2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.5 三角形的内切圆 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·长沙模拟）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
2．（2023·普陀模拟）如图，中，，、分别平分、，，下面结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．点O到直线的距离是1
3．（2023·天河模拟）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·岳阳模拟）下列命题是假命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等
B．圆内接四边形的对角互补
C．三角形的内心到三边的距离相等
D．三角形的外心是三边垂直平分线的交点
5．（2023·武汉模拟）课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，，…的线段（如图）.”记，，…，的内切圆的半径分别为，，…，，若，则n的值是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
6．（2023·秦皇岛模拟）如图，为的直径，C为圆上一点，为的内心，交于D，于，连接，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·慈溪模拟）如图，在正中，D，E分别在边，上，连接，的平分线过的内心O，交于点F，连接．若要知道的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·贵港）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为
二、填空题
9．（2022九上·宁波期中）正三角形的内切圆与外接圆面积之比为 ．
10．（2022九上·临清期中）RtABC的斜边为13，其内切圆的半径等于2，则RtABC的周长等于 ．
11．（2022九上·襄汾月考）如图，直线，，与分别相切于点D，E，F，若，，，则 ．（用含、的式子表示）
12．（2023·江油模拟）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当时， .
13．（2023·梅州模拟）如题图所示，在中存在一面积为的内切圆，其圆心为点，连接，若满足，，，则实数的值为 ．
三、解答题
14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
15．如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．
四、综合题
16．（2023·游仙模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，内切于，反比例函数的图象经过点P，交直线于点C，D（C在点D的左侧）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C，D分别作x轴，y轴的平行线交于点E，求的面积.
17．（2023·滨州）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：；
（4）猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】根据内切圆的半径r=，可得：
的半径=，
故答案为：A.
【分析】利用“内切圆的半径=”求解即可。
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥AB于点N，如图所示：
∵、分别平分、，
∴，
∴，A不符合题意；
由题意得O为△ABC的内心，
∴AO平分∠CAB，
∴，B不符合题意；
OB的长不一定为3，C符合题意；
∵∠OAN=30°，∠ONA=90°，
∴ON=1，
∴点O到直线的距离是1，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥AB于点N，先根据角平分线的性质即可得到，再运用三角形内角和定理即可得到∠BOC的度数；先根据三角形内心的判定与性质即可得到AO平分∠CAB，进而运用角平分线的性质即可求解；OB的长不一定为3；根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。
3．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：三角形内心为三角形三条角平分线的交点，
A、一条角平分线，一条垂直平分线，故A选项不符合题意；
B、两条角平分线，故B选项符合题意；
C、两条垂直平分线，故C选项不符合题意；
D、一条角平分线，一条垂直平分线，故D选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用基本作图和三角形内心的定义：三角形内三条角平分线的交点，判断即可.
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；真命题与假命题
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，故A选项错误，是假命题，符合题意；
圆内接四边形的对角互补，故B正确，是真命题，不符合题意；
三角形的内心到三边的距离相等，故C正确，是真命题，不符合题意；
三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故D正确，是真命题，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，据此判断A；根据圆内接四边形的性质可判断B；根据内心的概念可判断C；根据外心的概念可判断D.
5．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设内切圆的圆心分别为设与的三边相切于点，如图，
则四边形为正方形，
又，
，
，
同样，在中，四边形为正方形，
又，
，
同理，，
，
则，
，
，
经检验，是增根，是原方程的根，
∴n的值是24.
故答案为：A.
【分析】设内切圆的圆心分别为O1、O2、O3……设⊙O1与△OAA1的三边相切于点B、C、D，则四边形ABO1C为正方形，A1D=A1C=1-r1，OD=OB=1-r1，根据OA1=可得r1，同理可得r2、r3、r4，表示出rn，进而可得r1+r2+r3+……+rn，结合其值为10可得n的值，据此解答.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接、，
∵为的直径，
∴，
∵为的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，过点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】连接、，由为的直径可得，利用三角形的内心及圆周角定理可推出，利用等角对等边可得，易得是的中位线，可得=2BD，利用勾股定理求得.
