2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.5 三角形的内切圆 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2022·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质；三角形的内切圆与内心；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A选项符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B选项不符合题意；
C、三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C选项不符合题意；
D、三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的性质可判断A；根据平行四边形的性质可判断B；根据内心的概念可判断C；根据全等三角形的判定定理可判断D.
2．（2022·泗洪模拟）已知的内心为P，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．P在的内部
C．P为三个内角平分线的交点
D．P到三边距离相等
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：A、三角形内心到三角形三条边的距离相等，并不是到三个顶点的距离相等，故符合题意；
B、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，所以P在△ABC的内部，故不符合题意；
C、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，故不符合题意；
D、三角形内心到三角形三条边的距离相等，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，内心到三角形三条边的距离相等，据此判断.
3．（2021九上·鄞州月考）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（ ）
A．35° B．70° C．145° D．107.5°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠A＝35°，
∴
∵点I是 的内心，
∴
即
∠BIC 107.5°
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=145°，根据内心的概念可得∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，据此可得∠IBC+∠ICB的度数，然后利用内角和定理进行求解.
4．（2021九上·长沙期中）下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；⑨一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；三角形的内切圆与内心；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题
【解析】【解答】解： ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确；②对角线相等的平行四边形是矩形，错误；③一组邻边相等的矩形是正方形，正确；④三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，错误．
综上，正确的是①③，共两个.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质判断①；根据菱形的判定定理判断②；根据正方形的判定定理判断③；根据三角形内心的定义判断④ .
5．（2021·安次模拟）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 的内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是 的平分线，所以点O为 的内心，
故答案为：C．
【分析】三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，即可求解。
6．（2023·杭州模拟）如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，点M，N分别为AB，且OM＝ON．甲、乙两人有如下判断：甲：∠MON＝120°：乙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AB于点F，
∴∠OFM=∠OEB=∠OFB=90°，
∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，
∴OE=OF，
在Rt△NOE和Rt△MOF中
∴Rt△NOE≌Rt△MOF（HL）
∴∠FOM=∠EON，
∴∠ABC+∠EOF=180°，
∴∠EOF=180°-60°°=120°，
∵∠NOF+∠EON=120°即∠NOF+∠FOM=120°即∠MON=120°，故甲正确；
过点O作OH⊥MN于点H，
∵OM=ON，∠MON=120°，
∴∠NOH=60°，
∴设OM=ON=x，
∴，
∴，
∴△OMN的周长为，
当ON最小时，△OMN的周长最小，
∴当ON⊥BC时，△OMN的周长最小，
∵MN⊥BC，
∴ON不一定垂直BC，即ON不是最小，
∴△OMN的周长不是最小，故乙的说法错误.
故答案为：A.
【分析】连接OB，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AB于点F，可证得∠OFM=∠OEB=∠OFB=90°，利用三角形的内心和角平分线的性质可证得OE=OF，利用HL证明Rt△NOE≌Rt△MOF，利用全等三角形的性质可证得∠FOM=∠EON，利用四边形的内角和定理可求出∠EOF的度数，由此可求出∠MON的度数，可对甲作出判断；过点O作OH⊥MN于点H，利用等腰三角形的性质可知∠NOH=60°，设OM=ON=x，利用解直角三角形可表示出HN，MN的长，可得到△OMN的周长为，利用垂线段最短可知当ON⊥BC时，△OMN的周长最小，利用已知可知ON不一定垂直BC，即ON不是最小，可对乙作出判断，即可求解.
7．（2023八下·毕节期末）如图，锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点，I为三个角的平分线的交点，若∠BOC的度为x，∠BIC的度数为y，则x、y之间的数量关系是（ ）
A．x+y＝90° B．x-2y＝90° C．x+180°＝2y D．4y-x＝360°
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵O为三条边的垂直平分线的交点，
∴x=2∠A，
∵I为三个角的平分线的交点，
∴y=90°+∠A，
∴y=90°+∠A=90°+∠A，
∴4y-x=360°，
故答案为：D.
【分析】先利用三角形外心的性质求出x=2∠A，再利用三角形内心的性质求出y=90°+∠A，最后代入化简可得4y-x=360°.
