1 2
南阳市卧龙区博雅学校 2024 年春期高二年级开学考试 ∴甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为1 .3 3
数学试题答案 5．【答案】A
【详解】由题意可知， 184, 2.5，可得179 2 ，186.5
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
净重在 179g与 186.5g之间的概率为 P(179< X <186.5) P( 2 < X < )
项是符合要求的。
由正态分布的对称性可知，
1.【答案】A
P( 2 < X < ) P X 1 P X 2 P X
【详解】因为直线 l : 3x y 2 0，所以斜率 k 3，倾斜角为120 ，故 A 正确、C 不正确； 2
0.683
1
(0.954 0.683) 0.8185；
因为直线 l经过点 A 0, 2 ，B 3,1 ，所以直线 l的一个方向向量为 AB 3,3 ， 2
所以净重在 179g与 186.5g之间的概率为 P(179< X <186.5) 0.8185 .
因向量 1, 3 与 AB 3,3 不共线，故 1, 3 不是直线 l的一个方向向量，故 B 不正确；
6．【答案】C
又因为 3, 1 AB 3 3 6 0 ，所以 3, 1 不是直线 l的一个法向量，故 D 不正确. 4
【详解】根据题意，圆心C 1,1 到直线 l的距离d 2 2，
2
2．【答案】A
故C上各点到 l距离的最小值为 d r 2 2 2 2 .
x y
2 2px p 0
【详解】焦点在 轴正半轴上的抛物线标准方程为 ， 7.【答案】D
2
又准线与焦点轴间的距离为 3，可得 p 3，所以抛物线的标准方程为 y 6x . 【详解】 47 2 23 1，故为第 23项.
3．【答案】B 8．【答案】A
r M x, y y 2 y 2 1 x
2
T Cr x6 r 3 Cr 3 r x6 3r 【详解】设 ，由题意可得 ，整理可得 y
2 1, x 3，
r 1 6 2 6 x 3 x 3 3 3
【详解】由二项展开式通项公式可得 x ， 2
即动点M 的轨迹方程为 y2 x 1, x 3．
3
令6 3r 0解得 r 2，
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项
T 23 C6 3
2 135
所以常数项 ， 符合题目的要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
4．【答案】D 9.【答案】AD
【详解】∵甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为 1
1 1 1 1 ， 【详解】圆C： (x 2)2 y2 4，圆心C 2,0 ，半径2 3 3 r 2，
{#{QQABKYQUogigABJAAQhCAwlICAIQkBGAAKoGRBAIIAABCBNABAA=}#}
直线mx y m 1 0过定点M 1,1 ， CM 2， 11.【答案】BC
2 2 【详解】对于 A 中，根据向量的数量积的定义知 a b R,b c R，所以 a b c与 a b c 分别对选项 A： ( 1 2) 1 2 4，点M 在圆内，故直线与圆一定相交，正确；
表示与向量 c和向量 a共线的向量，又因为向量 c和 a不一定共线，所以 A 不正确；
对选项 B：当 AB过圆心时， AB 最大为4，错误；
对于 B 中，根据空间直角坐标系的特征，点 P( 1,3,5)关于坐标平面 yOz的对称点是 N 1,3,5 ，
对选项 C：圆C上点到直线 l距离的最大值为 CM r 2 2，错误；
所以 B 正确；
对选项 D：直线 l： x y 2 0，圆心在直线上，1 r，
对于 C 中，由向量 a e1 2e2 e3 ，b e1 3e2 2e3 ，c 3e1 7e2 ，
故圆C上存在四个点到直线 l的距离为 1，正确；故选：AD
10．【答案】 BCD. 设 c xa yb，即 3e1 7e2 x(e1 2e2 e3 ) y( e1 3e2 2e3 )，
【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球， 3 x y
可得 7 2x 3y
，此时 x 2, y 1，即 c 2a b，所以向量 a，b，c能共面，所以 C 正确；
全部的基本事件有： 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 2,1 ， 2,3 ， 2,4 ， 3,1 ， 3,2 ， 3,4 ，
0 x 2y
4,1 ， 4,2 ， 4,3 共12个，
对于 D 中，由 A( 1,1,2)， B(2,2,4)，C(3, 2,0)，可得 AC (4, 3, 2), AB (3,1,2)，则
事件A发生包含的基本事件有： 1,4 ， 4,1 有 2个， AC AB AB 5
AC AB 5, AB 14 ，所以向量 AC在向量 AB上的投影向量为 (3,1, 2)AB AB 14 ，所
事件 B发生包含的基本事件有： 1,4 ， 2,4 ， 3,4 有 3 个，
2 1 3 1 以 D 错误.故选：BC.
