2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（18.1）
一、单选题
1．下列是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股数定义，熟记勾股数定义是解决问题的关键．根据勾股数定义：满足勾股定理的三个正整数被称为勾股数，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、由可知，该选项三个数是勾股数，符合题意；
B、由，不是正整数可知，该选项三个数不是勾股数，不符合题意；
C、由不是正整数可知，该选项三个数不是勾股数，不符合题意；
D、由不是正整数可知，该选项三个数不是勾股数，不符合题意；
故选：A．
2．如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据折叠性质及半径相等可得是等边三角形，即可得出的面积及弓形的面积，根据即可得答案．
【详解】解：如图，连接、，
∵将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、扇形面积、等边三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握求不规则面积的方法及扇形面积计算公式是解题的关键．
3．如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题是勾股定理在实际生活中的应用，把花茎、圆柱形花器的直径、圆柱形花器高三者转化成一个直角三角形是解决问题的关键．圆柱形花器内容下的花茎最长时，花茎、圆柱形花器的直径、圆柱形花器高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，
为圆柱形花器底面直径，是圆柱形花器高，
∴，
∴线段的长度就是圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度，
∴．
故圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度为．
故选：B．
4．如图，在中，，为上一点，且，又的面积为10，则的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形．由和可得，然后在中运用勾股定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴．
故选：B．
5．在中，，是边上的高线，若，则的长为（ ）
A．2 B．18 C．2或8 D．2或18
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，分是锐角三角形、钝角三角形两种情况，分别求解即可．
【详解】解：分两种情况，当是锐角三角形时，如图：
在中，，
；
当是钝角三角形时，如图：
在中，，
，
综上可知，的长为2或18，
故选D．
6．如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、10厘米，在长方体一底面的顶点A有一只蚂蚁，它想吃点B处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（ ）
A．13厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【答案】B
【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．首先把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可计算，此题展开图有三种，要分类讨论．
【详解】解：第一种：由题意得展开图，如图①所示：
，，
（厘米）；
第二种：如图②：
，，
（厘米）；
第三种：如图③，
，，
（厘米），
，
蚂蚁爬行的最短路程是（厘米）．
故选：B．
7．如图，在中，，平分，于D，如果，，那么的周长等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．5
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理．先利用勾股定理求得的长，证明，得，，则，再由的周长公式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
∴的周长．
故选：A．
8．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：，，；，，；，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如：，，；，，；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股数，勾股定理，根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．解题的关键是熟练掌握勾股定理．
【详解】解：∵为正整数，
∴为偶数，设其股是，
∴弦为，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴弦是：．
故选：A．
9．如图，在矩形中，，以点为圆心，任意长为半径作圆弧分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由四边形是矩形可知，得出，由角平分线的性质可得，进而由所含的直角性质可得出过E作于F ，可知，由勾股定理求出，进而求出，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由作图知，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
过E作于F，
∴，
在中，
．
∴，
∴的面积，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的性质，以及含直角三角形的性值，等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
10．如图，在直角中，，点为斜边上的中点，点分别在直角边上运动，且保持，连接，在点的运动过程中，有下列结论：①为等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形；③四边形的面积保持不变；④长度的最小值为4；⑤面积最大值为8．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①连接，根据等腰直角三角形的性质就可以得出，．就可以得出，就可以得出，，得出而得出结论；
②当E、F是的中点时，四边形是正方形；
③由可以得出四边形的面积等于的面积而得出结论；
④设，根据勾股定理就可以得出，得出的最小值为，进而得出结论；
⑤设，面积的S，由三角形的面积公式得，故可以得出结论．
【详解】解：①连接．
∵，
∴．
∵点D位为斜边上的中点，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故①正确；
②当E、F是的中点时，．
∵，
∴四边形是正方形，故②错误；
③∵四边形的面积，
∴四边形的面积．
∴四边形的面积，
∴四边形的面积保持不变，故③正确；
④设，由勾股定理，得
，
当时，的最小值为，故④错误；
⑤设，面积的S，由题意，得
，
∵，
∴时，，故⑤正确．
∴正确的共有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，勾股定理的运用，完全平方公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．
二、填空题
11．已知为直角三角形的两条边长，且满足，则此直角三角形的斜边为 ．
【答案】4或5/5或4
【分析】本题考查了二次根式有意义的性质，勾股定理，求出a与b的值是解题的关键，注意分类讨论．由二次根式有意义的性质求出a和b的值即可求解．
