2023-2024学年沪科版下学期七年级数学周测（9.3）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．分式方程的解为（ ）
A．x = 1 B．x = 2 C．x = 3 D．x = - 1
2．解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
3．定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图像经过点 B．该函数不经过第四象限
C．当时， D．随增大而减小
4．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车从甲地到乙地的速度比原来提高了，结果比原来提前0.4小时到达，那么这辆汽车原来的速度为（ ）
A．80千米/小时 B．90千米/小时 C．100千米/小时 D．110千米/小时
5．若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
6．已知关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．0 B．0或 C． D．0或
7．青年志愿团队到某地开展志愿服务活动，他们从距离活动地点的地方出发．一部分人骑自行车先走，过了后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车速度是志愿者骑车速度的2倍，设志愿者骑车的速度为．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天,若由甲队先做10天,剩下的工程由甲、乙两队合作8天可完成,问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天,则可列方程为（ ）
A． B．10＋8＋x＝30 C． D．
9．甲、乙两人分别从距离目的地6 km和10 km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2∶3，结果甲比乙提前20 min到达目的地．设甲的速度为2x km/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A．＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝＋20
10．《九章算术》中记载：“今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？”大意是说：兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果狗不停的话，再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．关于x的分式方程无解，则 ．
12．关于的方程的解是，则 ．
13．当= 时，分式的值是零．
14．若关于x的方程有增根，则 ．
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．解方程：．
16．先化简，再求值：，其中是方程的解．
17．观察下列算式：①，②，③……
(1)由上式可以类似推出④式为： ；
(2)用含字母n的等式表示（1）中的一般规律（n为非零自然数）；
(3)用以上方法解方程：
18．庐江某中学今年举行两次学生课外知识竞赛，每次都用600元购买相同型号的笔记本奖励学生，第二次每本的单价比第一次提高25%，购进数量比第一次少了30本．求第一次每本笔记本的单价是多少元？
19．下面是小明解方程的过程，请认真阅读并回答问题．
．
解：方程两边同时乘最简公分母，得
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
(1)任务一：①解题过程中，第一步的最简公分母是______；
②第二步到第三步变形的依据是______．
(2)任务二：上述解法是否完整？若不完整，请补充完整．
(3)任务三：学以致用，请解方程：．
20．已知，，其中．
(1)求证 ；
(2)代数式的值能否等于？若能，求出x的值；若不能，说明理由；
(3)若x是整数，试求代数式的整数值．
21．某列车平均提速．用相同的时间，该列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，求提速前该列车的平均速度．
路程 速度 时间
提速前 200 x
提速后 ① ②
(1)设提速前该列车的平均速度为，补全表格；
(2)列出方程并解答．
22．某学校计划选购、两种图书．已知种图书每本价格是种图书每本价格的2.5倍，用1200元单独购买种图书比用1500元单独购买种图书要少25本．
（1）、两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该学校计划购买种图书的本数比购买种图书本数的2倍多8本，且用于购买、两种图书的总经费不超过1164元，那么该学校最多可以购买多少本种图书？
23．已知 的解为正数，求的取值范围．
关于这道题，有位同学作出如下解答：
解：去分母得， ，
化简，得 ，
故．
要使方程的根为正数，必须，
得．
所以，当时，方程的解是正数．
（1）写出第一步变形的依据 .
（2）上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答; 若没有错误请说明其余每一步解法的依据.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版下学期七年级数学周测（9.3）
一、单选题
1．分式方程的解为（ ）
A．x = 1 B．x = 2 C．x = 3 D．x = - 1
【答案】C
【详解】
去分母得：2x-2=x+1，
移项合并得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
故选C.