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过O作OG⊥AC于点G，OH⊥DE于点H，OM⊥BC于点M，连接OE、GM、OC，
∵DF为∠ADE的角平分线，
∴OG=OH.
∵DO=DO，OG=OH，
∴△DGO≌△DHO，
∴DG=DH.
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∴OG=OM，
∴OH=OM.
∵OC=OC，OG=OM，
∴△CGO≌△CMO，
∴CG=CM.
∵∠ACB=60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG=CM=MG.
∴O为△ABC的内心，
∴CG=AG=AC.
∵OE=OE，OH=OM，
∴△EHO≌△EMO，
∴EH=EM，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DH+EH+CE=CD+DG+EM+CE=CG+CM=2CG=AC，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长.
故答案为：A.
【分析】过O作OG⊥AC于点G，OH⊥DE于点H，OM⊥BC于点M，连接OE、GM、OC，根据角平分线的性质可得OG=OH，利用HL证明△DGO≌△DHO，得到DG=DH，由内心的概念可得CO平分∠ACB，根据角平分线的性质可得OG=OM，则OH=OM，同理证明△CGO≌△CMO，得到CG=CM，推出△CGM为等边三角形，则CG=CM=MG，结合内心的概念可得CG=AG=AC，利用HL证明△EHO≌△EMO，得到EH=EM，则△CDE的周长=CD+DE+CE=AC，△ABC的周长=AB+AC+BC=3AC，据此解答.
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌△CBE，△ABC是等边三角形，
∴DF=CE，故A项答案正确，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60°，
∴∠GCB+∠GBC=60°，
∴∠BGC=180°-60°=180°-（∠GCB+∠GBC）=120°，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故C项答案正确，
∵，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，
∵△ABC是等边三角形，BC=1，
∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D项错误.
故答案为：D.
【分析】易得AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=60°=∠ABC，证△BAF≌△DAF≌△CBE，得△ABC是等边三角形，据此判断A；易得∠ABF=∠BCE，结合∠ABC=∠ABF+∠CBF=60°得∠GCB+∠GBC=60°，结合内角和定理可判断B；易证△BEG∽△CEB，根据相似三角形的性质结合AF=BE可判断C；易知当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，由等边三角形的性质得AF=AC=，∠GAF=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AG=2GF，结合勾股定理可得AG，据此判断D.
9．【答案】1：4
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵正三角形的内切圆与外接圆的半径就是正三角形的边心距与半径，
又∵正三角形的边心距与半径的比为1：2，
∴正三角形的内切圆与外接圆面积之比为1：4，
故答案为：1：4.
【分析】正三角形的内切圆与外接圆的半径就是正三角形的边心距与半径，根据正三角形的性质可得正三角形的边心距与半径的比为1：2，进而根据圆的面积计算方法可求出答案.
10．【答案】30
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，Rt△ABC三边分别切圆O于点D，E，F，
∴OD⊥BD，OE⊥BE，
∴∠BDO=∠BEO=∠DBE=90°，
∴四边形BEOD为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODBE是正方形，
∴BE＝BD＝OD＝OE，
∴AF＝AD＝AB 2，CF＝CE＝BC 2，
∴AC＝AF＋CF＝AB 2＋BC 2＝AB＋BC 4，
∴AB＋BC＝AC＋4＝13＋4＝17，
∴AB＋BC＋AC＝17＋13＝30．
∴Rt△ABC的周长等于30．
故答案为：30．
【分析】根据切线长定理可得AF＝AD＝AB 2，CF＝CE＝BC 2，再利用线段的和差及等量代换可得AB＋BC＝AC＋4＝13＋4＝17，最后求出Rt△ABC的周长即可。
11．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接、，
、为的切线，
，
四边形的内角和，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】连接、，根据，求出，再结合，，，求出即可。
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长到M，使，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵I是内心，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，根据圆周角定理可得∠BCD=∠BAD，根据内心的概念可得∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，则∠BCD=∠IAC，由外角的性质以及角的和差关系可得∠DIC=∠DCI，则DI=DC=DM=5，进而推出∠ICM=90°，由勾股定理求出CM，推出IE为△ACM的中位线，得到IE∥CM，根据平行线的性质可得∠AIE=∠AMC，然后根据三角函数的概念进行计算.
