2023-2024学年沪科版下学期七年级数学周测（8.4-8.5）
一、单选题
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
2．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2y2﹣z2=x2（y+z）（y﹣z） B．﹣x2y+4xy=﹣xy（x+4）
C．9﹣12a+4a2=﹣（3﹣2a）2 D．（x+2）2﹣9=（x+5）（x﹣1）
【答案】D
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式进而得出答案．
【详解】解：A、x2y2﹣z2=（xy+z）（xy﹣z），故此选项错误；
B、﹣x2y+4xy=﹣xy（x﹣4），故此选项错误；
C、9﹣12a+4a2=（3﹣2a）2，故此选项错误；
D、（x+2）2﹣9=（x+2+3）（x+2﹣3）=（x+5）（x﹣1），正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
3．多项式77x2-13x-30可分解成（7x+a）（bx+c），其中a，b，c均为整数，求a+b+c的值为
A．0 B．10
C．12 D．22
【答案】C
【分析】利用十字相乘法将77x2-13x-30因式分解，求得a，b，c的值，即可得a＋b＋c的值．
【详解】利用十字相乘法将77x2-13x-30因式分解，可得：77x2-13x-30=(7x-5)(11x+6)．
∴a=-5，b=11，c=6，
则a+b+c=（-5）+11+6=12．
故选C．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练运用十字相乘法分解因式是解题的关键．
4．对多项式进行因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先将原式变形为，再利用提公因式法分解．
【详解】解：原式=．
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
5．已知a＋b＝－1，则3a2＋3b2＋6ab－4的值是( )
A．1 B．－7 C．－3 D．－1
【答案】D
【分析】由a+b=﹣1，把3a2＋3b2＋6ab－4的前三项利用提取公因式法、完全平方公式分解因式，再整体代入即可．
【详解】∵a+b=﹣1，∴3a2＋3b2＋6ab－4=3（a+b）2－4=3－4=－1．
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解的实际运用，掌握提取公因式法与完全平方公式分组分解，整体代入是解决问题的关键．
6．如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．140 B．70 C．35 D．24
【答案】B
【分析】由矩形的周长和面积得出，，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，根据矩形的周长和面积公式得到，是解答关键．
7．如果多项式abc+ab2－a2bc的一个因式是ab，那么另一个因式是（ ）
A．c－b+5ac B．c+b－5ac C．ac D．－ac
【答案】B
【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解，本题提取公因式ab．
【详解】解：abc+ab2－a2bc=
故另一个因式为∶（c＋b 5ac），
故选B．
【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键是明确当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，提取公因式后剩下的因式是原多项式除以公因式所得的商．
8．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为( )
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
【答案】B
【详解】∵M=x +y ，N=2xy，
∴M N=x +y 2xy=(x y) ，
∵(x y)2 0，
∴M N.
故选B.