8．（2023·威海）在中，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：
A、由题意得，A不符合题意；
B、当CA⊥CB时，，
当CB为底时，高h小于AC=4，故，B不符合题意；
C、设△ABC的内切圆的半径为r，由题意得，
∴，
∵，
∴，C符合题意；
D、当时，，
∴是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系即可判断A；根据三角形的面积分类讨论即可判断B；设△ABC的内切圆的半径为r，根据三角形内切圆的性质结合题意即可得到，进而即可判断C；根据勾股定理的逆定理结合题意即可判断D。
二、填空题
9．（2019八上·重庆月考）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC边上有一点P（不与点B，C重合），I为△APC的内心，若∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，则m+n＝ .
【答案】255
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，
∵I为△APC的内心，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝ ∠PAC，∠ICA＝ ∠PCA，
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣ （∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣ （90°﹣α+60°）
＝ α+105°
∵0＜α＜90°，
∴105°＜ α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m＝105，n＝150.
∴m+n＝255，
故答案为：255.
【分析】I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，利用三角形内角和等于180°及角平分线定义，即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值即可.
10．（2023九上·石家庄期中）如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则的半径r为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF
∵
∴
∴△ABC为直角三角形
∵圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F
∴，且OD=OE=OF=r
∴
∵
即
解得：r=2
故答案为：2
【分析】连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，再根据三角形内切圆性质可得，且OD=OE=OF=r，根据三角形面积可得，又因为，代入相应值计算即可求出答案.
11．（2023·镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）
【答案】6
【知识点】勾股定理的应用；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：斜边长为17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r3（步），即直径为6步，
故答案为：6.
【分析】根据勾股定理先求出直角三角形的斜边长，然后根据直角三角形的内切圆的半径的求法r=可求出直角三角形内切圆的半径，即可求直径的长．
12．（2023·景洪模拟）如图，已知是的内切圆，，BO的延长线交AC于点D，若，，则的半径长为 ．
【答案】或0.8
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点O作OE⊥BC于点E，连接OC，
设 的半径长为r，
∵是△ABC的内切圆，
∴OE是 的半径，OC平分∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCE=45°，
∴∠COE=∠OCE=45°，
∴CE=OE=r，
∴BE=4-r，
∵OE⊥BC，
∴∠BEO=∠ACB=90*，
∴△BOE△BDC，
∴，
∴，
解得：，
即 的半径为，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出OE是 的半径，OC平分∠ACB，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
13．（2023九下·姑苏开学考）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，
∴设AD＝x，则CD＝8 x，
在△ABD与△CBD中，BD2＝AB2 AD2＝BC2 CD2，
∴32 x2＝72 （8 x）2，
解得：x＝ ，
∴AD＝ ，
∴BD＝
过点I作IE垂直BC于E，
∵I为△ABC的内心，
∴△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE，
∵S△ABC＝ AC BD＝ (AC＋BC＋AB) IE，
∴ ，
∴IE＝ ，
∴△ABC的内切圆I的半径为 .
故答案为： .
【分析】过点B作BD⊥AC，设AD＝x，则CD＝8 x，在△ABD与△CBD中，利用勾股定理可得x的值，然后求出BD，过点I作IE垂直BC于E，根据内心的概念可得△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算.
三、解答题
14．（2020九上·通辽经济技术开发期末）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接CD．
求证：OD＝CD．
【答案】证明：如图，连接OC，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB，
∠DCO=∠BCD+∠OCB，
∴∠COD=∠DCO，
∴△DCO是等腰三角形，
∴OD=CD．
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】先求出 ∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB， 再求出 ∠COD=∠DCO， 最后证明即可。
15．（2022九上·利辛月考）如图，圆是的内切圆，其中，，求其内切圆的半径．
【答案】解：过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，
设AD=x，CD=8-x， 其内切圆的半径为r，
根据勾股定理，即，
解方程得，
∴BD=，
∵圆是的内切圆，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，OG⊥BC，OE=OF=OG=r，
∴S△ABC=，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】 过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，设AD=x，CD=8-x， 根据勾股定理求出x值，即得AD，利用勾股定理求出BD，根据△ABC的面积=AC·BD=（AB+BC+AC）·r，即可求解.