13．【答案】4
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接，过点分别向作垂线，垂足分别为，如图所示：
由三角形内切圆性质，根据切线长定理可知，，，
该内切圆的面积为，
由圆面积公式可知该内切圆的半径为1，即，
，，在中，，
，则，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，解得或（舍去），
，
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
14．【答案】（1）解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE=2AD=6；
（2）证明：∵CE∥AD，
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，
而∠BAD=∠CAD，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
而AB=AE，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形．
（3）解：如图，连接BP、BQ、CQ，
在Rt△ABD中，AB= =5，
设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，
在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R= ，
∴PD=PA﹣AD= ﹣3= ，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴ r 5+ r 8+ r 5= 3 8，解得r= ，
即QD= ，
∴PQ=PD+QD= + = ．
答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为 ．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，即可求出CE；
（2）由（1）可知，AB与AE相等，则证AE与AC相等即可，由线段平行可得出同位角以及内错角相等，再进行等量替换，得出 ∠ACE=∠E ，AE=AC，因此AB=AC得证。
（3）先作图，PQ=PD+DQ即为所求。PD由大圆半径PA-AD即可得出，大圆半径利用勾股定理可求出。DQ即小圆半径，利用小三角形面积之和等于大三角形，求出即可。
15．【答案】（1）解：如图1，⊙O即为所求．
（2）解：如图2，
连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）该题重点考察三角形内切圆的尺规作图，分三步：
①作任意两个角的角平分线，其交点就是圆心；
②做圆心到其中任意一边的垂线，该垂线的长度就是圆的半径；
③以该交点为圆心，以垂距为半径做圆，即为所求的内切圆。
（2）
求出圆心角 ∠DOE ，利用同弧所对的圆心角和圆周角的关系，即可求出 ∠EFD 的度数。
16．【答案】（1）解：如图，设与三边的切点分别为点F、点G、点H，连接、、，则、、，
在中，
当时，；
当时，
∴点A的坐标为，点B的坐标为
，
又
∴点P的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点P
，
，
∴反比例函数的解析式是；
（2）解：∵一次函数和反比例函数的图象相交于点C、点D
∴
∴消去y得
∴
∴方程两边同乘可得：
∵判别式
经检验：是原分式方程的解
∴当时，
当时，
∴点C的坐标，点D的坐标为
轴，轴
∴点E的坐标为
.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1） 设圆P与△ABO三边的切点分别为点F、点G、点H，连接OP、BP、AP，则PF⊥OA、PG⊥OB、PH⊥AB，PF=PG=PH，分别令一次函数解析式中x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点A、B的坐标，然后算出AB的长，进而根据S△ABO=S△AOP+S△BOP+S△BPA建立方程，可求出PF的长，从而得出点P的坐标，进而利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）解联立两函数解析式组成的方程组可求出点C、D的坐标，进而根据点的坐标与图形的性质可求出点E的坐标，利用两点间的距离公式算出CE、ED的长，最后根据三角形的面积计算方法可求出△CDE的面积.
17．【答案】（1）证明：如图所示，过点作垂足分别为，
∵点是的内心，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
（2）证明：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴；
（3）证明：连接，
∵
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
（4）
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 （4）解：如图所示，连接 ，
∵点 是 的内心，
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【分析】（1） 先根据三角形内心的性质结合角平分线的性质即可得到，再根据三角形的面积结合题意即可求解；
（2）过点作于点，先根据三角形的面积即可得到，由（1）可得，进而即可求解；
（3）连接，先根据圆周角定理即可得到，进而根据相似三角形判定与性质证明即可得到，再根据圆周角定理即可得到，再证明即可得到，进而根据即可求解；
（4）连接 ，先根据三角形内心的性质结合角平分线的性质即可得到 ，进而根据相似三角形的判定与性质证明 即可得到 ，再根据“ ， ”即可得到 ，进而根据等腰三角形的性质得到 ，从而结合题意即可求解。
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.5 三角形的内切圆 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·长沙模拟）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】根据内切圆的半径r=，可得：
的半径=，
故答案为：A.
