2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.6.1 正多边形与圆 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．3． B．4． C．5． D．6．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n.
由题意可得：，
∴n=5，
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的圆心角计算即可．
2．（2022·崂山模拟）如图，五边形是⊙O的内接正五边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形是⊙O的内接正五边形，
∴∠A=∠ABC=，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据正多边形内角和公式计算出∠EAB，再得出∠ABE=∠AEB，即可得解。
3．（2021九上·龙岩期末）在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（ ）
A． B．5 C． D．5
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的中，直径BE=10，
∴外接圆的半径为5，
故答案为B.
【分析】根据正多边形和它的外接圆可知，外接圆的半径就是正多变形的半径，由直径即可得到半径.
4．（2020九上·民勤月考）已知正六角形的边心距为 ，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C．6 D．12
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OG= ，∠AOG=30°，
∴cos30°=OG/AO，
∴OA=OG÷cos 30°=2.
这个正六边形的周长=12.
故答案为：B.
【分析】根据圆内接正六边形的中心角=可得中心角，根据边心距为3可得半径=÷sin 60°，故正六边形的边长等于半径，可得周长.
5．（2023九上·无为月考）如图，正六边形内接于，若的边心距，则正六边形的边长是（ ）．
A． B．3 C．6 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】连接OC，OD,如图，
正六边形内接于，
∠COD=60°，
△OCD是等边三角形，
的边心距，
∠COG=30°，
,
由勾股定理可得：
解得：，
故答案为：A.
【分析】连接OC，OD,利用圆内接正六边形的性质求得，结合已知条件利用勾股定理即可求解.
6．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不超过（ ）．
A．12 mm B． mm C．6mm D．mm
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
正六边形与圆O外接时，正六边形的边长最大，
∵OA=OB，∠AOB=360°÷6=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=×24=12，
∴正六边形的边长最大值不超过12.
故答案为：A
【分析】利用正六边形的性质可证得△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AB的长，即可得到正六边形的边长的最大值.
7．内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）.
A． B． C．3：2 D．1：2
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图CD是正方形的一边，AB是正三角形的一边，过点O作OE⊥CD于点E，OH⊥AB于点H，连接OD，OA，
设圆O的半径为r，
∴AB=2AH，CD=2DE，∠EOD=45°，∠AOH=60°，
∴∠OAH=90°-60°=30°，
∴OH=AO=，
∴，
∴；
∵∠D=∠EOD=45°，
∴OE=ED，
∴2DE2=r2
解之：，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】如图CD是正方形的一边，AB是正三角形的一边，过点O作OE⊥CD于点E，OH⊥AB于点H，连接OD，OA，设圆O的半径为r，利用垂径定理和正多边形的性质可证得AB=2AH，CD=2DE，∠EOD=45°，∠AOH=60°，可求出∠OAH的度数，同时可证得OE=ED，利用勾股定理可表示出AH、DE的长，即可等等AB，CD的长，然后求出它们的比值.
8．（2023·蓝田模拟）如图，正五边形内接于，点F在弧上.若，则的大小为（ ）
A．38° B．42° C．48° D．58°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正五边形内接于，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接OE、OD、CE，根据n边形内角和公式以及正多边形的性质可得∠CDE=108°，则∠FDE=∠CDE-∠CDF=12°，由圆周角定理可得∠FCE=∠FDE=12°，由外角和为360°可得∠EOD=360°÷5=72°，由圆周角定理可得∠ECD=∠EOD=36°，然后根据∠FCD=∠FCE+∠ECD进行计算.
二、填空题
9．（2023九上·杭州期中）已知△ABC的边BC=，且△ABC内接于半径为4cm的⊙O，则∠A的度数为 ．
【答案】45°或135°
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由题意得，本题分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形时；连接OB、OC，作ODBC于D，如图所示：
∴∠ODB=90°，BD=CD=BC =cm，
∠BOD=∠COD=∠BOC
∵sin∠BOD= =
∴∠BOD = 45°，∠BOC=90°，
∴∠A=∠BOC =45°
②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示：
∠A=180°-45°=135°
因此，∠A=45°或135°
故答案为：45°或135°.
【分析】本题需要分两种情况讨论：①当△ABC是锐角三角形时；连接OB、OC，作ODBC于D，则 ∠ODB =90°，由垂径定理得出BD=CD=BC，由等腰三角形的性质得出∠BOD = ∠COD= ∠BOC，根据三角函数求出∠BOD =45°，由此得出∠BOC = 90°，由圆周角定理即可得出答案.
10．（2023·文成模拟）如图，正六边形内接于半径为1的，则的长为 .
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB、OC，
由题意得，，即，
∴的长，
故答案为：.
【分析】连接OA、OB、OC，根据正六边形的性质得∠AOB=∠BOC=60°，进而根据弧长计算公式计算即可.
