2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（18.2）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．以下各组数据能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．，1， B．5，11，12 C．6，12，13 D．3，4，5
2．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）
A．第三边一定为10 B．三角形的周长为25
C．三角形的面积为48 D．第三边可能为10
3．中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在东偏南的方向，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
7．在中，的对边分别是．下列不能说明是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点、，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
10．如图，在矩形中，，，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长度为（ ）
A． B． C．或 D．9或
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为 时，这三条线段能组成一个直角三角形.
12．印度数学家什迦罗（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？如图所示：荷花茎与湖面的交点为O，点O距荷花的底端A的距离为0.5尺；被强风吹一边后，荷花底端与湖面交于点B，点B到点O的距离为2尺，则湖水深度的长是 尺．
13．如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则S△ABC＝ ．
14．如图，圆柱体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为 ．
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．已知△ABC中，点A（-2，-2），B（3，-2），C（0，2）
（1）在直角坐标系中，画出△ABC：
（2）求△ABC的面积．
16．若的三边长分别是a、b、c，且a、b、c满足，判断的形状．
17．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，求证：．
18．等边三角形△ABC，直线1过点C且垂直AC．
（1）请在直线1上作出点D，使得△ABD的周长最小．
（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，求证，AD＝2BD．
19．已知：如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地．若规划图设计中，，，，（单位m），每平方米绿化需要费用80元，此绿地共需费用多少元？
20．已知的三边长分别为，，，且的平方根分别是与，，是的整数部分．
(1)求的立方根；
(2)判断三角形的形状．
21．如图，在中，点B在边上，连接，已知．
(1)求证：；
(2)求和的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，∠BDC=45°，AB=13，BC=5．
（1）求BD的长；
（2）求AD的长．
23．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=_______，b=________，c=_______．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）请你观察下列四组勾股数：(3，4，5)；(5，12，13)；(7，24，25)；(9，40，41)，分析其中的规律，直接写出第五组勾股数_______．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（18.2）
一、单选题
1．以下各组数据能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．，1， B．5，11，12 C．6，12，13 D．3，4，5
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【详解】解：A、（）2+12≠（）2，故不为直角三角形；
B、52+112≠122，故不为直角三角形；
C、62+122≠132，故不为直角三角形；
D、32+42＝52，故为直角三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）
A．第三边一定为10 B．三角形的周长为25
C．三角形的面积为48 D．第三边可能为10
【答案】D
【详解】试题分析：分情况讨论：主要看两个数中较大的数的情况，8是斜边和8不是斜边两种情况求解．
①当8是斜边时，根据勾股定理得第三边是；
②当8是直角边时，第三边是；
故选D．
考点：本题考查的是勾股定理
点评：此类题重点注意哪一条边是斜边不确定，所以要分两种情况考虑．
3．中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误．
【详解】解：A、∵∠A+∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
3x+4x+5x=180，
解得：x=15，
则5x=75，
所以△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵a2=c2+b2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵a：b：c=3：4：5，
设a=3y，b=4y，c=5y，
∵（3y）2+（4y）2=（5y）2，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【详解】试题分析：因为a，b，c为三边，根据（a-b）（a2+b2-c2）=0，可找到这三边的数量关系．
∵（a-b）（a2+b2-c2）=0，
∴a=b或a2+b2=c2，
当a=b成立时，是等腰三角形，
当a2+b2=c2时，是直角三角形，
故选D.
考点：本题考查的是勾股定理的逆定理
点评：解答本题的关键是掌握两个数的积为0，则至少有一个数是0.
