2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.4.3 切线长定理 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023·瓯海模拟）如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（ ）
A．32° B．52° C．64° D．72°
2．（2020九上·杭州月考）如图，P为圆O外一点， 分别切圆O于 两点，若 ，则 （ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2020九上·兴安盟期末）下列命题中，正确有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；
②三角形的三个顶点确定一个圆；
③圆内接四边形的对角相等；
④圆的切线垂直于过切点的半径；
⑤过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2020九上·北仑期末）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
5．（2023·阳信模拟）如图，与分别相切于点A，B，，则（ ）
A． B．2 C． D．3
6．（2022九上·江门期末）如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
A．12 B．6 C．8 D．4
7．（2023九上·钦州期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（ ）
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
8．（2022九上·南宁月考）如图，分别与⊙O相切于E、F、G三点，且，cm，cm，则的长等于（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．11cm
二、填空题
9．（2021九上·龙江期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，直线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于E、F，且PA＝8cm，则△PEF的周长为 cm．
10．（2020九上·大丰月考）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为 .
11．（2023九上·淮南月考）如图，直线分别与相切于点，的周长 ．
12．（2023·天河模拟）如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为 ．
13．（2023·柳南模拟）将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是 .
三、解答题
14．（2022九上·和平期中）已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
15．（2021九上·拜泉期中）如图， ， 分别与 相切于 两点，若 ，求 的度数．
四、综合题
16．（2023·四川模拟）已知的半径为为的一条直径，P为外一点，且，过点P作的两条切线，连接与相交于点G.
（1）求证：；
（2）求点O到线段的距离；
（3）记线段与交于点F，连接，直接写出的值.
17．（2023·中山模拟）如图，已知是的直径，，为圆上任意一点，过点作圆的切线，分别与过，两点的切线交于，两点．
（1）求的值；
（2）如图，连接，交于点，证明直线．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵，分别切于B，C两点，
∴，，
则：，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据切线长性质得AB=AC，且OB⊥AB，由角的和差算出∠ABC的度数，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
2．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=5，
∴PB=PA=5，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”可求解.
3．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；切线长定理
【解析】【解答】解：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以①不符合题意；
三角形的三个顶点确定一个圆，所以②符合题意；
圆内接四边形的对角互补，所以③不符合题意；
圆的切线垂直于过切点的半径，所以④符合题意；
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，所以⑤符合题意．
故答案为：C．
【分析】对于①要注意当“弦”是直径时是否满足；根据不在同一直线上的三点确定一个圆对②进行判断；对于③根据圆内接四边形的性质进行判断；对于④根据切线的性质分析；对于⑤根据切线长性质判断.
4．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图：
由切线长定理得，BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，
∴BD+CP=BG+CG=5，
∴AD+AP=18 10=8，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MD+AN+NP=AD+AP=8.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得到BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，根据三角形的周长公式计算．
5．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵与分别相切于点A，B，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据切线长定理可得，再结合，证出是等边三角形，可得。
6．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，
∴PA=PB，
∵DE是O的切线，
∴DA=DC，EB=EC，
∵△PDE的周长为12，
即PD+DE+PE
=PD+DC+EC+PE
=PD+AD+EB+PE
=PA+PB
=2PA
=12，
∴PA=6.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，DA=DC，EB=EC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得PD+DE+PE=2PA=12，最后求出PA=6即可。
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴为直角三角形，
∵与分别相切于点、
∴ ，，
∴四边形是正方形
设
则
∵的内切圆与、、分别相切于点、、
∴，
∴
∴
∴阴影部分的面积是：
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠A=90°，根据切线的性质可得∠AFO=∠AEO=90°，再结合OF=OE可判断出四边形OFAE是正方形，设OE=r，根据切线长定理得BD=BF=5-r，CD=CE=12-r，根据BD+CD=AB建立方程，求解得出r的值，最后根据正方形的面积计算方法即可算出四边形AEOF的面积.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵、分别与⊙O相切于点E、点F，
∴，，
同理，，
∴，
∴，
∵cm， cm，
∴（cm），
∴cm，
故答案为：C.
【分析】由AB∥CD可得，由切线长定理可得，BE=BF，CG=CF，从而求出∠BOC=90°，利用勾股定理求出BC=5，则，即可得解.
9．【答案】16
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB，
∵直线EF与⊙O相切于点C，
∴EA＝EC，FC＝FB，
∴C△PEF＝PE+EF+PF
＝PE+EC+CF+PF
＝PE+EA+FB+PF
＝PA+PB
＝2PA
＝2×8
＝16（cm）
故答案为：16．
【分析】根据切线长定理可得EA＝EC，FC＝FB，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。
10．【答案】12
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA=PB=6；
同理，可得：EC=CA，DE=DB；
∴△PDC的周长=PC+CE+DE+DP=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=12.
故答案为：12.
【分析】根据切线长定理可知从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，故PA=PB=6；EC=CA，DE=DB，进而根据三角形周长的计算方法及等量代换即可算出答案.
11．【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵ 直线分别与相切于点A、B、D，
∴MA=MD，ND=NB，
∴△PMN的周长=PM+PN+MD+ND=PM+MA+PN+NB=PA+PB=6+6=12cm.
