2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（19.3）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．内角和为360 D．对角线平分内角
2．顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是 （ ）
A．矩形 B．直角梯形 C．菱形 D．正方形
3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCD
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB= CD B．AD= BC C．AB=BC D．AC= BD
5．如图，要使成为矩形，需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是( )
A．24 B．16 C． D．
7．如图，将一个长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A．10 cm2 B．20 cm2 C．40 cm2 D．80 cm 2
8．如图，菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的面积为（ ）
A．16 B．24 C．28 D．48
9．如图，把长方形沿折叠后，点D，的位置，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，的平分线交于点，点分别是上的动点，若的最小值为3，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．菱形的两条对角线的长分别是和，则它的面积为 ．
12．如图，在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，它们的中点分别是D、E、F，则CF=
13．如图，将长方形纸片沿EF折叠，使点与点重合，点落在点处，为折痕，，，则（重叠部分）的面积是 ．
14．正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是 .
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，正方形顶点都在网格线的交点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)直接写出正方形的边长 ；
(2)图1中，在线段上找点使得；
(3)图1中，在线段上找点使得．
(4)图2中，在边上画点，连接，，使得．
16．如图，平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°，试说明：四边形ABCD是矩形．
17．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE，求证：BE+DF=AE.
18．已知：如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．
（1）试说明：AE=AF；
（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，试说明：△AEF为等边三角形．
19．已知：如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与、的延长线分别相交于点、．
（1）求证：；
（2）当与满足什么关系时，以、、、为顶点的四边形是菱形？并给出证明．
20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
21．（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，并延长到点G，使，连接．若，猜想之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由；
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O．若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点同时以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．
（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由．
（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．
23．已知正方形 ，点 分别在边 、上，连接 ，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接，求证： ；
(3)如图3，在 （2）的条件下，连接 交 于点，过点 作 于点 ，交的延长线于点 ，若 ，，求 的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（19.3）
一、单选题
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等 C．内角和为360 D．对角线平分内角
【答案】B
【分析】根据正方形的性质：正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；即可求得答案．
【详解】正方形的性质有：对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角；
菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分．
故正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形与菱形的性质，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理．
2．顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是 （ ）
A．矩形 B．直角梯形 C．菱形 D．正方形
【答案】A
【详解】解：如图，
AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD（三角形的中位线平行于第三边），
∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故选：A．
3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCD
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
【答案】C
【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．
【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；
B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；
C，能，符合题意；
D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．
故选C．
4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB= CD B．AD= BC C．AB=BC D．AC= BD
【答案】D
【分析】易得四边形ABCD为平行四边形，再根据矩形的判定∶对角线相等的平行四边形是矩形即可得出答案．
【详解】解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定，矩形的判定有：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
5．如图，要使成为矩形，需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵ ABCD中，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵ ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵ ABCD中，∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵ ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC，
∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质；熟记矩形和菱形的判定方法是解题的关键．
6．如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是( )
A．24 B．16 C． D．
【答案】C
【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AC⊥BD，
OA=AC=3，
OB=BD=2，
AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，AB==，
∴菱形的周长为4．
故选C．
7．如图，将一个长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A．10 cm2 B．20 cm2 C．40 cm2 D．80 cm 2
【答案】A
【分析】矩形对折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分别原来矩形长和宽的一半，即5cm，4cm，然后可求得菱形的面积．
【详解】解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，
而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，
所以S菱形=×5×4=10(cm2)．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选．
8．如图，菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的面积为（ ）
A．16 B．24 C．28 D．48
【答案】B
【分析】画出几何图形，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到此菱形的面积．
【详解】
如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，
菱形的面积＝×12×AC×BD＝×8×6＝24，
故答案为B
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是本题解题的关键.