2．解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】解：解方程去分母，两边同乘后的式子为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
3．定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图像经过点 B．该函数不经过第四象限
C．当时， D．随增大而减小
【答案】D
【分析】根据新运算“”的运算方法，得出与的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．
【详解】解：，
．
A．当时，，所以该函数图像不经过点，故本选项不符合题意；
B．该函数图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C．当时，，故本选项不符合题意；
D．∵，∴随增大而减小，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象以及一次函数，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
4．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车从甲地到乙地的速度比原来提高了，结果比原来提前0.4小时到达，那么这辆汽车原来的速度为（ ）
A．80千米/小时 B．90千米/小时 C．100千米/小时 D．110千米/小时
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：设这辆汽车原来的速度为千米/小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
即这辆汽车原来的速度为80千米/小时，
故选：A．
5．若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】根据不等式组有解可得a＜4，再根据分式方程有非负数解可得y≥0且y≠2，然后进行计算即可解答．
【详解】解：关于x的不等式组，
解①得：x≤6，
解②得：x＞a+2，
∵不等式组有解，
∴a+2＜6，
∴a＜4，
关于y的分式方程，
a+1-3=2（y-2），
a-2=2y-4，
2y=a+2，
∴y=1+a，
由题意可得：
y≥0且y≠2，
∴1+a≥0且1+a≠2，
∴a≥-2且a≠2，
综上所述：
-2≤a＜4且a≠2，
∵a为整数，
∴a=-2，-1，0，1，3，
∴-2+（-1）+0+1+3=1，
∴符合条件的所有整数a的和为1，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0．
6．已知关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．0 B．0或 C． D．0或
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母想，得到或，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．
【详解】解：方程两边都乘
得
原方程有增根，
最简公分母，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
所以增根的值为0．
故选：A
7．青年志愿团队到某地开展志愿服务活动，他们从距离活动地点的地方出发．一部分人骑自行车先走，过了后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车速度是志愿者骑车速度的2倍，设志愿者骑车的速度为．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，首先根据题意得汽车速度是，再将转化为然后根据“同时到达”列出方程即可得出答案．
【详解】解：∵志愿者骑车的速度为，汽车的速度是骑车师生速度的2倍，
∴汽车的速度是，
又∵，
∴．
故选：D．
8．甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天,若由甲队先做10天,剩下的工程由甲、乙两队合作8天可完成,问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天,则可列方程为（ ）
A． B．10＋8＋x＝30 C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：根据等量关系“甲队先做10天,剩下的工程由甲、乙两队合作8天可完成”列方程即可得D正确.
考点：分式方程的应用
9．甲、乙两人分别从距离目的地6 km和10 km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2∶3，结果甲比乙提前20 min到达目的地．设甲的速度为2x km/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A．＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝＋20
【答案】B
【分析】根据等量关系乙走10km用的时间＝甲走6km用的时间＋20min列方程即可．
【详解】解：设甲的速度为2x km/h，则乙的速度为3x km/h．
根据题意，得＝＋，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据关键描述语：甲比乙提前20min到达目的地，找到等量关系是解决问题的关键．
10．《九章算术》中记载：“今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？”大意是说：兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果狗不停的话，再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】D
【分析】根据题意可得狗与兔子的速度比为250：180，设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：（x-30）步，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：兔子先出发100步，狗跑了250步后距兔子30步，
∴兔子跑了250-100+30=180（步），
即狗与兔子的速度比为250：180，
设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：（x-30）步，根据题意得：
＝．
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到狗与兔子的速度比为250：180是解题的关键．
二、填空题
11．关于x的分式方程无解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式方程的无解问题，把分式方程的增根代入去分母的整式方程求解即可．
【详解】解：原方程可化为，
方程两边同乘得，，
∴，
∵关于x的分式方程无解，
∴，即，
∴，
故答案为：．
12．关于的方程的解是，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查分式方程的解，依据题意，把分式方程转化为整式方程，再将代入求解可得．解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
将代入，得：，
解得，
故答案为：1．
13．当= 时，分式的值是零．
【答案】1
【分析】本题考查解分式方程．根据题意列方程利用因式分解化简即可得到本题答案．
【详解】解：，
即：，
，即：，
检验：当时，，故是方程的解，
故答案为：1．
14．若关于x的方程有增根，则 ．
【答案】或4/4或
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，正确理解分式方程增根的产生原因是解答本题的关键，首先去分母并哈见整理，得，将两个增根分别代入即可求得答案．
【详解】方程两边同时乘以，得，
即，
