2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.6.2 正多边形的性质 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2018·曲靖）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（ ）
A．60° B．90° C．108° D．120°
2．（2023八上·南昌月考）下列正多边中，不能铺满地面的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．等边三角形 D．正六边形
3．（2024九上·永吉期末）如图，若正六边形绕着中心旋转角得到的图形与原来的图形重合，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·金华月考）已知正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2023七下·二道期末）李明同学在学完用正多边形拼地板这节课之后，建议爸爸为他家房屋地面进行装修．爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，他告诉爸爸，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，你认为要使地面铺满，李明应建议爸爸选择另一种地砖的形状为（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
6．（2023八上·临江期中）已知一个正多边形的每个外角都等于60°，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
7．（2023九上·东光期中）如图，点在正六边形的对角线上，记图中6个三角形的面积分别为，，，，，.若，则的值是（ ）
A．10 B．16
C．24 D．随点位置而变化
8．（2023八上·吉林期中）把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，AB是正六边形的对角线，则∠α等于（ ）
A．72° B．84° C．88° D．90°
二、填空题
9．（2023·上海）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ．
10．（2023七下·吴江期末）如图，以为一边在正五边形内作正方形，则 度．
11．（2023九上·北京市期中）若正六边形的半径等于4，则它的边心距等于 .
12．（2023八上·临江期中） 如图，是边长为a的等边三角形纸张，现将各角剪去一个三角形，使得剩下的六边形PQRSTU为正六边形，则此正六边的周长等于 .
13．（2023八上·长春期中）如图，在同一平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形，正六边形的一边重合并叠在一起，卿∠3+∠1-∠2的大小为 度
三、解答题
14．（2023八上·赣州期中）（1）求正十边形的每个内角的度数；
（2）一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形
15．（2023八上·赣州期中）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，且.
（1）求的度数；
（2）嘉嘉在判断“AB与ED的位置关系”时，给出了如下的思路和结论：
思路：由六边形ABCDEF的内角都相等，知道六边形ABCDEF是正六边形，根据正六边形性质可求得结果. 结论：.
嘉嘉的思路 ▲ ，结论 ▲ （均选填“正确”或“错误”），请你完整给出本题的解题过程.
四、综合题
16．（2022八上·南宁期中）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上.
（1）请求出∠ABO度数
（2）请求出∠BOE的度数
17．（2022七下·长春期末）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数 3 4 5 6
α的度数
（2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 ．
（3）根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝ ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】（n-2）×180°=720°，
∴n-2=4，
∴n=6．
则这个正多边形的每一个内角为720°÷6=120°．
故答案为：D．
【分析】首先根据多边形的内角和计算公式算出这个多边形的边数，再根据正多边形的内角都相等，用内角和除以内角的个数即可得出每个内角的度数。
2．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形每个内角为90°，360°÷90°=4，所以正方形能铺满，A不符合题意；
B、正五方形每个内角为108°，108°不能被360°整除，所以正五方形不能铺满，B符合题意；
C、等边三角形每个内角为60°，360°÷60°=6，所以等边三角形能铺满，C不符合题意；
D、正六方形每个内角为120°，360°÷120°=3，所以正六方形能铺满，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】判断一个正多边形能否密铺，只要看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角360°即可，所以求出各图形的内角，再计算出能否被360°整除即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】图形的旋转；正多边形的性质
【解析】【解答】解：
连接OA，OB，由正六边形可知，∠AOB=360°÷6=60°，
正六边形的一边绕着中心旋转60°，才可以和与之相邻的边重合，
所以旋转角 的 最小值为60°。
故答案为：D
【分析】
正六边形的边AB绕着中心 O逆时针旋转或顺时针旋转60°，才可以与相邻的边BC或AF重合，所以旋转角的最小值为60°。最小的旋转角是这个正六边形的中心角。
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷45°=8.
故答案为：8.
【分析】由于正多边形的每一个外角都相等，故用多边形形的外角总度数除以一个外角的度数可得多边形的变数.
5．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】
解：正八边形的一个内角度数=180°-=135°，要铺满地面，需要选择内角为45°或者45°倍数的正多边形，A、B、C、D中，只有B满足此条件，则B正确。
故答案为：B.