9．如图，把长方形沿折叠后，点D，的位置，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．由折叠的性质得到，由平行线的性质得到，，求出，即可得到．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得到：，
，
，
．
故选：B．
10．如图，在中，的平分线交于点，点分别是上的动点，若的最小值为3，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的性质、直角三角形的特征、全等三角形的判定及性质，作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，根据轴对称图形的性质及全等三角形的性质得点在边上，结合的最小值为3和直角三角形的特征即可求解．
【详解】解：作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，如图：
则，
∵根据对称的性质知，
∴，
又∵是的平分线，点P在边上，点Q在直线上，
∴，
∴，
∴点在边上．
∵当时，线段最短．
∵的最小值为3，即最短
∵在中，
∴
故选D
二、填空题
11．菱形的两条对角线的长分别是和，则它的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的面积计算，菱形的面积等于对角线乘积的一半．
【详解】解：，
故答案为：．
12．如图，在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，它们的中点分别是D、E、F，则CF=
【答案】5
【分析】利用勾股定理的逆定理可以推知∠ACB=90°；然后利用三角形中位线定理可以求得平行四边形CEFD是矩形、EF与CE的长度；最后在直角三角形DFC中利用勾股定理求得CF的长度．
【详解】解：如图：
∵在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°；
又∵点D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，
∴EF∥BC，且EF=BC=4，
FD∥AC，且FD=AC=3，
∴四边形CEFD是矩形，
∴EF=CD，
∴CF=；
故答案是：5．
【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理．解答该题的突破口是根据已知条件“在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10”利用勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形．
13．如图，将长方形纸片沿EF折叠，使点与点重合，点落在点处，为折痕，，，则（重叠部分）的面积是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，由矩形的性质得，，由平行线的性质得，再由折叠性质得，，即可得，根据等腰三角形的判定得，已知的底边及高的长，根据三角形面积公式计算即可求解，解题关键是理清折叠前后重叠的角和边相等．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
∵，，，
等于底边上的高，
，
故答案为：10．
14．正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是 .
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，利用的性质及正方形的性质可以得到很多等腰直角三角形，再根据全等三角形得出，，，，的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律点的坐标为，再代入即可得出结论．
【详解】直线交轴于点，则，，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，轴
同理可得，，，即
，，
．
点的坐标为，
故答案为：．
三、解答题
15．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，正方形顶点都在网格线的交点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)直接写出正方形的边长 ；
(2)图1中，在线段上找点使得；
(3)图1中，在线段上找点使得．
(4)图2中，在边上画点，连接，，使得．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)见解析；
【分析】本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（）根据勾股定理，并结合网格求解即可；
（2）连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求；
（3）连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求；
（4）逆时针旋转，得到，取格点，连接并延长交于，点即为所求．
【详解】（1）解：由网格可得：．
（2）解：连接交于点，连接并延长交于点，如图：
∵是正方形，
∴点是正方形的中心，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴点即为所求的点．
（3）解：连接交于点，连接并延长交于点，
∵是正方形，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点即为所求．
（4）解：逆时针旋转，得到，取格点，连接并延长交于，
由旋转性质可知，，
由网格可知，平分，
∴，
∴ ，
∴，
∵是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴点即为所求．
16．如图，平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°，试说明：四边形ABCD是矩形．
【答案】证明见解析
【分析】连接EO，首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，即O为BD和AC的中点，在Rt△AEC中EO=AC，在Rt△EBD中，EO=BD，进而得到AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．
【详解】证明：连接EO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO=BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EO=AC，
∴AC=BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线定理、矩形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
17．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE，求证：BE+DF=AE.
【答案】证明见解析
【分析】延长CB到G，使GB＝DF，连接AG，易证△ADF≌△ABG，得到∠1＝∠G，∠3＝∠2＝∠4，而∠1＝∠4＋∠5，则∠1＝∠4＋∠5＝∠3＋∠5＝∠GAE，得到∠G＝∠GAE，于是AE＝GE＝GB＋BE＝DF＋BE，即可得到结论．
【详解】
证明：延长CB到G，使GB＝DF，连接AG（如图），
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠B＝∠D＝90°
∴∠ABG＝∠D＝90°
∴△ADF≌△ABG，
∴∠1＝∠G，∠3＝∠2，DF＝BG
∵AF平分∠DAE
∴∠2＝∠4＝∠3
又∵AB∥CD
∴∠1＝∠4＋∠5＝∠3＋∠5＝∠GAE
∴∠G＝∠GAE
∴AE＝GE＝GB＋BE＝DF＋BE.
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题关键是注意做辅助线进行作答．
18．已知：如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．
（1）试说明：AE=AF；
（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，试说明：△AEF为等边三角形．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝AD，∠B＝∠D，又知BE＝DF，所以利用SAS判定△ABE≌△ADF从而得到AE＝AF；
（2）连接AC，由已知可知△ABC为等边三角形，已知E是BC的中点，则∠BAE＝∠DAF＝30°，即∠EAF＝60°．因为AE＝AF，所以△AEF为等边三角形．
【详解】(1)由菱形ABCD可知：
AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF;
(2)连接AC，
∵菱形ABCD,∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形,∠BAD=120°,
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一的性质)，
∴∠BAE=30°,同理∠DAF=30°,
∴∠EAF=60°,由(1)可知AE=AF，
∴△AEF为等边三角形.
