2023-2024学年沪科版下学期七年级数学周测（8.3）
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项以及完全平方公式，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
2．已知，则当时，d的值为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．
【答案】B
【分析】由可知，将其作为整体代入d中进行化简，再将作为整体代入化简后的式子中即可计算.
【详解】解：由可知，则,
故选择B.
【点睛】利用原式得出再代入d中进行降幂计算是解题关键.
3．要使式子成为一个完全平方式，则需加上（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定乘积二倍项即可．
【详解】解：∵，
∴需加上的式子为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据两平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
4．下列式子能应用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式结构特征判断即可得到结果，关键结构特征为两相同项和两相反项.
【详解】A选项：和是相同项，和是相同项，故本选项不能应用平方差公式；
B选项：和是相同项，和是相同项，故本选项不能应用平方差公式；
C选项：和是相反项，和是相反项，故本选项不能应用平方差公式；
D选项：和是相同项，和是相反项，故本选项能应用平方差公式；
故选D.
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
5．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式可得，代入即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
6．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得阴影部分的另一条为，则阴影部分的面积为：，即可得．
【详解】解：根据题意得，阴影部分的另一条为，
则阴影部分的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，解题的关键是．
7．计算（x2＋1）（x＋1）（x－1）的结果是（ ）
A．x4＋１ B．x4－１ C．( x＋１)4 D．( x－１)4
【答案】B
【分析】利用平方差公式进行计算即可.
【详解】（x2＋1）（x＋1）（x－1）
=（x2＋1）（x2-1）
=x4-1.
故选B.
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题的关键．
8．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分剪拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别用两种方法表示长方形的面积，根据面积相等即可得到．
【详解】解：第一个图形中减去小正方形后剩余部分的面积为，
第二个图形中长方形的面积为：．
∵第一个图形中减去小正方形后剩余部分的面积等于第二个图形中长方形的面积，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，用两种方法表示长方形的面积是关键．
9．若（n为正整数），则X－2022的末位数字是（ ）
A．4 B．6 C．2或4 D．0或6
【答案】C
【分析】根据平方差公式把X化简，然后总结22n的尾数特征，计算即可．
【详解】解：X=（2n-1）（2n+1）+1
=22n-1+1
=22n，
∵22=4，24=16，26=64，28=256，
∴22n的末位数字是4或6，
∴X-2022的末位数字是2或4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是尾数特征、平方差公式，正确得出22n的尾数特征是解题的关键．
10．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部分拼接成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据阴影部分面积等于大正方形面积减去空白部分的面积即可得到，再根据阴影部分面积组成的是长方形，求出长方形的长和宽，利用长方形面积公式求解即可.
【详解】解：∵阴影部分面积等于大正方形面积减去空白部分的面积，
∴，
∵组成的新长方形的长，宽为
∴，
∴，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
二、填空题
11．计算：(3a+1)(3a﹣1)＝ ．
【答案】9a2﹣1
【分析】直接根据平方差公式结算即可
【详解】原式=(3a+1)(3a﹣1)＝9a2﹣1
故答案为=9a2﹣1
【点睛】此题考查平方差公式，难度不大
12．已知，则的值是 ．
【答案】4
【分析】先利用完全平方公式将等式右边展开，然后对比等式的左边和右边即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
13． ．
【答案】
【分析】根据加法与减法互为逆运算可得的结果即为答案．
【详解】解：∵
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的加减运算及完全平方公式，牢记公式和运算法则是解决问题的关键．
14．若：，则
【答案】16
【分析】已知等式利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出x与y的值，然后代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
即，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：16．
【点睛】此题考查了完全平方公式，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题
15．（1）计算：
（2）计算：
【答案】（1）-1；（2）
【分析】（1）根据零指数幂和负整数幂的运算法则计算即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）原式＝1﹣2＝﹣1；
（2）原式＝a2+2a+1﹣a2+1＝2a+2．
【点睛】本题主要考查了有理数计算和整式加减乘除混合计算，属于基础题型．
16．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算积的乘方和幂的乘方，再算乘法；
（2）根据多项式乘以多项式法则计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
17．按要求解答：
(1)若，求出n的值．
(2)先化简，再求值：，其中
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用幂的乘方的逆运算将原等式化为，根据提公因式法得到，由此得到，求出n值；
（2）将原式根据完全平方公式及平方差公式去括号，再合并同类项，最后根据算术平方根的非负性及偶次方的非负性得到x、y的值代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
；
∵，
∴，
∴，，
当，，原式．
【点睛】此题考查了计算能力，整式混合运算法则，正确掌握整式混合运算的法则、运算顺序以及幂的乘方的逆运算法则、算术平方根的非负性及偶次方的非负性是解题的关键．
18．已知：，，求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）先计算，根据完全平方公式变形，结合（1）的结论，代入求值即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）∵，，
∴
又
∴
．
【点睛】本题考查了二次根数的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确的计算是解题的关键．
19．请仔细阅读，并完成相应的任务．
倒序求和法在计算时， 令，① 则．② ①+②，得． ∴______． ∴______． 这样的求和方法称为倒序求和法．
任务：
(1)请将上面的计算过程补充完整．
(2)如图，第个图形共有______个圆点．
(3)利用倒序求和法计算：．
(4)若，则______．
【答案】(1)，
(2)
(3)10000
(4)13
【分析】（1）先将括号内的每一项合并同类项，之后即可得到答案；
（2）首先根据前面3个找到规律之后根据倒序相加法即可计算；
（3）根据倒序相加法即可得到答案；
（4）根据倒序相加法即可得到答案；
【详解】（1）解：，
（2）解：第1个图形中圆点的个数为，
第2个图形中圆点的个数为，
第3个图形中圆点的个数为……
第个图形中圆点的个数为
；
（3）解：令，①
则，②
①+②，得，
∴．∴，
∴．
（4）解：令，
则，
∴，
∴，
∴．
解得（舍去）或．
【点睛】本题主要考查规律型-图形变化类问题，解题的关键是理解题意，学会用倒序求和的方法解决问题．
20．按要求完成下列各题：
(1)已知实数a，b满足(a+b)2=1，(a-b)2=9，求a2+b2-ab的值；
(2)已知(2018-a)(2019-a)=2047，试求(2018-a)2+(2019-a)2的值．
【答案】(1)7；(2)4095.