【分析】本题考查正多边形镶嵌问题。要使完美镶嵌，则需要选择的正多边形的内角度数能被360°整除或者凑成的角度能被360°整除，熟悉内角计算公式是关键。
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正多边形的外角和等于360°， 一个正多边形的每个外角都等于60°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷60°=6，
即这个正多边形是正六边形，
故答案为：B.
【分析】根据正多边形的外角和等于360°，求出360°÷60°=6即可作答。
7．【答案】B
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】连接CE，如图所示：
∵正六边形，
∴四边形BCEF是矩形，△ABF≌△DCE，
∴S△PEC=S矩形BCEF，S△ABF=S△DCE，
∴S1+S2+S3+S6=S4+S6，
∴S正六边形ABCDEF=2（S5+S6）=2×8=16，
故答案为：B.
【分析】连接CE，先求出S△PEC=S矩形BCEF，S△ABF=S△DCE，从而可得S1+S2+S3+S6=S4+S6，再计算即可.
8．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
则，
，
∴，
故答案为：B.
【分析】结合图形，利用正五边形、正六边形内角和的计算方法计算求解即可。
9．【答案】18
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：n=360÷20=18，
即这个正多边形的边数为18，
故答案为：18.
【分析】根据题意先求出n=360÷20=18，再求解即可。
10．【答案】18
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=
∵四边形ABMN是正方形，
∴∠ABM=90°.
∴
故答案为：18.
【分析】先求出∠ABC，再求出∠ABM，利用求解.
11．【答案】
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠OAD= 60° ，
∴OD= 0A.sin∠OAB=4x = .
故答案为： .
【分析】由题意画出图形，根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可.
12．【答案】2a
【知识点】等边三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】如图所示
六边形PQRSTU为正六边形
同理BU=UT
故填：2a
【分析】根据正六边形的性质，正六边形各边长都相等，等边三角形被平行与底边的线段截取后仍是等边三角形，小等边三角形的边长和正六边形的边长相同，观察图形可知，3倍的正六边形边长是a，至此，正六边形的边长和周长都可以求取。
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正三角形的每一个内角为60°、正方形的每一个内角为90°、正五边形的每一个内角为108°，正六边形 的每一个内角为120°，
故答案为：.
【分析】先求出正三角形、正方形、正五边形，正六边形的每一个内角的度数，进而求得 ∠1、∠2、∠3的度数，从而求解.
14．【答案】（1）解：∵正十边形的内角和为，
∴正十边形的每个内角是.
（2）解：设这个多边形为n边形，
由题意得：，
解得，
∴这个多边形为三角形..
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）先根据多边形的内角和公式即可得到正十边形的内角和，进而得到每个内角的度数；
（2）设这个多边形为n边形，根据多边形的内角即可求解。
15．【答案】（1）解：六边形的内角和为：，
∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴每个内角的度数为：，
∵，四边形ABCD的内角和为360°，
∴；
（2）错误|正确
∵，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（2）由题意得嘉嘉的思路错误，结论正确，
故答案为：错误；正确
【分析】（1）先根据多边形的内角和得到六边形的内角和，进而得到每个内角的度数，再结合题意即可求解；
（2）先根据题意计算出∠EDA的度数，进而根据平行线的判定即可求解。
16．【答案】（1）解：由题意得∠ABO=×(6-2) ×180°=120°；
（2）解：同理可得：∠DEO=108°，
∴∠OEB=180°-108°=72°，∠OBE=180°-120°=60°，
∴∠BOE=180°-72°-60°=48°.
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质；邻补角
【解析】【分析】（1）根据内角和公式(n-2)×180°结合正多边形的性质进行求解；
（2）同理可得∠DEO=108°，根据邻补角的性质求出∠OEB、∠OBE的度数，然后结合内角和定理进行计算.
