沪科版数学 九年级上册 教案
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文档简介
第21章 二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
教学目标
【知识与技能】
以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点.
【过程与方法】
能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
【情感、态度与价值观】
联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想.
重点难点
【重点】
二次函数的概念.
【难点】
能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的
[一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)]
2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系
(正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体自由下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系
(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.)
上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示 这种函数有哪些性质 它的图象是什么 它与以前学过的函数、方程等有哪些关系
这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题)
二、新课教授
师:我们再来看几个问题.
问题1 某水产养殖户用长40 m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米
这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为S m2,则有S=x(20-x)=-x2+20x.
问题2 有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多 玩具总数最多是多少
设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为
y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850.
这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的.
二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项.
二次函数的自变量的取值范围一般都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0三、典型例题
【例1】 判断下列函数是否为二次函数 如果是,指出其中常数a、b、c的值.
(1)y=1-3x2; (2)y=x(x-5);
(3)y=x-x+1; (4)y=3x(2-x)+3x2;
(5)y=; (6)y=;
(7)y=x4+2x2-1.
解:(1)、(2)是二次函数.(1)中,a=-3,b=0,c=1;(2)中,a=1,b=-5,c=0.
【例2】 当k为何值时,函数y=(k-1)+1为二次函数
解:令k2+k=2,得k1=-2,k2=1.
当k1=-2时,k-1=-2-1=-3≠0;
当k2=1时,k-1=1-1=0.
所以当k=-2时,函数y=-3x2+1为二次函数.
【例3】 写出下列各题的函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.
(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系式;
(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式;
(3)菱形的两条对角线长的和为26 cm,求菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式.
解:(1)S=6a2,是二次函数;(2)y=,是二次函数;(3)S=x(26-x),是二次函数.
四、巩固练习
1.(口答)下列函数中,哪些是二次函数
(1)y=3x2-1;(2)y=5x2-2x;(3)y=-2x2+x-1;(4)y=4-x3;(5)y=;(6)y=3x2+;(7)y=x2.
【答案】(1)(2)(3)(7)是二次函数
2.y=(m+1)-3x+1是二次函数,则m的值为 .
【答案】2
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式.
【答案】S=4πr2
五、课堂小结
本节课主要学习了以下内容:
1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.
2.能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
教学反思
本节课从实际问题入手,结合学生已有的知识经验,观察、归纳出二次函数的概念以及二次函数的一般表达式y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),并使学生从中体会函数的思想.在本节课的教学过程中,学生经常列不出二次函数关系式,对于实际问题会忘记给出自变量的取值范围,这些问题要通过加强训练来解决.
21.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.
【过程与方法】
使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.
重点难点
【重点】
使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.
【难点】
用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数的图象是什么 反比例函数的图象是什么
(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)
2.画函数图象的一般步骤是什么
一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).
3.二次函数的图象是什么形状 二次函数有哪些性质
(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)
二、新课教授
【例1】 画出二次函数y=x2的图象.
解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).
(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.
思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:
(1)二次函数y=x2的图象是什么形状
(2)图象是轴对称图形吗 如果是,它的对称轴是什么
(3)图象有最低点吗 如果有,最低点的坐标是什么
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.
学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.
函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.
由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.
【例2】 在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.
解:分别填表,再画出它们的图象.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.
学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.
抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.
探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
师生活动:
学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨.
学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形.
抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大.
探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗 抛物线y=ax2和y=-ax2呢
师生活动:
学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.
学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形.
抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称.
教师引导学生小结(知识点、规律和方法).
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.
从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
三、巩固练习
1.抛物线y=-4x2-4的开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 ,当x= 时,y有最 值,是 .
【答案】下 (0,-4) x=0 0 大 -4
2.当m≠ 时,y=(m-1)x2-3m是关于x的二次函数.
【答案】1
3.已知抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x= ,y= .
【答案】-3或3 -12
4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),则k= ,b= .
【答案】 12
5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为 .
【答案】y=-2x2
6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是( )
A.y=x2 B.y=x2
C.y=-2x2 D.y=-x2
【答案】C
7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是( )
A.y=x2 B.y=4x2
C.y=-2x2 D.无法确定
【答案】A
8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是( )
A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线关于y轴对称
D.两条抛物线的交点为原点
【答案】C
四、课堂小结
1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数.
2.二次函数y=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.
3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.
教学反思
本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:(1)例1是基础;(2)在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;(4)最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.
第2课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1)
教学目标
【知识与技能】
使学生能利用描点法作出函数y=ax2+k的图象.
【过程与方法】
让学生经历二次函数y=ax2+k的性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+k的性质及它与函数y=ax2的关系,培养学生观察、分析、猜测并归纳、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
重点难点
【重点】
会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象,理解二次函数y=ax2+k的性质,理解函数y=ax2+k与函数y=ax2的相互关系.
【难点】
正确理解二次函数y=ax2+k的性质,理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系.
教学过程
一、问题引入
1.二次函数y=2x2的图象是 ,它的开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 ;在对称轴的右侧,y随x的增大而 .函数y=ax2在x= 时,取最 值,其最 值是 .
2.抛物线y=x2+1,y=x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么
3.抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系
二、新课教授
问题1:对于前面提出的第2、3个问题,你将采取什么方法加以研究
(画出函数y=x2+1、y=x2-1和函数y=x2的图象,并加以比较.)
问题2:你能在同一直角坐标系中画出函数y=x2+1与y=x2的图象吗
师生活动:
学生回顾画二次函数图象的三个步骤,按照画图的步骤画出函数y=x2+1、y=x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师写出解题过程,与学生所画的图象进行比较,帮助学生纠正错误.
解:(1)列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 …
(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.
(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=x2和y=x2+1的图象.
问题3:当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系 反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系
师生活动:
教师引导学生观察上表并思考,当x依次取-3、-2、-1、0、1、2、3时,两个函数的函数值之间有什么关系
学生观察、讨论、归纳得:当自变量x取同一数值时,函数y=x2+1的函数值比函数y=x2的函数值大1.
教师引导学生观察函数y=x2和函数y=x2+1的图象,先研究点(-1,1)和点(-1,2)、点(0,0)和点(0,1)、点(1,1)和点(1,2)的位置关系.
学生观察、讨论、归纳得:反映在图象上,函数y=x2+1的图象上的点都是由函数y=x2的图象上的相应点向上移动了一个单位.
问题4:函数y=x2+1和y=x2的图象有什么联系
学生由问题3的探索可以得到结论:函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.
问题5:现在你能回答前面提出的第2个问题了吗
生:函数y=x2+1与函数y=x2的图象开口方向相同、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y=x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=x2+1的图象的顶点坐标是(0,1).
问题6:你能由函数y=x2+1的图象得到函数y=x2+1的一些性质吗
生:当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大;当x=0时,函数取得最小值,最小值是y=1.
问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2+1与函数y=2x2-1的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别.
师生活动:
教师在学生画函数图象的同时,巡视指导.
学生动手画图,观察、讨论、归纳.
解:先列表:
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y=2x2-1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …
然后描点画图,得y=2x2+1,y=2x2-1的图象.
教师让学生发表意见,归纳为:函数y=2x2+1与函数y=2x2-1的图象的开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同.函数y=2x2-1的图象可以看成是将函数y=2x2+1的图象向下平移两个单位得到的.
问题8:你能说出函数y=x2-1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及这个函数的性质吗
师生活动:
教师让学生观察y=x2-1的图象.
学生动手画图,观察、讨论、归纳.
学生分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言.最后归纳总结:函数y=x2-1的图象的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标是(0,-1);当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大;当x=0时,函数取得最小值,最小值为y=-1.
三、巩固练习
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2、y=x2+2、y=x2-2的图象.
(1)填表:
x … …
y=x2 … …
y=x2+2 … …
y=x2-2 … …
(2)描点,连线:
【答案】略
2.观察第1题中所画的图象,并填空:
(1)抛物线y=x2+2的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;抛物线y=x2+2是由抛物线y=x2向 平移 个单位长度得到的;
(2)对于y=x2-2,当x>0时,函数值y随x的增大而 ;当x<0时,函数值y随x的增大而 ;
(3)对于函数y=x2,当x= 时,函数取最 值,为 .
对于函数y=x2+2,当x= 时,函数取最 值,为 .
对于函数y=x2-2,当x= 时,函数取最 值,为 .
【答案】(1)向上 x=0 (0,2) 上 2 (2)增大 减小 (3)0 小 0 0 小 2 0 小 -2
四、课堂小结
1.函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到函数y=ax2+k的图象.
2.抛物线y=ax2+k(a≠0)的性质.
(1)抛物线y=ax2+k(a≠0)的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,k).
(2)当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限伸展;
当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限伸展.
(3)当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.这时,当x=0时,y有最小值k.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.这时,当x=0时,y有最大值k.
教学反思
通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面:首先,掌握函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到y=ax2+k的图象;其次,能够理解a、k对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础;最后,形成严谨的学习态度和求简的数学精神.
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(2)
教学目标
【知识与技能】
使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象.
【过程与方法】
让学生经历探究二次函数y=a(x-h)2性质的过程,理解函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
重点难点
【重点】
会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象,理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.
【难点】
理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.
教学过程
一、问题引入
1.抛物线y=2x2+1、y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么
2.二次函数y=-(x+1)2的图象与二次函数y=-x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗 这两个函数的图象之间有什么关系
二、新课教授
问题1:你将用什么方法来研究问题引入2提出的问题
(画出二次函数y=-(x+1)2和二次函数y=-x2的图象,并加以观察.)
问题2:你能在同一直角坐标系中画出二次函数y=-x2与y=-(x+1)2的图象吗
师生活动:
教师引导学生作图,巡视、指导.
学生在直角坐标系中画出图形.
教师对学生的作图情况作出评价,指正错误,出示正确的图形.
解:(1)列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … - -2 - 0 - -2 - …
y=-(x+1)2 … -2 - 0 - -2 - -8 …
(2)描点:用表格中的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2和y=-(x+1)2的图象.
