1.3弧度制 同步练习（含解析）

1.3弧度制同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环(如图1)后，制成了简易笔筒(如图2)的侧面，在它的轴截面中 ，，，则原扇形纸壳中扇形的圆心角为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．2 B．1 C． D．3
4．在中国古代扇子文化中，扇子绝不仅仅是纳凉用品，它更是装饰品、艺术品、身份地位的象征.如图扇形中，，， ，则弧形扇面的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（ ）
A． B． C． D．
6．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：.如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦AB的长，“矢”是指所在圆O的半径与圆心O到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O的直径.若扇形的弦，扇形的圆心角为，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．若一个扇形弧长的值与面积的值都是5，则这个扇形圆心角的大小是
B．已知，则
C．函数在其定义域上单调递减
D．若幂函数的图象过点，则
10．已知角与的终边相同，则角可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．该扇形面积的最小值为8
B．当扇形周长最小时，其圆心角为2
C．的最小值为9
D．的最小值为
12．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为
三、填空题
13．若扇形的周长为，面积为，则它的圆心角的弧度数为 .
14．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ．
15．如图，已知是等腰直角三角形，，，在平面内绕点逆时针旋转到，使C，B，在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 ．

16．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形（图中实线）就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法；先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，三段圆弧便围成了莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为，则 ，等边三角形的面积是 ．
四、解答题
17．已知扇形的半径，周长为，
(1)求扇形的面积；
(2)在区间上求出与此扇形的圆心角终边相同的角.
18．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径．
(1)当，求其弧所在弓形的面积．
(2)若该扇形的面积为，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长最小？最小值是多少？
19．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.
(1)若，，求扇形的弧长；
(2)己知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大
20．如图，圆心在原点、半径为R的圆交x轴正半轴于点A，P，Q是圆周上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周匀速运动.点P按逆时针方向每秒转，点Q按顺时针方向每秒转，求它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长.

21．已知一个扇形的周长为14，圆心角的弧度数为.
(1)求这个扇形的半径；
(2)求这个扇形的面积.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解.
【详解】设圆弧所对的圆心角为，因为半径为2的圆上长度为4，可得，所以.
故选：B.
2．B
【分析】易得图1中小扇形和大扇形的弧长设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为，再根据弧长公式即可得解.
【详解】由题意图1中小扇形的弧长为，大扇形的弧长为，
设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为，
所以，解得，
所以原扇形纸壳中扇形的圆心角为.
故选：B.
3．A
【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】设扇形的圆心角为，弧长为，半径为，
则周长，面积，
所以当时面积取得最大值为，
此时，对应.
故选：A
4．B
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得.
【详解】，扇形的面积为：，
扇形的面积为：，
所以弧形扇面的面积是：.
故选：B
5．B
【分析】根据给定的定义，结合圆的性质求出的“古典正弦”值.
【详解】由圆心角对应弧长，得圆心角弧度数绝对值为2，则，
所以.
故选：B
6．C
【分析】作出辅助线，计算出，，计算出两个扇形面积，相减后得到答案.
【详解】延长交于点，
根据题意，则，，则，
设扇形的面积为，扇形的面积为，
所以扇面的面积．
故选：C．
7．C
【分析】首先求阴影的边界表示的角的集合，再用不等式表示集合.
【详解】终边落在上的角为，终边落在上的角为，
故角的集合为.
故选：C
8．B
【分析】利用等腰三角形性质求出圆半径及点到弦的距离并求出，再由弧长公式求出的实际值即可计算得解.
【详解】取弧的中点，连接交于，则是的中点，且，
在等腰中，，则，圆半径，
，，因此，
而扇形弧长的实际值为，
所以该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为.
故选：B
9．AB
【分析】利用扇形的面积和弧长公式，计算圆心角判断选项A；由指数式与对数式的互化和对数式的运算规则求值，判断选项B；由反比例函数的单调性判断选项C；由幂函数的定义判断选项D.
【详解】对于A，设这个扇形的圆心角为，半径为r，
其弧长的值与面积的值都是5，，，解得，故A选项正确；
对于B，，，，则，故B选项正确；
对于C，，其定义域为，
由反比例函数的单调性可知，在和上都单调递减，但在定义域上不是单调递减的，故C选项不正确；
对于D，幂函数的图象过点，则有，
解得，故D选项不正确．
故选：AB．
10．BC
【分析】依题意，判断选项.
【详解】依题意，当时，，当时，，所以选项符合，选项不符合.
故选:.
11．BCD
【分析】由题意，知，则，对于选项ABC利用基本不等式可判断，对于选项D利用二次函数可解.
【详解】由题意，知，则，
所以扇形面积
，
当且仅当，即时，等号成立，选项A错误；
扇形周长为
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，圆心角为，选项B正确；
，
当且仅当，即时，等号成立，选项C正确；
,
当时，上式取得最小值为，选项D正确.
故选：BCD.
12．ACD
【分析】对于A,利用扇形面积计算公式进行计算即可；对于B，根据条件求得的值，利用公式计算即可；对于C，利用条件建立方程，解出即可；对于D，根据条件求得的值，利用公式计算即可.
【详解】对于A,所在的扇形的圆心角分别为,
所以，故A正确；
对于B，若，则，又，
则，故B错误；
对于C，若，
所以，故C正确；
对于D,若，，又，
所以，
故D正确，
故选：ACD.
13．
【分析】由扇形的面积公式和周长公式列方程，再由弧长公式解出即可.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
由题意可知，解得，
设扇形的圆心角为，则.
故答案为：
14．
【分析】利用扇形的弧长、面积公式计算即可.
【详解】由题意易知以点为圆心，圆弧所对的扇形面积各为，
中间等边的面积为，
所以莱洛三角形的面积是，周长为，
故面积与周长之比为．
故答案为：
15．
【分析】由图可知，分别计算即可.
【详解】如图：

