2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.7.1 弧长与扇形面积 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·滨江期末）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A．24 B．22 C．12 D．6
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，即，解得.
故答案为：A
【分析】根据S扇形=lr进行计算可得r的值.
2．（2023九上·拱墅月考）若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则这条弧长为（ ）
A． B．π C． D．2π
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长==.
故答案为：C.
【分析】根据弧长公式l=，其中n指弧所对的圆心角的度数，r指圆的半径.
3．（2016·宜宾）半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S= =12π，
故选：D．
【分析】根据扇形的面积公式S= 计算即可．本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S= 是解题的关键．
4．如图，⊙O的半径为5，是△ABC的外接圆．若∠ABC=25°，则劣弧AC的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ ∠ABC=25° ，
∴∠AOC=2∠ABC=50°，
∴ 劣弧AC的长为=，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理求出∠AOC的度数，再利用弧长公式计算即可.
5．（2021九上·嘉兴期末）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A．π B． 2π C． 3π D．4π
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为60°。
∴此扇形的弧长是.
故答案为：A.
【分析】利用扇形的弧长公式：，再将n=60°，R=3代入计算可求解。
6．（2023九上·无为月考）如图，在一个圆形转盘中，标有黄、红、绿的三个扇形的圆心角度数分别为、、．让转盘自由转动，转盘停止后指针（若指针落在分界线上，则重新转动转盘）落在红扇形的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】由题意可得：转盘停止后指针（落在红扇形的概率是
故答案为：B.
【分析】利用红色区域面积除以整个圆的面积即可得到红色区域的占比，从而求解.
7．（2023九上·淮南月考）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在弧上，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，弧BC所在的圆心为O，连接OB，OC，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠BOC=2∠BAC=45°，
∵OB=，
∴的长为.
故答案为：B.
【分析】如图，弧BC所在的圆心为O，连接OB，OC，利用圆周角定理求出∠BOC的度数，利用勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可.
8．（2023九上·石家庄月考）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】根据题意可得：BC=7.5，∠A=30°，∠ACB=60°，
∴AC=2BC=15cm，∠ACA'=180°-60°=120°，
∴点A从开始到结束所经过的路径长为弧AA'的长，
∴弧A'A=，
故答案为：A.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AC=2BC=15cm，∠ACA'=180°-60°=120°，再利用弧长公式求解即可.
二、填空题
9．（2023九上·乐清期中）若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为 ．
【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长==2π.
故答案为：2π.
【分析】根据弧长的计算公式，l=，其中n指圆心角的度数.
10．（2023九上·瓯海期中）如图，ABCD是正方形，边长为2，以B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影面积为 ．
【答案】4-π
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为2，
∴．
故答案为：．
【分析】根据割补法求面积得，然后根据扇形和正方形面积公式，进行计算即可．
11．
（1）已知圆的半径为4cm，则120°的圆心角所对的弧长为 .
（2）已知圆弧长为2πcm，弧的度数为40°，则弧所在圆的半径为 .
（3）已知圆弧长为6πcm，弧所在圆的半径为6cm，则弧所对圆周角的度数为 .
【答案】（1）πcm
（2）9cm
（3）90°
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：（1） 弧长为=cm，
（2）由l=得 2π=，
∴R=9cm，
（3）由l=得6π=，
解得：n=90°，
故答案为：πcm，9cm，90°.
【分析】根据弧长公式l=分别求解即可.
12．（2021·平房模拟）一个扇形的面积是 ，圆心角是120°，则此扇形的半径是 cm．
【答案】3
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设这个扇形的半径是rcm．
根据扇形面积公式，得： ，
整理得：
解得：r＝±3（负值舍去），即r＝3，
故答案为：3．
【分析】利用扇形的面积计算公式直接代入计算即可．
13．（2021·武威）如图，从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形，则此扇形的面积为 .
【答案】2π
【知识点】勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接
为圆的直径，
故答案为：2π
【分析】连接由圆周角定理可得AC为圆的直径，利用勾股定理求出根据扇形公式计算即可.
三、解答题
14．（2023九上·安吉月考）如图，在中，，以腰为直径画半圆，分别交，于点D，E．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积．
【答案】（1）解：解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）在圆中，直径所对的圆周角为直角，连接AD，则AD⊥BC，由AB=AC，根据等腰三角形“三线合一”可知，AD是∠BAC的平分线，故∠BAD=∠CAD，BD =DE ，BD=DE.
