2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.7.1 弧长与扇形面积 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2017·临沭模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2 ，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
2．（2023九上·从江期中）如图所示，有一边长为6 cm的等边三角形ABC木块，点P是CA的延长线上的点，AP为15 cm，其中，，的圆心依次为A，B，C，则曲线PDFE的长是（ ）
A．18π cm B．15π cm C．20π cm D．21π cm
3．（2023九上·平山期中） 如图，是的外接圆，D是的中点.若，的半径为5，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积是（ ）
A．100πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．800πcm2
5．（2023九上·乐清期中）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD＝9，AD＝6，则的长为（ ）
A． B．3π C． D．
6．（2023九上·鹿城月考）如图，在矩形中，是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当运动时，也随之运动．若从运动到，则点经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·乐清期中）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD=9，AD=6，则的长为（ ）
A．π B．3π C．π D．π
8．（2023九上·高安月考）如图，在中，，半径为6的与相切于点，与交于点，连接，，，有下列结论：①平分；②；③若，扇形的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④
二、填空题
9．（2022九上·南岗月考）一个扇形的半径是，圆心角是，则此扇形的面积是 ．
10．如图，半圆的直径AB=4，C，D是半圆的三等分点，则弦，与弧围成的阴影部分的面积是 ．
11．（2021九上·下城期末）如图，折扇的骨柄长为30cm，扇面宽度为18cm，折扇张开的角度为120°，则扇面外端 的长为 cm，折扇扇面的面积为 .（结果保留 ）
12．（2023九上·高安月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切，点，在上，它们的横坐标分别是0，18，若沿着轴作无滑动的滚动，当点第一次落在轴上时，此时点的坐标是 ．
13．（2023九上·浙江期中）量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图(如图2)。已知点C是量角器半圆弧的中点，点P为三角板的直角顶点，两直角边PE、PF分别过点A、B．连结CP，过点O作OM⊥CP交CP于点M，交AP于点N若AB=8，则NB的最小值为 ；若点Q为的中点，则点P从点Q运动到点B时，N点的运动路径长为 .
三、解答题
14．弯制管道时，先按中心计算“展直长度”再下料，试计算图中所示管道的展直长度。（π≈3.14，单位：cm，精确到1cm，弯制管道的粗细不计）
15．（2023九上·平山期中）如图1，在正方形ABCD中，，点O与点B重合，以点O为圆心，作半径长为5的半圆O，交AB于点E，交AB的延长线于点F，点M，N是的三等分点（点M在点N的左侧）.将半圆O绕点E逆时针旋转，记旋转角为，旋转后，点F的对应点为点.
图1 图2 备用图
（1）如图2，在旋转过程中，当经过点N时.
①求的度数；
②求图中阴影部分的面积；
（2）在旋转过程中，若半圆O与正方形ABCD的边相切，请直接写出点A到切点的距离.
四、综合题
16．（2023·乌当模拟）已知正方形，，是对角线上任意一点．
（1）如图，以为边向右作等腰直角三角形，，连接，则和的数量关系是 ；
（2）如图，点在上，，，求的长为多少；
（3）为上任意一点不与，重合，作于，连接，为上一点，且，当点从点运动到点时，写出点运动的路径的长．
17．（2021九上·上城期中）已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E.
（1）求证：∠D＝∠ABC；
（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；
（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED= ，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，
∴OE=CE cot60°= × =1，OC=2OE=2，
∴S阴影=S扇形OCB﹣S△COE+S△BED= ﹣ OE×EC+ BE ED= ﹣ + = ．
故答案为：D．
【分析】因为AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，得到CE=ED= ，又∠CDB=30°，得到∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，OE=CE cot60°= 3 × =1，OC=2OE=2，所以S阴影=S扇形OCB﹣S△COE+S△BED=.
2．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】根据题意可得：∠FCE=∠DBF=∠PAD=120°，CF=3，BF=9，AP=15，
∴，，，
∴曲线PDFE的长=++=，
故答案为：A.
