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中山市镇区高中2009届模拟试题一
数学（文科）试卷
命题单位：古镇高中数学备课组 时间：2009.2
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.)
1.已知复数，则在复平面内的对应点位于 ( )
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知平面向量＝,，若与垂直，则＝ （ ）
A.－1 B.1 C.－2 D.2
3．在等比数列中，，，则的值为 ( )
A．– 24 B．24 C．±24 D．–12
4．已知集合，则( )
A．R B． C． D．
5．有关命题的说法错误的是 （ ）
A.命题“若 则 ”的逆否命题为：“若, 则”；
B.“”是“”的充分不必要条件；
C.若为假命题，则p、q均为假命题；
D.对于命题：，使得，则：，均有
6. 函数 在内有零点，则实数的取值范围是 （ ）
A．（－1，2） B．（1，2） C．（－2，1） D．（－1，－2）
7. 的大小关系是 ( )
A． B. C． D．
8.如图，是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是 ( )
A．在区间（－2,1）上是增函数；
B．在区间（1,3）上是减函数；
C. 在区间（4,5）上是增函数；
D．当时，取极大值.
9．已知函数是定义域为上的偶函数,且.若在上是减函数,则在上是 （ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
10．函数，若（其中、均大于２），则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题: (本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．)
（一）必做题（11～13题）
11.已知，且第四象限的角，那么 =__________
12. 执行右边的程序框图，若，则输出的
．
13．满足约束条件，
则的最小值是__________ .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14.(极坐标与参数方程) 已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为__________.
15．（几何证明）如图所示，AB是半径等于3
的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延
长线交于点P,若PA=4，PC=5，则 ______
三、解答题：(本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
16（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数的单调减区间.
17.（本小题满分12分）
元旦期间，某商场举行抽奖促销活动，现有装有编号为1，2，3，4四个小球的抽奖箱，从中抽出一个小球，记下号码后放回抽奖箱，搅匀后再抽出一个小球，两个小球号码之和不小于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖。
（1）求中二等奖的概率；
（2）求中奖的概率；
18、（本小题满分14分）
已知为实数，函数，
（Ⅰ）若，求函数在上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若函数的图像上有与轴平行的切线，求的取值范围。
19．（本小题共14分）
已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.
(Ⅰ) 求四棱锥的体积；
(Ⅱ) 若是的中点，求证∥平面
(Ⅲ) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论．
20.( 本小题满分14分)
已知圆方程为：.
（Ⅰ）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;
（Ⅱ）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
21．（本小题满分14分）
已知数列中，，，其前项和满足（，）． （1）求数列的通项公式； （2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．
数学（文科）试卷评分标准
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分50分。)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A C C A D C A B
二、填空题: (本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题，考生只能从中选做一题)
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．）
16.（12分）
解：（Ⅰ）…………………3分
所以 …………………………………6分
（Ⅱ）解：由（），………………..9分
得（）
所以，减区间为（）…………………….12分
17.（12分）
解：抽出号码对为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），
（4， 3），（4，4）共16种，每个号码对被抽到是等可能的。……………3分
（1）两个小球号码之和等于6共有（2，4），（3，3），（4，2）共3种，故中二等奖的概率为 ……………………………………………………6分
（2）中一等奖的号码对为：（3，4），（4，3），（4，4）共3种 ………8分
中三等奖的号码对为：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种 …10分
故中将的概率为 ………………………………12分
18．（14分）
（Ⅰ）∵，
…………………3分
………………4分
得：
当 ……………………5分
当 ……………6分
因此，在区间内单调递减，而在内单调递减，
且
又 ，
，…10分
（Ⅱ）
函数的图像上有与轴平行的切线
∴有实数解 …………12分
∴
∴，
因此，所求实数的取值范围是 ………14分
19（14分）
解：(Ⅰ) 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，
侧棱底面，且. …３分
∴，
即四棱锥的体积为. ………5分
(Ⅱ) 连结、，
∵是正方形，
∴是的中点，且是的中点
∴
∴ …………9分
(Ⅲ)不论点在何位置，都有. ……10分
证明如下：∵是正方形，∴.
∵底面，且平面，∴.
又∵，∴平面.
∵不论点在何位置，都有平面.