所以 P A ,P B ，故 A 错误；
12 6 12 4 12. 【答案】ABD.
事件C发生包含的基本事件： 1,4 ， 2,3 3,2 4,1 P C 4 1， ， 有 4 个， ， 2 1
12 3 【详解】对于 A项：因为点 P 2,1 在椭圆内部，所以 1，2 b2 44 b2
1
事件 AB发生包含的基本事件： 1,4 有1个， P AB ，故 B 正确；
12 e c c
2
1 b
2 b2 2
2 2 1 0, ，故 A项正确；
事件 AC发生包含的基本事件： 1,4 ， a a a 4 24,1 有 2 个，故事件A与C不互斥，故 C 正确；
1 对于 B项： QF1 QP 4 QF2 QP ，当Q在 x 1,4 轴下方时，且 P，
Q，
事件 BC发生包含的基本事件： 有1个， P BC ，
12
2
因为 P B P C 1 1 1 P BC ，所以 B与C相互独立，故选项 D正确； F 2 c 2三点共线时， QF QP 有最大值 4 PF ，由 ，得 ，F ,0 ，所以得
3 4 12 2 1 2 e c 24 2 2 2
{#{QQABKYQUogigABJAAQhCAwlICAIQkBGAAKoGRBAIIAABCBNABAA=}#}
2
16
3 3
．【答案】
PF 2 2 1 6
, 6 或 , 62 ； y 3x
2 ， 2
2 2 2 2
【详解】抛物线 y2 4x的焦点F (1,0)，准线方程为 x= 1 x y，设双曲线的方程为 2 2 1，故c 1，6 a b
所以 QF1 QP 最大值 4 ，故 B项正确；2
设 P(x0 , y0 )，则 PF x
5 3 3
0 1
2
，解得 x0 ，代入抛物线方程可得 y0 4 6，解得 y0 6，
对于 C项：设Q x, y ，若QF1 QF2 0，即： c x, y c x, y 0
2 2 2
，则得 x2 y2 c2 ，即
3 , 6 P的坐标为 ；2
c
点Q
2
在以原点为圆心，半径为 c的圆上，又由 A项知 e 0, ，得 c ea 0, 2 ，又因a 2 c 1
2
3
为 2 b2 4，得b 2, 2 ，所以得 c b，所以该圆与椭圆无交点，故 C项错误； 2 2 ( 6) 1 3 b
因为 2 2 1，解得 a ，b ，所以双曲线的渐近线方程为 y x 3x .
a b 2 2 a
c2 a2 b2
对于 D项： QF1 QF 2a
1 1 1 1 1
2 4， QF QFQF QF 4 QF QF 1 2 1 2 1 2
四、解答题：本题共 4 小题，共 40 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。1 QF2 QF1 1 QF QF 2 2 2
2 1 1，当且仅当 QF1 QF2 2 时取等号，故 D项4 QF QF 4 QF QF 17．(1)3x 4y 1 0 (2)8 1 2 1 2
4
. 【详解】（1）由直线
l1： 4x 3y 5 0，可得斜率 k正确 1 ，3
三、填空题：本题共 4 5 3小题，每小题 分，共 20 分。 因为 l1 l2，所以直线 l2的斜率为 k2 ，4
13.【答案】8
又因为直线 l2过点 1,1 ，所以直线 l y 1
3
2的方程为 (x 1)4 ，即
3x 4y 1 0．
【详解】因为 X 服从二项分布 X ~ B(16,0.5) ,所以 E(X ) np 16 0.5 8 .
7 （2）由圆C： x
2 y 4 2 25，可得圆心C 0,4 ，半径 r = 5，
14．【答案】0.14 /
50 | 4 4 1|
2 则圆心C到直线
l1：3x 4y 1 0的距离为 d 32 2 ，
【详解】依题意， X N 2, ， 3 4
又由圆的弦长公式，可得弦长
| AB | 2 r
2 d 2 2 25 9 8．
所以 P X 2.5 0.5 P(2 X 2.5) 0.5 0.36 0.14 .