【分析】先利用弧长公式分别求出 ，， 的长，再相加即可.
3．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OC，
∵∠ABD=36°， D是的中点.
∴∠CBD=∠ABD=36°，
∴∠ABC=72°，
∴∠AOC=2∠ABC=144°，
∴的长度 =.
故答案为：B。
【分析】首先根据 ，D是的中点 ，可求得∠ABC=72°，再根据圆周角定理求得∠AOC=2∠ABC=144°，进而根据弧长计算公式即可得出 的长度 。
4．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：AD=AB-BD=30-20=10cm，
∵贴纸部分的面积=扇形BAC的面积-扇形DEA的面积，
即贴纸部分的面积为：cm2.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知，贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去小扇形的面积，结合扇形的面积公式进行计算即可．
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：取点D在⊙O上的对应点E，连接OA、OC、CE、BE、CD、AC，过C点作 CFAD于点F.
∵四边形ABEC内接于
∴∠A+ ∠E = 180°
∵点D在⊙O上的对应点为点E
由折叠的性质得出：∠BEC = ∠BDC
∵∠BDC+∠CDA =180°
∴∠E+∠CDA=180°
又∵∠A+ ∠E =180°
∴∠A= ∠ADC，
∴△ACD是等腰三角形
∵CFAD，AD = 6
∴AF=FD=AD=3
又∵BD=9
∴BF= BD+DF = 12
∵CFAD
∴△CFB是直角三角形
∵∠ABC=30°
∴在Rt△CFB中，CF= =
在Rt△AFC中，AC =
∵∠ABC=30°
∴∠AOC =60°
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形
∴OA=OC=AC=
∴的长=
故答案为：.
【分析】首先取点D在⊙O上的对应点E，连接OA、OC、CE、BE、CD、AC，过C点作 CFAD于点F，其次四边形ABEC内接于得出∠A+ ∠E =180°，由折叠的性质得出：∠BEC = ∠BDC，由此可得到∠A=∠ADC，证明出：△ACD是等腰三角形，由此可得出：AF=FD=AD=3，进而得出：BF= BD+DF = 12，然后通过解直角三角形CFB可求出CF的长，最后利用勾股定理求出AC的长，再证明出是直角三角形即可得出：OA=OC=AC=，利用弧长公式即可求出的长.
6．【答案】A
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，点C关于BP的对称点为C1，连接BC1，则BC1=BC，点C1在以B为圆心，BC为半径的圆上运动；当P在A处时，C1在E处，当P在D处时，C1在F处；所以点P从A运动到D，点C1的轨迹为的长；
在Rt△BCD中，BC=，CD=AB=1
∴tan∠DBC=
∴∠DBC=∠DBP=30°
∴∠EBF=120°
∴的长为
故答案为：A.
【分析】在轴对称变换中，对称线段与原线段长度相等，对应点在圆周上运动；此题先以以B为圆心BC为半径画圆，然后找到C1的起点和终点，可以看出C1的轨迹为的长；根据已知边长，可求得的圆心角度，再由弧长公式求出的长.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，作，连接、、、，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得AC=CD，，证得是等边三角形，作，通过等腰三角形的性质求得AE、DE的长度，再利用直角三角形的性质计算出CE的长度，进而通过勾股定理求得AC长，得到半径长度，然后利用弧长计算公式求得的长.
8．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，如图，∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，所以①正确；
故②正确；
当时，
∴扇形的面积，所以③错误；
当时，
∴，
∵平分，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，所以④正确．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理、切线的性质定理、菱形的判定和性质求解。连接，由切线的性质可得，则可证，所以，从而得到，则可对①进行判断；根据平行线的性质得到，加上，则可对②进行判断；当时，利用圆周角定理得到，由扇形的面积公式可对③进行判断；当时，利用圆周角定理得到，利用平分得到，然后证明和都是等边三角形，则可判断四边形为菱形，于是根据菱形的性质可对④进行判断．
9．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意，此扇形的面积，
故答案为：．
【分析】利用扇形面积公式求解即可。
10．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接CD．
根据题意，得AB∥CD，
∴S△AOC=S△COD
∴阴影部分的面积即是扇形OCD的面积=
故答案为： .