∴不论点在何位置，都有. …………14分
20.（14分）
解：（Ⅰ）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为 ，满足题意……………2分
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即
设圆心到此直线的距离为，则，得
∴……………………………………………………5分
，故所求直线方程为
综上所述，所求直线为或………………………7分
（Ⅱ）设点的坐标为（），点坐标为
则点坐标是 ……………………………8分
∵，
∴ 即， ……………10分
又∵，∴
∴点的轨迹方 …………………………………13分
轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。…………………………14分
21．（ 14分）
解：（1）由已知，（，）， ……2分
即（，），且．
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．
∴．………………………………………………………………4分
（2）∵，∴，要使恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立．………………………………………………6分
（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，……………………………7分
当且仅当时，有最小值为1，
∴．……………………………………………………………9分
（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，…………………………10分
当且仅当时，有最大值，
∴．………………………………………………………………12分
即，又为非零整数，则．
综上所述，存在，使得对任意，都有．…………14分
P
A
C
D
O
否
输出
结束
输入p
是
开始
-2
3
－3
5
4
2
1
O
B
A
B
C
D
P
E
A
B
C
D
P
E
F
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2009年古镇高中高三文科数学模拟试题三
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1、一组数据中的每一个数据都减去80，得到新数据，若求得新数据和平均数是1.2，则原来数据的平均数是
A． B． C． D．不能确定
2、已知点与点关于直线对称，则直线的方程为
A． B． C． D．
3、设、是两个集合，定义，若，则
A． B． C． D．
4、已知函数，不等式的解集为，则函数的图象为
5、已知分段函数，求函数的函数值的程框图如图。
有两个判断框内要填写的内容分别是
A． B．
C． D．
6、直线与圆的位置关系是
A．相交 B．相离 C．相切或相离 D．相切或相交
7、如图，在正三角形中，、、分别是各边的中点，
、、、分别为、、、的中点，将
△沿折成，、三棱锥以后，与所成角
的度数为（ ）
A． B． C． D．
8、在△中，，，，则（ ）
A．或 B． C． D．
9、如图，设是半径为的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点，连结，则弦的长超过的概率为（ ）
A． B． C． D．
10、在数列中，， ，设为数列的前项和，则 ( )．
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上）
11．为了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了
n名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频
率分布直方图所示，且从左到右第一小组的频
数是100，则 。
12、已知复数与均是纯虚数，则 。
13、在△中，，，则△的外接圆半径为，将此结论类比到空间，类似的结论
。
▲ 14．选做题：在下面两道小题中选做一题，两道小题都选的只计算第14小题的得分。
（1）如图，中，，，于点，若，则的值为 。
（2）已知抛物线：，（为参数）设为坐标原点，点在上运动，点是线段的中点，则点的轨迹方程为 三、解答题：（共6小题）
15、（12分）已知。
（1）若，求的值；
（2）求的周期及递增区间。
16、（14分）一个多面体的直观图、主视图、侧视图、俯视图如下所示，
、分别为、的中点。
（1）求证：平面
（2）求证：平面
17、（12分）已知数列，前项和为，对于任意的 ，，、总成等差数列。
（1）求、、的值；（2）求通项。
18、（14分）某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，万件，万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模型替代该产品的月产量与月份的关系，模型函数可选用二次函数或，已知4月份该产品的产量为万件，请问：用以上哪个函数作模型较好 说明你的理由．
19、若函数，当时，函数有极值为，
（1）求函数的解析式；
（2）若有3个解，求实数的取值范围。（14分）
20、已知直线过与抛物线交于、两点，，为坐标原点，且满足，在轴右侧。
（1）求动点的轨迹的方程，
（2）试曲线的切线斜率为，满足，点到轴的距离为，求的取值范围。（14分）
2009年古镇高中高三文科数学（参考答案）
一、选择题：1、A2、A3、B4、B5、C6、D7、B8、D9、D10、A
二、填空题：11、1000 12、 13、三条侧棱、、两两互相垂直的三棱锥中，，则此三棱锥的外接球半径为 14、（1）8 （2）
三、解答题：
15、（1）∵， ∴， ………（2分）
∴，（ 4分），………（6分）
∴或
所求解集为 ………（8分）
（2）∵
∴ ………（10分）
∴ ………（12分）
求的周期为，
递增区间
16、解：解析：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且，，
(1)连结，。
由直三棱柱的性质得平面，所以，则
四边形为矩形．
由矩形性质得，过的中点
在中，由中位线性质，得，
又平面，平面，
所以平面。 (6分)
(2)因为平面，平面，所以，
在正方形：中，。
又因为，所以平面．
由，得平面． (14分)
17、解：（1）由题意知，
∴
由，可得 (6分)
（2）当时，∵
∴，两式相减得
∴ 为常数，
∴，，，…，成等比数列。
其中，∴ ………（12分）
18、解：设二次函数，则,解得
∴
将代入上式：
而对于，由已知，得：,解得
∴
将代入：
而4月份的实际产量为万件，相比之下，1.35比1.3更接近1.37.