四、综合题
16．（2023·游仙模拟）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D.
（1）求证：；
（2）已知，，求该圆的半径的长度；
（3）在（2）的条件下，若，求的值.
【答案】（1）证明：连接，
∵点是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过点作的外接圆的直径，则，
.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴该圆的半径的长度为5；
（3）解：设的直径交于点，
.
∵平分，
∴点D是的中点，
∴，，
∵，则，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BE，由内心定义得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠DAC，由同弧所对的圆周角相等得∠CAD=∠CBD，推出∠BAD=∠DBC，进而根据角的和差及三角形外角相等可得∠DBE=∠DEB，从而根据等角对等边即可得出DE=DB；
（2） 过点D作△ABC的外接圆圆O的直径DG，则∠GBD=90°， 由圆周角定理、角的角平分线定义及等角的同名三角函数值相等得 ， 据此可得GB的长，然后根据勾股定理算出DG；
（3） 设圆O的直径DG交BC于点H， 根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等得 点D是的中点， 由垂径定理得DH⊥BC，BH=HC，由等面积法求出BH，进而根据勾股定理算出DH，最后根据余弦函数的定义即可求出答案.
17．（2023九上·宿城期末）已知，如图，为的直径，内接于，点P是的内心，延长交于点D，连接.
（1）求证：；
（2）已知的半径是，，求的长.
【答案】（1）证明：∵为直径
∴
∵点P是的内心
∴
∴
∵
∴
∴
（2）解：连接，如图所示
∵是直径，
∴是等腰直角三角形
∵的半径是
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵，
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴在中，.
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据内心的概念可得∠ACD=∠BCP=45°，∠CBP=∠EBP，则∠ABD=∠ACD=45°，根据外角的性质以及角的和差关系可得∠DPB=∠DBP，据此证明；
（2）连接AD，则△ABD是等腰直角三角形，由半径可得直径，然后求出BD的值，证明△DBE∽△DCB，△AEC∽△BED，根据相似三角形的性质可得DE、AC的值，然后利用勾股定理进行计算.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.5 三角形的内切圆 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2022·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
2．（2022·泗洪模拟）已知的内心为P，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．P在的内部
C．P为三个内角平分线的交点
D．P到三边距离相等
3．（2021九上·鄞州月考）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（ ）
A．35° B．70° C．145° D．107.5°
4．（2021九上·长沙期中）下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；⑨一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021·安次模拟）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 的内心的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·杭州模拟）如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，点M，N分别为AB，且OM＝ON．甲、乙两人有如下判断：甲：∠MON＝120°：乙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
7．（2023八下·毕节期末）如图，锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点，I为三个角的平分线的交点，若∠BOC的度为x，∠BIC的度数为y，则x、y之间的数量关系是（ ）
A．x+y＝90° B．x-2y＝90° C．x+180°＝2y D．4y-x＝360°
8．（2023·威海）在中，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
二、填空题
9．（2019八上·重庆月考）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC边上有一点P（不与点B，C重合），I为△APC的内心，若∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，则m+n＝ .
10．（2023九上·石家庄期中）如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则的半径r为 ．
11．（2023·镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）
12．（2023·景洪模拟）如图，已知是的内切圆，，BO的延长线交AC于点D，若，，则的半径长为 ．
13．（2023九下·姑苏开学考）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为 .
三、解答题
14．（2020九上·通辽经济技术开发期末）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接CD．
求证：OD＝CD．
15．（2022九上·利辛月考）如图，圆是的内切圆，其中，，求其内切圆的半径．
四、综合题
16．（2023·游仙模拟）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D.
（1）求证：；
（2）已知，，求该圆的半径的长度；
（3）在（2）的条件下，若，求的值.
17．（2023九上·宿城期末）已知，如图，为的直径，内接于，点P是的内心，延长交于点D，连接.
（1）求证：；
（2）已知的半径是，，求的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质；三角形的内切圆与内心；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A选项符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B选项不符合题意；
C、三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C选项不符合题意；
D、三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的性质可判断A；根据平行四边形的性质可判断B；根据内心的概念可判断C；根据全等三角形的判定定理可判断D.