9．如果有理数满足关系式， 那么代数式的值（ ）
A．必为正数 B．必为负数 C．可正可负 D．可能为0
【答案】B
【分析】几个有理数相乘除，若有奇数个负数，则为负，有偶数个负数，则为正．本题可先分别计算每一项的符号，可以发现只有一项小于0，所以必为负数．
【详解】解：∵a＜b＜0＜c
∴c2＞0，b2＞0，a＜0，b-a＞0，
为负数
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解本题的关键是判断出每一项的正负号，然后进行判断得出结果．
10．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式分解因式计算即可．
【详解】解：
故选D．
【点睛】本题考查了利用因式分解计算，熟练掌握是解答本题的关键．
二、填空题
11．分解因式 ．
【答案】
【分析】把前面三项作为一组，正好是完全平方公式，再用平方差公式分解即可．
【详解】，
，
，
．
故答案为：(x-y+1)(x-y-1)
【点睛】本题考查了因式分解中的分组分解法和公式法，关键是正确分组，注意分组时要保证下一步能够进行，分组的方法可以是两项一组，也可以是三项一组．
12．已知m－n＝3，则m2－n2－6n的值为 ．
【答案】9
【分析】先把m2－n2分解因式；再整体代入求值，再分解因式，再代入求值即可．
【详解】解： m－n＝3，
m2－n2－6n
故答案为：9
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，掌握“平方差公式分解因式”是解本题的关键．
13．若a，b都是有理数，且满足，则 ．
【答案】1
【分析】由，可得可得，，再代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，因式分解的应用，乘方运算的符号的确定，求解是解本题的关键．
14．已知：与能使二次三项式的值为零，那么将分解因式的结果为： ．
【答案】
【分析】直接利用能使二次三项式的值为零，即为方程的根，进而分解因式得出即可．
【详解】解：∵与能使二次三项式的值为零，
∴
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确理解题意是解题关键．
三、解答题
15．因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据提取公因式法，即可分解因式；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式，即可分解因式．
【详解】（1）=；
（2）=．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法和完全平方公式，是解题的关键．
16．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣1≤x＜2
【分析】根据一元一次不等式求解方法，分别求解不等式，并在数轴上表示，重合的部分即为不等式组解集．
【详解】解：不等式组：，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解是﹣1≤x＜2，
在数轴上表示：
．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握解一元一次不等式的解集是解题的关键．
17．学习了多项式的因式分解后，对于等式x2＋1＝x(x＋)，小峰和小欣两人产生了激烈地争论．小峰说这种变形不是因式分解，但也说不清理由；小欣说是因式分解，因为等式右边是乘积的形式，你认为小欣的说法正确吗？为什么？
【答案】小欣的说法不正确，理由见解析
【分析】根据因式分解的概念进行分析即可得.
【详解】小欣的说法不正确，
因为因式分解是把一个多项式化为若干个整式的积的形式，
等式右边的x＋不是整式(分母含有字母)，因此这种变形不是因式分解．
【点睛】本题考查了对因式分解概念的理解，正确理解因式分解的概念是解题的关键.
18．定义新运算：．
例如：，．
(1)计算；计算；
(2)已知，，说明：的值与m无关；
(3)已知，记，，试比较M，N的大小．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据定义新运算计算即可；
（2）由，可得①，②，则①＋②×2得，即可得到结论；
（3）先求得，，进一步得到，由得到，，又由即可得到结论．
【详解】（1）解：，
；
（2）∵，，
∴，，
∴①，②，
①＋②×2得，，
∴的值与m无关；
（3），，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即．
【点睛】此题考查了新定义运算，用到了有理数混合运算、整式的乘法和因式分解等知识点，读懂题意，正确运算是解题的关键．
19．（1）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，求a2b+3a3b3+ab2的值；
（2）已知a+b＝8，ab＝16+c2，求（a﹣b+c）2018的值．
【答案】（1）a2b+3a3b3+ab2＝3070；（2）（a﹣b+c）2018＝0
【分析】（1）对原式提取公因式，然后整体代入即可；
（2）先利用已知条件找到之间的关系，得出（a﹣b）2+c2＝0，然后代入到原式中求值即可.
【详解】解：（1）解：∵a+b＝7，ab＝10，
∴a2b+3a3b3+ab2＝ab（a+3a2b2+b）＝3070；
（2）∵a+b＝8，ab＝16+c2，
∴（a+b）2﹣4ab＝﹣c2，
∴（a﹣b）2+c2＝0，
∴a﹣b＝0，c＝0，
∴（a﹣b+c）2018＝0
【点睛】本题主要考查提公因式法，整体代入法，能够对式子进行适当变形，从而使之与已知条件产生联系是解题的关键.