5．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在东偏南的方向，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方向角，可得∠1，∠2，根据角的和差，可得答案．
【详解】如图：
由题意，得：
∠1=54°，∠2=90°－75°=15°．
由余角的性质，得：
∠3=90°﹣∠1=90°﹣54°=36°．
由角的和差，得：
∠AOB=∠3+∠4+∠2=36°+90°+15°=141°．
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，利用方向角得出∠1，∠2是解答本题的关键．
6．以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
【答案】B
【分析】能否构成直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】（1）、52+122=132，能构成直角三角形，故正确；
（2）、102+122≠132，不能构成直角三角形，故错误；
（3）、72+242=252，能构成直角三角形，故正确；
（4）、62+82=102，能构成直角三角形，故正确．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7．在中，的对边分别是．下列不能说明是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理等知识．分别根据勾股定理逆定理，三角形内角和等知识逐项判断是否是直角三角形即可求解．
【详解】解：A.∵，，并且，∴，∴不是直角三角形，符合题意；
B.∵，，∴，∴，∴是直角三角形，不合题意；
C.∵，∴，即，∴是直角三角形，不合题意；
D.∵，， ∴，∴，∴，∴是直角三角形，不合题意．
故选：A
8．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，，，故A不正确，不符合题意；
B、，，故B不正确，不符合题意；
C、，，故C正确，符合题意；
D、，，故D不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
9．已知点、，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】根据点的坐标，分别计算OA、OB、AB的长度，可得OB=AB，利用勾股定理的逆定理可判定三角形为直角三角形，于是可判断是等腰直角三角形.
【详解】解：∵，，
∴，
，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故选：D.
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义，坐标与图形．判断三角形是否为直角三角形，先求出三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
10．如图，在矩形中，，，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长度为（ ）
A． B． C．或 D．9或
【答案】D
【分析】分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，当时，
矩形中，，
∴，
由折叠性质可得：，
∴，
设，则：
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴，
如图，当时，
∴，
由折叠性质可得：，
∴四边形为正方形，
∴，
综上，或，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是分两种情况考虑，画出对应图形．
二、填空题
11．已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为 时，这三条线段能组成一个直角三角形.
【答案】13或
【分析】已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形的斜边和直角边二种情况下的结果，然后根据勾股定理解答．
【详解】解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为=13；
当12为斜边时，第三条线段长为=；
故答案为13或．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并正确运用勾股定理逆定理是解题的关键，注意要分两种情况讨论．
12．印度数学家什迦罗（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？如图所示：荷花茎与湖面的交点为O，点O距荷花的底端A的距离为0.5尺；被强风吹一边后，荷花底端与湖面交于点B，点B到点O的距离为2尺，则湖水深度的长是 尺．
【答案】3.75
【分析】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形），再根据已知条件求解．
【详解】解：设水深尺，则荷花茎的长度为，
根据勾股定理得：
解得：．
答：湖水深3.75尺．
故答案为：3.75．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是根据已知条件得出直角三角形各边的长度，然后应用勾股定理即可求出湖水的深度．
13．如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则S△ABC＝ ．
【答案】126
【分析】在△ACD中，根据勾股定理逆定理判断出∠ADC=90°，在中利用勾股定理求得BD= 16，再利用面积公式求解可得．
【详解】解：在△ACD中，∵AD2+CD2＝122+52＝132＝AC2，
∴△ACD为直角三角形，其中∠ADC＝90°，
则△ABD是直角三角形，
∵AB＝20，
∴BD＝＝＝16，
则S△ABC＝ BC AD＝×（16+5）×12＝126，
故答案为：126．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
14．如图，圆柱体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为 ．
【答案】10cm
【分析】将圆柱沿过点A和点B的母线剪开，展开成平面，由圆柱路线可知小蚂蚁在水平方向爬行的路程等于个底面周长，从而求出解题中的AC，连接AB，根据两点之间线段最短可得小蚂蚁爬行的最短路程为此时AB的长，然后根据勾股定理即可求出结论．
【详解】解：将圆柱沿过点A和点B的母线剪开，展开成平面，由圆柱路线可知小蚂蚁在水平方向爬行的路程等于个底面周长，如下图所示：AC=1．5×4=6cm，连接AB，根据两点之间线段最短，
∴小蚂蚁爬行的最短路程为此时AB的长
∵圆柱体的高为8cm，
∴BC=8cm
在Rt△ABC中，AB=cm
故答案为：10cm．
【点睛】此题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，将圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短即可找出最短路径，然后利用勾股定理求值是解决此题的关键．
三、解答题
15．已知△ABC中，点A（-2，-2），B（3，-2），C（0，2）
（1）在直角坐标系中，画出△ABC：
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）10
【分析】（1）根据平面直角坐标系找出点A、B、C的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：（1）△ABC如图所示；
（2）△ABC的面积==10．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握网格结构以及点的坐标位置的确定方法是解题的关键．
16．若的三边长分别是a、b、c，且a、b、c满足，判断的形状．
【答案】直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．将变形为，根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴为直角三角形．
17．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】由∠C=90°根据勾股定理可得，，再根据D是AC的中点可得，代入分析即可得到结论．
【详解】解：由题意得，，
∵D是AC的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴．
18．等边三角形△ABC，直线1过点C且垂直AC．
（1）请在直线1上作出点D，使得△ABD的周长最小．
（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，求证，AD＝2BD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线1于点D，此时使得△ABD的周长最小．
（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，根据对称性和30度角所对直角边等于斜边的一半即可证明AD＝2BD．
【详解】解：（1）如图所示：
作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l交于点D，
则点D即为所求作的点．
（2）根据对称性可知：
AC＝A′C，AD＝A′D，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60°＝∠BAC，
∴A′C＝BC，
∴∠A′＝∠A′BC＝30°，∠A′＝∠DAA′＝30°，
∴∠ABD＝90°，
∴AD＝2BD．
【点睛】本题考查的是轴对称，等边三角形的性质，知道最短路径用对称的知识去解决是解题的关键.
