2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（19.1）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．内角和为的多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
2．如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，将八个全等的直角三角形拼接成一个环状图案，若外面的正八边形的边长为，则中间的正八边形的边长为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，P为内一点，A为上一点，B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，被树叶遮掩的部分是一个正n边形，若直线a，b所夹锐角为，则n的值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
7．如图，小明沿一个五边形的广场小道按的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三角形纸片中，，，现将该纸片沿折叠，使点A、B分别落在点、处．其中，点B在纸片的内部，点D、E分别在边、上．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（ ）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确
10．如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 ．
12．如图，是五边形的一个外角，若，则 ．
13．七边形的内角和等于 ，n边形的内角和等于
14．如图，在等腰三角形中，，，为的中点．
（1）连结，则 ；
（2）点在上，，若点是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ．
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．已知一个多边形的外角和比内角和少720°，求这个多边形的边数．
16．如果多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多．
(1)这个多边形的内角和是多少度？
(2)求这个多边形的对角线的总条数．
17．已知和如图所示，，．求的度数．
18．如图，已知和是的两条高线，，交于点，，，求的度数．
19．如图，四边形中，、分别平分，．
(1)若，，，求的度数；
(2)若，，求．（用含，的式子表示）
20．如图，正五边形中，点F，G分别是，的中点，与相交于点H．
(1)求证：；
(2)求的度数．
21．如图，在四边形中，和的平分线交于点E．
(1)若，则______；
(2)若，则______；
(3)请你探究之间的数量关系，并说明理由．
22．（1）如图①所示，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系（直接写出结论）．
（2）②示，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系（写出说理过程）．
（3）若将（2）中的四边形改为六边形（如图③所示），请直接写出与的数量关系．
23．（1）已知：如图1，．求证：
分析：方法①延长到D，过点C作射线（图2），这样就相当于把移到了的位置，把移到了位置．
方法②过点A作直线（图3），把三个角“凑”到A处．
从上面选一种你喜欢的方法写出证明过程．
解决问题：
（2）如图4，外一点D，连接、．求证：．
（3）如图5，外两点D、E，连接、、．沿着折叠得到图6，点E落在点F．则 （答案直接写在横线上）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版下学期八年级数学周测（19.1）
一、单选题
1．内角和为的多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】B
【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：设该多边形的边数为n，由题意得：
，
∴，
∴该多边形为五边形；
故选：B．
2．如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和外角，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理以及角平分线定理．
根据，可得，然后根据为角平分线，可求出的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵为角平分线，
∴
∴
即：．
故答案为：C．
3．如图，将八个全等的直角三角形拼接成一个环状图案，若外面的正八边形的边长为，则中间的正八边形的边长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了正多边形内角和，全等三角形的性质和勾股定理，由正八边形可得内角为，再根据全等三角形的性质和勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】解：如图，
∵正八边形的一个内角为，八个直角三角形全等，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴中间的正八边形的边长，
故选：．
4．如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠前后对应角相等是解题的关键．由，得，再由折叠的性质得，从而得出答案．
【详解】解：，
，
，
把沿对折，
，
故选：D．
5．如图，，P为内一点，A为上一点，B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间线段最短的知识画出图形是解题的关键．
如图：作P点关于的对称点，连接，此时的周长最小为，求出即可．
【详解】解：如图：作P点关于的对称点，然后连接，
∵点与点P关于直线对称，点与点P关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由三角形的内角和定理可知：，
∴，
∴．
故选：B．
6．如图，被树叶遮掩的部分是一个正n边形，若直线a，b所夹锐角为，则n的值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】D
【分析】本题考查正多边形外角的相关知识．正多边形每个外角都相等，外角和为，据此计算即可求解．
【详解】解：如图，由题意得，，
∴，
∴,
故选：D．
7．如图，小明沿一个五边形的广场小道按的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查多边形外角和的知识，根据身体每次转过的角度为五边形的一个外角，再求外角和即可．
【详解】∵身体每次转过的角度为五边形的一个外角，
∴他每跑完一圈时，身体转过的角度之和为五边形的外角和．
故答案为：C．
8．如图，在三角形纸片中，，，现将该纸片沿折叠，使点A、B分别落在点、处．其中，点B在纸片的内部，点D、E分别在边、上．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的内角和定理．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质得到，，根据四边形和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】由折叠知，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
故选：C．
9．如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（ ）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，正六边形的一个内角为，根据周角的定义有，，得，再讨论即可得n的值．
【详解】解：正六边形的一个内角为，
，
为正n边形的一个内角的度数，
，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则．
故n的值为3或4或5或6．故选C．
10．如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点B，C，分别作的垂线，垂足为，利用多边形内角和定理及等边三角形的性质证明，，设，，则，利用在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，得到，，即可求解．
【详解】解：如图，过点B，C，分别作的垂线，垂足为，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理得：，
，
，
，
，
，
，
设，，则，，
在中，，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角的特征，多边形内角和，作出辅助线构造三角形全等时解得的关键．
