2023-2024学年沪科版下学期七年级数学周测（9.1）
一、单选题
1．下列各式，，，，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
【详解】解：根据题意，
与是分式；其余3个是整式；
故选：B
【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最简分式的定义逐项判定即可．
【详解】解：A．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
D．是最简分式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查最简分式，分式的分子分母不含有公因式的分式叫最简分式．
3．如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．缩小到原来的 D．扩大9倍
【答案】A
【分析】把原分式中的m和n分别换为3m和3n，然后进行化简，再与原分式进行比较即可得出结论．
【详解】解：m和n都扩大3倍时，
原分式变为：，
即把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值不变．
故选A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，把m，n分别换成3m，3n是解题关键．
4．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x＞0 C．x≥﹣2且x≠0 D．x＞﹣2且x≠0
【答案】C
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件进行求解即可得．
【详解】解：∵分子为二次根式，
∴，
解得：，
∵x在分母上，
∴，
∴且，
故选：C．
【点睛】题目主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题关键．
5．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B．0 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子等于，且分母不等于．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，解得，
故选D．
6．分式和的最简公分母是（ ）
A．2xy B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简公分母的确定方法解答即可．
【详解】解：分式和的最简公分母是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了最简公分母的确定方法，确定最简公分母的一般方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
7．一个长方形的面积是，长是8m，则宽是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】∵一个长方形的面积是，长是8m，
∴宽为
故选：B
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．已知，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】D
【分析】本题考查了分式的求值，利用完全平方公式进行变形求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选D．
9．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对
【答案】A
【分析】根据图形列代数式即可得出结果．
【详解】解：甲得出的结果为：，
即，符合题意；
乙得出的结果为：，不符合题意；
故选：A．
【点睛】题目主要考查根据图形列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．
10．关于分式，有下列说法，错误的有（ ）个：
（1）当x取1时，这个分式有意义，则a≠3；
（2）当x＝5时，分式的值一定为零；
（3）若这个分式的值为零，则a≠﹣5；
（4）当x取任何值时，这个分式一定有意义，则二次函数y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可．
【详解】解：（1）当取1时，，要使分式有意义即，解得，
故说法正确；
（2）当时，，若，则分式无意义，
故说法错误；
（3）由题意得，解得，
故说法正确；
（4）当x取任何值时，分式一定有意义，即，则y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点，
故说法正确；
综上所述：错误的说法有1个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零分母不等于零．
二、填空题
11．当 时，分式有意义．
【答案】≠1
【分析】根据分式有意义的条件即可进行解答．
【详解】∵分式有意义，
∴x-1≠0，解得：x≠1
故答案为：≠1
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练地掌握当分母不等于0时分式有意义是解题的关键．
12．分式的值为，则的值为 .
【答案】5
【分析】根据分式值为零的条件可得x 5＝0，且x＋5≠0，再解即可．
【详解】由题意得：x 5＝0，且x＋5≠0，，
解得：x＝5，
故填：5.
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
13．化简： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的基本性质；先将分子和分母分别进行因式分解，再运用分式的性质化简即可．
【详解】，
故答案为：．
14．已知实数a、b、c满足(a－b)2＝ab＝c，有下列结论：①当c≠0时，＝3；②当c＝5时，a＋b＝5：③当a、b、c中有两个相等时，c＝0；④二次函数y＝x2＋bx－c与一次函数y＝ax＋1的图象有2个交点．其中正确的有
【答案】①④
【分析】按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案即可．
【详解】解：①：∵(a-b) =ab，
∴a +b =3ab，对等式两边同时除以ab(ab≠0)，∴=3，此①正确；
②：当c=5时，ab=c=5，(a-b) =c=5
又由公式：(a+b) =(a-b) +4ab得：
(a+b) =5+4×5=25，∴a+b=±5，故②错误；
③：当a=c，b=1时，即(a-1) =a，解得a=c=≠0，故③错误；
④：联立二次函数与一次函数解析式，得到：
x2＋bx－c＝ax＋1，整理得：x2＋(b-a)x－c－1＝0，
△=(b-a)2-4×1×(-c-1)=c+4c+4=5c+4
∵(a－b)2总是大于等于0
∴(a－b)2=c≥0
∴5c≥0
∴5c+4≥4
故△=5c+4≥4>0，∴它们的图像总有2个交点，故④正确.
