1.1周期变化 同步练习（含解析）

1.1周期变化同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．21
2．探索下图所呈现的规律,判断2 015至2 017箭头的方向是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数图像中，不具有周期性的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向．如图所示，月相变化的周期为天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间为（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
5．已知定义在R上的函数满足，，且当时，，若直线与曲线恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（ ）
A．，（） B．，（）
C．，（） D．，（）
6．已知函数的图象关于直线对称，且对都有当时，.则（ ）
A． B．1 C．2 D．
7．如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在的运动过程中，经历的时间是（ ）
A． B．T C． D．
8．在中与终边相同的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
9．奇函数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的一个周期为2 B．
C．为偶函数 D．为奇函数
10．已知为偶函数，且恒成立．当时．则下列四个命题中，正确的是（ ）
A．的周期是 B．的图象关于点对称
C．当时， D．当时，
11．一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（ ）
A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方
C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米
D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米
12．下列函数图象中具有周期性的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．如图所示，已知函数的图像与轴的交点中，离轴最近的是点，点为图像的一个最高点，若点均在函数的图像上，则 ．

14．十字路口处红绿灯亮灭的情况如下：1分钟亮绿灯；接着10秒亮黄灯；再接着1分钟亮红灯；10秒亮黄灯；1分钟亮绿灯；10秒亮黄灯， ……，则某人开始亮绿灯时，过路口，10分钟后又到此路口，此时应该亮 灯．
15．已知函数周期为1，且当时，，则 .
16．已知奇函数y=f(x)(x∈R)，且f(x)=f(x+4)，f(1)=2，则函数f(x)的周期为 ，f(2)+f(3)+f(4)= .
四、解答题
17．周期函数的图象如图．

(1)求函数的最小正周期；
(2)写出函数的解析式．
18．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，画出点P的运动轨迹，并讨论是否为周期函数．如果是，指出周期；如果不是，请说明理由．
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．

19．如图，一个质点在平衡位置点O附近摆动，如果不计阻力，可将这个摆动看作周期运动．它离开点O向右运动4s后第1次经过点M，再过2s第2次经过点M．该质点再过多长时间第3次经过点M？