4
15. 17 18．(1) 0.054 ;(2)【答案】 9
【详解】依题意， a a 23 (2 5 1) 17 . 【详解】（1）解：记事件 A1：第一台车床加工的零件，记事件 A2：第二台车床加工的零件，4 5
记事件 B：这个零件是次品，
{#{QQABKYQUogigABJAAQhCAwlICAIQkBGAAKoGRBAIIAABCBNABAA=}#}
由题意可得 P(A )
2 3
1 0.4， P(A2) 0.6， P(B | A1) 0.06， P(B | A5 5 2
) 0.05， P(ξ=1)= C1 × 2 × 1 × 1 + 1 22 ×
3 = 7 , P(ξ=2)= C1 × 2 × 1 × 3 + 2 22 ×
1 = 16 = 4 ,
3 3 4 3 4 36 3 3 4 3 4 36 9
由全概率公式可得： P(B) P(A1) P(B | A1) P(A2 ) P(B | A2 ) 0.4 0.06 0.6 0.05 0.054 . P(ξ=3)= 2 2×3 = 1,
3 4 3
（2）解：由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为 ∴ξ的分布列为
P(A | B) P(A1B) P(A1) P(B | A1) 0.024 4
ξ 0 1 2 3
1 P(B) P(B) 0.054 9 . 1 7 4 1
x2 2
P
19 (1) y 1 ; (2) 48 2 36 36 9 3．【答案】
16 12 7
Eξ=0× 1 +1× 7 +2×4+3×1 = 25.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为 c 0， 36 36 9 3 12
1 6
2c b 4 3
21．(1)证明见解析；(2) .
2 a 4 6 2 2
a2 b2 c2
则 ，解得 b 2 3
x y
，所以椭圆C的方程为 1． 【详解】（1）依题意可知 AB AC，则 ABC是等腰直角三角形，故 AO BC，
e c 1 c 2
16 12
a 2 由圆柱的特征可知 BB1 平面 ABC，又 AO 平面 ABC， BB1 AO，
（2）由（1）可知：F1 2,0 ,F2 2,0 ，则 F1F2 4，因为点 F2在椭圆内，可知直线 l与椭圆 E 因为 BB1 BC B,BB1、BC 平面 BCC1B1，则 AO 平面 BCC1B1，
相交，
而B1O 平面 BCC1B1，则 AO B1O，
设直线 l的方程为 x y 2， A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
因为 AB AC AA1 4，则 BC 2AB 4 2, BO2 B B21 1 BO
2 24，
x y 2
联立方程 x2 y2
12 36
，消去 x得7 y2 12y 36 0，由韦达定理得 y
1 1
y2 , y1y2 ，7 7 OE
2 OC 2 CE 2 12,B1E
2 E C 21 B1C
2
1 36 B
2 2
1O OE ，所以 B1O OE，
16 12
12 2 144 24 2 因为 B1O OE ，AO
B1O，AO OE O, AO、OE 平面 AEO，
则 y 21 y2 y1 y2 4y1y2 ，
7 7 7
所以 B1O 平面 AEO，
故 ABF 11的面积 S | F1F2 | | y1 y |
1 4 24 2 48 22 2 ．2 7 7 因为B1O 平面 AB1O，所以平面 AEO 平面 AB1O；
1 1
20. (1) n , , C C10- = 8【解答】解 设该小组中有 个女生 根据题意 得 2 ,C10 15 （2）由题意及（1）知易知 AA1, AB, AC两两垂直，如图所示建立
解得 n=6或 n=4(舍去), ∴该小组中有 6个女生.