11．（2022九上·镇海区期中）正六边形内接于，，则的半径是 .
【答案】10
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AO、BO，
∵正六边形内接于，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的半径为：.
故答案为：10.
【分析】连接AO、BO，根据正多边形与圆的关系可得∠AOB=60°，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△ABO是等边三角形，再根据等边三角形的三边相等即可得出答案.
12．（2023九上·高安月考）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为 ．（结果保留和根号）
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得，，
过作于，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据中心角公式求得，过作于，利用三角形和圆的面积公式求解．
13．如图，已知⊙O的半径为2，等边三角形ABC内接于⊙O，则的度数为 ，△ABC的边长为
【答案】120°；
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，
∴BC=2DC，
∵等边三角形ABC内接于⊙O，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠OCD=30°， 的度数为2×60°=120°；
∴OD=OC=1，
∴，
∴；
故答案为：120°，.
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，利用垂径定理可证得BC=2DC，利用等边三角形的性质可证得∠A=∠ACB=60°，可求出的度数，同时可证得∠OCD=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长；然后利用勾股定理求出DC的长，即可得到BC的长.
三、解答题
14．（2023九上·无为月考）如图，正八边形内接于，M是弧DE上的一点，连接AM，BM，求的度数．
【答案】解：如图，连接OA，OB．
∵正八边形是的内接正八边形，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】 连接OA，OB，根据圆内接正八边形求得，再利用圆周角定理即可求解.
15．小明绘制了如图所示的图形.图中六个形状大小都相同的四边形围成了一个圆的内接正六边形和一个小正六边形.若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为，求该圆的半径.
【答案】解：设两个正六边形的中心为点O，连接MN，OP，OB，OQ，过点O作OG⊥PM，OH⊥AB，MN交圆O的内接正六边形于点N，
∵正六边形，
∴∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°，
∵ 小正六边形的面积为 ，
∴小正六边形的边长为，
∴，
∴，
∵OG⊥MP，
∴，
在Rt△OPG中，
，
设OB=x，
∵OH⊥AB，
∴BH=x，则，
∴，
在Rt△PHO中，
，
解之：x=8（取正值）
∴该圆的半径为8cm.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】设两个正六边形的中心为点O，连接MN，OP，OB，OQ，过点O作OG⊥PM，OH⊥AB，MN交圆O的内接正六边形于点N，可证得∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°，利用小正六边形的面积可得到其边长，同时可求出PM的长，可求出△MPN的面积，即可求出PG的长，利用勾股定理求出OP的长；设OB=x，可表示出BH，OH，PH的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，即可得到该圆的半径.
四、综合题
16．（2021九上·南宁期中）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.
（1）角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为.于是越小，该正n边形就越接近于圆，
①若，则该正n边形的“接近度”等于 .
②若，则该正n边形的“接近度”等于 .
③当“接近度”等于 .时，正n边形就成了圆.
（2）边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为.分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？
【答案】（1）120；18；0
（2）解：如图，当时，为正的外接圆，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，为正六边形的外接圆，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆.
【知识点】三角形的外接圆与外心；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①当时， ，
∴“接近度”等于；
故答案为：120
②当时， ，
∴“接近度”等于；
故答案为：18
③∵越小，该正n边形就越接近于圆，
∴当时，该正n边形就成了圆，
此时，
∴；
故答案为：0.
【分析】（1）①当n=3时，m=60，求出|180-m|的值即可；
②当n=20时， ，求出|180-m|的值即可；
③|180-m|的值越小，该正n边形就越接近于圆，据此解答；
（2）当n=3时，⊙O为正△ABC的外接圆，OD⊥AB，∠OAD=30°，然后根据三角函数的概念进行求解；当n=6时，⊙O为正六边形的外接圆，OD⊥AB，∠OAD=60°，同理求解即可.
17．（2021·慈溪模拟）图1是某景区的纪念币，一面有一个正十边形，示意图如图2所示，其外接圆的圆心为O，直径为 .
（1）求这个正十边形的边长 .
（2）求这个正十边形的面积.（参考数据： ）
【答案】（1）解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，
由题意可知：∠AOB =36°，
∵OA=OB=10mm，
∴∠AOC=∠BOC=18°，AC=BC，
∴AC=OA sin18°≈10×031=3.1（mm），
∴AB=2AC=6.2mm；
（2）解：∵OC=OA cos18°≈10×0.95=9.5（mm），
∴S△AOB= ×AB OC= ×6.2×9.5=29.45（mm2），
∴S正十边形=10×S△AOB=294.5（mm2）.