由是等腰直角三角形，，，
所以，，
， ，
所以
.
故答案为：
16．
【分析】根据条件，利用弧长公式即可求出，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可.
【详解】由条件可知，弧长，
由，得三角形的边长.
在等边三角形中，边上的高为，
所以等边三角形的面积是.
故答案为：；.
17．(1)
(2)和
【分析】（1）根据扇形周长可求出弧长，利用面积公式即可求解；
（2）利用弧长公式求出圆心角，由终边相同的角即可求.
【详解】（1）设扇形的弧长为，因为，
由题意，扇形的周长为，
所以，
所以扇形的面积为.
（2）由（1）可知，圆心角，
故与终边相同的角的集合为，
中适合的元素有
，，
故在区间[0,4π]上与此扇形的圆心角终边相同的角为和.
18．(1)
(2)当扇形圆心角为，半径为时，该扇形的周长最小，最小为.
【分析】（1）由扇形面积公式可得扇形面积，再减去三角形面积即可得所求弓形面积；
（2）由扇形面积公式，得(定值)，利用基本不等式求周长即的最小值即可.
【详解】（1）
由题意，当时，扇形面积；
如图，扇形中，连接，则，
所以是正三角形，则，
故所求弓形面积为；
（2）设扇形弧长为，由已知扇形的面积，则，
则扇形的周长，
当且仅当，即时等号成立，
此时半径为，圆心角，该扇形的周长最小，最小为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．
（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解；
（3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可．
【详解】（1）由题意知，所以弧长.
（2）由题意得，解得（舍），，故扇形圆心角为.
（3）由题意知，
所以，
所以当时，取得最大值，此时，.
20．第五次相遇时的位置在点M处，M为角的终边与圆的交点，这时动点P，Q走过的弧长分别为，.
【分析】先求出点P，Q从点A出发到第五次相遇经过的时间，再计算出各自走过的弧长，进而求出点P转过的角度，得出它们出发后第五次相遇时的位置.
【详解】设点P，Q从点A出发到第五次相遇经过的时间为t秒，走过的弧长分别为，，
则，.
因为，即，
所以，从而，.
由此可知，动点P转过的角度为，
故第五次相遇时的位置在点M处，M为角的终边与圆的交点，
这时动点P，Q走过的弧长分别为，.
21．(1)4
(2)12
【分析】（1）设出扇形的半径和弧长，利用周长和圆心角列式求解即可；
（2）利用扇形面积公式直接求解即可.
【详解】（1）设这个扇形的半径为，弧长为，则，且，
解得，.
（2）这个扇形的面积.
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