故答案为：①④.
【点睛】此题考查完全平方公式运算、一元二次方程、二次函数图形的性质等，灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题．
三、解答题
15．写出一个分式，使它分别满足下列条件：
（1）当时，它没有意义． （2）当时，它有意义．
【答案】（1）；（2）
【分析】根据分式有、无意义的条件，任意写出一个符合条件的分式即可．
【详解】解：（1）当时，分母为0，分式无意义，故分式可以为；
（2）当时，分母不为0，分式有意义，故分式可以为．
【点睛】本题考查了分式有、无意义的条件，当分式分母为0时，分式无意义，当分式分母不等于0时，分式有意义．
16．已知，取哪些值时：
（1）的值是正数．
（2）的值是负数．
（3）的值是零．
（4）分式无意义．
【答案】（1）且；（2）；（3）；（4）
【分析】先在分式有意义的条件下化简，再考虑（1）、（2）、（3）、（4）小题.
（1）y的值是正数，则分式化简后的结果是正数，据此可求；
（2）y的值是负数，则分式化简后的结果是负数，据此可求；
（3）分式的值是0，则分式化简后的结果等于0，据此可求；
（4）分式无意义的条件是原分式的分母等于0，据此可求．
【详解】解：
=
=
由上可知，当时，分式有意义化简的结果是m+1；
（1）由y为正数得：＞0，
∴m＞-1且．
（2）由y为负数得：＜0，
∴m＜-1．
（3）由y为零得：=0，
∴m=-1．
（4）由分式无意义得：，
∴m=2．
【点睛】本题主要考查了分式的值的正负，以及值是0、分式有意义的条件，先化简再求解是解决本题的关键．易错点是第（1）问会漏了这个限制条件.
17．已知，求的值．
【答案】
【分析】根据，可得：，将分式变形为，整体代入化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴
．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
18．甲完成一项工作需要天，乙完成这项工作要比甲多8天，设工作总量为1，写出表示甲、乙两人工作效率的式子，若两式的分母不同，则将两个式子进行通分．
【答案】甲的工作效率为，乙的工作效率为，通分后甲的工作效率为，乙的工作效率为
【分析】把这项工作看作单位“1”，然后根据题意可直接进行求解．
【详解】解：甲的工作效率为，
乙的工作效率为．
，
．
【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
19．已知a,b为实数,且,．
通分：；
试求的值．
【答案】(1), ;(2)0或.
【详解】解：（1）,
；
（2）,
，，
∴，
∴
当时，
当时，
综上可得，或．
【点睛】本题考查分式的通分和求值，找到最简公分母是通分的关键，第（2）题利用完全平方公式求出是关键.