问题3:当函数值y取同一数值时,这两个函数的自变量之间有什么关系 反映在图象上,相应的两点之间的位置又有什么关系
师生活动:
教师引导学生观察上表,当y依次取0、-、-2、-时,两个函数的自变量之间有什么关系
学生归纳得到,当函数值取同一数值时,函数y=-(x+1)2的自变量比函数y=-x2的自变量小1.
教师引导学生观察函数y=-(x+1)2和函数y=-x2的图象,先研究点(-1,-)和点(0,-)、点(-1,0)和点(0,0)、点(1,-2)和点(2,-2)的位置关系.
学生归纳得到:反映在图象上,函数y=-(x+1)2的图象上的点都是由函数y=-x2的图象上的相应点向左移动了一个单位.
问题4:函数y=-(x+1)2和y=-x2的图象有什么联系
学生由问题3的探索,可以得到结论:函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.
问题5:现在你能回答前面提出的第2个问题了吗
学生观察两个函数的图象得:函数y=-(x+1)2的图象开口方向向下,对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,0);函数y=-x2的图象开口方向向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0).
问题6:你能由函数y=-(x+1)2的图象得到函数y=-(x+1)2的一些性质吗
生:当x>-1时,函数值y随x的增大而减小;当x<-1时,函数值y随x的增大而增大;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=0.
问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=-(x-1)2与函数y=-x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别.
师生活动:
教师在学生画函数图象的同时,巡视指导.
学生画图并仔细观察,细心研究.
教师让学生发表意见,归纳为:函数y=-(x-1)2与函数y=-x2的图象的开口方向相同,对称轴、顶点坐标不同.函数y=-(x-1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位得到的.
问题8:你能说出函数y=-(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及这个函数的性质吗
师生活动:
教师引导学生观察y=-(x-1)2的图象,并引导学生思考其性质.
学生分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言,达成共识:函数y=-(x-1)2的图象的开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,0).当x<1时,函数值y随x的增大而增大;当x>1时,函数值y随x的增大而减小;当x=1时,函数取得最大值,最大值y=0.
三、巩固练习
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2的图象.
(1)填表:
x y=x2 y=(x+1)2 y=(x-1)2
…… … … …
…… … … …
(2)描点,连线:
【答案】略
2.观察第1题中所画的图象,并填空:
(1)抛物线y=(x+1)2的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;抛物线y=(x+1)2是由抛物线y=x2向 平移 个单位长度得到的;
(2)对于y=(x-1)2,当x>1时,函数值y随x的增大而 ;当x<1时,函数值y随x的增大而 ;
(3)对于函数y=x2,当x= 时,函数取得最 值,为 ;
对于函数y=(x+1)2,当x= 时,函数取得最 值,为 ;
对于函数y=(x-1)2,当x= 时,函数取得最 值,为 .
【答案】(1)向上 x=-1 (-1,0) 左 1 (2)增大 减小 (3)0 小 0 -1 小 0 1 小 0
四、课堂小结
结论如下:
1.函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿x轴向左(当h<0时)或向右(当h>0时)平移|h|个单位就得到y=a(x-h)2的图象.
2.抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的性质.
(1)抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,0).
(2)当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限伸展;
当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限伸展.
(3)当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当x=h时,y有最小值.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小;当x=h时,y有最大值.
教学反思
通过本节课的学习,要求大家理解并掌握函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿x轴向左(当h<0时)或向右(当h>0时)平移|h|个单位就得到y=a(x-h)2的图象;能够理解a、h对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础.本节课的处理是在教师的引导下,学生进行观察、归纳、总结,充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.
第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(3)
教学目标
【知识与技能】
使学生理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【过程与方法】
让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的性质,培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
重点难点
【重点】
确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a(x-h)2+k的性质.
【难点】
正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质.
教学过程
一、问题引入
1.函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象有什么关系
(函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.)
2.函数y=-(x+1)2的图象与函数y=-x2的图象有什么关系
(函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.)
3.函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系 函数y=-(x+1)2-1有哪些性质
(函数y=-(x+1)2-1的图象可以看作是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到的,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标是(-1,-1).)
二、新课教授
问题1:你能画出函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象吗
师生活动:
教师引导学生作图,巡视,指导.
学生在直角坐标系中画出图形.
教师对学生的作图情况作出评价,指正其错误,出示正确图形.
解:(1)列表:
x y=-x2 y=-(x+1)2 y=-(x+1)2-1
… … … …
-3 - -2 -3
-2 -2 - -
-1 - 0 -1
0 0 - -
1 - -2 -3
2 -2 - -
3 - -8 -9
… … … …
(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象.
问题2:观察图象,回答下列问题.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=-x2 向下 x=0 (0,0)
y=-(x+1)2 向下 x=-1 (-1,0)
y=-(x+1)2-1 向下 x=-1 (-1,-1)
问题3:从上表中,你能分别找到函数y=-(x+1)2-1,y=-(x+1)2与函数y=-x2的图象之间的关系吗
师生活动:
教师引导学生认真观察上述图象.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
函数y=-(x+1)2-1的图象可以看成是将函数y=-(x+1)2的图象向下平移1个单位得到的.
函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移1个单位得到的.
故抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y=-(x+1)2,再将抛物线y=-(x+1)2向下平移1个单位得到的.
除了上述平移方法外,你还有其他的平移方法吗
师生活动:
教师引导学生积极思考,并适当提示.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2向下平移1个单位长度得到抛物线y=-x2-1,再将抛物线y=-x2-1向左平移1个单位得到的.
问题4:你能发现函数y=-(x+1)2-1有哪些性质吗
师生活动:
教师组织学生讨论,互相交流.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
当x<-1时,函数值y随x的增大而增大;当x>-1时,函数值y随x的增大而减小;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=-1.
三、典型例题
【例】 要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管应多长
师生活动:
教师组织学生讨论、交流,如何将文字语言转化为数学语言.
学生积极思考、解答.
指名板演,教师讲评.
解:如图(2)建立的直角坐标系中,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,因此可设这段抛物线对应的函数关系式是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).
由这段抛物线经过点(3,0)可得0=a(3-1)2+3,
解得a=-,
因此y=-(x-1)2+3(0≤x≤3),
当x=0时,y=2.25,也就是说,水管的长应为2.25 m.
四、巩固练习
1.画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较.
【答案】函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移一个单位得到的,再将y=2(x-1)2的图象向下平移两个单位长度即得函数y=2(x-1)2-2的图象.
2.说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】函数y=-(x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位,再向上平移两个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2).
五、课堂小结
本节知识点如下:
一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(或下)向左(或右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向和距离要根据h、k的值来确定.
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是x=h;
(3)顶点坐标是(h,k).
教学反思
本节内容主要研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质.在前两节课的基础上我们清楚地认识到y=a(x-h)2+k与y=ax2有密切的联系,我们只需对y=ax2的图象做适当的平移就可以得到y=a(x-h)2+k的图象.由y=ax2得到y=a(x-h)2+k有两种平移方法:
方法一:
y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
方法二:
y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2+k
在课堂上演示平移的过程,让学生切身体会到两种平移方法的区别和联系,这里利用几何画板软件效果会更好.
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象的方法.
【过程与方法】
使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法;让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.
【情感、态度与价值观】
鼓励学生思维多样性,发展学生的创新意识.
重点难点
【重点】
用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标.
【难点】
理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标.
教学过程
一、问题引入
1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
(函数y=-4(x-2)2+1的图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).)
2.函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系
(函数y=-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位得到的.)
3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质
(当x<2时,函数值y随x的增大而增大;当x>2时,函数值y随x的增大而减小;当x=2时,函数取得最大值,最大值y=1.)
二、新课教授
问题1.思考:我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点坐标为(h,k),二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗
师生活动:
教师引导学生回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.
学生积极回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.
学生积极展示探究结果,教师评价.
配方可得:
y=x2-6x+21
=(x-6)2+3
由此可知,抛物线y=x2-6x+21的顶点坐标是(6,3),对称轴是x=6.
问题2.你能画出二次函数y=x2-6x+21的图象吗
分析:由以上问题的解决,我们已经知道函数y=x2-6x+21=(x-6)2+3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点,可以采用描点作图的方法作出函数y=x2-6x+21的图象,通过观察图象进而得到这个函数的性质.
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-6x+21的图象.
学生回忆画图的步骤,动手画图,相互比较.
教师对学生的作品进行评价,对于画得好的学生要加以鼓励,激发学生的学习热情.
解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y … 5 3 5 …
(2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2-6x+21的图象.
与同学分享作图过程.
说明:(1)列表时,应根据对称轴是x=6,以6为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值.相应的函数值是相等的;
(2)直角坐标系中,x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同.要根据具体问题选取适当的长度单位,使画出的图象美观.
问题3.观察函数y=x2-6x+21的图象,它具有哪些性质
师生活动:
教师引导学生观察二次函数y=x2-6x+21的图象.
学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识.
对函数y=x2-6x+21来说:
当x<6时,函数值y随x的增大而减小;
当x>6时,函数值y随x的增大而增大;
当x=6时,函数取得最小值,最小值y=3.
问题4.以上介绍的都是给出一个具体的二次函数来研究它的图象与性质.那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bz+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标呢 你能把结果写出来吗
师生活动:
教师留给学生足够的思考、探究时间.
学生联系上述处理问题的办法,试着对y=ax2+bx+c进行配方.
师生共同完成配方过程,分享成功.
y=ax2+bx+c
=a(x2+x)+c
=a[x2+x+()2-()2]+c
=a[x2+x+()2]+c-
=a(x+)2+
当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.
对称轴是x=-,顶点坐标是(-,).
三、巩固练习
1.通过配方写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=3x2+2x; (2)y=-x2-2x;
(3)y=-2x2+8x-8 (4)y=x2-4x+3.
【答案】略
2.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b= ,c= .