(2)S弓形=S扇形-S△，要求弓形的面积，先求扇形和三角形的面积；连接OE，由已知可得△AOE是等边三角形，扇形OAE是60°的扇形，根据题中所给数据，求出即可，
15．（2023九上·淮南月考）已知是圆O的直径，半径于点E，的度数为．
（1）求证：；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接
∵
∴
∴
又
是等边三角形，
∴
∴是菱形，
∴
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接，易证△OCD、△ODB是等边三角形，可得，从而证得四边形OCDB是菱形，利用菱形的性质即得结论；
（2）根据等边三角形的性质可得，，利用勾股定理求出CE的长，根据进行计算即可.
四、综合题
16．（2021·黄冈模拟）如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接 .
（1）求证； ；
（2）若 ，求扇形 （阴影部分）的面积.
【答案】（1）解：证明； 是 的直径，弦 ，
，
（2）解： ，
为等边三角形，
，
，
是 的直径，弦 ， ，
，
在 中， ，
∴扇形 （阴影部分）的面积 .
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC 为等边三角形，求出∠AOC ，根据正弦的定义求出OC ，利用扇形面积公式计算即可.
17．（2017·南京模拟）已知：如图，已知⊙O的半径为1，菱形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，且CD与⊙O相切．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）求阴影部分面积．
【答案】（1）证明：连结OB、OD、OC，
∵ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∵OC=OC，OD=OB，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC=∠OBC，
∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD，
∴∠OBC=∠ODC=90°，
即OB⊥BC，点B在⊙O上，
∴BC与⊙O相切．
（2）解：∵ABCD是菱形，
∴∠A=∠DCB，
∵∠DOB与∠A所对的弧都是 ，
∴∠DOB=2∠A，
由（1）知∠DOB+∠C=180°，
∴∠DOB=120°，∠DOC=60°，
∵OD=1，∴OC=2，DC=
∴S阴影=2S△DOC﹣S扇形OBD=2× ×1× ﹣ = ﹣ π．
【知识点】菱形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连结OB、OD、OC，只要证明△OCD≌△OCB，推出∠ODC=∠OBC，由CD与⊙O相切推出OD⊥CD，推出∠OBC=∠ODC=90°，由此即可证明；（2）根据S阴影=2S△DOC﹣S扇形OBD计算即可；
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.7.1 弧长与扇形面积 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023九上·滨江期末）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A．24 B．22 C．12 D．6
2．（2023九上·拱墅月考）若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则这条弧长为（ ）
A． B．π C． D．2π
3．（2016·宜宾）半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
4．如图，⊙O的半径为5，是△ABC的外接圆．若∠ABC=25°，则劣弧AC的长为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2021九上·嘉兴期末）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A．π B． 2π C． 3π D．4π
6．（2023九上·无为月考）如图，在一个圆形转盘中，标有黄、红、绿的三个扇形的圆心角度数分别为、、．让转盘自由转动，转盘停止后指针（若指针落在分界线上，则重新转动转盘）落在红扇形的概率是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023九上·淮南月考）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在弧上，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·石家庄月考）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·乐清期中）若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为 ．
10．（2023九上·瓯海期中）如图，ABCD是正方形，边长为2，以B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影面积为 ．
11．
（1）已知圆的半径为4cm，则120°的圆心角所对的弧长为 .
（2）已知圆弧长为2πcm，弧的度数为40°，则弧所在圆的半径为 .
（3）已知圆弧长为6πcm，弧所在圆的半径为6cm，则弧所对圆周角的度数为 .
12．（2021·平房模拟）一个扇形的面积是 ，圆心角是120°，则此扇形的半径是 cm．
13．（2021·武威）如图，从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形，则此扇形的面积为 .
三、解答题
14．（2023九上·安吉月考）如图，在中，，以腰为直径画半圆，分别交，于点D，E．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积．
15．（2023九上·淮南月考）已知是圆O的直径，半径于点E，的度数为．
（1）求证：；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
四、综合题
16．（2021·黄冈模拟）如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接 .
（1）求证； ；
（2）若 ，求扇形 （阴影部分）的面积.
17．（2017·南京模拟）已知：如图，已知⊙O的半径为1，菱形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，且CD与⊙O相切．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）求阴影部分面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，即，解得.
故答案为：A
【分析】根据S扇形=lr进行计算可得r的值.
2．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长==.
故答案为：C.
【分析】根据弧长公式l=，其中n指弧所对的圆心角的度数，r指圆的半径.