【分析】根据扇形的面积公式，用分割法把不规则图形的面积转化成规则图形的面积，进行计算。
11．【答案】；
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵OA=30cm，AC=18cm，
∴OC=12cm，
∵∠AOB=120°，
∴ = =20 .
=300 ，
=48 ，
∴ 300 -48 = .
故答案为：20 ， .
【分析】根据弧长计算公式l=可求出弧AB的长， 再根据扇形的面积公式分别求出大小两个扇形的面积，则折扇扇面的面积等于大扇形的面积和小扇形的面积之差.
12．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，过点P作轴于点，轴于点，
∵，
∴，
∵与x轴相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B的横坐标为，，
∴P、B在平行于x轴的直线上，即：，
∴，
∴的长为，
当点B第一次落在x轴上时，点P移动的距离为的长，
∴此时P点的坐标为：，
当沿着x轴向右作无滑动的滚动，的长度保持不变，
∴点A位置转动到如图所示的位置：
∵，
∴，
∴，即：，
同理，当沿着x轴向左作无滑动的滚动，则移动的距离为，
则P点的坐标为：
故答案为：或．
【分析】连接AP和PB，过点P作轴，轴，根据切线的性质、结合勾股定理求出A、B的坐标，当点B第一次落在x轴上时，点P移动的距离为的长，进而得到此时点P的坐标，根据旋转过程中的长度不变，确定点A的位置，求出A点的坐标即可．
13．【答案】；
【知识点】垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；弧长的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：当点P在弧上BC时，点N在线段OC的右侧，如图，连接AC、OC，
∵C是半圆弧的中点，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
作的外接圆，连接，则有圆心T为AC中点，
∵，
∴
∴NC=NP，
∴∠NPC=∠NCP=45°，
∴∠CNP=180°-∠PCN-∠CPN=90°，
∴，
∴点N在上，运动轨迹是弧OC，
过点T作TH⊥AB于H，
∵AB=8 ，
∴，
∵AO=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
在中，，
∵BN≥BT-TN，
∴，
∴BN的最小值为；
当点P在弧AC上时，如图，
可知点N在线段OC的左侧，此时的BN明显大于，
综上可知：BN的最小值为；
如图，连接，
∵，
∴，
∵点P从点Q运动到点B，点Q为弧BC的中点，
∴终点时，，
∴
∴，
∵，
∴点N在上，运动轨迹长为：.
故答案为：，．
【分析】如图，连接，证明点N在上，且运动轨迹是弧OC，过点T作于．求出BT，TN，可得结论；连接，结合图形可得，点P从点Q运动到点B，点Q为弧BC的中点，运动的终点时，，即，根据弧公式解答即可．
14．【答案】解：3.14×900×2×＋700×2
=2826×2×＋1400
=5652×＋1400
=1570＋1400
=2970（厘米）
答：图中所示管道的展直长度是2970厘米。
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】图中所示管道的展直长度=弧长＋半径×2，其中，弧长=π×半径×2×。
15．【答案】（1）解：①连接BN.
∵点M，N是弧EF的三等分点，∴，∴，即的度数为；（4分）
②（或）
（2）点A到切点的距离为3或或.
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：(2)∵当时，半圆O与AB相切，此时切点为E，
∴；
如图1，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，AR，并延长RO交AB于点T，
∴.
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形RCBT是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图2，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过点E作于点S，
∴.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形PAES是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴.
