2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（17.1-17.2）
一、单选题
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查一元一次方程的识别．解题的关键是熟知一元一次方程的定义．一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
根据一元一次方程的定义逐一判断．
【详解】A. ，为二元方程，故错误；
B. ，是一元一次方程，正确；
C. ，是分式方程，故错误；
D. ，是一元二次方程，故错误．
故选：B．
2．解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题考查了用配方法解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法．配方法解一元二次方程的方法：将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方．
【详解】解：
，
故选C．
3．若n（）是关于x的方程的根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】D
【分析】本题考查方程的解的定义，因式分解．
把n代入方程中，得到，结合即可求解．
【详解】∵n是关于x的方程的根，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
4．若是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（ ）
A．2 B．3-2 C．2-3 D．-2
【答案】C
【分析】把x=代入方程x2-2x+c=0得2-2+c=0，然后解关于c的方程．
【详解】解：把x＝代入方程x2﹣2x+c＝0得）2﹣2+c＝0，
解得c＝2﹣3．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次方程，相反数定义，解一元二次方程．根据题意逐个对选项进行求解，看哪个结果符合题意即为本题答案．
【详解】解：∵，
∴，
故A选项不符合题意；
∵，
∴，解得：，
∴有两个根，但不互为相反数，
故B选项不符合题意；
∵，
∴，
∴有两个实数根，且它们互为相反数，
故C选项符合题意；
∵无解，故D选项不符合题意，
故选：C．
6．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）
A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号
【答案】D
【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
【详解】解：，
则，
∵，
∴，
∵，，
∴为异号，
故选：．
7．如果，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．1或
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及非负数的性质，将转换为一元二次方程是解题关键．设，再将转换为一元二次方程并求解，结合非负数的性质即可获得答案．
【详解】解：设，
根据题意可得，，
解得，，
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
8．对于若干个单项式，从中任取两个单项式作差，再将差的绝对值与剩下的单项式求和并化简，这样的运算称为对这个若干个单项式进行“差绝和运算”．下列说法中正确的有（ ）
①对于进行“差绝和运算”，其中最小的结果是4；
②对于进行“差绝和运算”结果是7，则；
③对于进行“差绝和运算”共有3种不同的结果．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算及一元二次方程的解法，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．
①根据“差绝和运算”的运算方法进行运算，即可判定；
②根据“差绝和运算”的运算方法进行运算，即可判定；
③首先根据“差绝和运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，即可判定．
【详解】解：①对1，2，5，6进行“差绝和运算”得：
最小的结果为：，
故①正确；
②对，，进行“差绝和运算”得：
，
，
解得，（舍去），
，
，
解得（舍去），（舍去），
，
，
解得（舍去），（舍去），
综上所述：对于进行“差绝和运算”结果是7，则，
故②正确；
对，，，进行“差绝对值运算”得：或或；
则对于，，，进行“差绝和运算”共有3种不同的结果，
故③正确．
故选D
9．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用直接开平方法解方程可对A选项和C选项进行判断；利用因式分解法解方程可对B选项进行判断；利用根的判别式的意义可对D选项进行判断．
【详解】解：A、，则，解得，方程有实数根，不符合题意；
B、，则，解得，，方程有实数根，不符合题意；
C、，则，解得，方程有实数根，不符合题意；
D、，，方程没有实数解，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
10．伊斯兰数学家塔比·伊本·库拉（Thabit ibn Qurra，830-890）在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则方程的其中一个正根为（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】B
【分析】设正方形的边长为，则，根据，可得，所以，进而可得是方程的其中一个正根．
【详解】解：设正方形的边长为，
则，
，
，
，
则方程的其中一个正根为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程定义．
二、填空题
11．若，则 ．
【答案】
【分析】直接用开平方法即可解答．
【详解】解：两边同时开平方可得，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练用开平方法解题的关键．
12．已知a是方程一个根，则的值为 ．
【答案】2023
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案．
【详解】解：∵a是方程一个根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
13．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
【答案】2024
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2024
14．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，以及三角形三条边的关系．先求出方程的根，再分类讨论，确定是否符合题意．
【详解】解：解方程，得，，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为．
故答案为10．
三、解答题
15．用适当的方法解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）提公因式后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：
，
或，
∴；
（3）解：
，
或，
∴；
（4）解：
，
或，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，选择合适的方法并正确求解是解题的关键．
16．定义： ，解关于x的方程：；
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解定义的新运算，得出不等式是解题的关键，分和两种情况，分别根据定义的运算得出不等式，进而可得答案．
【详解】解：当时，即，
，
解得：，
，
舍去，
当时，即，
，
解得：，
，
舍去，
综上所述，方程的解为：．
17．已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式．
【答案】，，
【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的一般式．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的一般式是解题的关键．
将代入，计算求解可得的值，进而可求一元二次方程的一般式．
【详解】解：将代入得，，
解得，，
∴，
∴a、b的值分别为1，2；这个一元二次方程的一般形式为．
18．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知是关于x的凤凰方程，m是此方程的一个根，求m的值．
【答案】2或
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．根据“凤凰方程”的定义知是一元二次方程的根，所以由一元二次方程的解的定义、根与系数的关系可求得m的值．
【详解】解：根据“凤凰方程”的定义知是一元二次方程的根；
①当时，是关于x的凤凰方程；
②当时，
∵m是方程的一个根，
∴，
解得．
综上所述，m的值是2或．
19．数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题：，小明同学的做法如下：
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
(1)上面的运算过程中从第________步开始出现了错误；
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)一
(2)
【分析】（1）解析过程中不能直接约去，即可得出结果；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：上面的计算过程第一步开始出现错误，
故答案为：一
（2）
，
∴
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键．
20．根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题：
(1)将二次三项式分解因式；
(2)解一元二次方程；
(3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解，如：，方程分解为；从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】本题考查了因式分解以及因式分解法解一元二次方程；
（1）根据十字相乘法因式分解即可求解；
（2）利用十字相乘法，得，即可求解；
（3）利用十字相乘法，得，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）.
