（2021九上·沂南期中）如图，PA、PB分别切⊙O于点A，B，点E是⊙O上一点，且，则的度数为 ．
【答案】80°
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接AO、BO，
PA、PB分别切⊙O于点A，B，
故答案为：80°．
【分析】连接AO、BO，先利用圆周角的性质求出，再利用切线的性质和四边形的内角和求出∠P的度数即可。
11．（2020九上·北部湾月考）如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心 为半径作圆，如果 与 有唯一公共点，则半径 的值是 .
【答案】
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：由题意得： 与AB有唯一公共点，说明 与直线AB相切，过点C作CD⊥AB，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
故答案为 .
【分析】由题意易知 与AB有唯一公共点，说明 与直线AB相切，即过点C作CD⊥AB，CD的长即为 的半径r.
12．（2023九上·无为月考）在平面直角坐标系中，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切，且圆心P在第二象限内时，圆心P的坐标为 ．
【答案】
【知识点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设 与x轴相切的切点为点A，
的半径为2，圆心P在抛物线上运动，
当与x轴相切时，PA=2，
即，即或，
解得：或x=0，
又圆心P在第二象限内 ，
圆心P的坐标为 ，
【分析】根据 的半径为2，以及与x轴相切时，PA=2，即y=2，求出x的值，结合圆心P所在象限即可得出结论.
13．（2023九上·昌邑期中）如图，在扇形中，点在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点，则 ．
【答案】60°
【知识点】切线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵与所在的圆相切于点，
∴O1B⊥OB，
∴∠O1BO=90°，
∵将沿折叠得到，
∴∠PBO1=∠PBO=∠O1BO=×90°=45°，
∵∠O=75°，
∴∠O1PB=∠OPB=180°-∠PBO-∠O=60°，
∴∠APO1=180°-∠O1PB-∠OPB=60°，
故答案为：60°.
【分析】利用折叠的性质求出∠PBO1=∠PBO=∠O1BO=×90°=45°，再结合∠O=75°，利用角的运算求出∠APO1=180°-∠O1PB-∠OPB=60°即可.
三、解答题
14．（2023九上·五华期中）如图，为的直径，为上一点，为上一点，，过点作交的延长线于点，交于点，连接，，在的延长线上取点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，则，
，
是的直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：作于点，则，
，
，
∴，
由（1）得，
，
的半径为，
，
∴，
，，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
，，且，
，，
，
的长为．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；多边形内角与外角；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，则，则，根据直径所对的圆周角为直角可得，则，再根据三角形内角和定理可得，再根据三角形外角性质可得，则，所以，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）作于点，则，根据直线平行判定定理可得，则，咱爱根局相似三角形相似比性质可得，再根据勾股定理可得BC=8，根据相似三角形判定定理可得，则， 根据勾股定理可得，再进行角之间的转换即可求出答案.
15．（2023九上·淮南月考）如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义可得∠DEC=90°，求得∠D+∠DCE=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠ACO，从而得出OC⊥CD，根据切线的判定定理即证；
（2）由勾股定理求出OD，根据 可求出CE，再利用垂径定理即可得解.
四、综合题
16．（2020·齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点， ＝ ＝ ，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵ ，
∴∠BOD＝ 180°＝60°，
∵ ，
∴∠EAD＝∠DAB＝ BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝ AB＝3，
∴AD＝ ＝3 ．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝ 180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
17．（2023·镇江）如图，将矩形沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）解：证明：如图，连接．
∵与相切于点E，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
由翻折可知，，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】矩形的性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）首先由与相切于点E，可得，由四边形是矩形可得，然后由余角的性质得到∠AGF＝∠BEG，再由对顶角的性质得出，从而可得∠BEG＝∠BGE，即可证明BE＝BG；
（2）由锐角三角函数的正弦定义看求出∠ABE的度数是30°，由折叠的性质得到∠CBD＝30°，由直角三角形的性质求出BCCD＝2．
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.4.2 切线的判定与性质 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·天津市月考）如图，与相切于点，，，则长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（2023·道外模拟）如图，、是的切线，切点分别是A、B，点E在上，，那么等于（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
3．（2023九下·威远月考）下列结论正确的是（ ）
A．圆的切线垂直于半径 B．圆心角等于圆周角的2倍
C．圆内接四边形的对角互补 D．平分弦的直径垂直于这条弦
4．（2023九上·厦门期末）如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的
C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆
5．（2023九上·石家庄期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，Q是优弧上一点，若∠APB＝40°，则∠AQB的度数是（ ）
A．50° B．70° C．80° D．85°
6．（2023九上·东光期中）在黑板上有如下内容：“如图，是半圆所在圆的直径，，点在半圆上，过点的直线交的延长线于点.”王老师要求添加条件后，编制一道题目.