20．对任意一个正整数m，如果m=n（n+1），其中n是正整数，则称m为“优数”，n为m的最优拆分点，例如：72=8×（8+1），则72是一个“优数”，8为72的最优拆分点．
(1)请写出一个“优数” ，它的最优拆分点是 ；
(2)求证：若“优数”m是5的倍数，则m一定是10的倍数；
(3)把“优数”p的2倍与“优数”q的3倍的差记为D（p，q），例如：20=4×5，6=2×3，则D（20，6）=2×20﹣3×6=22．若“优数”p的最优拆分点为t+4，“优数”q的最优拆分点为t，当D（p，q）=76时，求t的值并判断它是否为“优数”．
【答案】(1)56；7；
(2)见解析；
(3)见解析.
【分析】（1）直接利用“优数”的定义即可得出结论；
（2）分n为奇数和偶数两种情况讨论，即可得出结论；
（3）先利用D（p，q）=76建立方程求出t的值，再判断即可得出结论．
【详解】（1）解：∵56=7×（7+1），
∴56是“优数”，
它的最优拆分点是7．
故答案为56，7；
（2）∵“优数”m是5的倍数，
∴n（n+1）是5的倍数，（n是正整数），
当n为奇数时，n+1是偶数，
∴n（n+1）是能被5整除的偶数，
故n（n+1）是10的倍数，
当n为偶数时，
n（n+1）是能被5整除的偶数，
故n（n+1）是10的倍数，
即：“优数”m是5的倍数，则m一定是10的倍数；
（3）由题意知：p=（t+4）（t+5），q=t（t+1）
∵D（p，q）=2p﹣3q=76，
∴2（t+4）（t+5）﹣3t（t+1）=76，
∴t=3或t=12，
∴3不是“优数”，12是“优数”．
【点睛】本题是因式分解的应用，主要考查了新定义，数的整除，理解和灵活运用新定义是解答本题的关键．
21．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正五形，五块是长为，宽为的全等小长方形．且．（以上长度单位：）
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________．
（2）若每块小长方块的面积为，四个正方形的面积和为．
①试求图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和；
②求的值．
【答案】（1）（2m+n）（m+2n）；（2）①66cm；②41
【分析】（1）根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解；
（2）①根据题意可得mn，2m2+2n2，从而可得从而m2+n2，进而可求得m+n，结合图形可得答案．
②根据m2+n2以及mn的值，结合完全平方公式计算即可．
【详解】解：（1）观察图形，发现代数式：
2m2+5mn+2n2表示大长方形的面积，
则2m2+5mn+2n2=（2m+n）（m+2n）；
故答案为：（2m+n）（m+2n）；
（2）①若每块小矩形的面积为20cm2，四个正方形的面积和为162cm2，
则mn=20cm2，2m2+2n2=162cm2，
∴m2+n2=81，
∴（m+n）2=81+20×2=121，
∴m+n=11，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n=6（m+n）=66（cm）；
②（m-n）2= m2+n2-2mn=81-2×20=41．
【点睛】本题考查了因式分解在几何图形问题中的应用，数形结合，并熟练掌握相关计算法则，是解题的关键．
22．【阅读理解】任意一个数的平方都具有非负性，则，灵活运用这一性质，可以帮助我们获得一些有用的结论．比如：若，则有a＝0且b＝0
【理解运用】
（1）若，则有a＝ ；b＝ ．
（2）已知，求x，y的值．
【拓展延伸】
（3）若，则 ．
（4）已知，求证：．
【答案】[阅读理解]（1）-2，2；（2）；[拓展延伸]（1）；（2）证明见解析
【分析】[阅读理解]
（1）利用非负数的性质得出、的值；
（2）利用非负数的性质列方程组，解出即可；
[拓展延伸]
（1）利用配方法后再根据平方的非负性可得，，的值，进行计算即可；
（2）先将已知条件化简，整体代入第二次等式中，再利用非负数的性质可得结论．
【详解】解：[阅读理解]
（1），
，，
，；
故答案为：，2；
（2），
，
解得：；
[拓展延伸]
（1），
，
，
，，，
，，，
；
故答案为：；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，非负数的性质，完全平方公式．解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．
23．先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
（一）例题：分解因式：．
解：将“”看成整体，设，则原式，再将“”还原，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的思想方法．
（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整的分解了．过程为：
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述数学思想方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把和分别看作一个整体后运用平方差公式进行因式分解，最后再运用提公因式法进行分解即可；