【分析】利用“内切圆的半径=”求解即可。
2．（2023·普陀模拟）如图，中，，、分别平分、，，下面结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．点O到直线的距离是1
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥AB于点N，如图所示：
∵、分别平分、，
∴，
∴，A不符合题意；
由题意得O为△ABC的内心，
∴AO平分∠CAB，
∴，B不符合题意；
OB的长不一定为3，C符合题意；
∵∠OAN=30°，∠ONA=90°，
∴ON=1，
∴点O到直线的距离是1，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥AB于点N，先根据角平分线的性质即可得到，再运用三角形内角和定理即可得到∠BOC的度数；先根据三角形内心的判定与性质即可得到AO平分∠CAB，进而运用角平分线的性质即可求解；OB的长不一定为3；根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。
3．（2023·天河模拟）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：三角形内心为三角形三条角平分线的交点，
A、一条角平分线，一条垂直平分线，故A选项不符合题意；
B、两条角平分线，故B选项符合题意；
C、两条垂直平分线，故C选项不符合题意；
D、一条角平分线，一条垂直平分线，故D选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用基本作图和三角形内心的定义：三角形内三条角平分线的交点，判断即可.
4．（2023·岳阳模拟）下列命题是假命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等
B．圆内接四边形的对角互补
C．三角形的内心到三边的距离相等
D．三角形的外心是三边垂直平分线的交点
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；真命题与假命题
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，故A选项错误，是假命题，符合题意；
圆内接四边形的对角互补，故B正确，是真命题，不符合题意；
三角形的内心到三边的距离相等，故C正确，是真命题，不符合题意；
三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故D正确，是真命题，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，据此判断A；根据圆内接四边形的性质可判断B；根据内心的概念可判断C；根据外心的概念可判断D.
5．（2023·武汉模拟）课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，，…的线段（如图）.”记，，…，的内切圆的半径分别为，，…，，若，则n的值是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设内切圆的圆心分别为设与的三边相切于点，如图，
则四边形为正方形，
又，
，
，
同样，在中，四边形为正方形，
又，
，
同理，，
，
则，
，
，
经检验，是增根，是原方程的根，
∴n的值是24.
故答案为：A.
【分析】设内切圆的圆心分别为O1、O2、O3……设⊙O1与△OAA1的三边相切于点B、C、D，则四边形ABO1C为正方形，A1D=A1C=1-r1，OD=OB=1-r1，根据OA1=可得r1，同理可得r2、r3、r4，表示出rn，进而可得r1+r2+r3+……+rn，结合其值为10可得n的值，据此解答.
6．（2023·秦皇岛模拟）如图，为的直径，C为圆上一点，为的内心，交于D，于，连接，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接、，
∵为的直径，
∴，
∵为的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，过点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】连接、，由为的直径可得，利用三角形的内心及圆周角定理可推出，利用等角对等边可得，易得是的中位线，可得=2BD，利用勾股定理求得.
7．（2023·慈溪模拟）如图，在正中，D，E分别在边，上，连接，的平分线过的内心O，交于点F，连接．若要知道的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过O作OG⊥AC于点G，OH⊥DE于点H，OM⊥BC于点M，连接OE、GM、OC，
∵DF为∠ADE的角平分线，
∴OG=OH.
∵DO=DO，OG=OH，
∴△DGO≌△DHO，
∴DG=DH.
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∴OG=OM，
∴OH=OM.
∵OC=OC，OG=OM，
∴△CGO≌△CMO，
∴CG=CM.
∵∠ACB=60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG=CM=MG.
∴O为△ABC的内心，
∴CG=AG=AC.
∵OE=OE，OH=OM，
∴△EHO≌△EMO，
∴EH=EM，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DH+EH+CE=CD+DG+EM+CE=CG+CM=2CG=AC，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长.
故答案为：A.