20．如图1，有一个高为的瓶子，瓶中水面的高度为，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当时，求出这个比值．
【答案】，
【分析】此题考查圆柱体体积的应用，解题的关键是理解掌握“转化”的思想方法在推导过程中的应用．
根据“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”，即可列式；
瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，即底面积底面积，也就是底面积；水的体积为底面积，即可得到答案．
【详解】解：瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，
设瓶子的底面积为S，即；水的体积为，
瓶中水的体积与瓶子容积之比为，
∵瓶子的容积底面积底面积底面积，水的体积底面积，
∴瓶中水的体积：瓶子容积（底面积）：（底面积），
答：这个比值是．
21．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，．
如，．
材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，．
（1）_________ ________；
（2）求的值；
（3）若有理数m，n满足，请直接写出的结果．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据新定义的运算规则，分别求解即可；
（2）根据新定义的运算规则，将式子进行展开，然后求解即可；
（3）设，根据题意求得有理数m，n的值，然后代入式子求解即可．
【详解】解：（1）根据新定义的规则，可得
，
（2）
（3）设，则，
由题意可得：，解得
则，
【点睛】此题考查了新运算定义的求解，以及一元一次方程的求解，解题的关键是理解新运算的定义规则，运用规则进行求解．
22．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是_______（填写序号即可）；
(2)若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值_______；
(3)在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果_______．
；；．
【答案】(1)②
(2)4
(3)、，
【分析】本题主要考查了分解因式，约分，新定义：
（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可；
（2）根据“和谐分式”的定义可得可以分解因式，且分解的因式中不能含有，据此可得答案；
（3）把多项式；先分解因式可得多项式分解因式后与多项式和都有公因式，则只能选取和，据此可得答案．
【详解】（1）解：①，分子和分母都不能分解因式，且不能约分，故不是“和谐分式”；
②，分母可以分解因式，分子不可以分解因式，且不能约分，是“和谐分式”；
③，分母可以分解因式，分子不可以分解因式，且能约分，不是“和谐分式”；
④，分母可以分解因式，分子可以分解因式，且能约分，不是“和谐分式”；
∴只有②是“和谐分式”，
故答案为：②；
（2）解：∵为“和谐分式”，
∴可以分解因式，且分解的因式中不能含有，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上所述，，
故答案为：4；
（3）解：；，
∴多项式分解因式后与多项式和都有公因式，
∴多项式不能作为分母或者分子，
∴组成的分式有、，
故答案为：、．
23．材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式是__________分式（填“真”或“假”）；
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：__________．
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
【答案】(1)①真；②
(2)或或或
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值；
【详解】（1）解：①分式中，分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式；
②，
故答案为：①真；②；
（2）解：
若这个分式的值为整数，
则或或或，
∴或或或．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版下学期七年级数学周测（9.1）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．下列各式，，，，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
3．如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．缩小到原来的 D．扩大9倍
4．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x＞0 C．x≥﹣2且x≠0 D．x＞﹣2且x≠0
5．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B．0 C． D．3
6．分式和的最简公分母是（ ）
A．2xy B． C． D．
7．一个长方形的面积是，长是8m，则宽是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
9．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对
10．关于分式，有下列说法，错误的有（ ）个：
（1）当x取1时，这个分式有意义，则a≠3；
（2）当x＝5时，分式的值一定为零；
（3）若这个分式的值为零，则a≠﹣5；
（4）当x取任何值时，这个分式一定有意义，则二次函数y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．当 时，分式有意义．
12．分式的值为，则的值为 .
13．化简： ．
14．已知实数a、b、c满足(a－b)2＝ab＝c，有下列结论：①当c≠0时，＝3；②当c＝5时，a＋b＝5：③当a、b、c中有两个相等时，c＝0；④二次函数y＝x2＋bx－c与一次函数y＝ax＋1的图象有2个交点．其中正确的有
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．写出一个分式，使它分别满足下列条件：
（1）当时，它没有意义． （2）当时，它有意义．
16．已知，取哪些值时：
（1）的值是正数．
（2）的值是负数．
（3）的值是零．
（4）分式无意义．
17．已知，求的值．
18．甲完成一项工作需要天，乙完成这项工作要比甲多8天，设工作总量为1，写出表示甲、乙两人工作效率的式子，若两式的分母不同，则将两个式子进行通分．
19．已知a,b为实数,且,．
通分：；
试求的值．
20．如图1，有一个高为的瓶子，瓶中水面的高度为，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当时，求出这个比值．
21．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，．
如，．
材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，．
（1）_________ ________；
（2）求的值；
（3）若有理数m，n满足，请直接写出的结果．
22．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是_______（填写序号即可）；
(2)若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值_______；
(3)在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果_______．
；；．
23．材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式是__________分式（填“真”或“假”）；
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：__________．
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