【答案】-4 0
3.已知二次函数y=-2x2-8x-6,当 时,y随x的增大而增大;当x= 时,y有最 值,是 .
【答案】x<-2 -2 大 2
4.用配方法求二次函数y=-2x2-4x+1的顶点坐标.
【答案】y=-2x2-4x+1
=-2(x2+2x)+1
=-2(x+1)2+3.
它的顶点坐标为(-1,3).
四、课堂小结
一般地,我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标与对称轴.
y=ax2+bx+c
=a(x+)2+
因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点的坐标是(-,).
教学反思
本节课研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,关键是通过配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式.教学时,可以结合复习一元二次方程的知识,认识两者的相同与不同之处.注意让学生根据图象或利用配方法确定抛物线的对称轴和顶点坐标.
本节课的处理仍然是在教师的引导下,让学生进行观察、归纳、总结,充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于提高学生分析问题、解决问题的能力.
第6课时 二次函数表达式的确定
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式的方法;使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式的方法.
【过程与方法】
体会数学在生活中的作用,培养学生的动手操作能力.
【情感、态度与价值观】
让学生体验二次函数的关系式的应用,提高学生对数学重要性的意识.
重点难点
【重点】
已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2+bx+c的关系式.
【难点】
已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式.根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数的表达式是什么 如何求出它的表达式
(一次函数的表达式y=kx+b,只需知道一次函数图象上两个点的坐标,利用待定系数法求出系数k、b.)
2.已知二次函数图象上的几个点的坐标,可以求出这个二次函数的表达式
本节课我们来研究用待定系数法求二次函数的表达式.(板书)
二、新课教授
问题1.如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的表达式吗 如果能,求出这个二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.由已知函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,得到关于a、b、c的三元一次方程组
解这个方程组,得:
a=2,b=-3,c=5.
所求二次函数的表达式是y=2x2-3x+5.
归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.
问题2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式.
分析:二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x-h)2+k的形式称为顶点式,(h,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,可以设函数关系式为:y=a(x-8)2+9,由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的值.
归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设函数关系式为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.
三、典型例题
【例1】 有一个二次函数,当x=0时,y=-1;当x=-2时,y=0;当x=时,y=0.求这个二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,根据题意,得
解方程组,得
.
答:所求二次函数的表达式为y=x2+x-1.
【例2】 已知抛物线的对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式.
解法一:设所求二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c=-5.又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得解这个方程组,得
所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5.
解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,-5)两点,可以得到:
解这个方程组,得
所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5.
【例3】抛物线y=x2-4x+8与直线y=x+1交于B、C两点.
(1)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线;
(2)记抛物线的顶点为A,求△ABC的面积.
解:(1)如图,画出直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+8.
(2)由y=x2-4x+8=(x-4)2,得点A的坐标为(4,0).
解方程组
得B、C两点的坐标分别为B(2,2)、C(7,4.5).
过B、C两点分别作x轴的垂线,垂足分别为B1、C1,则
S△ABC=--
=(BB1+CC1)B1C1-AB1·BB1-AC1·CC1
=(2+4.5)×5-×2×2-×3×4.5
=7.5.
小结:让学生讨论、交流、归纳得到:已知二次函数的最大值或最小值,就是已知该函数的顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量较大.
四、巩固练习
1.已知二次函数当x=-3时,有最大值-1,且当x=0时,y=3,求二次函数的关系式.
【答案】解法一:设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c,因为图象过点(0,3),所以c=3.又由于二次函数当x=-3时,有最大值-1,可以得到:解这个方程组,得
所以,所求二次函数的关系式为y=x2+x+3.
解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,依题意,得y=a(x+3)2-1.
因为二次函数的图象过点(0,3),所以有3=a(0+3)2-1,解得a=,所以,所求二次函数的关系式为y=(x+3)2-1,即y=x2+x+3.
2.已知二次函数y=x2+px+q的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数的关系式.
【答案】依题意,得
解得:p=-10,q=23,
所以,所求二次函数的关系式是y=x2-10x+23.
五、课堂小结
1.求二次函数的关系式,常见的有几种类型
两种类型:
(1)一般式:y=ax2+bx+c;
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k).
2.如何确定二次函数的关系式
让学生回顾、思考、交流,得出:关键是确定上述两个式子中的待定系数,通常需要三个已知条件.在具体解题时,应根据具体的已知条件灵活选用合适的形式,运用待定系数法求解.
教学反思
本节课研究了二次函数y=ax2+bx+c表达式的求法:
归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.
归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设方程为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.
要根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式,体会一题多解的乐趣,激发学生的学习欲望.本节课的处理仍然是在教师的引导下,让学生探索、归纳,得到新知.
21.3 二次函数与一元二次方程
教学目标
【知识与技能】
掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.
【过程与方法】
经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.
【情感、态度与价值观】
进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.
重点难点
【重点】
用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.
【难点】
用数形结合的思想解方程及不等式.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点
生甲:一个.
生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.
生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.
师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗 比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少
学生计算后回答.
二、共同探究,获取新知
师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点 我们可以借助什么来研究
学生思考.
生:借助二次函数的图象.
师:对.
教师多媒体课件出示:
二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:
1.它与x轴有公共点吗 如果有,公共点的横坐标是多少
2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少
3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗
4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系
师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.
学生作图,教师巡视指导.
教师出示图象:
学生观察图象后回答.
生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.
师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗 交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢
学生思考,交流讨论.
生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.
师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢
生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.
三、例题讲解
【例】 用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).
解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.
由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.
先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表:
x … -2.5 -2.4 …
y … 0.25 -0.04 …
观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.
同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.
方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.
如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.
四、练习新知
师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 .
【答案】x1=1,x2=-5
2.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.
(1)y=2x2-5x+3; (2)y=x2+3x+5;
(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.
【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);
(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;
(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;
(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).
3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.
【答案】根据题意,得
解得k>-且k≠0.
五、继续探究,层层推进
师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.
学生看图.
师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么
生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.
生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.
师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.
学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.
六、课堂小结
师:本节课你学习了什么内容 有什么收获
学生回答.
师:你还有什么不明白的地方吗
学生提问,教师解答.
教学反思
学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.
21.4 二次函数的应用
第1课时 二次函数的应用(1)
教学目标
【知识与技能】
能应用二次函数的图象来分析问题、解决问题,在应用中体会二次函数的实际意义.
【过程与方法】
1.通过将二次函数应用于解决实际问题体验数学在实际生活中的广泛应用,发展数学思维.
2.在数学建模中使学生学会交流、合作.
【情感、态度与价值观】
培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.
重点难点
【重点】
用二次函数的性质解决实际问题,特别是最大值、最小值问题.
【难点】
建立二次函数的数学模型.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:二次函数有哪些性质
学生回忆.
教师提示:结合函数的图象.
生:y随x的变化增减的性质,有最大值或最小值.
师:很好!我们今天就用二次函数和它的这些性质来解决教材21.1节开关提出的一个实际问题.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体课件出示:
某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗,设此矩形水面的长为xm,面积为Sm2.那么,S与x之间有怎样的函数关系 要使围成的水面面积最大,它的长应是多少米
学生交流、讨论.
生:S与x之间的函数关系式为:S=x(20-x).要使围成的水面面积最大,就要使S取得最大值,它的长应该取图象顶点的横坐标.
师:你回答得很好!那怎么求出这个横坐标呢
生甲:配方,变为顶点式求出.
生乙:直接用顶点横坐标的公式x=-.
师:同学们回答得很好!用这两种方法都可以求出.请同学们求一下面积最大时长应是多少,并求出最大面积是多少.
学生计算后回答.
生:将这个函数关系式配方,得
S=-(x-10)2+100(0显然,这个函数的图象是一条开口向下的抛物线中的一段,它的顶点坐标是(10,100),所以,当x=10m时,函数取得最大值,最大值为S最大值=100m2.
这就是说,当围成的矩形水面长为10m,宽为10m时,它的面积最大,最大面积是100m2.
教师多媒体课件出示:
某商品现在的售价为每件10元,一周可卖出50件.市场调查表明:这种商品如果每件涨价1元,每周要少卖出5件.已知该商品的进价为每件8元,问每件商品涨价多少才能使每周得到的利润最大
师:请同学们思考一下,若我们设每件商品涨价x元,那么销售额为多少
学生思考、计算.
生:销售额为(10+x)(50-5x).
师:进货额为多少
生:进货额为8(50-5x).
师:利润呢
生:利润等于销售额减去进货额,即(10+x)(50-5x)-8(50-5x).
师:那还有没有其他的计算利润的方法了呢
学生思考.
生:还可以先表示出每件的利润,然后乘以数量,就是总的利润.
师:思路是对的,具体的式子是什么呢
生:每件的利润为(10+x-8),数量为(50-5x),总利润为(10+x-8)(50-5x).
师:变量x的取值范围怎么确定
生:x≥0且应满足50-5x>0,因为数量应为正值.
师:如何求得涨价多少利润最大呢
生:x取顶点的横坐标时利润最大,此时最大值为顶点的纵坐标.
师:很好,但你还要注意顶点的横坐标在不在自变量的取值范围内.当极值点在自变量的取值范围内时,极值点就是函数的最值点.若极值点不在函数自变量的取值范围内,你怎么求函数的最值呢
学生思考,交流.
教师提示:请同学们画出符合这个条件一条抛物线,最值点不在自变量的取值范围内时,图象与完整的抛物线的对称轴有什么关系
学生作图后观察.
生:图象在完整的抛物线的对称轴的一侧.
师:在一侧,y是不是随x的变化而变化
生:是.
师:所以在这种情况下,在它的两个端点处取到极值.还要注意的是,在解决有关销量与售价的问题时,你要看清楚是问售价是多少时的销售额或利润,还是问涨价多少时的销售额或利润 请同学们分别回答下列情形时的式子.
教师多媒体课件出示:
售价为a元时,一周可卖出m件,每涨价p元,每周要少卖出n件,每件的进价为r元
1.售价为x元时的销售额s为多少 利润f为多少
教师找一生回答.