【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质，全等三角形的判定及等边三角形的判定的理解及运用,灵活运用是关键.
19．已知：如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与、的延长线分别相交于点、．
（1）求证：；
（2）当与满足什么关系时，以、、、为顶点的四边形是菱形？并给出证明．
【答案】（1）见解析；（2）当时，四边形是菱形，见解析
【分析】（1）根据矩形的性质即可求解．
（2）根据菱形的判定，对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）当时，四边形是菱形．
证明：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，以及矩形的性质和菱形的判定等知识点，熟练掌握判定条件与性质是关键．
20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析．
【分析】（1）先证明四边形AECD是平行四边形，然后证明AE=EC即可四边形AECD是菱形；
（2）先说明BE=CE、∠ACE=∠CAE，再说明BE=CE、∠ACE=∠CAE，再根据三角形内角和得到∠B+∠BCA+∠BAC=180°，进一步得到∠BCE+∠ACE=90°即∠ACB=90°，即可说明△ABC是直角三角形．
【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴AE//CD，
又∵CE/∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAE=∠CAD，
又∵AD∥CE，∠ACE=∠CAD，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：△ABC是直角三角形,理由如下：
∵E是AB中点，
∴AE=BE．
又∵AE=CE，
∴BE=CE，∠ACE=∠CAE，
∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，
∴2∠BCE+2∠ACE=180°，
∴∠BCE+∠ACE=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题利用了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质以及等边对等角的判定等知识点，考查知识点较多，增加了试题难度，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
21．（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，并延长到点G，使，连接．若，猜想之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由；
【答案】（1）它们的数量关系是：，证明见解析；（2），证明见解析
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形．
（1）由正方形性质可得，，可证得，，即可证得结论；
（2）在上截取，连接．可证得，，即可证得结论．
【详解】解：它们的数量关系是：，
∵四边形为正方形，
，，
，
，
，，
∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）如图2，在上截取，连接．
∵四边形为正方形，
，，
，
，
，，
∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O．若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点同时以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．
（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由．
（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．
【答案】（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形，理由见解析；（2）当运动时间t=4或28时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，理由见解析.
【分析】解析:
(1)根据已知的AE＝CF ,推出OE＝OF ,根据平行四边形的性质得出OD＝OB ,根据平行四边形的判定推出即可;
(2)根据矩形的性质得出BD＝EF＝12,得出方程16﹣0.5t﹣0.5t＝12,求出即可;当E和F交换位置时得出方程0.5t﹣12＋0.5t＝16,求出即可.
【详解】（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形，
理由是：∵E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）当运动时间t＝4或28时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，
理由是：分为两种情况：
①∵四边形DEBF是矩形，
∴BD＝EF＝12 cm，即AE＝CF＝0.5t cm，
则16﹣0.5t﹣0.5t＝12，
解得：t＝4；
②当E到F位置上，F到E位置上时，AE﹣AF＝AC﹣CF，即0.5t﹣12＋0.5t＝16，
t＝28，
即当运动时间t＝4s或28s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形.
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定,平行四边形的性质和判定等知识点,主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力,题目比较好.
23．已知正方形 ，点 分别在边 、上，连接 ，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接，求证： ；
(3)如图3，在 （2）的条件下，连接 交 于点，过点 作 于点 ，交的延长线于点 ，若 ，，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】（1）根据正方形性质，得，，得证，结合两个锐角互余，推出，即可作答．
（2）易证，过作于，于，可证明四边形是矩形，进行角的运算，得，即可作答．
（3）设，，得，则，结合，，，根据勾股定理，列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
设 ，交于点M，
在 中，，
在 中，，
，
（2）证明：四边形 是正方形
，，
，
，
，
过 作 于 ，于 ，
，
∴，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
（3）证明：，
，
设 ，
，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
；
在上取一点，使 ，
连接，
易证 ，
，，
，
，
，
，
，
；
在，，
解得，
；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合：直角三角形的两个锐角互余、正方形和矩形的性质、勾股定理，难度较大，综合性较强，解题关键是正确作出辅助线证明全等．
试卷第1页，共3页
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