2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（16.2）
一、单选题
1．下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键；因此此题可根据最简二次根式的条件“一是被开方数不能含有开得尽方的数或因式，二是被开方数不能含有分母”；由此问题可求解．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故不符合题意；
D、是最简二次根式，故符合题意；
故选D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式运算以及整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类二次根式法则、合并同类项法则和同底数幂除法法则，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，与不是同类二次根式，不能合并，故运算错误，不符合题意故；
B. 与2不是同类二次根式，不能合并，故运算错误，不符合题意故；
C. ，故运算错误，不符合题意故；
D. ，运算正确，符合题意故．
故选：D．
3．已知是实数，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式定义，代数式求值．根据题意利用二次根式定义即可求出，再将结果代入中即可．
【详解】解：∵有意义，
∴,
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．将根号外面的因数移到根号内的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质得出x的符号，进而化简二次根式得出即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴．
故选：C．
5．估算的运算结果应在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运算，估算无理数的大小，先进行二次根式的运算，然后利用夹逼法进行估算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：
，
，
∵，
∴，
即，
故选：．
6．在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可．
【详解】解：∵，，
∴，故甲正确，
，故乙正确；
，故丙正确；
故选：D．
7．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据数轴判断出a、b和与的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的关键．
【详解】观察数轴可知：，，，
，，
故选：A
8．已知的整数部分是，小数部分是，则的值为（ ）
A．10 B．7 C．6 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出m，n的值，再代入进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，，
，
故选：A．
9．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算乘法，再算二次根式加减即可，灵活运用二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
故选：．
10．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用．当时，直接根据公式计算即可求解．
【详解】解：当时，，
∴的最小值为3，
故选：D．
二、填空题
11．化简 ．
【答案】2024
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟记“”是解题关键．直接利用二次根式的性质求解即可．
【详解】解：，
故答案为：2024．
12．比较大小： 3（请填写“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，熟知二次根式比较大小的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
13．若最简二次根式利是同类二次根式，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查同类二次根式的概念．同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据定义可得，即可求解．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：．
∴
故答案为：2．
14．海伦公式是古希腊数学家海伦给出的求三角形面积的公式，用符号表示为，其中a，b，c表示三角形的边长，s表示三角形的面积，.利用这个公式计算：当时，s= ．
【答案】3
【分析】先将代入求得p，然后再将它们代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用二次根式的运算法则是解答本题的关键．
三、解答题
15．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式以及求一个数的立方根，解答关键是熟练掌握相关运算法则．
（1）先将各二次根式化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先算乘除，再将各二次根式化简，最后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
16．先化简， 再求值：，其中
【答案】；
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，先根据分式四则混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：
，
把代入得：原式．
17．已知，．求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）化简，因式分解，把化简后的的值代入计算即可求解；
（）把转化为，再把化简后的的值代入计算即可求解；
本题考查了因式分解，分母有理化，掌握平方差公式的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
，
∴
，
；
（2）解：
，
，
，
，
，
，
，
．
18．某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】元
【分析】先计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费．
【详解】解：
（平方米），
则（元），
∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元．
【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键．
19．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
(1)___， 的小数部分为_______；
(2)已知，分别是的整数部分和小数部分，求，的值．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分；
（2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分．
【详解】（1）解：（1），
，
，
的小数部分为，
故答案为：，；
（2），
，
，
，．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，正确进行无理数的大小的估算是解题的关键．
20．已知．
(1)求和的值；
(2)求的值；
(3)若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）代入即可求出和的值；
（2）将原式变形为，代入数值进行计算即可；
（3）先估算出，从而得出，，再代入进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，；
（2）解：由（1）得：，，
（3）解：，
，即，
，
，
的小数部分是，
，
，的整数部分是，
，
．
21．小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如3＋2＝（1＋）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a＋b＝m2＋2mn＋2n2，a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小明就找到了把类似a＋b的代数式化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m、n的代数式分别表示a、b，则：a＝ ，b＝ ；
(2)利用所探索的结论找一组正整数a、b、m、n填空： ＋ ＝（ ＋ ）2
(3)若a＋6＝（m＋n）2．且a、m、n均为正整数，求a的值．
【答案】(1)m2＋5n2，2mn；
(2)21，4，1，2（答案不唯一）
(3)a=46或14．
【分析】（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a与b即可；
（2）令m＝1，n＝2，确定出a与b的值即可；
（3）根据第（1）题的结论，结合a、m、n均为正整数，即可求解．
【详解】（1）∵，
又∵，
∴a＝m2＋5n2，b＝2mn；
故答案为m2＋5n2，2mn；
（2）令m＝1，n＝2，则a＝m2＋5n2＝1＋5×4＝21，b＝2mn＝4，
∴21＋4＝（1＋2）2；
故答案为21，4，1，2；（答案不唯一）
（3）由（1）可知：a＝m2＋5n2，6＝2mn，
∴a＝m2＋5n2，mn=3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1，
∴a＝12＋5×32=46或a＝32＋5×12=14，即a=46或14．
【点睛】本题考查了二次根式运算，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
22．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从的高空落到地面的时间．
(2)小明说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由．
(3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
【答案】(1)
(2)不正确，理由见解析
(3)90焦耳，严禁高空抛物
【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．
（1）把代入公式即可，
（2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论．
（3）求出，代入动能计算公式即可求出．
【详解】（1）解：由题意知，，
（2）不正确，
理由如下：当时，，
∵，
∴不正确；
（3）当时，，
鸡蛋产生的动能．
23．小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的：
，
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出 ；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．
（1）根据例题可得：对式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解；
（3）根据小明的分析过程，得得，，再整体代入，即可求出代数式的值．
【详解】（1）解：
；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，即，
，，
．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（16.2）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是实数，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．将根号外面的因数移到根号内的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．估算的运算结果应在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
6．在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
7．已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简（ ）
A． B． C． D．
8．已知的整数部分是，小数部分是，则的值为（ ）
A．10 B．7 C．6 D．4
9．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．5
10．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．化简 ．
12．比较大小： 3（请填写“”、“”或“”）．
13．若最简二次根式利是同类二次根式，则 ．
14．海伦公式是古希腊数学家海伦给出的求三角形面积的公式，用符号表示为，其中a，b，c表示三角形的边长，s表示三角形的面积，.利用这个公式计算：当时，s= ．
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．计算：
(1)
(2)
16．先化简， 再求值：，其中
17．已知，．求：
(1)的值；
(2)的值．
18．某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
19．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
(1)___， 的小数部分为_______；
(2)已知，分别是的整数部分和小数部分，求，的值．
20．已知．
(1)求和的值；
(2)求的值；
(3)若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
21．小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如3＋2＝（1＋）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a＋b＝m2＋2mn＋2n2，a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小明就找到了把类似a＋b的代数式化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m、n的代数式分别表示a、b，则：a＝ ，b＝ ；
(2)利用所探索的结论找一组正整数a、b、m、n填空： ＋ ＝（ ＋ ）2
(3)若a＋6＝（m＋n）2．且a、m、n均为正整数，求a的值．
22．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从的高空落到地面的时间．
(2)小明说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由．
(3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
23．小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的：
，
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出 ；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出 的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