【分析】过O作OG⊥AC于点G，OH⊥DE于点H，OM⊥BC于点M，连接OE、GM、OC，根据角平分线的性质可得OG=OH，利用HL证明△DGO≌△DHO，得到DG=DH，由内心的概念可得CO平分∠ACB，根据角平分线的性质可得OG=OM，则OH=OM，同理证明△CGO≌△CMO，得到CG=CM，推出△CGM为等边三角形，则CG=CM=MG，结合内心的概念可得CG=AG=AC，利用HL证明△EHO≌△EMO，得到EH=EM，则△CDE的周长=CD+DE+CE=AC，△ABC的周长=AB+AC+BC=3AC，据此解答.
8．（2022·贵港）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌△CBE，△ABC是等边三角形，
∴DF=CE，故A项答案正确，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60°，
∴∠GCB+∠GBC=60°，
∴∠BGC=180°-60°=180°-（∠GCB+∠GBC）=120°，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故C项答案正确，
∵，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，
∵△ABC是等边三角形，BC=1，
∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D项错误.
故答案为：D.
【分析】易得AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=60°=∠ABC，证△BAF≌△DAF≌△CBE，得△ABC是等边三角形，据此判断A；易得∠ABF=∠BCE，结合∠ABC=∠ABF+∠CBF=60°得∠GCB+∠GBC=60°，结合内角和定理可判断B；易证△BEG∽△CEB，根据相似三角形的性质结合AF=BE可判断C；易知当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，由等边三角形的性质得AF=AC=，∠GAF=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AG=2GF，结合勾股定理可得AG，据此判断D.
二、填空题
9．（2022九上·宁波期中）正三角形的内切圆与外接圆面积之比为 ．
【答案】1：4
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵正三角形的内切圆与外接圆的半径就是正三角形的边心距与半径，
又∵正三角形的边心距与半径的比为1：2，
∴正三角形的内切圆与外接圆面积之比为1：4，
故答案为：1：4.
【分析】正三角形的内切圆与外接圆的半径就是正三角形的边心距与半径，根据正三角形的性质可得正三角形的边心距与半径的比为1：2，进而根据圆的面积计算方法可求出答案.
10．（2022九上·临清期中）RtABC的斜边为13，其内切圆的半径等于2，则RtABC的周长等于 ．
【答案】30
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，Rt△ABC三边分别切圆O于点D，E，F，
∴OD⊥BD，OE⊥BE，
∴∠BDO=∠BEO=∠DBE=90°，
∴四边形BEOD为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODBE是正方形，
∴BE＝BD＝OD＝OE，
∴AF＝AD＝AB 2，CF＝CE＝BC 2，
∴AC＝AF＋CF＝AB 2＋BC 2＝AB＋BC 4，
∴AB＋BC＝AC＋4＝13＋4＝17，
∴AB＋BC＋AC＝17＋13＝30．
∴Rt△ABC的周长等于30．
故答案为：30．
【分析】根据切线长定理可得AF＝AD＝AB 2，CF＝CE＝BC 2，再利用线段的和差及等量代换可得AB＋BC＝AC＋4＝13＋4＝17，最后求出Rt△ABC的周长即可。
11．（2022九上·襄汾月考）如图，直线，，与分别相切于点D，E，F，若，，，则 ．（用含、的式子表示）
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接、，
、为的切线，
，
四边形的内角和，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】连接、，根据，求出，再结合，，，求出即可。
12．（2023·江油模拟）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当时， .
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长到M，使，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵I是内心，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，根据圆周角定理可得∠BCD=∠BAD，根据内心的概念可得∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，则∠BCD=∠IAC，由外角的性质以及角的和差关系可得∠DIC=∠DCI，则DI=DC=DM=5，进而推出∠ICM=90°，由勾股定理求出CM，推出IE为△ACM的中位线，得到IE∥CM，根据平行线的性质可得∠AIE=∠AMC，然后根据三角函数的概念进行计算.