为增根，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以或4，
故答案为：或4．
三、解答题
15．解方程：．
【答案】，
【分析】先去分母化成整式方程，解完整式方程后，经检验即可得到答案
【详解】解：，
去分母得，，
整理得，，
解得：，，
检验：当，时，均不等于0，
故，都是原方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程的能力．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根；（3）去分母时要注意符号的变化．
16．先化简，再求值：，其中是方程的解．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则计算化简，再求出方程的解，代入求值即可．
【详解】解：原式，
解方程，
去分母得：
去括号得：
解得．
故原式．
17．观察下列算式：①，②，③……
(1)由上式可以类似推出④式为： ；
(2)用含字母n的等式表示（1）中的一般规律（n为非零自然数）；
(3)用以上方法解方程：
【答案】(1)
(2)它的一般规律是（n为非零自然数）；
(3)
【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类．
（1）仿照已知等式推理得出下一个等式即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用拆项的方法化简方程，求出解即可．
【详解】（1）解：∵①，②，③，
∴由上式可以类似推出④式为：；
故答案为：；
（2）解：根据题意可得：它的一般规律是（n为非零自然数）；
（3）解：将方程化为：，
即，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴原方程的解为．
18．庐江某中学今年举行两次学生课外知识竞赛，每次都用600元购买相同型号的笔记本奖励学生，第二次每本的单价比第一次提高25%，购进数量比第一次少了30本．求第一次每本笔记本的单价是多少元？
【答案】4元
【分析】根据数量关系设未知数，直接列方程求解即可．
【详解】解：设第一次每本笔记本单价为x元，根据题意得：
，
解得，
经检验：是原分式方程的解．
答：第一次每本笔记本的单价为4元．
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，解题关键是解出分式方程后需要检验解是否有意义．
19．下面是小明解方程的过程，请认真阅读并回答问题．
．
解：方程两边同时乘最简公分母，得
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
(1)任务一：①解题过程中，第一步的最简公分母是______；
②第二步到第三步变形的依据是______．
(2)任务二：上述解法是否完整？若不完整，请补充完整．
(3)任务三：学以致用，请解方程：．
【答案】(1)①；②等式的性质
(2)不完整，见解析
(3)无解
【分析】（1）第一步的最简公分母是；第二步根据等式的性质；
（2）根据分式方程的解要检验，补充完整即可；
（3）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，解方程，然后检验，即可求解．
【详解】（1）任务一：①解题过程中，第一步的最简公分母是；
②第二步到第三步变形的依据是等式的性质；
故答案为：①；②等式的性质．
（2）不完整，没有检验，
当时，，
∴是原方程的解；
（3）解：
方程两边同时乘以最简公分母，
，
即，
解得：，
当时，，
∴是原方程的增根，
原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
20．已知，，其中．
(1)求证 ；
(2)代数式的值能否等于？若能，求出x的值；若不能，说明理由；
(3)若x是整数，试求代数式的整数值．
【答案】(1)见解析；
(2)能，；
(3)6或或4或0或3或1；
【分析】（1）本题考查分式的化简求值及完全平方公式非负性的运用，先通分，在将分子配方即可得到答案；
（2）本题考查分式方程的应用，根据值等于列方程求解即可得到答案；
（3）本题考查分式的化简求值，先化简根据整式列式求解即可得到答案；
【详解】（1）证明：
，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：能，理由如下，
，
当时，解得，
经检验，是原分式方程的解；
（3）解：由题意可得，
，
∵是整数，且x是整数，
∴或或，即或或1或或3或，
∴或或4或0或3或1．
21．某列车平均提速．用相同的时间，该列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，求提速前该列车的平均速度．
路程 速度 时间
提速前 200 x
提速后 ① ②
(1)设提速前该列车的平均速度为，补全表格；
(2)列出方程并解答．
【答案】(1)①，②
(2)提速前该列车的平均速度为．解答过程见解析
【分析】（1）设提速前该列车的平均速度为，根据列车平均提速，即可得到提速后速度，根据路程除以速度等于时间即可得到提速后行驶的时间，即可补全表格；
（2）根据时间相等结合表格即可得到方程，解方程并检验即可得到解答．
【详解】（1）解：设提速前该列车的平均速度为，
∵列车平均提速，
∴提速后速度为，
∴提速后行驶的时间为，
补全表格为：
路程 速度 时间
提速前 200 x
提速后
（2）设提速前该列车的平均速度为，根据时间相等得到方程，，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
答：提速前该列车的平均速度为．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确表示各个量是解题的关键．
22．某学校计划选购、两种图书．已知种图书每本价格是种图书每本价格的2.5倍，用1200元单独购买种图书比用1500元单独购买种图书要少25本．
（1）、两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该学校计划购买种图书的本数比购买种图书本数的2倍多8本，且用于购买、两种图书的总经费不超过1164元，那么该学校最多可以购买多少本种图书？
【答案】（1）种图书每本价格为60元，种图书每本价格为24元；（2）该学校最多可以购买26本种图书
【分析】（1）设种图书每本价格为元，则种图书每本价格是元，
利用“1200元单独购买种图书比用1500元单独购买种图书要少25本”列出方程，即可求出答案；
（2）根据题意表示出购买A、B两种图书的总经费进而得出不等式，并求出答案．
【详解】解：（1）设种图书每本价格为元，则种图书每本价格是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，则，
答：种图书每本价格为60元，种图书每本价格为24元.
（2）设购买种图书本书为元，则购买种图书的本数为：
故，
解得：，故，
答：该学校最多可以购买26本种图书.
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．
23．已知 的解为正数，求的取值范围．
关于这道题，有位同学作出如下解答：
解：去分母得， ，
化简，得 ，
故．
要使方程的根为正数，必须，
得．
所以，当时，方程的解是正数．
（1）写出第一步变形的依据 .
（2）上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答; 若没有错误请说明其余每一步解法的依据.
【答案】(1)等式两边都乘以同一个整式，等式仍然成立(2)解法错误
【分析】首先观察解题过程，知道解法中没有考虑方程的解必须使方程中的分母不等于0，而解题过程中忽视了验根，所以解法有错误，由此纠正即可解决问题．
【详解】(1)等式两边都乘以同一个整式，等式仍然成立；
(2)解法错误.
没有考虑，即．
∴正确的结果是且
【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，尤其解方程时必须验根，这是学生经常犯的错误．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
