陕西省西安市阎良区重点中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（含答案）

2024届九年级阶段调研检测
数学试题（卷）
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷；
2．答卷前将装订线内的项目填写清楚．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．小明跑步的速度是30米/秒 B．冬冬一分钟跳绳66下
C．等腰三角形中有两边相等 D．任意抛掷一枚骰子，点数大于6
2．下面是四种火锅的平面设计图，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．9
4．如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，则线段的长为（ ）
A．6 B． C．． D．
7．如图的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的圆形铁片（如图所示）放入槽内，若同时有三个接触点，则该圆形铁片的半径是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线经过和，则抛物线的最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．一元二次方程的根为________．
10．如图，为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为________．
11．在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球，记下颜色，放回后搅匀，重复上述过程，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在0.25和0.45，则口袋中白球的个数可能是________．
12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为轴于点，连接，反比例函数与的两条边分别交于两点，若点是的中点，连接，则的面积为________．
13．如图，在中，，点是线段上一动点，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是线段的中点，则长度的最小值为________．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）解方程：．
15．（5分）如图，为的直径，是上的一点，连接，若，求的长．（结果保留）
16．（5分）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止（若停止后指针指向分割线，则重新转）．
（1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
17．（5分）如图，是半圆的直径，是半圆的一条半径，利用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上．若，连接，求的度数．
19．（5分）北京时间2023年12月27日14时50分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座1922星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定从“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”四个模块中各自随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为．
（1）小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为________；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选择不同模块的概率．
20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．
（1）以为旋转中心，将顺时针旋转得到，画出，点的对应点分别为；
（2）在（1）的条件下，写出点的坐标．
21．（6分）若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为升/分钟，注满水池需要分钟．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度．
22．（7分）陕西肉夹馍全国闻名，某小吃店平均每天可卖出150个肉夹馍，卖出1个肉夹馍的利润是6元．经调查发现，每个肉夹馍每降价0.5元，平均每天可多卖出25个，为了使每天获取的利润更多，该小吃店决定把零售单价适当下调．在不考虑其他因素的条件下，求降价多少元时，能保证该小吃店每天获取的利润是1000元且卖出的肉夹馍更多？
23．（7分）已知抛物线（是常数）．
（1）求证：该抛物线的顶点在函数的图象上；
（2）若点在该抛物线上，且，求的取值范围．
24．（8分）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，求的长．
25．（8分）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在斜坡上的点处建有垂直于水平线的城墙，且，点在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙．
26．（10分）【定义新知】
如图1，是上两点，且在直径的上方，若直径上存在一点，连接，满足，则称是的“幸运角”．
【问题探究】
（1）如图2，是的直径，弦是上的一点，连接交于点，连接．
①是的“幸运角”吗？请说明理由；
②设所对的圆心角为，请用含的式子表示的“幸运角”的度数；
【拓展延伸】
（2）如图3，在（1）的条件下，若直径，的“幸运角”为，，求的长．
2024届九年级阶段调研检测
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9． 10．9 11．12 12．6 13．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解：整理得，
，
，
则，
．
注：其他解法正确也可．
15．解：，
，
，
的长．
16．解：（1）当转盘停止转动时，指针指向数字2，3，4，5，6，7区域的机会是均等的，共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域的共有3种结果，
当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是．
（2）当转盘停止转动时，指针指向数字2，3，4，5，6，7区域的机会是均等的，共有6种均等的结果，其中均等指针指向的数小于或等于5的区域共有4种结果，
当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是．
17．解：如图所示，点即为所求．
18．解：，
．
绕点顺时针旋转得到，
，
．
19．解：（1）．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选择不同模块的有12种，
所以小明和小亮选择不同模块的概率为．
20．解：（1）如图所示：
（2）点的坐标为．
21．解：（1）由题意得，
则，
与之间的函数关系式为．
（2）当时，有，
解得，
注水的速度为50升/分钟．
22．解：设每个肉夹馍应降价元，
根据题意可得，
整理，得，
解得，
当时，卖出的肉夹谟为（个），
当时，卖出的肉夹馍为（个）．
，
．
答：降价2元时，能保证该小吃店每天获取的利润是1000元且卖出的肉夹馍更多．
23．（1）证明：，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
抛物线的顶点在函数的图象上．
（2）解：由题意可得，
．
，
，
解得．
的取值范围是．
24．（1）证明：连接，则．
，
，则．
，
，
，即，
是的切线．
（2）解：，
，
4，
，
．
25．解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标是，点的坐标为．
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2），
点的横坐标为75．
将代入，得．
，
．
，
石块不能飞越城墙．
26．解：（1）①是的“幸运角”．
理由：是的直径，弦，
，
．
，
，
是的“幸运角”．
（2）所对的圆心角为，
．
，
，
，
的“幸运角”的度数为．
（2）连接，如图3，
的“幸运角”为，
．
由（1）知，
，则．
，
，
．
设，则，
，
解得：，
或．