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点O作OC⊥AB于点C，解直角三角形AOC可求解；
（2）解直角三角形AOC可求得OC的值，根据S△AOB=AB·OC可求得三角形AOB的面积，再根据S正十边形=10×S△AOB即可求解.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.6.1 正多边形与圆 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．3． B．4． C．5． D．6．
2．（2022·崂山模拟）如图，五边形是⊙O的内接正五边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·龙岩期末）在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（ ）
A． B．5 C． D．5
4．（2020九上·民勤月考）已知正六角形的边心距为 ，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C．6 D．12
5．（2023九上·无为月考）如图，正六边形内接于，若的边心距，则正六边形的边长是（ ）．
A． B．3 C．6 D．
6．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不超过（ ）．
A．12 mm B． mm C．6mm D．mm
7．内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）.
A． B． C．3：2 D．1：2
8．（2023·蓝田模拟）如图，正五边形内接于，点F在弧上.若，则的大小为（ ）
A．38° B．42° C．48° D．58°
二、填空题
9．（2023九上·杭州期中）已知△ABC的边BC=，且△ABC内接于半径为4cm的⊙O，则∠A的度数为 ．
10．（2023·文成模拟）如图，正六边形内接于半径为1的，则的长为 .
11．（2022九上·镇海区期中）正六边形内接于，，则的半径是 .
12．（2023九上·高安月考）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为 ．（结果保留和根号）
13．如图，已知⊙O的半径为2，等边三角形ABC内接于⊙O，则的度数为 ，△ABC的边长为
三、解答题
14．（2023九上·无为月考）如图，正八边形内接于，M是弧DE上的一点，连接AM，BM，求的度数．
15．小明绘制了如图所示的图形.图中六个形状大小都相同的四边形围成了一个圆的内接正六边形和一个小正六边形.若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为，求该圆的半径.
四、综合题
16．（2021九上·南宁期中）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.
（1）角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为.于是越小，该正n边形就越接近于圆，
①若，则该正n边形的“接近度”等于 .
②若，则该正n边形的“接近度”等于 .
③当“接近度”等于 .时，正n边形就成了圆.
（2）边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为.分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？
17．（2021·慈溪模拟）图1是某景区的纪念币，一面有一个正十边形，示意图如图2所示，其外接圆的圆心为O，直径为 .
（1）求这个正十边形的边长 .
（2）求这个正十边形的面积.（参考数据： ）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n.
由题意可得：，
∴n=5，
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的圆心角计算即可．
2．【答案】D
【知识点】角的运算；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形是⊙O的内接正五边形，
∴∠A=∠ABC=，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据正多边形内角和公式计算出∠EAB，再得出∠ABE=∠AEB，即可得解。
3．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的中，直径BE=10，
∴外接圆的半径为5，
故答案为B.
【分析】根据正多边形和它的外接圆可知，外接圆的半径就是正多变形的半径，由直径即可得到半径.
4．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OG= ，∠AOG=30°，
∴cos30°=OG/AO，
∴OA=OG÷cos 30°=2.
这个正六边形的周长=12.
故答案为：B.
【分析】根据圆内接正六边形的中心角=可得中心角，根据边心距为3可得半径=÷sin 60°，故正六边形的边长等于半径，可得周长.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】连接OC，OD,如图，
正六边形内接于，
∠COD=60°，
△OCD是等边三角形，
的边心距，
∠COG=30°，
,
由勾股定理可得：
解得：，
故答案为：A.
【分析】连接OC，OD,利用圆内接正六边形的性质求得，结合已知条件利用勾股定理即可求解.
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
正六边形与圆O外接时，正六边形的边长最大，
∵OA=OB，∠AOB=360°÷6=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=×24=12，
∴正六边形的边长最大值不超过12.
故答案为：A
【分析】利用正六边形的性质可证得△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AB的长，即可得到正六边形的边长的最大值.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图CD是正方形的一边，AB是正三角形的一边，过点O作OE⊥CD于点E，OH⊥AB于点H，连接OD，OA，
设圆O的半径为r，
∴AB=2AH，CD=2DE，∠EOD=45°，∠AOH=60°，
∴∠OAH=90°-60°=30°，
∴OH=AO=，
∴，
∴；
∵∠D=∠EOD=45°，
∴OE=ED，
∴2DE2=r2
解之：，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】如图CD是正方形的一边，AB是正三角形的一边，过点O作OE⊥CD于点E，OH⊥AB于点H，连接OD，OA，设圆O的半径为r，利用垂径定理和正多边形的性质可证得AB=2AH，CD=2DE，∠EOD=45°，∠AOH=60°，可求出∠OAH的度数，同时可证得OE=ED，利用勾股定理可表示出AH、DE的长，即可等等AB，CD的长，然后求出它们的比值.
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正五边形内接于，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接OE、OD、CE，根据n边形内角和公式以及正多边形的性质可得∠CDE=108°，则∠FDE=∠CDE-∠CDF=12°，由圆周角定理可得∠FCE=∠FDE=12°，由外角和为360°可得∠EOD=360°÷5=72°，由圆周角定理可得∠ECD=∠EOD=36°，然后根据∠FCD=∠FCE+∠ECD进行计算.