综上所述，点A到切点的距离为3或或
【分析】（1）①连接BN，根据点M，N是弧EF的三等分点，可得∠FBN=60°，再根据圆周角定理即可得出α=30°；
②根据，即可得出答案；
（2）可分类讨论：①半圆O与AB相切；②当半圆O与CD相切时；当半圆O与AD相切时三种情况，画出相应的几何图形，根据切线的性质即可得出答案。
16．【答案】（1）
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，
则，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
的长是．
（3）解：如图，于，
，
，
，，
∽，
，
，
∽，
，
作的外接圆，在上的下方取一点，连接、，
，
，
，
，
，
当点从点运动到点时，点在上从点运动到点，
点运动的路径的长为
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形
故答案为：
【分析】（1）根据正方形性质和勾股定理即可求出答案。
（2） 将绕点顺时针旋转，得到，连接， 则，可求出BD长和DE长，再根据全等三角形的判定定理可得≌，再根据全等三角形性质，角之间关系可得，再根据勾股定理即可求出答案。
（3）根据相似三角形判定定理可得∽，则，∽，可求出， 作的外接圆，在上的下方取一点，连接、， 根据圆周角性质，直角三角形性质，弧长定理即可求出答案，
17．【答案】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°
∴∠A+∠ABC＝90°
∵DO⊥AB，
∴∠A+∠D＝90°
∴∠D＝∠ABC.
（2）解：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCE，
∴∠OCE＝∠D.
而∠COE＝∠COD，
∴△OCE∽△ODC，
∴ ＝ ，即 ＝
∴y＝ （0＜x＜3）.
（3）解：设∠B＝a，则∠BCO＝a，
∵OE＝CE，
∴∠EOC＝∠BCO＝a
在△BCO中，a+a+90°+a＝180°，
∴a＝30°
∴S＝ ﹣ ﹣ ×32＝ ﹣ π.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由垂直的概念可得∠AOD=90°，然后由同角的余角相等就可得到结论；
（2）由等腰三角形性质得∠B＝∠OCE，由（1）得∠D=∠ABC，则∠OCE＝∠D，证△OCE∽△ODC，然后根据相似三角形的性质解答即可；
（3）设∠B＝a，则∠BCO＝a，由等腰三角形的性质可得∠EOC＝∠BCO＝a，在△BCO中，由内角和定理可得a，接下来根据S阴影=S△COD-S扇形进行计算即可.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.7.1 弧长与扇形面积 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2017·临沭模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2 ，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED= ，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，
∴OE=CE cot60°= × =1，OC=2OE=2，
∴S阴影=S扇形OCB﹣S△COE+S△BED= ﹣ OE×EC+ BE ED= ﹣ + = ．
故答案为：D．
【分析】因为AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，得到CE=ED= ，又∠CDB=30°，得到∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，OE=CE cot60°= 3 × =1，OC=2OE=2，所以S阴影=S扇形OCB﹣S△COE+S△BED=.
2．（2023九上·从江期中）如图所示，有一边长为6 cm的等边三角形ABC木块，点P是CA的延长线上的点，AP为15 cm，其中，，的圆心依次为A，B，C，则曲线PDFE的长是（ ）
A．18π cm B．15π cm C．20π cm D．21π cm
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】根据题意可得：∠FCE=∠DBF=∠PAD=120°，CF=3，BF=9，AP=15，
∴，，，
∴曲线PDFE的长=++=，
故答案为：A.
【分析】先利用弧长公式分别求出 ，， 的长，再相加即可.
3．（2023九上·平山期中） 如图，是的外接圆，D是的中点.若，的半径为5，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OC，
∵∠ABD=36°， D是的中点.
∴∠CBD=∠ABD=36°，
∴∠ABC=72°，
∴∠AOC=2∠ABC=144°，
∴的长度 =.
故答案为：B。
【分析】首先根据 ，D是的中点 ，可求得∠ABC=72°，再根据圆周角定理求得∠AOC=2∠ABC=144°，进而根据弧长计算公式即可得出 的长度 。
4．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积是（ ）
A．100πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．800πcm2
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：AD=AB-BD=30-20=10cm，
∵贴纸部分的面积=扇形BAC的面积-扇形DEA的面积，
即贴纸部分的面积为：cm2.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知，贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去小扇形的面积，结合扇形的面积公式进行计算即可．
5．（2023九上·乐清期中）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD＝9，AD＝6，则的长为（ ）
A． B．3π C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：取点D在⊙O上的对应点E，连接OA、OC、CE、BE、CD、AC，过C点作 CFAD于点F.