嘉嘉：若给出，则可证明直线是半圆的切线；
淇淇：若给出直线是的切线，且，则可求出的面积.
下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉和淇淇的都正确 B．只有淇淇的正确
C．嘉嘉和淇淇的都不正确 D．只有嘉嘉的正确
7．（2023九上·张北期中）如图，在中，，，．O是边AB上一点，以点O为圆心，OA长为半径在边AB的右侧作半圆O，交边AB于点P，交边AC于点Q．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：当BQ的长度最短时，半圆O的单径为
结论Ⅱ：当时，BQ与半圆O相切，且
A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ对
C．结论Ⅰ、Ⅱ都对 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
8．（2023·娄底模拟） 如图，为的切线，切点为，连接、，交于点，点在上，连接、，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·衢州期末）如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，，则的半径等于 .
10．（2021九上·沂南期中）如图，PA、PB分别切⊙O于点A，B，点E是⊙O上一点，且，则的度数为 ．
11．（2020九上·北部湾月考）如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心 为半径作圆，如果 与 有唯一公共点，则半径 的值是 .
12．（2023九上·无为月考）在平面直角坐标系中，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切，且圆心P在第二象限内时，圆心P的坐标为 ．
13．（2023九上·昌邑期中）如图，在扇形中，点在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点，则 ．
三、解答题
14．（2023九上·五华期中）如图，为的直径，为上一点，为上一点，，过点作交的延长线于点，交于点，连接，，在的延长线上取点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
15．（2023九上·淮南月考）如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
四、综合题
16．（2020·齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点， ＝ ＝ ，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
17．（2023·镇江）如图，将矩形沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】 与相切于点，，，
，
故答案为：A.
【分析】利用切线的性质得到再利用直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半定理即可求解.
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接OA，OB，
∵、是的切线，切点分别是A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AEB=60°，
∴∠AOB=2∠AEB=120°，
∴∠P=360°-120°-90°-90°=60°，
故答案为：D.
【分析】根据切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°，再根据∠AEB=60°，计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：A、圆的切线垂直于过切点的半径，选项说法错误，不符合题意；
B、同（等）弧所对的圆心角是圆周角的2倍，选项说法错误，不符合题意；
C、圆内接四边形的对角互补，选项说法正确，符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，选项说法错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据圆的切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理的推论分别判断即可.
4．【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：∵PC⊥l于C，
∴以点P为圆心，PC为半径的圆与直线l相切.
故答案为：C.
【分析】根据经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线就是圆的切线，可得答案.
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，OB
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=40°
∴
∴
故答案为：B
【分析】连接OA，OB，根据圆的切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形内角和定理可得∠AOB=140°，再根据圆周角定理即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定与性质
【解析】【解答】连接OC，如图所示：
∵OA，OC是圆的半径，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠OAC+∠OCB=90°，
∵嘉嘉给的条件是，
∴∠DCB+∠OCB=90°，即OC⊥CD，且点C在圆上，
∴直线CD是圆O的切线，
∴嘉嘉给出的条件是正确的；
∵淇淇给出的条件是直线是的切线，且，如下图所示，
∴OC⊥CD，且△BCD是等腰三角形，
∴∠DCB+∠BCO=∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∵∠COB=2∠ACO，∠CBO=2∠DCB，
∴CO=CB，
∵CO=BO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CAB=∠ACB=∠BCD=∠D=30°，
∵AB=2，
∴OA=OC=OB=BC=BD=1，
∴AD=3，
过点C作CE⊥OB于点E，如图所示：
在等边△OBC中，CE=，
∴S△ADC=×AD×CE=×3×=，
∴淇淇给出的条件正确，
综上，嘉嘉和淇淇给出的条件均是正确的，
故答案为：A.