故答案为：12cm.
【分析】根据切线长定理可得MA=MD，ND=NB，再利用三角形周长的定义计算即可.
12．【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接，，，
、与相切于、两点，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即的半径长为，
故答案为：．
【分析】先求出，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接，如图所示：
由切线长定理知，平分，
∴，
在中，，
∴光盘的直径为，
故答案为：.
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=2，OA平分∠BAC，则∠OAB=60°，然后根据三角函数的概念进行计算.
14．【答案】解：（Ⅰ）如图，连接．
∵是的切线，
∴，．
即．
∵，
∴在四边形中，．
∵在中，，
∴．
（Ⅱ）如图，连接．
∵为的直径，
∴．
由（Ⅰ）知，，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
又是的一个外角，有，
∴．
【知识点】角的运算；圆周角定理；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和等于360度计算即可；
（2）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可。
15．【答案】解： 、 是 切线，
， ，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【分析】先求出 ， ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
16．【答案】（1）证明：∵是的两条切线，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点O到线段的距离为；
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值；切线长定理
【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴.
【分析】（1）根据切线长定理可得PC=PD，∠OPC=∠OPD，由等腰三角形三线合一的性质可得PG⊥CD，然后根据垂直于同一直线的两直线互相平行进行证明；
（2）连接OC，由切线的性质可得∠OCP=∠OGC=90°，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△COG∽△POC，根据相似三角形的性质可求出OG的值，即为点O到线段CD的距离；
（3）连接FD、OD，易得PF=OF=1，OF=DF=OP=1，推出△ODF是等边三角形，得到∠ODF=60°，∠CDF=30°，然后根据特殊角的三角函数值进行计算.
17．【答案】（1）解∶如图，连接 ， ， ．
∵ ， ， 是 的切线，
∴ ， 分别是 ， 的平分线．
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 是直角三角形．
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
∴ ．
（2）解：证明：∵ ， ， 是 的切线，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OP、OQ、OC，由题意可得OP、OQ分别为∠AOC、∠BOC的平分线，根据平角的概念结合角平分线的概念可得∠POQ=90°，根据同角的余角相等可得∠OPC=∠COQ，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△OCP∽△QCO，再利用相似三角形的性质进行计算；
（2）根据切线的性质以及切线长定理可得PC=PA，QC=QB，AP⊥AB，BQ⊥AB，则AP∥BQ，根据平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似可得△MBQ∽△MPA，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△PMC∽△PBQ，则∠PMC=∠PBQ，推出MC∥BQ，据此证明.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.4.3 切线长定理 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023·瓯海模拟）如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（ ）
A．32° B．52° C．64° D．72°
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵，分别切于B，C两点，
∴，，
则：，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据切线长性质得AB=AC，且OB⊥AB，由角的和差算出∠ABC的度数，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
2．（2020九上·杭州月考）如图，P为圆O外一点， 分别切圆O于 两点，若 ，则 （ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=5，
∴PB=PA=5，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”可求解.
3．（2020九上·兴安盟期末）下列命题中，正确有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；
②三角形的三个顶点确定一个圆；
③圆内接四边形的对角相等；
④圆的切线垂直于过切点的半径；
⑤过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；切线长定理
【解析】【解答】解：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以①不符合题意；
三角形的三个顶点确定一个圆，所以②符合题意；
圆内接四边形的对角互补，所以③不符合题意；
圆的切线垂直于过切点的半径，所以④符合题意；
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，所以⑤符合题意．
故答案为：C．
【分析】对于①要注意当“弦”是直径时是否满足；根据不在同一直线上的三点确定一个圆对②进行判断；对于③根据圆内接四边形的性质进行判断；对于④根据切线的性质分析；对于⑤根据切线长性质判断.
4．（2020九上·北仑期末）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图：
由切线长定理得，BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，
∴BD+CP=BG+CG=5，
∴AD+AP=18 10=8，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MD+AN+NP=AD+AP=8.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得到BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，根据三角形的周长公式计算．
5．（2023·阳信模拟）如图，与分别相切于点A，B，，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵与分别相切于点A，B，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据切线长定理可得，再结合，证出是等边三角形，可得。
6．（2022九上·江门期末）如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
A．12 B．6 C．8 D．4
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，
∴PA=PB，
∵DE是O的切线，
∴DA=DC，EB=EC，
∵△PDE的周长为12，
即PD+DE+PE
=PD+DC+EC+PE
=PD+AD+EB+PE
=PA+PB
=2PA
=12，
∴PA=6.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，DA=DC，EB=EC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得PD+DE+PE=2PA=12，最后求出PA=6即可。
7．（2023九上·钦州期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（ ）
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴为直角三角形，
∵与分别相切于点、
∴ ，，
∴四边形是正方形
设
则
∵的内切圆与、、分别相切于点、、
∴，
∴
∴
∴阴影部分的面积是：
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠A=90°，根据切线的性质可得∠AFO=∠AEO=90°，再结合OF=OE可判断出四边形OFAE是正方形，设OE=r，根据切线长定理得BD=BF=5-r，CD=CE=12-r，根据BD+CD=AB建立方程，求解得出r的值，最后根据正方形的面积计算方法即可算出四边形AEOF的面积.