教师板书:
s=x(m-n),f=(x-r)(m-n)
2.涨价x元时的销售额s为多少
教师找一生回答.
教师板书:
s=(a+x)(m-n),f=(a+x-r)(m-n)
教师多媒体课件出示:
如图(1),悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.
(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图(2),求这条抛物线对应的函数表达式;
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长.
解:(1)根据题意,得抛物线的顶点坐标为(0,0.5),对称轴为y轴,设抛物线对应的函数表达式为
y=ax2+0.5.
抛物线经过点(450,81.5),代入上式,得
81.5=a·4502+0.5.
解方程,得
a==.
答:所求抛物线对应的函数表达式为
y=x2+0.5(-450≤x≤450).
(2)当x=450-100=350(m)时,得
y=×3502+0.5=49.5(m).
当x=450-50=400(m)时,得
y=×4002+0.5=64.5(m).
答:距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别为49.5m、64.5m.
三、练习新知
教师找两生分别板演教材第36页练习的1、2题,然后集体订正.
教师引导学生完成教材第41页练习的第2题.
师:接受能力逐步增强的表现是什么
生:y值逐渐增大.
师:对.那么问题是x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强,就是说x在什么范围内,y的值逐渐增大 类似地,我们可以把问题x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低转化为什么
生:x在什么范围内,y的值逐渐减小
教师找一生回答:你怎么求解这个问题呢
生:我们知道二次项系数-0.1是小于0的,抛物线开口向下,求出抛物线的对称轴,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.
师:那么对称轴怎么求呢
生:可用配方法或者用公式x=-求.
师:很好!
教师找另外两位同学回答第(2)(3)问,然后集体订正.
师:同学们,通过刚才的学习,你们掌握得怎么样呢 我现在出几个问题来检测一下你们,好不好
教师多媒体课件出示:
1.某商店销售一种品牌衬衣,若这种衬衣每天所获得的利润y元与衬衣的销售单价x元之间满足关系式y=-x2+50x+500.若要想每天获得最大利润,则单价应定为( )
A.20元 B.25元 C.30元 D.40元
【答案】B
2.一个小球以20m/s的速度从地面竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h=20t-5t2,则当h=20m时,小球的运动时间为( )
A.20s B.2s
C.(2+2)s D.(2-2)s
【答案】B
3.出售某种文具盒,若每个获利x元,一天可售出(6-x)个,则当x= 元时,一天出售该种文具盒获得的总利润y最大.
【答案】3
4.某商场经营某种品牌玩具,已知成批购进时单价是2.5元,现根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你分析销售单价是多少元时,可以获利最多
如果设销售单价为x(x≤13.5)元,那么:
(1)销售量可以表示为 ;
(2)销售额可以表示为 ;
(3)所获利润可以表示为 ;
(4)当销售单价x是 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.
【答案】(1)3200-200x (2)3200x-200x2
(3)-200x2+3700x-8000 (4)9.25 9112.5
师:请同学们认真思考这几个问题,然后在草稿纸上完成.
教师巡视,对有疑问的学生进行指导.
四、课堂小结
师:本节课你学习了什么内容,有什么收获
学生回答.
师:你还有什么不明白的地方
学生提问,教师解答.
教学反思
二次函数历来是初三学生要重点掌握的数学知识,尤其是二次函数的最值问题及在生活中的应用,更是中考尤其是压轴题中常见的题型.二次函数在知识上的难度较大,且具有特殊地位,二次函数的应用中渗透了数学建模的思想,使学生感受实际生活中的相关量之间的二次函数关系,并且通过求利益最大化的实例让学生再一次感受到了数学的实用性.在求利润时,因为有些问题比较相似,为避免学生混淆,我强调了不同问题的区别.在求最值时,在实际问题的最值点可能不是函数在全体实数范围内的极值点求到的,所以要学生注意自变量的取值范围.
第2课时 二次函数的应用(2)
教学目标
【知识与技能】
通过建立数学模型学会用二次函数知识解决有关的实际问题.
【过程与方法】
1.掌握数学建模的思想,体会数学与生活的密切联系.
2.在数学建模中,使学生学会交流、合作.
【情感、态度与价值观】
培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.
重点难点
【重点】
根据具体情境建立适当的直角坐标系,并将有关线段转化为坐标系中的点.
【难点】
建立适当的直角坐标系,并选用简便的方式求出二次函数表达式.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:前面我们把一些实际问题转化成了求二次函数的极值问题.本节我们继续学习二次函数的应用.同学们看这样一个问题.
教师多媒体课件出示:
一个涵洞成抛物线形,它的截面如图所示,现测得当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少 是否会超过1 m
你能求出来吗
二、共同探究,获取新知
师:我们以前求过坐标系里的这种问题,现在没有坐标系怎么办呢
学生思考,讨论.
生:建立坐标系.
师:你怎么建立呢
生甲:以A、B所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立坐标系.
生乙:以过涵洞最高点且在水平方向的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立坐标系.
师:这两种方法都是可以的,但哪种更方便呢
学生讨论,交流.
生:用第二种方法建立的坐标系更为简便.
师:为什么
生:因为这样的表达式是y=ax2的形式,比较简单.
师:对.那你能用第二种方法建立坐标系吗
学生作图、计算.
教师提示:建立坐标系要用到已知了的哪些条件
生:当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.
师:这个条件怎么用呢
生:把x==0.8,y=-2.4代入y=ax2,得到关于a的一元一次方程,解这个方程得到a的值,进而得到表达式.
师:很好!我们再看一个例子.
【例1】 上抛物体不计空气阻力的情况下,有如下的表达式:
h=v0t-gt2,
其中h是物体上升的高度,v0是物体被上抛时竖直向上的初始速度,g是重力加速度(取g=10 m/s2),t是物体抛出后经过的时间.
在一次排球比赛中,排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10 m/s.
(1)问排球上升的最大高度是多少
(2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳,如果她要打快攻,问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳 (精确到0.1s)
解:(1)根据题意,得
h=10t-×10t2
=-5(t-1)2+5(t≥0).
因为抛物线开口向下,顶点坐标为(1,5).
答:排球上升的最大高度是5 m.
(2)当h=2.5 m时,得
10t-5t2=2.5
解方程,得
t1≈0.3(s),t2≈1.7(s).
排球在上升和下落中,各有一次经过2.5 m的高度,但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3s,要打快攻,选择此时扣球,可令对方措手不及,易获成功.
答:该运动员应在排球被垫起后0.3s时扣球最佳.
教师多媒体课件出示:
【例2】 行驶中的汽车,在制动后由于汽车具有惯性,还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能,对其进行了测试,测得数据如下表:
制动时车速度/km·h-1 0 10 20 30 40 50
制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5
现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故,现场测得制动距离为46.5 m,则交通事故发生时车速是多少 是否因超速(该段公路最高限速为110 km/h)行驶导致了交通事故
学生思考交流.
教师提示:前面我们在学习一次函数时,给出一些数据让你根据数据来用一次函数模拟,现在你用什么函数来模拟呢
学生讨论.
生:在坐标系中描点,看这些点大致在什么样的曲线上.
师:对!现在请同学们以制动时车速的数据为横坐标(x值),在平面直角坐标系中描出这些数据对应的点.
学生作图,作完图象后,观察图象上点的整体分布后回答:应用二次函数模拟.
师:为什么选用二次函数呢
生:因为这些点的分布近似在一条抛物线上.
师:你能求出这条抛物线的表达式吗
生:能.
教师找一生回答:你是怎样求的
生:设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,在已知数据中,任选三组,如取(0,0),(10,0.3),(20,1.0),分别代入所设函数关系式,得到一个三元一次方程组,然后解这个三元一次方程组求出a、b、c的值,从而得到表达式.
师:很好!现在请同学们写出得到的方程组并求解.
学生得到方程组:
解方程组,得
∴表达式为y=0.002x2+0.01x(x≥0).
师:你怎样算出这起交通事故发生时车速是多少呢
生:把y=46.5 m代入函数关系式,得到一个关于x的一元一次方程,解这个方程得出x的值,即车速.
即46.5=0.02x2+0.01x,解方程,得x1=150(km/h),x2=-155(km/h)(舍去).故车速为150 km/h.
师:你怎样知道这辆车有没有超速呢
生:当得到的速度大于限速时就超速,否则不超速.因为150 km/h>110 km/h,所以在事故发生时,该汽车属于超速行驶.
师:对.
三、练习新知
教师多媒体课件出示:
1.周长为12的矩形窗户,当面积最大时,其边长为( )
A.3 B.6 C.2 D.
【答案】A
2.从地面垂直向上抛出一个小球,小球的高度h(m)与小球的运动时间t(秒)的函数关系式是h=9.8t-4.9t2,那么小球在运动中的最大高度为 m.
【答案】4.9
3.一跳水运动员从10 m的高台上跳下,他的高度h(m)与所用时间t(s)的关系为y=-5(t-2)(t+1).请你帮助该运动员计算一下,他起跳后多长时间达到最大高度 最大高度是多少
【答案】h=-5(t-2)(t+1)=-5(t2-t-2)=-5(t-)2+.∵a=-5<0,∴抛物线开口向下.当t=时,h最大=.
四、课堂小结
师:今天你又学习了什么内容 有什么收获
学生回答.
师:你还有什么疑问
学生提问,教师解答.
教学反思
本节课的教学目标:继续经历利用二次函数知识解决最值问题;会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、建立函数模型等问题;发展应用数学知识解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.建立函数模型时采用最简便的法则,即一般把图象的顶点放在坐标系的原点,这样就可以设表达式为y=ax2的形式了,只需求出一个未知量a即可.有的情况下要设顶点式和交点式.在求出表达式后的问题一般是给出一点的x值求y值或给出一点的y值求x值.在解题过程中要注意利用二次函数图象的对称性.
21.5 反比例函数
第1课时 反比例函数
教学目标
【知识与技能】
1.理解反比例函数的概念,能判断一个给定的函数是否为反比例函数.