20．古希腊数学家毕达哥拉斯的故事：一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(分别标记为)，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个，才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束处罚吗？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据条件，得到函数的周期为，再根据条件得出时，，从而得出，再利用周期性及图像即可求出结果.
【详解】因为，令，得到，
所以，从而有，又函数是定义在上的奇函数，
所以，即，所以函数的周期为，
令，则，又当时，，
所以，得到，
故，又，所以在上的图像如图，
又当时，由，得到，当，由，得到，即，
又，所以，
，，
又由，得到，即，
所以，
再结合图像知，在上的零点个数为21个，
故选：D.
2．D
【分析】根据探索图所呈现的规律，找出探索图的周期，进而即得.
【详解】观察题图可知每增加4个数字就重复相同的位置，而，
则2 015 至2 017箭头的方向与3至5箭头的方向是相同的.
故选：D.
3．C
【分析】根据周期函数图像的特点，即图像具有重复性，即可判断出答案．
【详解】因为C选项中之间的图像在前后都没有重复出现，
所以C选项的函数图像不具有周期性，
故选：C．
4．B
【分析】根据所给信息分析即可.
【详解】由题图知，地球从到用时天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期．
故选：B
5．A
【分析】根据函数的奇偶性与周期性作出函数图像，数形结合解决交点问题.
【详解】函数满足，，所以函数为偶函数且周期为2，
当时，，则函数图像如图所示：
若直线斜率为1，在轴上截距为，当直线过点时，，
时，当直线与曲线相切，设切点坐标为，
由，，，切点坐标为，此时，
由图像可知，时，直线与曲线恰有三个公共点，
由函数周期为2，实数a的取值的集合为，（）
故选：A
6．D
【分析】由已知可得，由此证明函数的周期性，确定其周期，再利用周期性的性质确定.
【详解】函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
，
取可得，
∴
又对有，
取可得，
所以.，，
，
，即，
的周期.
故选：D.
7．B
【分析】利用周期的特点判断.
【详解】整个运动刚好是一个周期，
所以经历的时间是一个周期T，
故选：B
8．C
【解析】根据终边相同的角的定义即可求解.
【详解】解：与 ′终边相同的角可表示为：，，
由，，
解得：.
故选：C．
9．ACD
【分析】由得的对称轴为，结合的奇函数性质对选项逐一辨析即可.
【详解】，的对称轴为，
，∴，A正确；
，故，，
关于时称，故，B错误；
，偶函数，C正确；
，为奇函数，D正确，
故选：ACD.
10．ACD
【分析】由可以得出函数的周期，判断选项A；由于又是偶函数，可以推出函数的对称性，判断选项B；是偶函数及周期性，判断选项C，D.
【详解】由得，，所以的周期是．A正确．
因为是偶函数，所以就是，即，所以的图象关于直线对称．B不正确．
根据偶函数的对称性，C显然正确．
当时，，则，即；
当时，，则，即．
所以D正确．
故选：ACD．
11．ABC
【分析】结合周期性以及角度判断出正确答案.
【详解】设水面为，
过作直径，垂足为，
依题意米，所以，，
第一次到达最高点需要的时间为秒，A选项正确.
根据对称性可知，由运动到，需要时间秒，B选项正确.
当水轮转动秒时，位置与秒时相同，
秒转过的角度为，
如图中的位置，其中，故此时在水面上方，距离水面的距离等于米，C选项正确.
当水轮转动秒时，位于的位置，距离水面米，D选项错误.
故选：ABC
12．ABD
【分析】由周期性的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】抓住周期变化的特点，重复性，可知A、B、D为周期函数.
对于C，图象不重复出现，故不合题意.
故选：ABD.
13．/
【分析】根据点在轴且在上解出点坐标，根据点为最高点且在上解出点坐标，根据点的横坐标得出与的关系，根据周期关系即可求出.
【详解】令，得，，
轴最近的是点，
，
令，得，，
当时，易得（舍去），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
14．绿
【分析】得到红绿灯的亮灭以秒为一个周期求解.
【详解】解：由题意知：红绿灯的亮灭以秒为一个周期，
因为 ，
所以是绿灯．
故答案为：绿
15．
【分析】根据函数的周期性，将x= 转换到 内即可.
【详解】由题意，函数 的周期为1， ；
故答案为： .
16． 4
【分析】根据函数的周期性、奇偶性求得正确答案.
【详解】由于的定义域是，且，
所以的周期为.
由于是定义在上的奇函数，所以，
所以，
，
，
由于，所以，
所以.
故答案为：；
17．(1)
(2)，，.
【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期；
（2）求出函数在上的解析式，再结合函数周期性的定义可求得函数的解析式.
【详解】（1）解：由图可知，函数的最小正周期为.
（2）解：当时，设，则，即；
当时，设，则，可得，即.
故当时，，
因为函数是以为最小正周期的周期函数，故对任意的，，
对任意的，当时，，
则.
因此，函数的解析式为，，.
18．轨迹见解析，是周期为4的函数.
【分析】分析的运动过程并判断是否存在周期，再画出其轨迹，即可确定是否为周期函数.
【详解】假设落在轴上时开始计时，下一次落在轴上，过程中四个顶点依次落在了轴上，
而相邻两个顶点距离为正方形边长，即为1，因此该函数周期为4.
考查正方形向右滚动时，点运动情况：
首先以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，
然后以为圆心，正方形对角线长为半径运动个圆，
最后以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，最终运动轨迹如下曲线：

由图知：是周期为4的函数.
19．18s
【分析】根据质点运动的对称性确定质点从O运动到两端所需的时间，再由周期性确定第3次经过M点所需的时间.
【详解】由对称性知：质点从O开始向右运动到最右侧需s，
故质点从O点向左运动到最左侧也需要5s，
结合题设，该质点第3次经过M点需要s.
20．第1 999个数的那根柱子标号为
【分析】通过所给的数据找出周期，根据周期推理即可.
【详解】
易知从“A”开始数，周期为12，而，
所以标号为G的柱子就是数到第1 999个数的那根柱子，
故答案为：第1 999个数的那根柱子标号为.
答案第1页，共2页
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