利用十字相乘法，得
∴或.
∴，.
（3）.
利用十字相乘法，得.
∴或.
∴，.
21．先阅读下列材料，然后回答问题：
在关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，若各项的系数之和为零，即a＋b＋c＝0，则有一根为1，另一根为.
证明：设方程的两根为x1，x2，由a＋b＋c＝0，知b＝－(a＋c)，
∵x＝＝，
∴x1＝1，x2＝.
(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各项系数满足a－b＋c＝0，请直接写出此方程的两根；
(2)已知方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，运用上述结论证明：.
【答案】(1)x1＝－1，x2＝－；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据材料中给的方法即可直接写出方程的解；
（2）根据材料中给的方法可得方程的两根为x1＝x2＝1，由此可得，整理后即可证得结论.
【详解】(1)x1＝－1，x2＝－，证明如下：
设方程的两根为x1，x2，由a-b＋c＝0，知b＝a＋c，
∵x＝＝，
∴x1＝-1，x2＝；
(2)∵(ac－bc)＋(bc－ab)＋(ab－ac)＝0，且方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，
∴x1＝x2＝1，
∴，
即ab＋bc＝2ac，
两边都除以abc，得
.
【点睛】本题考查的是材料阅读题，读懂材料中的内容与方法，能灵活地运用到解题中是关键.
22．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据阅读材料可得答案；
（2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，将其代入计算可得；
（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
【详解】（1）解：，，
故答案为：；；
（2）∵，，且，
∴，可看作方程的两个根，
∴，，
∴，
∴的值为；
（3）∵，分别满足，，且，
∴，
∴和可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴的值为．
【点睛】本题考查分式的化简求值，因式分解的应用，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
23．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
；．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
；．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可；
（2）用十字相乘法分解因式即可；
（3）用十字相乘法分解因式即可；
（4）用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴；
故答案为：；
（4）解：∵，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是熟练掌握十字相乘法，准确计算．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（17.1-17.2）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若n（）是关于x的方程的根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
4．若是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（ ）
A．2 B．3-2 C．2-3 D．-2
5．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）
A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号
7．如果，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．1或
8．对于若干个单项式，从中任取两个单项式作差，再将差的绝对值与剩下的单项式求和并化简，这样的运算称为对这个若干个单项式进行“差绝和运算”．下列说法中正确的有（ ）
①对于进行“差绝和运算”，其中最小的结果是4；
②对于进行“差绝和运算”结果是7，则；
③对于进行“差绝和运算”共有3种不同的结果．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
10．伊斯兰数学家塔比·伊本·库拉（Thabit ibn Qurra，830-890）在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则方程的其中一个正根为（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若，则 ．
12．已知a是方程一个根，则的值为 ．
13．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
14．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 ．
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．用适当的方法解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
16．定义： ，解关于x的方程：；
17．已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式．
18．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知是关于x的凤凰方程，m是此方程的一个根，求m的值．
19．数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题：，小明同学的做法如下：
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
(1)上面的运算过程中从第________步开始出现了错误；
(2)请写出正确的解题过程．
20．根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题：
(1)将二次三项式分解因式；
(2)解一元二次方程；
(3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解，如：，方程分解为；从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程．
21．先阅读下列材料，然后回答问题：
在关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，若各项的系数之和为零，即a＋b＋c＝0，则有一根为1，另一根为.
证明：设方程的两根为x1，x2，由a＋b＋c＝0，知b＝－(a＋c)，
∵x＝＝，
∴x1＝1，x2＝.
(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各项系数满足a－b＋c＝0，请直接写出此方程的两根；
(2)已知方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，运用上述结论证明：.
22．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值．
23．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
；．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
；．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