17．【答案】（1）60°；45°；36°；30°
（2）
（3）10
【知识点】探索数与式的规律；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）解：正多边形每个内角的度数为．
；
；
正五边形的内角，；
正五边形的内角，．
（2）观察（1）中结论，
总结规律，则有．
（3）借助（2）中公式，有
，即
解得．
【分析】（1）先计算正多边形每一内角的度数，再根据三角形内角和求出
（2）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的；
（3）根据（2）中角α与边数n的关系可得答案。
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.6.2 正多边形的性质 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2018·曲靖）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（ ）
A．60° B．90° C．108° D．120°
【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】（n-2）×180°=720°，
∴n-2=4，
∴n=6．
则这个正多边形的每一个内角为720°÷6=120°．
故答案为：D．
【分析】首先根据多边形的内角和计算公式算出这个多边形的边数，再根据正多边形的内角都相等，用内角和除以内角的个数即可得出每个内角的度数。
2．（2023八上·南昌月考）下列正多边中，不能铺满地面的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．等边三角形 D．正六边形
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形每个内角为90°，360°÷90°=4，所以正方形能铺满，A不符合题意；
B、正五方形每个内角为108°，108°不能被360°整除，所以正五方形不能铺满，B符合题意；
C、等边三角形每个内角为60°，360°÷60°=6，所以等边三角形能铺满，C不符合题意；
D、正六方形每个内角为120°，360°÷120°=3，所以正六方形能铺满，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】判断一个正多边形能否密铺，只要看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角360°即可，所以求出各图形的内角，再计算出能否被360°整除即可得出答案.
3．（2024九上·永吉期末）如图，若正六边形绕着中心旋转角得到的图形与原来的图形重合，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的旋转；正多边形的性质
【解析】【解答】解：
连接OA，OB，由正六边形可知，∠AOB=360°÷6=60°，
正六边形的一边绕着中心旋转60°，才可以和与之相邻的边重合，
所以旋转角 的 最小值为60°。
故答案为：D
【分析】
正六边形的边AB绕着中心 O逆时针旋转或顺时针旋转60°，才可以与相邻的边BC或AF重合，所以旋转角的最小值为60°。最小的旋转角是这个正六边形的中心角。
4．（2023九上·金华月考）已知正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷45°=8.
故答案为：8.
【分析】由于正多边形的每一个外角都相等，故用多边形形的外角总度数除以一个外角的度数可得多边形的变数.
5．（2023七下·二道期末）李明同学在学完用正多边形拼地板这节课之后，建议爸爸为他家房屋地面进行装修．爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，他告诉爸爸，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，你认为要使地面铺满，李明应建议爸爸选择另一种地砖的形状为（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】
解：正八边形的一个内角度数=180°-=135°，要铺满地面，需要选择内角为45°或者45°倍数的正多边形，A、B、C、D中，只有B满足此条件，则B正确。
故答案为：B.
【分析】本题考查正多边形镶嵌问题。要使完美镶嵌，则需要选择的正多边形的内角度数能被360°整除或者凑成的角度能被360°整除，熟悉内角计算公式是关键。
6．（2023八上·临江期中）已知一个正多边形的每个外角都等于60°，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正多边形的外角和等于360°， 一个正多边形的每个外角都等于60°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷60°=6，
即这个正多边形是正六边形，
故答案为：B.
【分析】根据正多边形的外角和等于360°，求出360°÷60°=6即可作答。
7．（2023九上·东光期中）如图，点在正六边形的对角线上，记图中6个三角形的面积分别为，，，，，.若，则的值是（ ）
A．10 B．16
C．24 D．随点位置而变化
【答案】B
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】连接CE，如图所示：
∵正六边形，
∴四边形BCEF是矩形，△ABF≌△DCE，
∴S△PEC=S矩形BCEF，S△ABF=S△DCE，
∴S1+S2+S3+S6=S4+S6，
∴S正六边形ABCDEF=2（S5+S6）=2×8=16，
故答案为：B.
【分析】连接CE，先求出S△PEC=S矩形BCEF，S△ABF=S△DCE，从而可得S1+S2+S3+S6=S4+S6，再计算即可.
8．（2023八上·吉林期中）把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，AB是正六边形的对角线，则∠α等于（ ）
A．72° B．84° C．88° D．90°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
则，
，
∴，
故答案为：B.
【分析】结合图形，利用正五边形、正六边形内角和的计算方法计算求解即可。
二、填空题
9．（2023·上海）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ．
【答案】18
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：n=360÷20=18，
即这个正多边形的边数为18，
故答案为：18.