二、填空题
11．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 ．
【答案】八边形
【分析】本题考查多边形内角和及外角和综合，根据多边形的外角和为360度求出内角和，再根据内角和公式求出边数即可得答案．熟练掌握多边形外角和为360°，内角和公式为是解题关键．
【详解】解：设这个多边形是边形，
∵多边形的内角和是它的外角和的3倍，
∴，
解得：．
故答案为：八边形
12．如图，是五边形的一个外角，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查多边形的外角与内角和，熟练掌握多边形的内角和、多边形外角与内角的关系是解决本题的关键．
根据多边形内角与外角的关系，由，得．再根据多边形的内角和，即求解．
【详解】解：∵，
．
．
故答案为：．
13．七边形的内角和等于 ，n边形的内角和等于
【答案】
【分析】本题主要考查多边形的内角和公式，根据n边形的内角和是计算即可．
【详解】解：①七边形的内角和等于，
②n边形的内角和等于．
故答案为：，．
14．如图，在等腰三角形中，，，为的中点．
（1）连结，则 ；
（2）点在上，，若点是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ．
【答案】 或
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可；
（2）过D作于G，于H，先由角平分线的性质得到，再根据全等三角形的判定与性质，结合四边形的内角和为求解即可．
【详解】（1）如图，连接，
∵在等腰三角形中，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
故答案为：；
（2）过D作于G，于H，则，，
如图，若，，则，
∴，
∵，
∴；
若，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上，符合条件的的度数为或，
故答案为：或
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质、角平分线的性质以及四边形的内角和定理，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
三、解答题
15．已知一个多边形的外角和比内角和少720°，求这个多边形的边数．
【答案】8
【分析】本题主要考查了多边形的外角和和内角和以及一元一次方程的应用，设这个多边形的边数是n，根据题意，列出关于n的一元一次方程， 解方程即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
则，
解得．
故它的边数为8．
16．如果多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多．
(1)这个多边形的内角和是多少度？
(2)求这个多边形的对角线的总条数．
【答案】(1)
(2)54
【分析】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．另外还要注意从n边形一个顶点可以引条对角线．
（2）求出多边形的边数，利用多边形内角和公式即可得到答案；
（3）根据n边形有条对角线，即可解答．
【详解】（1）解：设这个正多边形的一个外角为，
依题意有，
解得，
∴这个正多边形是十二边形．
∴这个正多边形的内角和为
（2）解：对角线的总条数为(条) ．
17．已知和如图所示，，．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和，邻补角互补等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意得，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴的度数为．
18．如图，已知和是的两条高线，，交于点，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由高的定义得到，进而利用四边形内角和定理求出，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∵和是的两条高线，
∴，
∴，
∴．
19．如图，四边形中，、分别平分，．
(1)若，，，求的度数；
(2)若，，求．（用含，的式子表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多边形内角和问题，角平分线的定义，三角形 内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）利用四边形内角和为，得出，进而求出的度数即可；
（2）由角平分线的定义，得出，，再结合四边形内角和，得到，然后利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵、分别平分，，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
20．如图，正五边形中，点F，G分别是，的中点，与相交于点H．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，多边形内角和公式，三角形外角的性质，熟练利用全等三角形的性质进行角度的转换是解题的关键．
（1）根据五边形是正五边形，可以得到，即可利用判定全等；
（2）根据，得出，根据正五边形求出，根据即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵五边形是正五边形，
∴，，
∵点F，G分别是，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
根据多边形内角和公式，可得，
∴
．
21．如图，在四边形中，和的平分线交于点E．
(1)若，则______；
(2)若，则______；
(3)请你探究之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)50
(2)55
(3)结论：，见解析
【分析】本题考查了四边形内角和定理，角的平分线，三角形内角和定理，探究角直角的关系．
（1）根据，结合，得到，再根据角的平分线，得到，利用三角形内角和定理计算即可．
（2）仿照（1）的解答计算即可．
（3）仿照（1）的解答计算即可．
【详解】（1）根据题意，得，
∵，
∴，
∵和的平分线交于点E，
∴，
∴，
∵
∴．
故答案为：50．
（2）根据题意，得，
∵，
∴，
∵和的平分线交于点E，
∴，
∴，
∵
∴．
故答案为：55．
（3）．理由如下：
根据题意，得，
∴，
∵和的平分线交于点E，
∴，
∴
∵
∴．
故．
22．（1）如图①所示，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系（直接写出结论）．
（2）②示，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系（写出说理过程）．
（3）若将（2）中的四边形改为六边形（如图③所示），请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）．（2），见解析；（3）
【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（2）根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可；
（3）根据六边形的内角和公式表示出，然后同理探究二解答即可．
【详解】解：（1）、分别平分和，
，，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
∵，分别平分和，
∴，．
∴
．
（3）、分别平分和，
，，
，
，
，
，
，
即．
23．（1）已知：如图1，．求证：
分析：方法①延长到D，过点C作射线（图2），这样就相当于把移到了的位置，把移到了位置．
方法②过点A作直线（图3），把三个角“凑”到A处．
从上面选一种你喜欢的方法写出证明过程．
解决问题：
（2）如图4，外一点D，连接、．求证：．
（3）如图5，外两点D、E，连接、、．沿着折叠得到图6，点E落在点F．则 （答案直接写在横线上）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】本题考查三角形内角和定理的证明及应用，涉及四边形内角和，五边形内角和，折叠问题等，解题的关键是掌握平行线的性质．
（1）方法①延长到D，过点C作射线，结合平行线的性质与平角的定义可得结论； 方法②过点A作直线，结合平行线的性质与平角的定义可得结论；
（2）由（1）的结论可得，，再相加可得结论；
（3）连接，由（1）知，，， 由（2）知，，再相加可得答案．
【详解】证明：（1）方法①延长到D，过点C作射线，如图：
∴，，
∵，
∴；
方法②过点A作直线，如图：
∴，，
∵，
∴；
（2）由（1）知，，，
∴，
∴，
即；
（3）连接，如图：
由（1）知，，，
由（2）知，，
∴
，
∴．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