2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式,体会函数的模型思想.
【过程与方法】
从现实情境和已有知识经验出发,经历抽象反比例函数的过程,让学生建立初步的符号感,发展学生的抽象思维能力.
【情感、态度与价值观】
通过创设情境让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程,养成用数学思维方式解决实际问题的习惯.
重点难点
【重点】
反比例函数的概念和应用.
【难点】
理解反比例函数的含义.
教学过程
一、复习回顾
师:什么是正比例函数 它的两个变量之间有什么关系呢
学生回答.
教师多媒体课件出示:
1.下列函数中,哪些是正比例函数
(1)y=3x-1; (2)y=x2; (3)y=3x;
(4)y=-; (5)y=; (6)x=;
(7); (8)y=.
学生回答.
教师多媒体课件出示:
2.观察下列函数,它们有什么特点
(1)-y=-; (2)y=;
(3)y=; (4)y=.
生:……
师:我们知道正比例函数都可以写成y=kx的形式,这些函数呢 它们都可以写成哪种形式
生:写成y=(k为常数,且k≠0)的形式.
二、共同探究,获取新知
1.给出定义.
师:我们把这个等式进行变形,两边同乘以x,就变为xy=k,因为k为常数,所以x和y的乘积是一定的,这就是我们小学学过的反比例关系.
教师板书:
一般地,函数y=(k为常数,且k≠0)叫做反比例函数.
教师多媒体课件出示:
(1)下列选项中,两个变量之间的关系为反比例关系的是( )
A.匀速行驶的过程中,行驶的路与时间的关系
B.体积一定,物体的质量与密度的关系
C.质量一定,物体的体积与密度的关系
D.长方形的长一定,它的周长与宽的关系
(2)京沪高速公路全长约为1 262 km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京,汽车行完全程所需要的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系 变量t是v的反比例函数吗
(3)三角形的面积为6,它的底y与底边上的高x之间的函数关系式为 .
教师找三生回答.
2.例题讲解.
【例1】 已知参加施工的人数y与完成某项工程的时间x天成反比例关系.当施工人数为4时,10天能完成这项工程.现要求8天完成这项工程,应选派多少人去施工
师:你知道这种问题应该怎么解决吗
生:知道,用待定系数法.
师:具体的思路是什么呢
生:先求出y与x之间的函数关系式,然后把天数代入,求出人数.
师:这里哪两个量是成反比例的
生:人数y与时间x天.
师:那么我们可以怎样它们之间的关系
生:设y=.
师:然后怎么做呢
教师找一生回答.
生:当x=10时,y=4,代入上式,得k=40,即y=.将x=8代入上式,得y==5.
师:你回答得太好了!因此,当要求8天完成这项工程时,应选派5个人去施工.
【例2】 在压力不变的情况下,某物体承受的压强pPa是它的受力面积Sm2的反比例函数,如图.
(1)求p与S之间的函数表达式;
(2)当S=0.5时,求物体承受的压强p的值.
解:(1)根据题意,设p=.
函数图象经过点(0.1,1 000),代入上式,得1 000=.
解方程,得
k=100.
答:p与S之间的函数表达式为
p=(p>0,S>0).
(2)当S=0.5时,p==200.
答:当S=0.5时,物体承受的压强p的值为200.
三、练习新知,加深理解
教师找两生板演教材第44页练习的第2题,其余同学在下面做,然后集体订正,得到:
解:(1)设ρ=,把V=10,ρ=1.43代入这个式子得到k=14.3,所以ρ与V之间的函数关系式为:ρ=;
(2)把V=2代入上式,得ρ==7.15.所以当V=2 m3时,氧气的密度ρ为7.15 kg/m3.
教师多媒体课件出示:
1.某村有耕地200 hm2,人口数量x逐年发生变化,该村人均耕地面积y hm2与人口数量x之间有怎样的关系
2.某市距省城248 km,汽车由该市驶往省城,汽车行驶全程所需的时间t h与行驶的平均速度v km/h之间有怎样的关系
3.当电压U一定时,通过电阻的电流I与电阻的阻值R之间有怎样的关系
师:请同学们看这几个问题,你能得到题中两个量之间的关系吗
学生读题,思考.
教师找三生回答,然后集体订正得到:
1.y=; 2.t=; 3.I=.
教师多媒体课件出示:
为建设社会主义新农村,某地方政府准备修建一条连接各村庄的水泥路.修路时需要运输的土石方总量为1.2×108 m3,某运输承接了这项运输土石方的任务.
(1)请写出运输公司平均每天的工作量y(m3/天)与完成运输任务所需的时间t(天)之间的函数关系式;
(2)这个运输公司共有100辆汽车,每天一共运送土石方6×105 m3,那么该公司完成全部运输任务需要多长时间
教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
四、课堂小结
师:通过本节课的学习,你有什么收获
学生回答.
教学反思
在这节课中,我认为最成功之处是比较充分地调动了学生的积极性、主动性.通过让学生回忆正比例函数,然后引出与它相反的反比例函数,用它们的对比吸引了学生的注意力,充分引发了学生学习的兴趣,从而使得这节课能得以发挥.由于学生的兴趣得以激发,所以在教授新课的过程中,师生得以互动.这节课让学生得到了一个良好的自主学习的环境,整节课学生积极举手发言,场面比较热烈.在课程设计中,将反比例函数比较数学化的问题实际化,从实际出发又回到实际也是比较合理的.由于现在学生知识面的扩大,数学教学应该为实际服务越来越被大家接受,因此我认为联系实际是很重要的.
第2课时 反比例函数的图象与性质
教学目标
【知识与技能】
1.知道反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画反比例函数的图象,说出它的性质.
2.能利用反比例函数的图象和性质解决有关问题.
【过程与方法】
1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程,总结出它的性质.
2.探索反比例函数的图象的性质,体会并掌握用数形结合思想解决数学问题的方法.
【情感、态度与价值观】
调动学生的主观能动性,积极参与数学活动,培养合作、交流意识,提高观察、分析、抽象的能力.
重点难点
【重点】
反比例函数的图象和性质.
【难点】
反比例函数图象的画法及其性质的归纳.
教学过程
一、回顾交流,问题牵引
教师多媒体课件出示:
1.什么叫做反比例函数 下列函数中哪些是反比例函数
y=,y=-,y=6x+,y=-4x+1.
反比例函数的定义中需要注意什么
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,那么反比例函数的图象是什么样的呢
3.画函数图象的一般步骤是什么
师:请同学们回答以上问题.
学生抢答.
二、师生互动,探求新知
师:下面我们来画一个反比例函数y=的图象.它的取值范围是什么呢
生:x≠0.
师:对,所以我们取x的值时,应取不等于0的数.请同学们根据作图的一般步骤作出这个函数的图象.
学生作图,教师巡回指导.
师:你能说出这个图象的特征吗
生甲:它的图象在一、三象限.
生乙:在每个象限内,函数值y随x值的增大而减小.
师:图象与坐标轴有交点吗
学生观察后回答,图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但永远不与它们相交.
师:你能根据它的表达式分析一下出现这种现象的原因吗
学生交流、讨论.
师:一条线若与x轴相交,交点的纵坐标为多少
生:为0.
师:若与y轴相交,交点的横坐标呢
生:为0.
师:那表达式的图象不会与x轴和y轴相交,说明了什么
生:x和y都不能为0.
师:你们太聪明了!你能说说为什么x和y都不能为0吗
学生讨论.
生:因为y=变形后是xy=6,若x、y中有一个为0,则它们的积就是0了.
师:对,你分析得太好了!这个图形的形状有什么特点呢
生:……
师:如果点P(x0,y0)在函数y=的图象上,那么,与点P关于原点成中心对称的P'的坐标应是什么
生:(-x0,-y0).
师:这个点在函数y=的图象上吗
学生思考后回答:在.
师:为什么
生:因为当(x0,y0)在这个图象上时,有y0=,即x0y0=6,所以(-x0)(-y0)=6,-y0=,所以(-x0,-y0)也在y=的图象上.因此,你能得到什么结论
生:y=的图象关于原点成中心对称.
师:现在请同学们在同一平面坐标系中画出反比例函数y=-与y=的图象,然后观察这两个图象,看它们之间有什么关系
学生作图.
师:观察函数y=-和y=的图象,你能发现它们的共同特征以及不同点吗 每个图象的象限分别位于哪几个象限 在每个象限内,y随x的变化如何变化
学生观察图象后回答.
师:请同学们在课本第46页图21-29中画出函数y=-的图象.
学生作图.
三、归纳与概括
师:观察并比较函数y=与y=-的图象,你能分别就k>0和k<0两种情况总结反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的性质吗
师生一起总结出:
反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的性质吗
师生一起总结出:
反比例函数y=(k为常数,且k≠0)有下列性质:
(1)当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小;
(2)当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.
师:同学们都总结得不错!下面让就我们一起用刚才总结出来的规律来解决几个问题.
教师读题,学生在下面思考.
1.已知点M(-2,3)在双曲线y=上,则下列各点一定在该双曲线上的是( )
A.(3,-2) B.(-2,-3)
C.(2,3) D.(3,2)
【答案】A
2.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数y=图象上的两个点,且a1A.b1C.b1>b2 D.不能确定
【答案】D
3.已知A是反比例函数y=上的一点,自点A向y轴作垂线,垂足为T.若S△AOT=3,则此函数的关系式为 .
【答案】y=±
4.直线y=x与反比例函数y=的图象交于A、B两点,过点A作AC垂直于y轴,垂足为C,则△ABC的面积为 .
【答案】4
5.在反比例函数y=的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而减小.
(1)求k的取值范围;
(2)在曲线上取一点A,分别向x轴、y轴作垂线段,垂足分别为B、C,坐标原点为O,若四边形ABOC的面积为6,求k的值.