【分析】根据题意先求出n=360÷20=18，再求解即可。
10．（2023七下·吴江期末）如图，以为一边在正五边形内作正方形，则 度．
【答案】18
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=
∵四边形ABMN是正方形，
∴∠ABM=90°.
∴
故答案为：18.
【分析】先求出∠ABC，再求出∠ABM，利用求解.
11．（2023九上·北京市期中）若正六边形的半径等于4，则它的边心距等于 .
【答案】
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠OAD= 60° ，
∴OD= 0A.sin∠OAB=4x = .
故答案为： .
【分析】由题意画出图形，根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可.
12．（2023八上·临江期中） 如图，是边长为a的等边三角形纸张，现将各角剪去一个三角形，使得剩下的六边形PQRSTU为正六边形，则此正六边的周长等于 .
【答案】2a
【知识点】等边三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】如图所示
六边形PQRSTU为正六边形
同理BU=UT
故填：2a
【分析】根据正六边形的性质，正六边形各边长都相等，等边三角形被平行与底边的线段截取后仍是等边三角形，小等边三角形的边长和正六边形的边长相同，观察图形可知，3倍的正六边形边长是a，至此，正六边形的边长和周长都可以求取。
13．（2023八上·长春期中）如图，在同一平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形，正六边形的一边重合并叠在一起，卿∠3+∠1-∠2的大小为 度
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正三角形的每一个内角为60°、正方形的每一个内角为90°、正五边形的每一个内角为108°，正六边形 的每一个内角为120°，
故答案为：.
【分析】先求出正三角形、正方形、正五边形，正六边形的每一个内角的度数，进而求得 ∠1、∠2、∠3的度数，从而求解.
三、解答题
14．（2023八上·赣州期中）（1）求正十边形的每个内角的度数；
（2）一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形
【答案】（1）解：∵正十边形的内角和为，
∴正十边形的每个内角是.
（2）解：设这个多边形为n边形，
由题意得：，
解得，
∴这个多边形为三角形..
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）先根据多边形的内角和公式即可得到正十边形的内角和，进而得到每个内角的度数；
（2）设这个多边形为n边形，根据多边形的内角即可求解。
15．（2023八上·赣州期中）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，且.
（1）求的度数；
（2）嘉嘉在判断“AB与ED的位置关系”时，给出了如下的思路和结论：
思路：由六边形ABCDEF的内角都相等，知道六边形ABCDEF是正六边形，根据正六边形性质可求得结果. 结论：.
嘉嘉的思路 ▲ ，结论 ▲ （均选填“正确”或“错误”），请你完整给出本题的解题过程.
【答案】（1）解：六边形的内角和为：，
∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴每个内角的度数为：，
∵，四边形ABCD的内角和为360°，
∴；
（2）错误|正确
∵，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（2）由题意得嘉嘉的思路错误，结论正确，
故答案为：错误；正确
【分析】（1）先根据多边形的内角和得到六边形的内角和，进而得到每个内角的度数，再结合题意即可求解；
（2）先根据题意计算出∠EDA的度数，进而根据平行线的判定即可求解。
四、综合题
16．（2022八上·南宁期中）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上.
（1）请求出∠ABO度数
（2）请求出∠BOE的度数
【答案】（1）解：由题意得∠ABO=×(6-2) ×180°=120°；
（2）解：同理可得：∠DEO=108°，
∴∠OEB=180°-108°=72°，∠OBE=180°-120°=60°，
∴∠BOE=180°-72°-60°=48°.
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质；邻补角
【解析】【分析】（1）根据内角和公式(n-2)×180°结合正多边形的性质进行求解；
（2）同理可得∠DEO=108°，根据邻补角的性质求出∠OEB、∠OBE的度数，然后结合内角和定理进行计算.
17．（2022七下·长春期末）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数 3 4 5 6
α的度数
（2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 ．
（3）根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝ ．
【答案】（1）60°；45°；36°；30°
（2）
（3）10
【知识点】探索数与式的规律；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）解：正多边形每个内角的度数为．
；
；
正五边形的内角，；
正五边形的内角，．
（2）观察（1）中结论，
总结规律，则有．
（3）借助（2）中公式，有
，即
解得．
【分析】（1）先计算正多边形每一内角的度数，再根据三角形内角和求出
（2）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的；
（3）根据（2）中角α与边数n的关系可得答案。
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