2．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：A、三角形内心到三角形三条边的距离相等，并不是到三个顶点的距离相等，故符合题意；
B、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，所以P在△ABC的内部，故不符合题意；
C、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，故不符合题意；
D、三角形内心到三角形三条边的距离相等，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，内心到三角形三条边的距离相等，据此判断.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠A＝35°，
∴
∵点I是 的内心，
∴
即
∠BIC 107.5°
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=145°，根据内心的概念可得∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，据此可得∠IBC+∠ICB的度数，然后利用内角和定理进行求解.
4．【答案】B
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；三角形的内切圆与内心；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题
【解析】【解答】解： ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确；②对角线相等的平行四边形是矩形，错误；③一组邻边相等的矩形是正方形，正确；④三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，错误．
综上，正确的是①③，共两个.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质判断①；根据菱形的判定定理判断②；根据正方形的判定定理判断③；根据三角形内心的定义判断④ .
5．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是 的平分线，所以点O为 的内心，
故答案为：C．
【分析】三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，即可求解。
6．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AB于点F，
∴∠OFM=∠OEB=∠OFB=90°，
∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，
∴OE=OF，
在Rt△NOE和Rt△MOF中
∴Rt△NOE≌Rt△MOF（HL）
∴∠FOM=∠EON，
∴∠ABC+∠EOF=180°，
∴∠EOF=180°-60°°=120°，
∵∠NOF+∠EON=120°即∠NOF+∠FOM=120°即∠MON=120°，故甲正确；
过点O作OH⊥MN于点H，
∵OM=ON，∠MON=120°，
∴∠NOH=60°，
∴设OM=ON=x，
∴，
∴，
∴△OMN的周长为，
当ON最小时，△OMN的周长最小，
∴当ON⊥BC时，△OMN的周长最小，
∵MN⊥BC，
∴ON不一定垂直BC，即ON不是最小，
∴△OMN的周长不是最小，故乙的说法错误.
故答案为：A.
【分析】连接OB，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AB于点F，可证得∠OFM=∠OEB=∠OFB=90°，利用三角形的内心和角平分线的性质可证得OE=OF，利用HL证明Rt△NOE≌Rt△MOF，利用全等三角形的性质可证得∠FOM=∠EON，利用四边形的内角和定理可求出∠EOF的度数，由此可求出∠MON的度数，可对甲作出判断；过点O作OH⊥MN于点H，利用等腰三角形的性质可知∠NOH=60°，设OM=ON=x，利用解直角三角形可表示出HN，MN的长，可得到△OMN的周长为，利用垂线段最短可知当ON⊥BC时，△OMN的周长最小，利用已知可知ON不一定垂直BC，即ON不是最小，可对乙作出判断，即可求解.
7．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵O为三条边的垂直平分线的交点，
∴x=2∠A，
∵I为三个角的平分线的交点，
∴y=90°+∠A，
∴y=90°+∠A=90°+∠A，
∴4y-x=360°，
故答案为：D.
【分析】先利用三角形外心的性质求出x=2∠A，再利用三角形内心的性质求出y=90°+∠A，最后代入化简可得4y-x=360°.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：
A、由题意得，A不符合题意；
B、当CA⊥CB时，，
当CB为底时，高h小于AC=4，故，B不符合题意；
C、设△ABC的内切圆的半径为r，由题意得，
∴，
∵，
∴，C符合题意；
D、当时，，
∴是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系即可判断A；根据三角形的面积分类讨论即可判断B；设△ABC的内切圆的半径为r，根据三角形内切圆的性质结合题意即可得到，进而即可判断C；根据勾股定理的逆定理结合题意即可判断D。
9．【答案】255
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，
∵I为△APC的内心，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝ ∠PAC，∠ICA＝ ∠PCA，
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣ （∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣ （90°﹣α+60°）
＝ α+105°
∵0＜α＜90°，
∴105°＜ α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m＝105，n＝150.
∴m+n＝255，
故答案为：255.
【分析】I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，利用三角形内角和等于180°及角平分线定义，即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值即可.