【答案】(1)∵在图象的每条曲线上,y随x的增大而减小,∴k>0;
(2)设A(x0,y0),则由已知应有|x0y0|=6,即|k|=6,又∵k>0,∴k=6.
四、应用所学,解决问题
【例】 已知反比例函数y=.
(1)如果这个函数的图象经过点(-3,5),求k的值;
(2)如果这个函数的图象在它所处的象限内,函数y随x的增大而减小,求k的取值范围.
解:(1)因为函数的图象经过点(-3,5),代入函数的表达式,得
5=.
解方程,得k=-7.
(2)根据题意,有2k-1>0.
解不等式,得k>.
师:下面我们通过进一步的练习巩固反比例函数的性质:
1.在某一电路中,保持电压U不变,电流I(安培)与电阻R(欧姆)之间的关系是:U=IR,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培,则电流I(安培)是电阻R(欧姆)的 函数,且I与R之间的函数关系式是 .
师:请大家交流后回答.
生:电流I(安培)是电阻R(欧姆)的反比例函数,关系式为I=.
师:回答正确,很好!下面请大家再思考一个问题:
2.已知△ABC的面积为12,则△ABC的高h与它的底边a的函数关系式为 .
生:h=.
师:回答正确,同学们掌握得都很好!继续思考下面的问题:
3.如果反比例函数y=的图象位于第二、四象限,那么m的取值范围为 .
生:由1-3m<0,
得-3m<-1,
∴m>.
4.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则y1与y2的大小关系(从大到小)为 .
生:y2>y1.
师:好!通过上面几道题的练习,同学们已经基本掌握了反比例函数的性质,那么我们更上一层楼,思考下面几道题:
1.若点P是反比例函数y=的图象上的一点,PD⊥x轴于D,则△POD的面积为 .
2.三个反比例函数在x轴上方的图象,y1=,y2=,y3=.由此得到( )
A.k1>k2>k3 B.k3>k2>k1
C.k2>k1>k3 D.k3>k1>k2
师:大家可以独立完成此题,如有困难再进行交流.
学生交流、讨论.
师:请同学们举手回答.
生:第1题答案为1.
师:请你解释一下.
生:因为反比例函数的表达式又可以写成xy=k,即图象上的点的横、纵坐标的积就是k的值,由题意得xy=2.又xy=S△POD,∴S△POD=1.
师:回答正确!哪位同学业来回答第2题
生:由反比例函数的性质可知,k2>k1,又k3>k2,所以k3>k2>k1,答案为B.
师:很好!通过这节课的学习,同学们已经基本掌握了反比例函数的性质,那么下面同学们能不能自己出两个有关反比例函数的问题 写出函数表达式,与同伴进行交流.
师生互动,交流.
五、课堂小结
师生总结回顾本节课所学的内容.
反比例函数的图象和性质:
形状:反比例函数的图象称为双曲线;
位置:当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内;
当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内;
增减性:当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
图象的发展趋势:反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远不能到达x、y轴.
对称性:反比例函数y=的图象关于坐标原点对称.
教学反思
本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比、数形结合的数学思想方法.
21.6 综合与实践 获取最大利润
教学目标
【知识与技能】
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(或小)值,培养学生解决问题的能力.
【过程与方法】
应用已有的知识,经过自主探索和合作交流尝试解决问题.
【情感、态度与价值观】
在经历和体验数学知识发现的过程中,提高思维品质,在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心.
重点难点
【重点】
二次函数在最优化问题中的应用.
【难点】
从现实问题中建立二次函数模型,学生较难理解和掌握.
教学过程
一、问题引入
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可使面积最大、利润最大、材料最省、时间最少、效率最高等问题,这类问题称为最优化问题.其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值.如何利用二次函数分析解决这样的问题呢
本节课我们来研究二次函数在实际问题中的应用.
做一做:从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是:h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高 小球运动中的最大高度是多少
我们可以借助函数图象解决这个问题,画出函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象,如图所示,可以看出这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.
因此,当t=-=-=3时,h有最大值=45,也就是说,小球运动的时间是3s时,小球最高,小球运动中的最大高度是45 m.
一般地,当a>0(或a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(或高)点,也就是说,当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(或大)值.
二、新课教授
问题1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地面积S最大
师生活动:
学生积极思考,找到等量关系式,并尝试解答.
教师巡视、指导,最后给出解答过程.
解:矩形场地的周长是60 m,一边长l,则另一边长为(-l),场地的面积S=l(30-l),即S=-l2+30l(0因此,当l=-=-=15(m)时,S有最大值==225(m2).
即当l是15 m时,场地面积S最大,最大值是225 m2.
问题2.某商品现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映,如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大
师生活动:
教师分析存在的问题,书写解答过程.
分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况.
设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之改变.我们先来确定y随x变化的函数关系式,涨价x元时,每星期少卖10x件,实际卖出(300-10x)元.销售额为(60+x)(300-10x)元,买进商品需付40(300-10x)元.因此,所得利润为
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),(0≤x≤30)
即y=-10x2+100x+600
=-10(x2-10x)+600
=-10(x2-10x+25)+850
=-10(x-5)2+850(0≤x≤30)
所在,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大为850元.
思考:在降价的情况下,最大利润是多少
(降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大为6 125元.)
思考:由上面的讨论及现在的销售情况,你知道如何定价才能使利润最大了吗
(在涨价的情况下,定价65元;在降价的情况下,定价57.5元.)
问题3:图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.若水面下降1 m,水面宽度增加多少
师生活动:
学生完成解答.
教师分析存在的问题,书写解答过程.
分析:我们知道二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.
由抛物线经过点(2,-2),可得
-2=a×22,解得a=-,
这条抛物线表示的二次函数为y=-x2.
水面下降1 m,水面所在位置的纵坐标为y=-3,代入上述表达式得x=±.
故水面下降1 m,水面宽度增加(2-4)m.
让学生回顾解题过程,讨论、交流、归纳解题步骤:
(1)先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;
(2)研究自变量的取值范围;
(3)研究所得的函数;
(4)检验x的取值是否是自变量的取值范围内,并求相关的值;
(5)解决提出的实际问题.
学生尝试从前面四道题中找到解题规律.
教师补充学生回答中的不足,及时纠正.
三、巩固练习
1.已知二次函数y=(3+x)(1-2x),当x= 时,函数有最 值,为 .
【答案】- 大
2.二次函数y=x2-8x+c的最小值为0,那么c的值等于( )
A.4 B.8 C.-4 D.16
【答案】D
3.沿墙用长32 m的竹篱笆围成一个矩形的护栏(三面),怎样围才能使矩形护栏面积最大 最大面积为多少 试画出所得函数的图象.
【答案】围成的矩形一边长为8 m、另一边长为16 m可使矩形护栏的面积最大,最大面积为128 m2.图象略.(注意自变量的取值范围)
4.某旅社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金增加5元,则客房每天出租会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高 比装修前的日租金总收入增加多少元
【答案】将每间客房的日租金提高到75元时,总收入最高,比装修前的日租金总收入增加750元.
5.某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y(台)之间的函数关系如下表所示:
x(元) 130 150 165
y(台) 70 50 35
并且日销售量y是每件售价x的一次函数.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)为获得最大利润,每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售的利润是多少
【答案】(1)y=-x+200
(2)销售利润S=(-x+200)(x-120),当售价定为每件160元时,每日销售利润最大为1 600元.
四、课堂小结
1.得出用二次函数知识解决实际生活中的最值问题的一般步骤:
(1)列出二次函数的表达式,并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
2.解题循环图:
教学反思
本节课充分运用导学提纲,教师提前通过一系列问题的设置引导学生课前预习.在课堂上通过对一系列问题的解决与交流,让学生通过二次函数掌握解决面积最大、利润最大等这一类题的方法,学会用建模的思想去解决和函数有关的应用问题.
所以在例题的处理中适当地降低了难度,让学生的思维有一个拓展的空间.在训练的过程中,通过学生的独立思考与小组合作探究相结合,使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高.同时也注重对解题方法与解题模式的归纳与总结,并适当地渗透转化、化归、数形结合等数学思想方法.
就整节课看,学生的积极性得以充分调动,特别是学困生,在独立思考和小组合作中改变以往的配角地位,也能积极参与到课堂学习活动中.今后继续发扬从学生出发,从学生的需要出发,把问题的难度降低,让学生在能力范围内掌握新知识,等有了足够的热身运动之后再去拓展延伸.
第22章 相似形
22.1 比例线段
第1课时 相似多边形
教学目标
【知识与技能】
知道相似图形的两个特征:对应边成比例,对应角相等.掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似”.
【过程与方法】
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程,体会由特殊到一般的思想方法,感受图形世界的丰富多彩.
【情感、态度与价值观】
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质.
重点难点
【重点】
知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等.
【难点】
能运用相似图形的性质解决问题.
教学过程
一、问题引入
活动1:观察图片,体会开关相同的图形.(多媒体出示)
师:同学们,请观察下列几幅图片,你能发现什么 你能对观察到图片特点进行归纳吗
生:这些图形的开关相同,而大小不同.
二、新课教授
活动2:思考:如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状相同吗
生:形状不同.
师生活动.
教师出示图片,提出问题.
学生细心观察,认真思考,小组讨论后回答问题.
教师对学生的回答进行评价,总结:哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状不同,它们的形状发生了改变.
形状相同而大小不同的两个平面图形,较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的,较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中,两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”,因此,对于形状相同而大小不同的两个图形,我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.
活动3:探究.
如图(1)的两个正方形,应有
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;
=====.
如图(2)的两个等边三角形,应有
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1;
====.
(1)
(2)
一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.
师生总结:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
(1)如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似;
(2)相似多边形的对应边的比称为相似比;
(3)当相似比为1时,两个多边形全等.
三、例题讲解
【例1】 如图所示,四边形ABCD和四边形EFGH相似,求角α和β的大小以及EH的长度x.
师生活动.
教师出示例题,提出问题.
学生通过运用相似多边形的性质正确解答出角α和β的大小以及EH的长度x.