8．（2022九上·南宁月考）如图，分别与⊙O相切于E、F、G三点，且，cm，cm，则的长等于（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．11cm
【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵、分别与⊙O相切于点E、点F，
∴，，
同理，，
∴，
∴，
∵cm， cm，
∴（cm），
∴cm，
故答案为：C.
【分析】由AB∥CD可得，由切线长定理可得，BE=BF，CG=CF，从而求出∠BOC=90°，利用勾股定理求出BC=5，则，即可得解.
二、填空题
9．（2021九上·龙江期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，直线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于E、F，且PA＝8cm，则△PEF的周长为 cm．
【答案】16
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB，
∵直线EF与⊙O相切于点C，
∴EA＝EC，FC＝FB，
∴C△PEF＝PE+EF+PF
＝PE+EC+CF+PF
＝PE+EA+FB+PF
＝PA+PB
＝2PA
＝2×8
＝16（cm）
故答案为：16．
【分析】根据切线长定理可得EA＝EC，FC＝FB，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。
10．（2020九上·大丰月考）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为 .
【答案】12
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA=PB=6；
同理，可得：EC=CA，DE=DB；
∴△PDC的周长=PC+CE+DE+DP=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=12.
故答案为：12.
【分析】根据切线长定理可知从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，故PA=PB=6；EC=CA，DE=DB，进而根据三角形周长的计算方法及等量代换即可算出答案.
11．（2023九上·淮南月考）如图，直线分别与相切于点，的周长 ．
【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵ 直线分别与相切于点A、B、D，
∴MA=MD，ND=NB，
∴△PMN的周长=PM+PN+MD+ND=PM+MA+PN+NB=PA+PB=6+6=12cm.
故答案为：12cm.
【分析】根据切线长定理可得MA=MD，ND=NB，再利用三角形周长的定义计算即可.
12．（2023·天河模拟）如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为 ．
【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接，，，
、与相切于、两点，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即的半径长为，
故答案为：．
【分析】先求出，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
13．（2023·柳南模拟）将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接，如图所示：
由切线长定理知，平分，
∴，
在中，，
∴光盘的直径为，
故答案为：.
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=2，OA平分∠BAC，则∠OAB=60°，然后根据三角函数的概念进行计算.
三、解答题
14．（2022九上·和平期中）已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
【答案】解：（Ⅰ）如图，连接．
∵是的切线，
∴，．
即．
∵，
∴在四边形中，．
∵在中，，
∴．
（Ⅱ）如图，连接．
∵为的直径，
∴．
由（Ⅰ）知，，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
又是的一个外角，有，
∴．
【知识点】角的运算；圆周角定理；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和等于360度计算即可；
（2）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可。
15．（2021九上·拜泉期中）如图， ， 分别与 相切于 两点，若 ，求 的度数．
【答案】解： 、 是 切线，
， ，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【分析】先求出 ， ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
四、综合题
16．（2023·四川模拟）已知的半径为为的一条直径，P为外一点，且，过点P作的两条切线，连接与相交于点G.
（1）求证：；
（2）求点O到线段的距离；
（3）记线段与交于点F，连接，直接写出的值.
【答案】（1）证明：∵是的两条切线，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点O到线段的距离为；
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值；切线长定理
【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴.
【分析】（1）根据切线长定理可得PC=PD，∠OPC=∠OPD，由等腰三角形三线合一的性质可得PG⊥CD，然后根据垂直于同一直线的两直线互相平行进行证明；
（2）连接OC，由切线的性质可得∠OCP=∠OGC=90°，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△COG∽△POC，根据相似三角形的性质可求出OG的值，即为点O到线段CD的距离；
（3）连接FD、OD，易得PF=OF=1，OF=DF=OP=1，推出△ODF是等边三角形，得到∠ODF=60°，∠CDF=30°，然后根据特殊角的三角函数值进行计算.
17．（2023·中山模拟）如图，已知是的直径，，为圆上任意一点，过点作圆的切线，分别与过，两点的切线交于，两点．
（1）求的值；
（2）如图，连接，交于点，证明直线．
【答案】（1）解∶如图，连接 ， ， ．
∵ ， ， 是 的切线，
∴ ， 分别是 ， 的平分线．
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 是直角三角形．
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
∴ ．
（2）解：证明：∵ ， ， 是 的切线，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OP、OQ、OC，由题意可得OP、OQ分别为∠AOC、∠BOC的平分线，根据平角的概念结合角平分线的概念可得∠POQ=90°，根据同角的余角相等可得∠OPC=∠COQ，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△OCP∽△QCO，再利用相似三角形的性质进行计算；
（2）根据切线的性质以及切线长定理可得PC=PA，QC=QB，AP⊥AB，BQ⊥AB，则AP∥BQ，根据平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似可得△MBQ∽△MPA，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△PMC∽△PBQ，则∠PMC=∠PBQ，推出MC∥BQ，据此证明.
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