（2）原式分别把一、四项和一、三项分组后，再运用因式分解法和提公因式法进行因式分解即可．
【详解】（1）
=
=
=
（2）
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版下学期七年级数学周测（8.4-8.5）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2y2﹣z2=x2（y+z）（y﹣z） B．﹣x2y+4xy=﹣xy（x+4）
C．9﹣12a+4a2=﹣（3﹣2a）2 D．（x+2）2﹣9=（x+5）（x﹣1）
3．多项式77x2-13x-30可分解成（7x+a）（bx+c），其中a，b，c均为整数，求a+b+c的值为
A．0 B．10
C．12 D．22
4．对多项式进行因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知a＋b＝－1，则3a2＋3b2＋6ab－4的值是( )
A．1 B．－7 C．－3 D．－1
6．如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．140 B．70 C．35 D．24
7．如果多项式abc+ab2－a2bc的一个因式是ab，那么另一个因式是（ ）
A．c－b+5ac B．c+b－5ac C．ac D．－ac
8．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为( )
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
9．如果有理数满足关系式， 那么代数式的值（ ）
A．必为正数 B．必为负数 C．可正可负 D．可能为0
10．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．分解因式 ．
12．已知m－n＝3，则m2－n2－6n的值为 ．
13．若a，b都是有理数，且满足，则 ．
14．已知：与能使二次三项式的值为零，那么将分解因式的结果为： ．
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．因式分解：
（1）；
（2）．
16．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
17．学习了多项式的因式分解后，对于等式x2＋1＝x(x＋)，小峰和小欣两人产生了激烈地争论．小峰说这种变形不是因式分解，但也说不清理由；小欣说是因式分解，因为等式右边是乘积的形式，你认为小欣的说法正确吗？为什么？
18．定义新运算：．
例如：，．
(1)计算；计算；
(2)已知，，说明：的值与m无关；
(3)已知，记，，试比较M，N的大小．
19．（1）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，求a2b+3a3b3+ab2的值；
（2）已知a+b＝8，ab＝16+c2，求（a﹣b+c）2018的值．
20．对任意一个正整数m，如果m=n（n+1），其中n是正整数，则称m为“优数”，n为m的最优拆分点，例如：72=8×（8+1），则72是一个“优数”，8为72的最优拆分点．
(1)请写出一个“优数” ，它的最优拆分点是 ；
(2)求证：若“优数”m是5的倍数，则m一定是10的倍数；
(3)把“优数”p的2倍与“优数”q的3倍的差记为D（p，q），例如：20=4×5，6=2×3，则D（20，6）=2×20﹣3×6=22．若“优数”p的最优拆分点为t+4，“优数”q的最优拆分点为t，当D（p，q）=76时，求t的值并判断它是否为“优数”．
21．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正五形，五块是长为，宽为的全等小长方形．且．（以上长度单位：）
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________．
（2）若每块小长方块的面积为，四个正方形的面积和为．
①试求图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和；
②求的值．
22．【阅读理解】任意一个数的平方都具有非负性，则，灵活运用这一性质，可以帮助我们获得一些有用的结论．比如：若，则有a＝0且b＝0
【理解运用】
（1）若，则有a＝ ；b＝ ．
（2）已知，求x，y的值．
【拓展延伸】
（3）若，则 ．
（4）已知，求证：．
23．先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
（一）例题：分解因式：．
解：将“”看成整体，设，则原式，再将“”还原，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的思想方法．
（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整的分解了．过程为：
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述数学思想方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
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