∵四边形ABEC内接于
∴∠A+ ∠E = 180°
∵点D在⊙O上的对应点为点E
由折叠的性质得出：∠BEC = ∠BDC
∵∠BDC+∠CDA =180°
∴∠E+∠CDA=180°
又∵∠A+ ∠E =180°
∴∠A= ∠ADC，
∴△ACD是等腰三角形
∵CFAD，AD = 6
∴AF=FD=AD=3
又∵BD=9
∴BF= BD+DF = 12
∵CFAD
∴△CFB是直角三角形
∵∠ABC=30°
∴在Rt△CFB中，CF= =
在Rt△AFC中，AC =
∵∠ABC=30°
∴∠AOC =60°
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形
∴OA=OC=AC=
∴的长=
故答案为：.
【分析】首先取点D在⊙O上的对应点E，连接OA、OC、CE、BE、CD、AC，过C点作 CFAD于点F，其次四边形ABEC内接于得出∠A+ ∠E =180°，由折叠的性质得出：∠BEC = ∠BDC，由此可得到∠A=∠ADC，证明出：△ACD是等腰三角形，由此可得出：AF=FD=AD=3，进而得出：BF= BD+DF = 12，然后通过解直角三角形CFB可求出CF的长，最后利用勾股定理求出AC的长，再证明出是直角三角形即可得出：OA=OC=AC=，利用弧长公式即可求出的长.
6．（2023九上·鹿城月考）如图，在矩形中，是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当运动时，也随之运动．若从运动到，则点经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，点C关于BP的对称点为C1，连接BC1，则BC1=BC，点C1在以B为圆心，BC为半径的圆上运动；当P在A处时，C1在E处，当P在D处时，C1在F处；所以点P从A运动到D，点C1的轨迹为的长；
在Rt△BCD中，BC=，CD=AB=1
∴tan∠DBC=
∴∠DBC=∠DBP=30°
∴∠EBF=120°
∴的长为
故答案为：A.
【分析】在轴对称变换中，对称线段与原线段长度相等，对应点在圆周上运动；此题先以以B为圆心BC为半径画圆，然后找到C1的起点和终点，可以看出C1的轨迹为的长；根据已知边长，可求得的圆心角度，再由弧长公式求出的长.
7．（2023九上·乐清期中）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD=9，AD=6，则的长为（ ）
A．π B．3π C．π D．π
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，作，连接、、、，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得AC=CD，，证得是等边三角形，作，通过等腰三角形的性质求得AE、DE的长度，再利用直角三角形的性质计算出CE的长度，进而通过勾股定理求得AC长，得到半径长度，然后利用弧长计算公式求得的长.
8．（2023九上·高安月考）如图，在中，，半径为6的与相切于点，与交于点，连接，，，有下列结论：①平分；②；③若，扇形的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，如图，∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，所以①正确；
故②正确；
当时，
∴扇形的面积，所以③错误；
当时，
∴，
∵平分，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，所以④正确．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理、切线的性质定理、菱形的判定和性质求解。连接，由切线的性质可得，则可证，所以，从而得到，则可对①进行判断；根据平行线的性质得到，加上，则可对②进行判断；当时，利用圆周角定理得到，由扇形的面积公式可对③进行判断；当时，利用圆周角定理得到，利用平分得到，然后证明和都是等边三角形，则可判断四边形为菱形，于是根据菱形的性质可对④进行判断．
二、填空题
9．（2022九上·南岗月考）一个扇形的半径是，圆心角是，则此扇形的面积是 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意，此扇形的面积，
故答案为：．
【分析】利用扇形面积公式求解即可。
10．如图，半圆的直径AB=4，C，D是半圆的三等分点，则弦，与弧围成的阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接CD．
根据题意，得AB∥CD，
∴S△AOC=S△COD
∴阴影部分的面积即是扇形OCD的面积=
故答案为： .