解:四边形ABCD和四边形EFGH相似,它们的对应角相等.由此可得
∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°,
在四边形ABCD中,
∠β=360°-(78°+83°+118°)=81°.
四边形ABCD和四边形EFGH相似它们的对应边成比例.由此可得
=,即=.
解得:x=28(cm).
【例2】 已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,且A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14.若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD各边的长.
分析:因为两个四边形相似,因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题.
解:∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,
∴AB∶BC∶CD∶DA=A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1.
∵A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14,
∴AB∶BC∶CD∶DA=7∶8∶11∶14.
设AB=7m,则BC=8m,CD=11m,DA=14m.
∵四边形ABCD的周长为40,
∴7m+8m+11m+14m=40,
∴m=1,
∴AB=7,则BC=8,CD=11,DA=14.
四、巩固练习
1.在比例尺为1∶10 000 000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30 cm,求两地的实际距离,
【答案】3 000 km
2.如图所示的两个直角三角形相似吗 为什么
【答案】相似,因为它们的对应角相等,对应边的比相等.
3.如图所示的两个五边形相似,求求知边a、b、c、d的长度.
【答案】a=3,b=,c=4,d=6.
五、课堂小结
本节课主要学习了以下内容:
1.相似多边形的定义:如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似.
2.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
教学反思
本节课主要教学对相似图形的认识.在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题,让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线,让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键处进行点拨,不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大胆验证.让学生在研究过程中渗透教学思想,有意识地培养学生的解题能力.
第2课时 成比例线段(1)
教学目标
【知识与技能】
从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段,理解成比例线段的概念.
【过程与方法】
在成比例线段的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题.
【情感、态度与价值观】
在探究成比例线段的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识.
重点难点
【重点】
认识成比例的线段.
【难点】
理解成比例线段的概念.
教学过程
一、复习回顾,引入新课
师:同学们还记得我们上节课学习了什么知识吗
生:学习了相似多边形.
师:是的,你能说说什么是相似多边形吗
生:一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.
师:很好!由于多边形的边是线段,所以在研究图形相似之前,这节课我们先要学习成比例线段的有关知识.
21.1 二次函数
教学目标
【知识与技能】
以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点.
【过程与方法】
能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
【情感、态度与价值观】
联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想.
重点难点
【重点】
二次函数的概念.
【难点】
能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的
[一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)]
2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系
(正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体自由下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系
(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.)
上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示 这种函数有哪些性质 它的图象是什么 它与以前学过的函数、方程等有哪些关系
这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题)
二、新课教授
师:我们再来看几个问题.
问题1 某水产养殖户用长40 m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米
这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为S m2,则有S=x(20-x)=-x2+20x.
问题2 有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多 玩具总数最多是多少
设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为
y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850.
这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的.
二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项.
二次函数的自变量的取值范围一般都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0
【例1】 判断下列函数是否为二次函数 如果是,指出其中常数a、b、c的值.
(1)y=1-3x2; (2)y=x(x-5);
(3)y=x-x+1; (4)y=3x(2-x)+3x2;
(5)y=; (6)y=;
(7)y=x4+2x2-1.
解:(1)、(2)是二次函数.(1)中,a=-3,b=0,c=1;(2)中,a=1,b=-5,c=0.
【例2】 当k为何值时,函数y=(k-1)+1为二次函数
解:令k2+k=2,得k1=-2,k2=1.
当k1=-2时,k-1=-2-1=-3≠0;
当k2=1时,k-1=1-1=0.
所以当k=-2时,函数y=-3x2+1为二次函数.
【例3】 写出下列各题的函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.
(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系式;
(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式;
(3)菱形的两条对角线长的和为26 cm,求菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式.
解:(1)S=6a2,是二次函数;(2)y=,是二次函数;(3)S=x(26-x),是二次函数.
四、巩固练习
1.(口答)下列函数中,哪些是二次函数
(1)y=3x2-1;(2)y=5x2-2x;(3)y=-2x2+x-1;(4)y=4-x3;(5)y=;(6)y=3x2+;(7)y=x2.
【答案】(1)(2)(3)(7)是二次函数
2.y=(m+1)-3x+1是二次函数,则m的值为 .
【答案】2
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式.
【答案】S=4πr2
五、课堂小结
本节课主要学习了以下内容:
1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.
2.能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
教学反思
本节课从实际问题入手,结合学生已有的知识经验,观察、归纳出二次函数的概念以及二次函数的一般表达式y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),并使学生从中体会函数的思想.在本节课的教学过程中,学生经常列不出二次函数关系式,对于实际问题会忘记给出自变量的取值范围,这些问题要通过加强训练来解决.
21.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.
【过程与方法】
使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.
重点难点
【重点】
使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.
【难点】
用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数的图象是什么 反比例函数的图象是什么
(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)
2.画函数图象的一般步骤是什么
一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).
3.二次函数的图象是什么形状 二次函数有哪些性质
(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)
二、新课教授
【例1】 画出二次函数y=x2的图象.
解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).
(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.
思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:
(1)二次函数y=x2的图象是什么形状
(2)图象是轴对称图形吗 如果是,它的对称轴是什么
(3)图象有最低点吗 如果有,最低点的坐标是什么
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.
学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.
函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.
由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.
【例2】 在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.
解:分别填表,再画出它们的图象.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.
学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.
抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.
探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
师生活动:
学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨.
学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形.
抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大.
探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗 抛物线y=ax2和y=-ax2呢
师生活动:
学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.
学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形.
抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称.
教师引导学生小结(知识点、规律和方法).
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.
从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
三、巩固练习
1.抛物线y=-4x2-4的开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 ,当x= 时,y有最 值,是 .
【答案】下 (0,-4) x=0 0 大 -4
2.当m≠ 时,y=(m-1)x2-3m是关于x的二次函数.
【答案】1
3.已知抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x= ,y= .
【答案】-3或3 -12
4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),则k= ,b= .
【答案】 12
5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为 .
【答案】y=-2x2
6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是( )
A.y=x2 B.y=x2
C.y=-2x2 D.y=-x2
【答案】C
7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是( )
A.y=x2 B.y=4x2
C.y=-2x2 D.无法确定
【答案】A
8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是( )
A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线关于y轴对称
D.两条抛物线的交点为原点
【答案】C
四、课堂小结
1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数.
2.二次函数y=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.
3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.
教学反思
本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:(1)例1是基础;(2)在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;(4)最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.
第2课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1)
教学目标
【知识与技能】
使学生能利用描点法作出函数y=ax2+k的图象.
【过程与方法】
让学生经历二次函数y=ax2+k的性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+k的性质及它与函数y=ax2的关系,培养学生观察、分析、猜测并归纳、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
重点难点
【重点】
会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象,理解二次函数y=ax2+k的性质,理解函数y=ax2+k与函数y=ax2的相互关系.
【难点】
正确理解二次函数y=ax2+k的性质,理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系.
教学过程
一、问题引入
1.二次函数y=2x2的图象是 ,它的开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 ;在对称轴的右侧,y随x的增大而 .函数y=ax2在x= 时,取最 值,其最 值是 .
2.抛物线y=x2+1,y=x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么
3.抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系
二、新课教授
问题1:对于前面提出的第2、3个问题,你将采取什么方法加以研究
(画出函数y=x2+1、y=x2-1和函数y=x2的图象,并加以比较.)
问题2:你能在同一直角坐标系中画出函数y=x2+1与y=x2的图象吗
师生活动:
学生回顾画二次函数图象的三个步骤,按照画图的步骤画出函数y=x2+1、y=x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师写出解题过程,与学生所画的图象进行比较,帮助学生纠正错误.
解:(1)列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 …
(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.
(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=x2和y=x2+1的图象.
问题3:当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系 反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系
师生活动:
教师引导学生观察上表并思考,当x依次取-3、-2、-1、0、1、2、3时,两个函数的函数值之间有什么关系
学生观察、讨论、归纳得:当自变量x取同一数值时,函数y=x2+1的函数值比函数y=x2的函数值大1.
教师引导学生观察函数y=x2和函数y=x2+1的图象,先研究点(-1,1)和点(-1,2)、点(0,0)和点(0,1)、点(1,1)和点(1,2)的位置关系.
学生观察、讨论、归纳得:反映在图象上,函数y=x2+1的图象上的点都是由函数y=x2的图象上的相应点向上移动了一个单位.
问题4:函数y=x2+1和y=x2的图象有什么联系
学生由问题3的探索可以得到结论:函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.
问题5:现在你能回答前面提出的第2个问题了吗
生:函数y=x2+1与函数y=x2的图象开口方向相同、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y=x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=x2+1的图象的顶点坐标是(0,1).
问题6:你能由函数y=x2+1的图象得到函数y=x2+1的一些性质吗
生:当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大;当x=0时,函数取得最小值,最小值是y=1.
问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2+1与函数y=2x2-1的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别.
师生活动:
教师在学生画函数图象的同时,巡视指导.
学生动手画图,观察、讨论、归纳.
解:先列表:
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y=2x2-1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …
然后描点画图,得y=2x2+1,y=2x2-1的图象.
教师让学生发表意见,归纳为:函数y=2x2+1与函数y=2x2-1的图象的开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同.函数y=2x2-1的图象可以看成是将函数y=2x2+1的图象向下平移两个单位得到的.
问题8:你能说出函数y=x2-1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及这个函数的性质吗
师生活动:
教师让学生观察y=x2-1的图象.
学生动手画图,观察、讨论、归纳.
学生分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言.最后归纳总结:函数y=x2-1的图象的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标是(0,-1);当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大;当x=0时,函数取得最小值,最小值为y=-1.
三、巩固练习
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2、y=x2+2、y=x2-2的图象.
(1)填表:
x … …
y=x2 … …
y=x2+2 … …
y=x2-2 … …
(2)描点,连线:
【答案】略
2.观察第1题中所画的图象,并填空:
(1)抛物线y=x2+2的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;抛物线y=x2+2是由抛物线y=x2向 平移 个单位长度得到的;
(2)对于y=x2-2,当x>0时,函数值y随x的增大而 ;当x<0时,函数值y随x的增大而 ;
(3)对于函数y=x2,当x= 时,函数取最 值,为 .