9．【答案】45°或135°
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由题意得，本题分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形时；连接OB、OC，作ODBC于D，如图所示：
∴∠ODB=90°，BD=CD=BC =cm，
∠BOD=∠COD=∠BOC
∵sin∠BOD= =
∴∠BOD = 45°，∠BOC=90°，
∴∠A=∠BOC =45°
②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示：
∠A=180°-45°=135°
因此，∠A=45°或135°
故答案为：45°或135°.
【分析】本题需要分两种情况讨论：①当△ABC是锐角三角形时；连接OB、OC，作ODBC于D，则 ∠ODB =90°，由垂径定理得出BD=CD=BC，由等腰三角形的性质得出∠BOD = ∠COD= ∠BOC，根据三角函数求出∠BOD =45°，由此得出∠BOC = 90°，由圆周角定理即可得出答案.
10．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB、OC，
由题意得，，即，
∴的长，
故答案为：.
【分析】连接OA、OB、OC，根据正六边形的性质得∠AOB=∠BOC=60°，进而根据弧长计算公式计算即可.
11．【答案】10
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AO、BO，
∵正六边形内接于，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的半径为：.
故答案为：10.
【分析】连接AO、BO，根据正多边形与圆的关系可得∠AOB=60°，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△ABO是等边三角形，再根据等边三角形的三边相等即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得，，
过作于，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据中心角公式求得，过作于，利用三角形和圆的面积公式求解．
13．【答案】120°；
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，
∴BC=2DC，
∵等边三角形ABC内接于⊙O，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠OCD=30°， 的度数为2×60°=120°；
∴OD=OC=1，
∴，
∴；
故答案为：120°，.
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，利用垂径定理可证得BC=2DC，利用等边三角形的性质可证得∠A=∠ACB=60°，可求出的度数，同时可证得∠OCD=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长；然后利用勾股定理求出DC的长，即可得到BC的长.
14．【答案】解：如图，连接OA，OB．
∵正八边形是的内接正八边形，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】 连接OA，OB，根据圆内接正八边形求得，再利用圆周角定理即可求解.
15．【答案】解：设两个正六边形的中心为点O，连接MN，OP，OB，OQ，过点O作OG⊥PM，OH⊥AB，MN交圆O的内接正六边形于点N，
∵正六边形，
∴∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°，
∵ 小正六边形的面积为 ，
∴小正六边形的边长为，
∴，
∴，
∵OG⊥MP，
∴，
在Rt△OPG中，
，
设OB=x，
∵OH⊥AB，
∴BH=x，则，
∴，
在Rt△PHO中，
，
解之：x=8（取正值）
∴该圆的半径为8cm.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】设两个正六边形的中心为点O，连接MN，OP，OB，OQ，过点O作OG⊥PM，OH⊥AB，MN交圆O的内接正六边形于点N，可证得∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°，利用小正六边形的面积可得到其边长，同时可求出PM的长，可求出△MPN的面积，即可求出PG的长，利用勾股定理求出OP的长；设OB=x，可表示出BH，OH，PH的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，即可得到该圆的半径.
16．【答案】（1）120；18；0
（2）解：如图，当时，为正的外接圆，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，为正六边形的外接圆，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆.
【知识点】三角形的外接圆与外心；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①当时， ，
∴“接近度”等于；
故答案为：120
②当时， ，
∴“接近度”等于；
故答案为：18
③∵越小，该正n边形就越接近于圆，
∴当时，该正n边形就成了圆，
此时，
∴；
故答案为：0.
【分析】（1）①当n=3时，m=60，求出|180-m|的值即可；
②当n=20时， ，求出|180-m|的值即可；
③|180-m|的值越小，该正n边形就越接近于圆，据此解答；
（2）当n=3时，⊙O为正△ABC的外接圆，OD⊥AB，∠OAD=30°，然后根据三角函数的概念进行求解；当n=6时，⊙O为正六边形的外接圆，OD⊥AB，∠OAD=60°，同理求解即可.
17．【答案】（1）解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，
由题意可知：∠AOB =36°，
∵OA=OB=10mm，
∴∠AOC=∠BOC=18°，AC=BC，
∴AC=OA sin18°≈10×031=3.1（mm），
∴AB=2AC=6.2mm；
（2）解：∵OC=OA cos18°≈10×0.95=9.5（mm），
∴S△AOB= ×AB OC= ×6.2×9.5=29.45（mm2），
∴S正十边形=10×S△AOB=294.5（mm2）.
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点O作OC⊥AB于点C，解直角三角形AOC可求解；
（2）解直角三角形AOC可求得OC的值，根据S△AOB=AB·OC可求得三角形AOB的面积，再根据S正十边形=10×S△AOB即可求解.
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