【分析】根据扇形的面积公式，用分割法把不规则图形的面积转化成规则图形的面积，进行计算。
11．（2021九上·下城期末）如图，折扇的骨柄长为30cm，扇面宽度为18cm，折扇张开的角度为120°，则扇面外端 的长为 cm，折扇扇面的面积为 .（结果保留 ）
【答案】；
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵OA=30cm，AC=18cm，
∴OC=12cm，
∵∠AOB=120°，
∴ = =20 .
=300 ，
=48 ，
∴ 300 -48 = .
故答案为：20 ， .
【分析】根据弧长计算公式l=可求出弧AB的长， 再根据扇形的面积公式分别求出大小两个扇形的面积，则折扇扇面的面积等于大扇形的面积和小扇形的面积之差.
12．（2023九上·高安月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切，点，在上，它们的横坐标分别是0，18，若沿着轴作无滑动的滚动，当点第一次落在轴上时，此时点的坐标是 ．
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，过点P作轴于点，轴于点，
∵，
∴，
∵与x轴相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B的横坐标为，，
∴P、B在平行于x轴的直线上，即：，
∴，
∴的长为，
当点B第一次落在x轴上时，点P移动的距离为的长，
∴此时P点的坐标为：，
当沿着x轴向右作无滑动的滚动，的长度保持不变，
∴点A位置转动到如图所示的位置：
∵，
∴，
∴，即：，
同理，当沿着x轴向左作无滑动的滚动，则移动的距离为，
则P点的坐标为：
故答案为：或．
【分析】连接AP和PB，过点P作轴，轴，根据切线的性质、结合勾股定理求出A、B的坐标，当点B第一次落在x轴上时，点P移动的距离为的长，进而得到此时点P的坐标，根据旋转过程中的长度不变，确定点A的位置，求出A点的坐标即可．
13．（2023九上·浙江期中）量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图(如图2)。已知点C是量角器半圆弧的中点，点P为三角板的直角顶点，两直角边PE、PF分别过点A、B．连结CP，过点O作OM⊥CP交CP于点M，交AP于点N若AB=8，则NB的最小值为 ；若点Q为的中点，则点P从点Q运动到点B时，N点的运动路径长为 .
【答案】；
【知识点】垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；弧长的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：当点P在弧上BC时，点N在线段OC的右侧，如图，连接AC、OC，
∵C是半圆弧的中点，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
作的外接圆，连接，则有圆心T为AC中点，
∵，
∴
∴NC=NP，
∴∠NPC=∠NCP=45°，
∴∠CNP=180°-∠PCN-∠CPN=90°，
∴，
∴点N在上，运动轨迹是弧OC，
过点T作TH⊥AB于H，
∵AB=8 ，
∴，
∵AO=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
在中，，
∵BN≥BT-TN，
∴，
∴BN的最小值为；
当点P在弧AC上时，如图，
可知点N在线段OC的左侧，此时的BN明显大于，
综上可知：BN的最小值为；
如图，连接，
∵，
∴，
∵点P从点Q运动到点B，点Q为弧BC的中点，
∴终点时，，
∴
∴，
∵，
∴点N在上，运动轨迹长为：.
故答案为：，．
【分析】如图，连接，证明点N在上，且运动轨迹是弧OC，过点T作于．求出BT，TN，可得结论；连接，结合图形可得，点P从点Q运动到点B，点Q为弧BC的中点，运动的终点时，，即，根据弧公式解答即可．
三、解答题
14．弯制管道时，先按中心计算“展直长度”再下料，试计算图中所示管道的展直长度。（π≈3.14，单位：cm，精确到1cm，弯制管道的粗细不计）
【答案】解：3.14×900×2×＋700×2
=2826×2×＋1400
=5652×＋1400
=1570＋1400
=2970（厘米）
答：图中所示管道的展直长度是2970厘米。
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】图中所示管道的展直长度=弧长＋半径×2，其中，弧长=π×半径×2×。
15．（2023九上·平山期中）如图1，在正方形ABCD中，，点O与点B重合，以点O为圆心，作半径长为5的半圆O，交AB于点E，交AB的延长线于点F，点M，N是的三等分点（点M在点N的左侧）.将半圆O绕点E逆时针旋转，记旋转角为，旋转后，点F的对应点为点.