10．【答案】2
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF
∵
∴
∴△ABC为直角三角形
∵圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F
∴，且OD=OE=OF=r
∴
∵
即
解得：r=2
故答案为：2
【分析】连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，再根据三角形内切圆性质可得，且OD=OE=OF=r，根据三角形面积可得，又因为，代入相应值计算即可求出答案.
11．【答案】6
【知识点】勾股定理的应用；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：斜边长为17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r3（步），即直径为6步，
故答案为：6.
【分析】根据勾股定理先求出直角三角形的斜边长，然后根据直角三角形的内切圆的半径的求法r=可求出直角三角形内切圆的半径，即可求直径的长．
12．【答案】或0.8
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点O作OE⊥BC于点E，连接OC，
设 的半径长为r，
∵是△ABC的内切圆，
∴OE是 的半径，OC平分∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCE=45°，
∴∠COE=∠OCE=45°，
∴CE=OE=r，
∴BE=4-r，
∵OE⊥BC，
∴∠BEO=∠ACB=90*，
∴△BOE△BDC，
∴，
∴，
解得：，
即 的半径为，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出OE是 的半径，OC平分∠ACB，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，
∴设AD＝x，则CD＝8 x，
在△ABD与△CBD中，BD2＝AB2 AD2＝BC2 CD2，
∴32 x2＝72 （8 x）2，
解得：x＝ ，
∴AD＝ ，
∴BD＝
过点I作IE垂直BC于E，
∵I为△ABC的内心，
∴△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE，
∵S△ABC＝ AC BD＝ (AC＋BC＋AB) IE，
∴ ，
∴IE＝ ，
∴△ABC的内切圆I的半径为 .
故答案为： .
【分析】过点B作BD⊥AC，设AD＝x，则CD＝8 x，在△ABD与△CBD中，利用勾股定理可得x的值，然后求出BD，过点I作IE垂直BC于E，根据内心的概念可得△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算.
14．【答案】证明：如图，连接OC，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB，
∠DCO=∠BCD+∠OCB，
∴∠COD=∠DCO，
∴△DCO是等腰三角形，
∴OD=CD．
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】先求出 ∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB， 再求出 ∠COD=∠DCO， 最后证明即可。
15．【答案】解：过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，
设AD=x，CD=8-x， 其内切圆的半径为r，
根据勾股定理，即，
解方程得，
∴BD=，
∵圆是的内切圆，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，OG⊥BC，OE=OF=OG=r，
∴S△ABC=，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】 过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，设AD=x，CD=8-x， 根据勾股定理求出x值，即得AD，利用勾股定理求出BD，根据△ABC的面积=AC·BD=（AB+BC+AC）·r，即可求解.
16．【答案】（1）证明：连接，
∵点是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过点作的外接圆的直径，则，
.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴该圆的半径的长度为5；
（3）解：设的直径交于点，
.
∵平分，
∴点D是的中点，
∴，，
∵，则，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BE，由内心定义得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠DAC，由同弧所对的圆周角相等得∠CAD=∠CBD，推出∠BAD=∠DBC，进而根据角的和差及三角形外角相等可得∠DBE=∠DEB，从而根据等角对等边即可得出DE=DB；
（2） 过点D作△ABC的外接圆圆O的直径DG，则∠GBD=90°， 由圆周角定理、角的角平分线定义及等角的同名三角函数值相等得 ， 据此可得GB的长，然后根据勾股定理算出DG；
（3） 设圆O的直径DG交BC于点H， 根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等得 点D是的中点， 由垂径定理得DH⊥BC，BH=HC，由等面积法求出BH，进而根据勾股定理算出DH，最后根据余弦函数的定义即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：∵为直径
∴
∵点P是的内心
∴
∴
∵
∴
∴
（2）解：连接，如图所示
∵是直径，
∴是等腰直角三角形
∵的半径是
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵，
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴在中，.
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据内心的概念可得∠ACD=∠BCP=45°，∠CBP=∠EBP，则∠ABD=∠ACD=45°，根据外角的性质以及角的和差关系可得∠DPB=∠DBP，据此证明；
（2）连接AD，则△ABD是等腰直角三角形，由半径可得直径，然后求出BD的值，证明△DBE∽△DCB，△AEC∽△BED，根据相似三角形的性质可得DE、AC的值，然后利用勾股定理进行计算.
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