1 1 1 1 空间直角坐标系(2)由题意,ξ的取值为 0,1,2,3, P(ξ=0)= × × = ,
3 3 4 36
{#{QQABKYQUogigABJAAQhCAwlICAIQkBGAAKoGRBAIIAABCBNABAA=}#}
则 B1 4,0,4 ,E 0,4,2 ,O 2,2,0 ，所以 AB1 4,0,4 , AE 0,4,2 ,B1O 2,2, 4 ， 又因为MA x1 2, y1 ，MB x2 2, y2 ，由题意可知：
由（1）知 B1O是平面 AEO的一个法向量，设 n x, y, z 是平面 AB1E的一个法向量， MA MB x1 2 x2 2 y1y2 0，
n AB1 4x 4z 0 则 ty n 2 ty n 2 y y 0 2，整理得 t 1 y y t n 2 y y n 2 2 0，
则有 ，取 z 2 x 2, y 1
1 2 1 2
，所以 n 2,1, 2 ， 1 2 1 2
n AE 4y 2z 0
3 t 2 1 n2 4 6t 2n n 2 2
n
B 则 n 2 0，1O 2 2
设平面 AEB
6 6
1与平面 OAE的夹角为 ，所以 cos cosn ,B1O . 3t 4 3t 4n B 61O 3 24
3 t 2 1 n 2 6t 2n
即平面 AEB 6
又因为 n 2，则 n 2 0，可得
与平面 OAE夹角的余弦值为 . 2 2 n 2 0，1
6 3t 4 3t 4
x2 y2 2 2 2 2
22.【答案】（1） 1 （2）证明见解析， , 0 整理得 n ，即直线 l： x ty 过定点 , 0 ；
4 3 7 7 7 7
【解析】【小问 1 详解】设椭圆C的半焦距为 c 0 ， 若直线 l的斜率为 0，则 A x1, y1 ，B x1, y1 ，又因为MA x1 2, y1 ，MB x1 2, y1 ，
c 1 PF 1 1 2 3
2
5 3 2 2
则 ， 2 21 0 ， PF2 ， 由题意可知：MA MB 4 x y 0，即 x y 4
2 2 2
1 1 1 1
2 2
可得 PF1 PF2 4 2a，即 a 2，则b2 a2 c2 3，所以椭圆C
x y
的标准方程为 且 1 1 1，解得 y1 0，此时直线 l： y 0，不合题意；4 3
x2 y2
1； 2 ,0 4 3 综上所述：直线 l过定点 7
.
【小问 2 详解】由题意可知：M 2,0 .
若直线 l的斜率不为 0时，设 x ty n n 2 ， A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
x ty n
2 2 2
联立方程 x2 y2 ，消去 x得 3t 4 y 6tny 3n 12 0，
1 4 3
6tn 2
则 0，可得 y1 y y y
3n 12
2 2 ， ，3t 4 1 2 3t 2 4
{#{QQABKYQUogigABJAAQhCAwlICAIQkBGAAKoGRBAIIAABCBNABAA=}#}南阳市卧龙区博雅学校 2024 1年春期高二年级开学考试 8．已知 A 3,2 ,B 3, 2 ，若动点M 满足直线MA与直线MB的斜率之积为 ，则动点M 的轨迹方程为（ ）3
x2 x2 x2 x2
数学试题 A． y2 1, x 3 B． y2 1, x 3 C． y2 1 D． y2 13 3 3 3
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 的要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
要求的。 9．已知圆C： (x 2)2 y 2 4 ，直线 l：mx y m 1 0，则（ ）
1．已知直线 l : 3x y 2 0，下列说法中正确的是（ ） A．直线 l与圆C的轨迹一定相交
A．直线 l的倾斜角为120 B． 1, 3 是直线 l的一个方向向量 B．直线 l与圆C交于 A,B两点，则 AB 的最大值为3 2
C．直线 l的斜率为 3 D． 3, 1 是直线 l的一个法向量 C．圆C上点到直线 l距离的最大值为 2 1
x D．当m 1时，则圆C上存在四个点到直线 l的距离为 1.2．抛物线的焦点在 轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为 3，则此抛物线的标准方程为（ ）
10．一个袋子中有标号分别为 1，2，3，4的 4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一
A． y2 6x B． y2 3x C． x2 6y D． x2 3y
个．事件 A “两次取出球的标号为 1和 4”，事件 B “第二次取出球的标号为 4”，事件C “两次取出球的
3 x 3
6
． 展开式中的常数项是（ ） 标号之和为 5”，则（ ）
x2
P A 1A． B． P AB 1
A． 135 B．135 C．1215 D． 1215 12 12
1 C．事件A1 与C不互斥 D．事件 B与C相互独立4．甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为 2 ， ，则至3 11.给出下列命题，其中正确的是（ ）
少有一人命中目标的概率（ ）
A．任意向量 a，b， c满足 (a b) c a (b c)
A 1
5 1
． 2 B． C． D
2
．
6 3 3 B．在空间直角坐标系中，点 P( 1,3,5)关于坐标平面 yOz的对称点是 N 1,3,5