图1 图2 备用图
（1）如图2，在旋转过程中，当经过点N时.
①求的度数；
②求图中阴影部分的面积；
（2）在旋转过程中，若半圆O与正方形ABCD的边相切，请直接写出点A到切点的距离.
【答案】（1）解：①连接BN.
∵点M，N是弧EF的三等分点，∴，∴，即的度数为；（4分）
②（或）
（2）点A到切点的距离为3或或.
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：(2)∵当时，半圆O与AB相切，此时切点为E，
∴；
如图1，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，AR，并延长RO交AB于点T，
∴.
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形RCBT是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图2，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过点E作于点S，
∴.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形PAES是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴.
综上所述，点A到切点的距离为3或或
【分析】（1）①连接BN，根据点M，N是弧EF的三等分点，可得∠FBN=60°，再根据圆周角定理即可得出α=30°；
②根据，即可得出答案；
（2）可分类讨论：①半圆O与AB相切；②当半圆O与CD相切时；当半圆O与AD相切时三种情况，画出相应的几何图形，根据切线的性质即可得出答案。
四、综合题
16．（2023·乌当模拟）已知正方形，，是对角线上任意一点．
（1）如图，以为边向右作等腰直角三角形，，连接，则和的数量关系是 ；
（2）如图，点在上，，，求的长为多少；
（3）为上任意一点不与，重合，作于，连接，为上一点，且，当点从点运动到点时，写出点运动的路径的长．
【答案】（1）
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，
则，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
的长是．
（3）解：如图，于，
，
，
，，
∽，
，
，
∽，
，
作的外接圆，在上的下方取一点，连接、，
，
，
，
，
，
当点从点运动到点时，点在上从点运动到点，
点运动的路径的长为
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形
故答案为：
【分析】（1）根据正方形性质和勾股定理即可求出答案。
（2） 将绕点顺时针旋转，得到，连接， 则，可求出BD长和DE长，再根据全等三角形的判定定理可得≌，再根据全等三角形性质，角之间关系可得，再根据勾股定理即可求出答案。
（3）根据相似三角形判定定理可得∽，则，∽，可求出， 作的外接圆，在上的下方取一点，连接、， 根据圆周角性质，直角三角形性质，弧长定理即可求出答案，
17．（2021九上·上城期中）已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E.
（1）求证：∠D＝∠ABC；
（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；
（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°
∴∠A+∠ABC＝90°
∵DO⊥AB，
∴∠A+∠D＝90°
∴∠D＝∠ABC.
（2）解：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCE，
∴∠OCE＝∠D.
而∠COE＝∠COD，
∴△OCE∽△ODC，
∴ ＝ ，即 ＝
∴y＝ （0＜x＜3）.
（3）解：设∠B＝a，则∠BCO＝a，
∵OE＝CE，
∴∠EOC＝∠BCO＝a
在△BCO中，a+a+90°+a＝180°，
∴a＝30°
∴S＝ ﹣ ﹣ ×32＝ ﹣ π.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由垂直的概念可得∠AOD=90°，然后由同角的余角相等就可得到结论；
（2）由等腰三角形性质得∠B＝∠OCE，由（1）得∠D=∠ABC，则∠OCE＝∠D，证△OCE∽△ODC，然后根据相似三角形的性质解答即可；
（3）设∠B＝a，则∠BCO＝a，由等腰三角形的性质可得∠EOC＝∠BCO＝a，在△BCO中，由内角和定理可得a，接下来根据S阴影=S△COD-S扇形进行计算即可.
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