2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（17.3-17.4）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．下列方程中有实数根的为（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
3．方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
4．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
5．一元二次方程的两个根为，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．设，是方程的两个实数根，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知与分别为方程的两根，则的值等于（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．且 B．
C．且 D．且
9．对于代数式A、B，定义新运算，则下列说法正确的个数为（ ）
①若，则的值为3或；②若方程的解为a、b，则的值为；③若关于x的方程有两个不相等的实数解，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：
①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
12．已知是方程的一个根，则方程的另一根为 ．
13．若是一元二次方程的两根，则的值是 ．
14．设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ．
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
16．已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
17．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？为什么？
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)若该方程的一个根为：，求实数m的值；
(2)求证：无论m为何值，该方程总有实数根．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)试判断此一元二次方程根的存在情况；
(2)若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求的值．
20．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)当时，求m的值．
21．（1）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法．
小敏： 两边同除以，得， ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
（2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若方程的两实数根分别为， ，且满足，求实数m的值．
22．阅读下列材料，并解决问题．
(1)已知方程的两根分别为，计算：_____，_____．
(2)已知方程的两根分别为，，计算：_____，_____．
(3)已知关于的方程有两根分别记作，且，，请通过计算及，探究出它们与的关系．
23．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，．
当时，，，；
当时，，，．
原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（17.3-17.4）
一、单选题
1．下列方程中有实数根的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查根的判别式，一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．熟知此部分知识是解题关键．分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可．
【详解】解：A．此选项方程根的判别式，此方程没有实数根，不符合题意；
B．此选项方程根的判别式，此方程没有实数根，不符合题意；
C．此选项方程根的判别式，此方程没有实数根，不符合题意；
D．此选项方程根的判别式，此方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
2．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】C
【分析】本题考查了根的判别式．分和且△两种情况讨论，据此求解即可．
【详解】解：当时，方程为，解得，方程有实数根；
当时，关于的一元二次方程有实数根，
∴△，
解得．
综上，时，关于x的方程有实数根．
故选：C．
3．方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
【详解】解：原方程整理得，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
4．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据根的判别式小于0且二次项系数不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意，得且．
解得．
故选D．
5．一元二次方程的两个根为，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根定义、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根定义、根与系数的关系即可得．
【详解】由一元二次方程的根定义得：，即，
由一元二次方程根与系数的关系得：，
则，
故选：D．
6．设，是方程的两个实数根，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】∵一元二次方程 的两个根分别为，，
∴，，
∴，
∴，则，
∴，解得，
故选：．
7．已知与分别为方程的两根，则的值等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可直接求解．
【详解】解：∵与分别为方程的两根，
∴，
故选：A．
8．已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．且 B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：C．
9．对于代数式A、B，定义新运算，则下列说法正确的个数为（ ）
①若，则的值为3或；②若方程的解为a、b，则的值为；③若关于x的方程有两个不相等的实数解，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据新定义得，则得出或，代入，即可判断①；根据一元二次方程根与系数的关系得出，，则，求出，即可判断②；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断③．
【详解】解：①，
整理得：，
∴，
∴或，
∴或，
故①正确，符合题意；
②，
∵方程的解为、，
∴，，
∴，
∴，则
当时，，
当时，，
∴的值为或，
故②不正确，不符合题意；
③∵，方程有两个不相等的实数解，
∴，
当时，整理得：，
∴，解得：；
当时，整理得：，
∴，解得：；
∴，
故③不正确，不符合题意；
综上：正确的有①，共1个；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，掌握一元二次方程根与系数关系：，；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
10．已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：
①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴当a＞-1时，方程有两个不相等的实根，故①正确；
当a＞0时，两根之积，故方程的两根异号，故②说法错误；
由一元二次方程的求根公式得，
∵a＞-1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确；
由③知，当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
∴正确的结论有：①③④
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，抛物线与轴的交点等知识，理解题意，熟练运用所学知识是解题的关键．
二、填空题
11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式的知识，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；一元二次方程的根的判别式为，与根的关系为：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义可得，根据方程有实数根，则有，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义，可得，
解得，
∵方程有实数根，
∴，
解得，
∴的取值范围是且．
故答案为：且．
12．已知是方程的一个根，则方程的另一根为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：设关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中，
∴，
∴，解得，
∴方程的另一根为，
故答案为：．
13．若是一元二次方程的两根，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】∵是一元二次方程的两根，
∴，
故答案为：．
14．设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】0
【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知根与系数的关系．根据根与系数的关系得到，再根据解的定义得到，再代入原式即可求解．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，
，
．
故答案为：0
三、解答题
15．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）因式分解法解方程即可；
（2）配方法解方程即可；
（3）因式分解法解方程即可；
（4）公式法解方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），
∴，
∴，
∴或，
∴；
（4），
∴，
∴，
∴，
∴．
16．已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根，得到，列出不等式求出的取值范围即可，掌握根的判别式与方程的根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：，
方程有实数根，
，
．
17．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？为什么？
【答案】不可能是20，理由见解析
【分析】利用一元二次方程根与系数关系，可得到方程的两根之和，再运用三角形成立的条件判断即可．
【详解】解：利用根与系数的关系可知方程的两根之和为，
这个三角形的两边之和为17，
第三边应小于17，
答：这个三角形的第三边的长不可能是20．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，涉及三角形成立的判断，属于基础题，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题关键．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)若该方程的一个根为：，求实数m的值；
(2)求证：无论m为何值，该方程总有实数根．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式．
（1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）解：是方程的一个根，
，
解得：；
（2）证明：，
，
无论为何值，该方程总有实数根．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)试判断此一元二次方程根的存在情况；
(2)若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求的值．
【答案】(1)有两个不相等的实数根
(2)
【分析】（1）计算一元二次方程的根的判别式，判断其符号，即可求解，
（2）根据一元二次方程根与系数关系，代入，即可求解，
本题考查了，一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握相关熟练掌握相关知识点．
【详解】（1）解：，
有两个不相等的实数根；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知：，，
，
，解得：．
20．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)当时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，熟记原理是解本题的关键．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得，， 由可得，整体代入进而可求出m的值．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴m的取值范围为；
（2）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，．
∵，
∴，
∴
解得：．
21．（1）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法．
小敏： 两边同除以，得， ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
（2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若方程的两实数根分别为， ，且满足，求实数m的值．
【答案】（1）都不正确，过程见解析；（2）2
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）由题意知，，，，则，由，整理得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：都不正确，
，
，
∴，，
解得，，；
（2）解：由题意知，，，，
∴，
∵，
∴，整理得，，
∴，
解得，或（舍去），
∴m的值为2．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形是解题的关键．
22．阅读下列材料，并解决问题．
(1)已知方程的两根分别为，计算：_____，_____．
(2)已知方程的两根分别为，，计算：_____，_____．
(3)已知关于的方程有两根分别记作，且，，请通过计算及，探究出它们与的关系．
【答案】(1)，2
(2)3，
(3)，
【分析】本题考查了根与系数关系定理．
（1）根据方程的根，计算即可．
（2）根据方程的根，计算即可．
（3）根据方程的根，计算即可．
【详解】（1）∵，，
∴，，
故答案为：，2．
（2）∵，，
∴，，
故答案为：3，．
（3）∵，，
∴，
，
即，．
23．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，．
当时，，，；
当时，，，．
原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，
（1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值；
（2）根据已知条件设求出的值即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
解得：，（不合题意，舍去），
则，．
（2）设，则
，
，
当时，，，，
当时，，无解．
故方程的解为，．
试卷第1页，共3页
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