【分析】利用切线的判定方法和性质，等边三角形的判定和性质及三角形的面积公式逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质；切线的判定
【解析】【解答】
解：BQ长度最短时，BQ⊥AC，如图所示：
∵ ∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2
∴ AC=4，AB=
∴ 半圆O的半径为···················结论Ⅰ正确；
当BQ=BC，如图所示，连接OQ
∴ ∠BQC=∠C
∵ ∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴ ∠C=∠BQC=60°
∵ OA=OQ
∴ ∠BAC=∠AQO=30°
∴ ∠BQC+AQO=90°，∠BOD=60°
即∠OQB=90°
∴ OB=2OD=OP+BP
∵ OP=OQ
∴ OP=BP
∵ OQ为半圆半径
∴BQ与半圆O相切，··················结论Ⅱ正确；
故答案为：C
【分析】本题考查圆的切线判定与性质、等边三角形的性质、30°直角三角形性质和勾股定理等知识，熟悉这些基础知识是解题之要。BQ长度最短时，BQ⊥AC，根据“ ∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2
”得 AC=4，AB=，可得半圆O的半径为；则结论Ⅰ正确；连接OQ，根据BQ=BC，∠ABC=90°，∠BAC=30°得 ∠C=∠BQC=60°；根据∠BAC=30°， OA=OQ，可得∠BOD=60°，∠OQB=90°，则 OB=2OD=OP+BP， 结合OQ为半圆半径可得BQ与半圆O相切，OP=BP，则结论Ⅱ正确。
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵，
∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°，
∵为的切线，切点为，
∴∠BAO=90°，
在Rt△ABO中，∠AOB=60°，OA=1，
∴tan∠AOB=，
∴AB=，
故答案为：B.
【分析】先利用圆周角的性质求出∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°，再利用tan∠AOB=，求出AB的长即可.
9．【答案】3
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，
∵是的切线，
∴，
，
在中，
，
即，
∴，
解得，
故答案为：3.
【分析】连接OA，根据切线的性质得∠PAO=90°，在Rt△PAO中，根据勾股定理建立方程可求出OA的长.
10．【答案】80°
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接AO、BO，
PA、PB分别切⊙O于点A，B，
故答案为：80°．
【分析】连接AO、BO，先利用圆周角的性质求出，再利用切线的性质和四边形的内角和求出∠P的度数即可。
11．【答案】
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：由题意得： 与AB有唯一公共点，说明 与直线AB相切，过点C作CD⊥AB，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
故答案为 .
【分析】由题意易知 与AB有唯一公共点，说明 与直线AB相切，即过点C作CD⊥AB，CD的长即为 的半径r.
12．【答案】
【知识点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设 与x轴相切的切点为点A，
的半径为2，圆心P在抛物线上运动，
当与x轴相切时，PA=2，
即，即或，
解得：或x=0，
又圆心P在第二象限内 ，
圆心P的坐标为 ，
【分析】根据 的半径为2，以及与x轴相切时，PA=2，即y=2，求出x的值，结合圆心P所在象限即可得出结论.
13．【答案】60°
【知识点】切线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵与所在的圆相切于点，
∴O1B⊥OB，
∴∠O1BO=90°，
∵将沿折叠得到，
∴∠PBO1=∠PBO=∠O1BO=×90°=45°，
∵∠O=75°，
∴∠O1PB=∠OPB=180°-∠PBO-∠O=60°，
∴∠APO1=180°-∠O1PB-∠OPB=60°，
故答案为：60°.
【分析】利用折叠的性质求出∠PBO1=∠PBO=∠O1BO=×90°=45°，再结合∠O=75°，利用角的运算求出∠APO1=180°-∠O1PB-∠OPB=60°即可.
14．【答案】（1）证明：连接，则，
，
是的直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：作于点，则，
，
，
∴，
由（1）得，
，
的半径为，
，
∴，
，，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
，，且，
，，
，
的长为．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；多边形内角与外角；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，则，则，根据直径所对的圆周角为直角可得，则，再根据三角形内角和定理可得，再根据三角形外角性质可得，则，所以，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）作于点，则，根据直线平行判定定理可得，则，咱爱根局相似三角形相似比性质可得，再根据勾股定理可得BC=8，根据相似三角形判定定理可得，则， 根据勾股定理可得，再进行角之间的转换即可求出答案.
15．【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义可得∠DEC=90°，求得∠D+∠DCE=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠ACO，从而得出OC⊥CD，根据切线的判定定理即证；
（2）由勾股定理求出OD，根据 可求出CE，再利用垂径定理即可得解.
16．【答案】（1）证明：连接OD，
∵ ，
∴∠BOD＝ 180°＝60°，
∵ ，
∴∠EAD＝∠DAB＝ BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝ AB＝3，
∴AD＝ ＝3 ．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝ 180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
17．【答案】（1）解：证明：如图，连接．
∵与相切于点E，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
由翻折可知，，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】矩形的性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）首先由与相切于点E，可得，由四边形是矩形可得，然后由余角的性质得到∠AGF＝∠BEG，再由对顶角的性质得出，从而可得∠BEG＝∠BGE，即可证明BE＝BG；
（2）由锐角三角函数的正弦定义看求出∠ABE的度数是30°，由折叠的性质得到∠CBD＝30°，由直角三角形的性质求出BCCD＝2．
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