【详解】解：∵满足，
∴，
①当4是直角边时，其斜边长，
②当4是斜边时，其斜边长为4，
故答案为：4或5．
12．点O是正方形的对角线交点，，点在边上，连接，，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查正方形的性质和勾股定理，在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方，过点O作，垂足为E，先计算出正方形的边长，在通过勾股定理计算出的长度，即可求得答案
【详解】解：如下图所示，过点O作，垂足为E，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵或，
∴的长为：或．
13．如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由图形可知，，边上的高为3，
的面积，
由勾股定理得，，
则，
解得，，
故答案为：3
14．如图，在中，，，，
（1） ．
（2）现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是．、两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为秒．当 时，平分的面积．
【答案】
【分析】（）由勾股定理即可求解；
（）先表示出，，根据平分的面积得到t的方程求解即可；
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解题的关键．
【详解】（）∵中，，，，
由勾股定理得：，
故答案为：；
（）根据题意，，，
∵，，
∴，
由 点到点的时间为，则点到点的时间为，
由题意得：，
当平分的面积时，，即，
∴，整理得，
解得，(舍去)，
∴当时，平分的面积，
故答案为：．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标是______；
(2)在轴上找一点，使得周长最小，请画出；
(3)若是以为底边的等腰三角形，且点在轴上，则点的坐标是______．
【答案】(1)图见解析，
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查的知识点是画轴对称图形、勾股定理、等腰三角形的定义，解题关键是掌握平面直角坐标系中求解图形面积的方法、轴对称的性质、利用两点之间直线段最短求得最短距离．
（1）关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，连接对称点即可；
（2）如图，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时最小，
（3）设，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，取点关于轴的对称点，
连接，交轴于点，连接，此时最小，
最小，即周长最小．则即为所求．
（3）解：设
依题意，，
∴
解得：或
∴的坐标为：或．
故答案为：或．
16．数形结合是一种重要的数学思想方法，一般分为两种情形：借助于数学运算来阐明“形”的某些属性；借助于几何直观来阐明“数”的某种关系．
(1)从“数”的角度：证明“点，和在同一条直线上”；
(2)从“形”的角度：在方格纸中画出图形，并说明“”．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)说明详见解析．
【分析】此题主要考查了数形结合思想的应用．
（1）设直线的表达式为，将，代入求出直线的表达式为，再将点代入，得点在直线上，据此即可得出结论；
（2）设方格纸中每个小正方形的边长为1，在方格纸上构造，使，，，进而根据三角形三边之间的关系可得出结论．
【详解】（1）证明：设直线的表达式为：，
将，代入，
得：，解得：，
直线的表达式为：，
对于，当时，，
点在直线上，
点，，在同一条直线上；
（2）解：设方格纸中每个小正方形的边长为1，如图所示：
由勾股定理得：，，，
根据三角形三边之间的关系得：，
．
17．小明为了测得风筝的垂直高度，他进行了如下操作：测得水平距离的长为15米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的高度为米
(2)他应该往回收线8米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
∴米（负值舍去），
∴米，
答：风筝的高度为米；
（2）解：如图，在上取点 M，使米，
∴米，
米，
∴米，
∴他应该往回收线8米．
18．如图，公路上A，B 两站相距8千米，C，D为两村庄， 垂足分别为点A，B．已知长3 千米， 长5千米，现要在公路 上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处
【答案】大卖场E应建在离A站千米处
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是关键．设千米，则千米，在和中，利用勾股定理可用x表示出和；接下来根据列方程求出x的值即可．
【详解】解：设千米，则千米，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
因为，所以，解得，
所以大卖场E应建在离A站千米处．
19．在中，，，．
(1)若，则a，b，c满足的数量关系为 ；
(2)若为钝角三角形，，，直接写出c的取值范围；
(3)如图，若为锐角三角形，c为最长边．求证．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)证明详见解析．
【分析】本题考查了勾股定理，三角形三边关系，熟记勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系求解即可；
（3）过点A作于点D，设，在与中，根据勾股定理推出，即可推出结论．
【详解】（1）解：在中，，，，
若，则a、b、c满足的数量关系为，
故答案为：；
（2）解：如图，过点A作交的延长线于点D，
则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
当为钝角时，，
即，
当为钝角时，，
即，
综上所述，c的取值范围为或；
（3）证明：如图，过点A作于点D，设，
在中，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴若为锐角三角形，c为最长边．
∴．
20．如图，已知直线（k、b为常数，且）经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B．
(1)求该直线的函数表达式和点B的坐标；
(2)在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)该直线的函数表达式为，
(2)在y轴上存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点C的坐标为或
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了解析式的求解、勾股定理等知识点，掌握待定系数法是解题关键．
（1）将点、代入即可求解；
（2）由题意得，分类讨论当点C为直角顶点时和当点A为直角顶点时两种情况即可求解．
【详解】（1）解：∵直线经过点、，
∴
解得
∴该直线的函数表达式为．
在中，令，得，
∴．
（2）解：∵点C在y轴上，
∴，
∴点B不能成为直角顶点．
①当点C为直角顶点时，点C在的位置，如图．
∵点A在x轴上，点B在y轴上，
∴，
∴点与点O重合，
∴点的坐标为；
②当点A为直角顶点时，点C在的位置，如图．
设，则，，，，
∴，，．
∵，
∴，
解得，
∴．
综上可知，在y轴上存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点C的坐标为或．
21．已知中，．