13．（2023·梅州模拟）如题图所示，在中存在一面积为的内切圆，其圆心为点，连接，若满足，，，则实数的值为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接，过点分别向作垂线，垂足分别为，如图所示：
由三角形内切圆性质，根据切线长定理可知，，，
该内切圆的面积为，
由圆面积公式可知该内切圆的半径为1，即，
，，在中，，
，则，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，解得或（舍去），
，
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
三、解答题
14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
【答案】（1）解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE=2AD=6；
（2）证明：∵CE∥AD，
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，
而∠BAD=∠CAD，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
而AB=AE，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形．
（3）解：如图，连接BP、BQ、CQ，
在Rt△ABD中，AB= =5，
设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，
在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R= ，
∴PD=PA﹣AD= ﹣3= ，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴ r 5+ r 8+ r 5= 3 8，解得r= ，
即QD= ，
∴PQ=PD+QD= + = ．
答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为 ．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，即可求出CE；
（2）由（1）可知，AB与AE相等，则证AE与AC相等即可，由线段平行可得出同位角以及内错角相等，再进行等量替换，得出 ∠ACE=∠E ，AE=AC，因此AB=AC得证。
（3）先作图，PQ=PD+DQ即为所求。PD由大圆半径PA-AD即可得出，大圆半径利用勾股定理可求出。DQ即小圆半径，利用小三角形面积之和等于大三角形，求出即可。
15．如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．
【答案】（1）解：如图1，⊙O即为所求．
（2）解：如图2，
连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）该题重点考察三角形内切圆的尺规作图，分三步：
①作任意两个角的角平分线，其交点就是圆心；
②做圆心到其中任意一边的垂线，该垂线的长度就是圆的半径；
③以该交点为圆心，以垂距为半径做圆，即为所求的内切圆。
（2）
求出圆心角 ∠DOE ，利用同弧所对的圆心角和圆周角的关系，即可求出 ∠EFD 的度数。
四、综合题
16．（2023·游仙模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，内切于，反比例函数的图象经过点P，交直线于点C，D（C在点D的左侧）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C，D分别作x轴，y轴的平行线交于点E，求的面积.
【答案】（1）解：如图，设与三边的切点分别为点F、点G、点H，连接、、，则、、，
在中，
当时，；
当时，
∴点A的坐标为，点B的坐标为
，
又
∴点P的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点P
，
，
∴反比例函数的解析式是；
（2）解：∵一次函数和反比例函数的图象相交于点C、点D
∴
∴消去y得
∴
∴方程两边同乘可得：
∵判别式
经检验：是原分式方程的解
∴当时，
当时，
∴点C的坐标，点D的坐标为
轴，轴
∴点E的坐标为
.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1） 设圆P与△ABO三边的切点分别为点F、点G、点H，连接OP、BP、AP，则PF⊥OA、PG⊥OB、PH⊥AB，PF=PG=PH，分别令一次函数解析式中x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点A、B的坐标，然后算出AB的长，进而根据S△ABO=S△AOP+S△BOP+S△BPA建立方程，可求出PF的长，从而得出点P的坐标，进而利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）解联立两函数解析式组成的方程组可求出点C、D的坐标，进而根据点的坐标与图形的性质可求出点E的坐标，利用两点间的距离公式算出CE、ED的长，最后根据三角形的面积计算方法可求出△CDE的面积.
17．（2023·滨州）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：；
（4）猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
【答案】（1）证明：如图所示，过点作垂足分别为，
∵点是的内心，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
（2）证明：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴；
（3）证明：连接，
∵
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
（4）
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 （4）解：如图所示，连接 ，
∵点 是 的内心，
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【分析】（1） 先根据三角形内心的性质结合角平分线的性质即可得到，再根据三角形的面积结合题意即可求解；
（2）过点作于点，先根据三角形的面积即可得到，由（1）可得，进而即可求解；
（3）连接，先根据圆周角定理即可得到，进而根据相似三角形判定与性质证明即可得到，再根据圆周角定理即可得到，再证明即可得到，进而根据即可求解；
（4）连接 ，先根据三角形内心的性质结合角平分线的性质即可得到 ，进而根据相似三角形的判定与性质证明 即可得到 ，再根据“ ， ”即可得到 ，进而根据等腰三角形的性质得到 ，从而结合题意即可求解。
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