19．已知：如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地．若规划图设计中，，，，（单位m），每平方米绿化需要费用80元，此绿地共需费用多少元？
【答案】此绿地共需费用17280元
【分析】勾股定理求出的长，勾股定理逆定理，得到为直角三角形，利用的面积减去的面积，求出阴影部分的面积，即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴绿地共需费用（元）．
答：此绿地共需费用17280元．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．熟练掌握勾股定理逆定理，判断三角形是直角三角形，是解题的关键．
20．已知的三边长分别为，，，且的平方根分别是与，，是的整数部分．
(1)求的立方根；
(2)判断三角形的形状．
【答案】(1)1；
(2)是直角三角形，理由见解析．
【分析】本题主要考查了估算无理数、平方根、立方根和勾股定理逆定理，解题关键是熟练掌握求平方根、立方根，正确估算无理数的整数部分和小数部分．
（1）先根据两个平方根是互为相反数，列出关于m的方程，求出m，再根据二次根式有意义的条件列出关于n的方程，求出n，然后求出的立方根即可；
（2）根据（1）中所求的n，求出b，再估算的大小，求出整数部分c和a的值，最后利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】（1）解：∵a的平方根分别是与，
∴，
整理得，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴的立方根是1；
（2）解：∵，，
∴，
∵，即，
∴的整数部分，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
21．如图，在中，点B在边上，连接，已知．
(1)求证：；
(2)求和的长．
【答案】(1)见解析；
(2)的长为17，的长为9
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理.
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案；
（2）设，则，由勾股定理列出方程，计算即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：设，则，
∴．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
则，
故的长为17，的长为9．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，∠BDC=45°，AB=13，BC=5．
（1）求BD的长；
（2）求AD的长．
【答案】（1）；（2）7
【分析】（1）根据Rt△BCD是等腰直角三角形即可求解；
（2）先用勾股定理求出AC，再再求出AD即可．
【详解】解：（1）在Rt△BCD中，
∵∠C=90°，∠CDB=45°，
∴∠CBD=45°．
∴△BCD是等腰直角三角形
∴DC=BC=5．
∴．
（2）在Rt△BCD中，．
∴AD=AC－DC=12－5=7．
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质与勾股定理的应用．
23．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=_______，b=________，c=_______．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）请你观察下列四组勾股数：(3，4，5)；(5，12，13)；(7，24，25)；(9，40，41)，分析其中的规律，直接写出第五组勾股数_______．
【答案】（1）a=n2-1，b=2n，c=n2+1；（2）是直角三角形；（3）11，60，61.
【分析】（1）探究规律后，利用规律即可解决问题；
（2）根据勾股定理的逆定理证明即可；
（3）观察发现第一个数的奇数，另外两个数的底数的和是这个奇数的平方，由此即可解决问题．
【详解】（1）由题意：a=n2-1，b=2n，c=n2+1．
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
理由：∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1，
∴a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）观察可知：第五组勾股数为：112+602=612．
故答案为(11,60,61)．
【点睛】考查勾股数、规律型问题，解题的关键是学会观察，学会寻找规律，利用规律解决问题．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