(1)如图1，在中，若，求证：；
(2)如图2，在中，若，且垂直平分，，，求长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质和勾股定理等知识
（1）求出，再利用“边角边”证明和E全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）连接，先求出是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【详解】（1）证明：如图1，
∵，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图2，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
22．已知关于的方程．
(1)当方程的一个根为时，求的值．
(2)求证：无论取何值，这个方程总有实数根．
(3)若等腰的一腰长，另两边恰好是这个方程的两个根，求的面积．
【答案】(1)4
(2)见解析
(3)
【分析】（1）把代入得到关于m的方程，解这个方程即可求解；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可得出结论；
（3）将代入原方程可求出值，代入值解方程即可求出、的长度，再根据三角形的三边关系得到等腰三边长，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理求出三角形底边的高，即可由三角形的面积关系求解．
【详解】（1）解：把代入，得
解得：，
（2）证明：，
无论取何值，这个方程总有实数根；
（3）解：将代入原方程，得：，
解得：，
原方程为，
解得：，．
、6、6能组成三角形，
该等腰三角形的三边长为、6、6，
如图，在等腰中，设，，
过点A作于D，
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
∴的面积．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是牢记“当时，方程有实数根”求出等腰三边的长．
23．在中，，
(1)如图①，为边上一点，连接，以为边作，，，连接．求证：，
(2)如图②，为外一点．若，，．则的长为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质；
（1）先证明可得，进而可得，再证明，即可得出结论；
（2）根据（1）的方法，以为边作，，，证明，根据已知条件得出是等腰直角三角形，，中，勾股定理求得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
即
在和
∴
即；
（2）解：如图所示，以为边作，，，
同（1）可得，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴
在中，
∴
∴，
故答案为：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（18.1）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．下列是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，为上一点，且，又的面积为10，则的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
5．在中，，是边上的高线，若，则的长为（ ）
A．2 B．18 C．2或8 D．2或18
6．如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、10厘米，在长方体一底面的顶点A有一只蚂蚁，它想吃点B处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（ ）
A．13厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
7．如图，在中，，平分，于D，如果，，那么的周长等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．5
8．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：，，；，，；，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如：，，；，，；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，以点为圆心，任意长为半径作圆弧分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．如图，在直角中，，点为斜边上的中点，点分别在直角边上运动，且保持，连接，在点的运动过程中，有下列结论：①为等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形；③四边形的面积保持不变；④长度的最小值为4；⑤面积最大值为8．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知为直角三角形的两条边长，且满足，则此直角三角形的斜边为 ．
12．点O是正方形的对角线交点，，点在边上，连接，，则的长为 ．
13．如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．
14．如图，在中，，，，
（1） ．
（2）现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是．、两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为秒．当 时，平分的面积．
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标是______；
(2)在轴上找一点，使得周长最小，请画出；
(3)若是以为底边的等腰三角形，且点在轴上，则点的坐标是______．
16．数形结合是一种重要的数学思想方法，一般分为两种情形：借助于数学运算来阐明“形”的某些属性；借助于几何直观来阐明“数”的某种关系．
(1)从“数”的角度：证明“点，和在同一条直线上”；
(2)从“形”的角度：在方格纸中画出图形，并说明“”．
17．小明为了测得风筝的垂直高度，他进行了如下操作：测得水平距离的长为15米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
18．如图，公路上A，B 两站相距8千米，C，D为两村庄， 垂足分别为点A，B．已知长3 千米， 长5千米，现要在公路 上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处
19．在中，，，．
(1)若，则a，b，c满足的数量关系为 ；
(2)若为钝角三角形，，，直接写出c的取值范围；
(3)如图，若为锐角三角形，c为最长边．求证．
20．如图，已知直线（k、b为常数，且）经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B．
(1)求该直线的函数表达式和点B的坐标；
(2)在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知中，．
(1)如图1，在中，若，求证：；
(2)如图2，在中，若，且垂直平分，，，求长．
22．已知关于的方程．
(1)当方程的一个根为时，求的值．
(2)求证：无论取何值，这个方程总有实数根．
(3)若等腰的一腰长，另两边恰好是这个方程的两个根，求的面积．
23．在中，，
(1)如图①，为边上一点，连接，以为边作，，，连接．求证：，
(2)如图②，为外一点．若，，．则的长为______．
试卷第1页，共3页
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