3．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S= =12π，
故选：D．
【分析】根据扇形的面积公式S= 计算即可．本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S= 是解题的关键．
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ ∠ABC=25° ，
∴∠AOC=2∠ABC=50°，
∴ 劣弧AC的长为=，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理求出∠AOC的度数，再利用弧长公式计算即可.
5．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为60°。
∴此扇形的弧长是.
故答案为：A.
【分析】利用扇形的弧长公式：，再将n=60°，R=3代入计算可求解。
6．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】由题意可得：转盘停止后指针（落在红扇形的概率是
故答案为：B.
【分析】利用红色区域面积除以整个圆的面积即可得到红色区域的占比，从而求解.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，弧BC所在的圆心为O，连接OB，OC，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠BOC=2∠BAC=45°，
∵OB=，
∴的长为.
故答案为：B.
【分析】如图，弧BC所在的圆心为O，连接OB，OC，利用圆周角定理求出∠BOC的度数，利用勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】根据题意可得：BC=7.5，∠A=30°，∠ACB=60°，
∴AC=2BC=15cm，∠ACA'=180°-60°=120°，
∴点A从开始到结束所经过的路径长为弧AA'的长，
∴弧A'A=，
故答案为：A.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AC=2BC=15cm，∠ACA'=180°-60°=120°，再利用弧长公式求解即可.
9．【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长==2π.
故答案为：2π.
【分析】根据弧长的计算公式，l=，其中n指圆心角的度数.
10．【答案】4-π
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为2，
∴．
故答案为：．
【分析】根据割补法求面积得，然后根据扇形和正方形面积公式，进行计算即可．
11．【答案】（1）πcm
（2）9cm
（3）90°
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：（1） 弧长为=cm，
（2）由l=得 2π=，
∴R=9cm，
（3）由l=得6π=，
解得：n=90°，
故答案为：πcm，9cm，90°.
【分析】根据弧长公式l=分别求解即可.
12．【答案】3
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设这个扇形的半径是rcm．
根据扇形面积公式，得： ，
整理得：
解得：r＝±3（负值舍去），即r＝3，
故答案为：3．
【分析】利用扇形的面积计算公式直接代入计算即可．
13．【答案】2π
【知识点】勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接
为圆的直径，
故答案为：2π
【分析】连接由圆周角定理可得AC为圆的直径，利用勾股定理求出根据扇形公式计算即可.
14．【答案】（1）解：解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）在圆中，直径所对的圆周角为直角，连接AD，则AD⊥BC，由AB=AC，根据等腰三角形“三线合一”可知，AD是∠BAC的平分线，故∠BAD=∠CAD，BD =DE ，BD=DE.
(2)S弓形=S扇形-S△，要求弓形的面积，先求扇形和三角形的面积；连接OE，由已知可得△AOE是等边三角形，扇形OAE是60°的扇形，根据题中所给数据，求出即可，
15．【答案】（1）证明：连接
∵
∴
∴
又
是等边三角形，
∴
∴是菱形，
∴
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接，易证△OCD、△ODB是等边三角形，可得，从而证得四边形OCDB是菱形，利用菱形的性质即得结论；
（2）根据等边三角形的性质可得，，利用勾股定理求出CE的长，根据进行计算即可.
16．【答案】（1）解：证明； 是 的直径，弦 ，
，
（2）解： ，
为等边三角形，
，
，
是 的直径，弦 ， ，
，
在 中， ，
∴扇形 （阴影部分）的面积 .
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC 为等边三角形，求出∠AOC ，根据正弦的定义求出OC ，利用扇形面积公式计算即可.
17．【答案】（1）证明：连结OB、OD、OC，
∵ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∵OC=OC，OD=OB，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC=∠OBC，
∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD，
∴∠OBC=∠ODC=90°，
即OB⊥BC，点B在⊙O上，
∴BC与⊙O相切．
（2）解：∵ABCD是菱形，
∴∠A=∠DCB，
∵∠DOB与∠A所对的弧都是 ，
∴∠DOB=2∠A，
由（1）知∠DOB+∠C=180°，
∴∠DOB=120°，∠DOC=60°，
∵OD=1，∴OC=2，DC=
∴S阴影=2S△DOC﹣S扇形OBD=2× ×1× ﹣ = ﹣ π．
【知识点】菱形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连结OB、OD、OC，只要证明△OCD≌△OCB，推出∠ODC=∠OBC，由CD与⊙O相切推出OD⊥CD，推出∠OBC=∠ODC=90°，由此即可证明；（2）根据S阴影=2S△DOC﹣S扇形OBD计算即可；
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