∴选用函数作模型函数较好.
19、（1） ………（2分）
（1）由题意；，解得，
∴所求的解析式为 ………（6分）
（2）由（1）可得
令，得 或， ………（8分）
∴当时， ，当时， ，当时，
因此，当时， 有极大值，………（8分）
当时， 有极小值，………（10分）
∴函数的图象大致如图。
由图可知：。………（14分）
20、解：（1）直线与轴垂直时与抛物线交于一点,不满足题意.
设直线的方程为,代入得,
设、、
则,且，即或.
∴，为的中点.
∴
∴由或得或.由在轴右侧得.
轨迹的方程为.
（2）∵曲线的方程为。
∴ ∴ ，
，且
∴又，，
∴，
∴，∴
∴的取值范围为
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2009年古镇高中高三数学（文）模拟试卷二
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答案填涂在答题卡上
1、若不等式组的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2、如右图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量恒定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面高度与注水时间之间的函数关系大致是下列图像中的（ ）.
3、若，则在( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
4、若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是（ ）
A． B．
C． D．
5、函数是单调函数时，的取值范围（ ）
A． B． C ． D．
6、已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7、数列{}的前n项和为，若，则S5等于（ ）
A.1 B. C． D.
8、在所在的平面上有一点，满足，则点的位置是（ ）
A．在边上 B．在边上 C．在边上 D．在内部
9、函数是
A．非奇非偶函数 B．仅有最小值的奇函数
C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值又有最小值的偶函数
10、设、是上的可导函数，、分别为、的导函数，且，则当时，有
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案写在答题卷对应的空格上
11、已知，则 ．
12、已知函数若，则
13、数列中，，，可猜想它的通项公式是：
考生可从下面第14、15两道题中任选一道做答，若两道题全做答，则只按前一题计算得分．
14、以知圆的直径是圆周上一点（不同于点），
.
15、点分别是曲线和上的动点，则的最小值是
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．请将答案写在答题卷对应的位置上
16、（12分）已知数列{}的前n项和=n2-9n，
（1）求通项；（2）若它的第k项满足，求
17、（12分）已知函数的图象经过点和．
（1）求实数和的值；
（2）当为何值时，取得最大值
18、（14分）设函数，不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
19、（14分）已知
（1）若的图象有与轴平行的切线，求的取值范围；
（2）若在时取得极值，且恒成立，求的取值范围．
20、（14分）某公司有不多于60万元的资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司甲、乙两个项目分别投资多少资金后，在两个项目上可获得的最大利润？最大利润是多少？
21、（14分）设的内角所对的边长分别为，且，．
（1）求边长； （2）若的面积，求的周长．
2009年古镇高中高三数学试卷（文科）参考答案
1-5ABBCB 6-10 ACCDC
文：11、，12、或，13、，14、 15、1
16、解：
①ⅰ；ⅱ
又，所以由ⅰⅱ得
②得又
17、解：（1）∵函数的图象经过点和，
∴即 解得
（2）由（1）得．
∴当，即，
即时，取得最大值2．
18、（1）∵，即
由题设可得：，解得
（2）；由，得
则，∴原不等式的解集为
19、1）,由己知有实数解，∴，故
（2）由题意是方程的一个根，设另一根为
则，∴…………2分
∴，
当时，；
当时，；当时，
∴当时，有极大值；又，，
即当时，的最大值为
∵对时，恒成立，∴，∴或 故的取值范围是
20、设投资甲、乙两项目分别是万元，则利润为，依题意，得：
所表示范围如图阴影所示，各端点为A、B、C、D，
，所以当甲项目投资24万元，乙项目投资36万元时利润最大，最大利润是30.8万元。
21、（1）由与两式相除，有：，又
由知：， 所以，，
所以，解得．
（2）由==10，得到．
由余弦定理，得，解得：，
所以，的周长 ．
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