【分析】（1）先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2-ab转化为完全平方式（a+b）2和ab的形式，即可求值；
（2）根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2-2ab，整体代入计算即可．
【详解】(1)∵(a+b)2=1，(a-b)2=9，
∴a2+b2+2ab=1，a2+b2-2ab=9，4ab=-8，ab=-2，
∴a2+b2-ab=(a-b)2+ab=9+(-2)=7；
(2)(2018-a)2+(2019-a)2
=[(2018-a)-(2019-a)]2+2(2018-a)(2019-a)
=1+2×2047
=4095.
【点睛】本题考查了完全平方公式；熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用是解决问题的关键．
21．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第6个等式是____________；
(2)写出你猜想的第个等式：____________（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由前几个中等式的特点直接得出第6个式子即可；
（2）根据前几个式子的规律即可猜想第n个等式，再证明等式的左边等于右边即可．
【详解】（1）解：根据前面几个等式的规律可得第6个等式为：
，
即．
故答案：
（2）解：猜想的第个等式是，理由是：
∵左边＝
＝
＝
＝
＝
＝＝右边，
∴ ，即等式成立．
【点睛】此题主要考查了数字的运算规律，理解题意并找出数字之间的运算规律是解题的关键．
22．在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若，求m和n的值；
解：由题意得：，
∴，
∴，解得．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)64
(2)24
【分析】（1）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果；
（2）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】（1）由题意得：
∴
∴
解得：
∴．
（2）由题意得：
∴
∴
解得：
∴．
【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键．
23．∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分为．
(1)已知，其中x是一个整数，且0＜y＜1，请求出的值；
(2)小丽说：“若a代表的整数部分，b代表它的小数部分，则我这个钱包里的钱数是元，”请你计算钱包里的钱数．
【答案】(1)17
(2)1元
【分析】（1）根据意义求出x和y的值，再代入式子计算即可；
（2）估算的大小，确定a和b的值，再代入式子计算即可．
【详解】（1）∵，∴ ， ，
∴；
（2）∵，∴ ，，
∴，
∴这个钱包里的钱数为1元．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义和平方差公式的运用是解题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版下学期七年级数学周测（8.3）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则当时，d的值为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．
3．要使式子成为一个完全平方式，则需加上（ ）
A． B． C． D．
4．下列式子能应用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．计算（x2＋1）（x＋1）（x－1）的结果是（ ）
A．x4＋１ B．x4－１ C．( x＋１)4 D．( x－１)4
8．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分剪拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若（n为正整数），则X－2022的末位数字是（ ）
A．4 B．6 C．2或4 D．0或6
10．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部分拼接成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．计算：(3a+1)(3a﹣1)＝ ．
12．已知，则的值是 ．
13． ．
14．若：，则
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．（1）计算：
（2）计算：
16．计算：
(1)；
(2).
17．按要求解答：
(1)若，求出n的值．
(2)先化简，再求值：，其中
18．已知：，，求：
(1)的值；
(2)的值．
19．请仔细阅读，并完成相应的任务．
倒序求和法在计算时， 令，① 则．② ①+②，得． ∴______． ∴______． 这样的求和方法称为倒序求和法．
任务：
(1)请将上面的计算过程补充完整．
(2)如图，第个图形共有______个圆点．
(3)利用倒序求和法计算：．
(4)若，则______．
20．按要求完成下列各题：
(1)已知实数a，b满足(a+b)2=1，(a-b)2=9，求a2+b2-ab的值；
(2)已知(2018-a)(2019-a)=2047，试求(2018-a)2+(2019-a)2的值．
21．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第6个等式是____________；
(2)写出你猜想的第个等式：____________（用含的等式表示），并证明．
22．在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若，求m和n的值；
解：由题意得：，
∴，
∴，解得．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
23．∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分为．
(1)已知，其中x是一个整数，且0＜y＜1，请求出的值；
(2)小丽说：“若a代表的整数部分，b代表它的小数部分，则我这个钱包里的钱数是元，”请你计算钱包里的钱数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