N 184,2.52 5．某批待出口的水果罐头，每罐净重 X（单位：g）服从正态分布 ．随机抽取 1罐，其净重在 C．已知 a e1 2e2 e3 ，b e1 3e2 2e3 ，c 3e1 7e2 ， e1,e2 ,e3 为空间向量的一个基底，则向量 a，
179g与 186.5g之间的概率为（ ） b， c能共面
X ~ N , 2 P X （注：若 ， 0.683，P X 2 0.954， P X 3 0.997） D．已知 A( 1,1,2)， B(2,2,4)，C(3, 2,0) 11，则向量 AC在向量 AB上的投影向量是 (3,1, 2)14
2 2
A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755 12 x y．已知椭圆C： 2 1 b 0 的左右焦点分别为F1、F2，点 P 2,1 在椭圆内部，点Q在椭圆上，4 b
6．已知直线 l : x y 4 0 C : x 1 2 y 1 2与圆 2，则C上各点到 l的距离的最小值为（ ） 椭圆C的离心率为 e，则以下说法正确的是（ ）
A．1 B．2 C． 2 D．2 2 A．离心率 e的取值范围为 (0, 2 ) B 2 6．当 e 时， QF1 QP 的最大值为 4 2 4 2
1 1
7．已知数列 3, 53, 57，,L··7·L，2n 21n, 21n, 21n 1，则 47是这个数列的（ ） C．存在点Q，使得QF1 QF2 0 D． QF QF 的最小值为11 2
A．第 20项 B．第 21项 C．第 22项 D．第 23项
试卷第 1页，共 2页
{#{QQABKYQUogigABJAAQhCAwlICAIQkBGAAKoGRBAIIAABCBNABAA=}#}
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
20.某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的
13．若 X 服从二项分布 B 16,0.5 ，则 X 的期望为______．
某一个小组中有男、女生共 10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选２人参加测试，其中恰
14．已知随机变量 X 服从正态分布 N 2, 2 ，且 P(2 X 2.5) 0.36，则 P X 2.5 . 8为一男一女的概率为 ．
15
2n 1,n为奇数
(1)求该小组中女生的人数；
15．在数列 an 中，若 an n 1 ，则 a4 a5的值为___________.
2 ,n为偶数 (2) 3 2假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为 ，每个男生通过的概率均为 ；
4 3
x2 y216．已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)与抛物线 y
2 4x有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P .若 现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙 3个人进行测试，记这 3人中通过测试的人数为随机变量ξ,求ξ的分
a b
布列和数学期望．
PF 5 ，则点 P的坐标为 ；双曲线的渐近线方程为 .
2
四、解答题：本题共 4 小题，共 40 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．已知直线 l1： 4x 3y 5 0与 l2垂直，且 l2经过点 1,1 ．
21．如图所示，用平面 BCC1B1表示圆柱的轴截面，BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线 CC1
(1)求 l2的方程;
的中点，已知 AA1为一条母线，且 AB AC AA1 4．
(2) l C x2 y 4 2若 2与圆 ： 25相交于A， B两点，求 AB ．
(1)求证：平面 AEO 平面 AB1O；
(2)求平面 AEB1与平面 OAE夹角的余弦值．
18．现有两台车床加工同一型号的零件，第 1台车床加工的零件次品率为 6%，第 2台车床加工的零件次
品率为 5%，加工出来的零件混放在一起已知第 1台车床加工的零件数与第 2台车床加工的零件数之比为 2：
3，从这些零件中任取一个.
(1)求这个零件是次品的概率；
(2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.
x2 y2 3 22. 已知椭圆C : 的左、右焦点为 F 1,0 ，F 1,0 ，且经过点 P 1, ，点M
x2 y2 1 2 2
1 a 0,b 0 1 2
19 2．已知椭圆E : 2 2 1(a b 0)的离心率为 2 ，F1， F2分别是E的左、右焦点，E上的动点 P满足
a b
a b
为椭圆C的右顶点，直线 l与椭圆C交于 A,BPF （异于点M ）两点.△ 1F2面积的最大值为 4 3．
(1)求椭圆 的标准方程；
(1) C求E的方程；
(2)若以 AB为直径的圆过点M ，求证直线 l过定点，并求该定点坐标.
(2)过点 F2且斜率为 1的直线 l与E交于 A，B两点，求 F1AB的面积．
试卷第 2页，共 2页
{#{QQABKYQUogigABJAAQhCAwlICAIQkBGAAKoGRBAIIAABCBNABAA=}#}