对于函数y=x2+2,当x= 时,函数取最 值,为 .
对于函数y=x2-2,当x= 时,函数取最 值,为 .
【答案】(1)向上 x=0 (0,2) 上 2 (2)增大 减小 (3)0 小 0 0 小 2 0 小 -2
四、课堂小结
1.函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到函数y=ax2+k的图象.
2.抛物线y=ax2+k(a≠0)的性质.
(1)抛物线y=ax2+k(a≠0)的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,k).
(2)当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限伸展;
当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限伸展.
(3)当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.这时,当x=0时,y有最小值k.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.这时,当x=0时,y有最大值k.
教学反思
通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面:首先,掌握函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到y=ax2+k的图象;其次,能够理解a、k对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础;最后,形成严谨的学习态度和求简的数学精神.
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(2)
教学目标
【知识与技能】
使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象.
【过程与方法】
让学生经历探究二次函数y=a(x-h)2性质的过程,理解函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
重点难点
【重点】
会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象,理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.
【难点】
理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.
教学过程
一、问题引入
1.抛物线y=2x2+1、y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么
2.二次函数y=-(x+1)2的图象与二次函数y=-x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗 这两个函数的图象之间有什么关系
二、新课教授
问题1:你将用什么方法来研究问题引入2提出的问题
(画出二次函数y=-(x+1)2和二次函数y=-x2的图象,并加以观察.)
问题2:你能在同一直角坐标系中画出二次函数y=-x2与y=-(x+1)2的图象吗
师生活动:
教师引导学生作图,巡视、指导.
学生在直角坐标系中画出图形.
教师对学生的作图情况作出评价,指正错误,出示正确的图形.
解:(1)列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … - -2 - 0 - -2 - …
y=-(x+1)2 … -2 - 0 - -2 - -8 …
(2)描点:用表格中的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2和y=-(x+1)2的图象.
问题3:当函数值y取同一数值时,这两个函数的自变量之间有什么关系 反映在图象上,相应的两点之间的位置又有什么关系
师生活动:
教师引导学生观察上表,当y依次取0、-、-2、-时,两个函数的自变量之间有什么关系
学生归纳得到,当函数值取同一数值时,函数y=-(x+1)2的自变量比函数y=-x2的自变量小1.
教师引导学生观察函数y=-(x+1)2和函数y=-x2的图象,先研究点(-1,-)和点(0,-)、点(-1,0)和点(0,0)、点(1,-2)和点(2,-2)的位置关系.
学生归纳得到:反映在图象上,函数y=-(x+1)2的图象上的点都是由函数y=-x2的图象上的相应点向左移动了一个单位.
问题4:函数y=-(x+1)2和y=-x2的图象有什么联系
学生由问题3的探索,可以得到结论:函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.
问题5:现在你能回答前面提出的第2个问题了吗
学生观察两个函数的图象得:函数y=-(x+1)2的图象开口方向向下,对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,0);函数y=-x2的图象开口方向向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0).
问题6:你能由函数y=-(x+1)2的图象得到函数y=-(x+1)2的一些性质吗
生:当x>-1时,函数值y随x的增大而减小;当x<-1时,函数值y随x的增大而增大;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=0.
问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=-(x-1)2与函数y=-x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别.
师生活动:
教师在学生画函数图象的同时,巡视指导.
学生画图并仔细观察,细心研究.
教师让学生发表意见,归纳为:函数y=-(x-1)2与函数y=-x2的图象的开口方向相同,对称轴、顶点坐标不同.函数y=-(x-1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位得到的.
问题8:你能说出函数y=-(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及这个函数的性质吗
师生活动:
教师引导学生观察y=-(x-1)2的图象,并引导学生思考其性质.
学生分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言,达成共识:函数y=-(x-1)2的图象的开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,0).当x<1时,函数值y随x的增大而增大;当x>1时,函数值y随x的增大而减小;当x=1时,函数取得最大值,最大值y=0.
三、巩固练习
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2的图象.
(1)填表:
x y=x2 y=(x+1)2 y=(x-1)2
…… … … …
…… … … …
(2)描点,连线:
【答案】略
2.观察第1题中所画的图象,并填空:
(1)抛物线y=(x+1)2的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;抛物线y=(x+1)2是由抛物线y=x2向 平移 个单位长度得到的;
(2)对于y=(x-1)2,当x>1时,函数值y随x的增大而 ;当x<1时,函数值y随x的增大而 ;
(3)对于函数y=x2,当x= 时,函数取得最 值,为 ;
对于函数y=(x+1)2,当x= 时,函数取得最 值,为 ;
对于函数y=(x-1)2,当x= 时,函数取得最 值,为 .
【答案】(1)向上 x=-1 (-1,0) 左 1 (2)增大 减小 (3)0 小 0 -1 小 0 1 小 0
四、课堂小结
结论如下:
1.函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿x轴向左(当h<0时)或向右(当h>0时)平移|h|个单位就得到y=a(x-h)2的图象.
2.抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的性质.
(1)抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,0).
(2)当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限伸展;
当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限伸展.
(3)当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当x=h时,y有最小值.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小;当x=h时,y有最大值.
教学反思
通过本节课的学习,要求大家理解并掌握函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿x轴向左(当h<0时)或向右(当h>0时)平移|h|个单位就得到y=a(x-h)2的图象;能够理解a、h对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础.本节课的处理是在教师的引导下,学生进行观察、归纳、总结,充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.
第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(3)
教学目标
【知识与技能】
使学生理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【过程与方法】
让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的性质,培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
重点难点
【重点】
确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a(x-h)2+k的性质.
【难点】
正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质.
教学过程
一、问题引入
1.函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象有什么关系
(函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.)
2.函数y=-(x+1)2的图象与函数y=-x2的图象有什么关系
(函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.)
3.函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系 函数y=-(x+1)2-1有哪些性质
(函数y=-(x+1)2-1的图象可以看作是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到的,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标是(-1,-1).)
二、新课教授
问题1:你能画出函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象吗
师生活动:
教师引导学生作图,巡视,指导.
学生在直角坐标系中画出图形.
教师对学生的作图情况作出评价,指正其错误,出示正确图形.
解:(1)列表:
x y=-x2 y=-(x+1)2 y=-(x+1)2-1
… … … …
-3 - -2 -3
-2 -2 - -
-1 - 0 -1
0 0 - -
1 - -2 -3
2 -2 - -
3 - -8 -9
… … … …
(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象.
问题2:观察图象,回答下列问题.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=-x2 向下 x=0 (0,0)
y=-(x+1)2 向下 x=-1 (-1,0)
y=-(x+1)2-1 向下 x=-1 (-1,-1)
问题3:从上表中,你能分别找到函数y=-(x+1)2-1,y=-(x+1)2与函数y=-x2的图象之间的关系吗
师生活动:
教师引导学生认真观察上述图象.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
函数y=-(x+1)2-1的图象可以看成是将函数y=-(x+1)2的图象向下平移1个单位得到的.
函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移1个单位得到的.
故抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y=-(x+1)2,再将抛物线y=-(x+1)2向下平移1个单位得到的.
除了上述平移方法外,你还有其他的平移方法吗
师生活动:
教师引导学生积极思考,并适当提示.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2向下平移1个单位长度得到抛物线y=-x2-1,再将抛物线y=-x2-1向左平移1个单位得到的.
问题4:你能发现函数y=-(x+1)2-1有哪些性质吗
师生活动:
教师组织学生讨论,互相交流.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
当x<-1时,函数值y随x的增大而增大;当x>-1时,函数值y随x的增大而减小;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=-1.
三、典型例题
【例】 要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管应多长
师生活动:
教师组织学生讨论、交流,如何将文字语言转化为数学语言.
学生积极思考、解答.
指名板演,教师讲评.
解:如图(2)建立的直角坐标系中,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,因此可设这段抛物线对应的函数关系式是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).
由这段抛物线经过点(3,0)可得0=a(3-1)2+3,
解得a=-,
因此y=-(x-1)2+3(0≤x≤3),
当x=0时,y=2.25,也就是说,水管的长应为2.25 m.
四、巩固练习
1.画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较.
【答案】函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移一个单位得到的,再将y=2(x-1)2的图象向下平移两个单位长度即得函数y=2(x-1)2-2的图象.
2.说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】函数y=-(x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位,再向上平移两个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2).
五、课堂小结
本节知识点如下:
一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(或下)向左(或右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向和距离要根据h、k的值来确定.
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是x=h;
(3)顶点坐标是(h,k).
教学反思
本节内容主要研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质.在前两节课的基础上我们清楚地认识到y=a(x-h)2+k与y=ax2有密切的联系,我们只需对y=ax2的图象做适当的平移就可以得到y=a(x-h)2+k的图象.由y=ax2得到y=a(x-h)2+k有两种平移方法:
方法一:
y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
方法二:
y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2+k
在课堂上演示平移的过程,让学生切身体会到两种平移方法的区别和联系,这里利用几何画板软件效果会更好.
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象的方法.
【过程与方法】
使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法;让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.
【情感、态度与价值观】
鼓励学生思维多样性,发展学生的创新意识.
重点难点
【重点】
用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标.
【难点】
理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标.
教学过程
一、问题引入
1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
(函数y=-4(x-2)2+1的图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).)
2.函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系
(函数y=-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位得到的.)
3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质
(当x<2时,函数值y随x的增大而增大;当x>2时,函数值y随x的增大而减小;当x=2时,函数取得最大值,最大值y=1.)
二、新课教授
问题1.思考:我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点坐标为(h,k),二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗
师生活动:
教师引导学生回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.
学生积极回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.
学生积极展示探究结果,教师评价.
配方可得:
y=x2-6x+21
=(x-6)2+3
由此可知,抛物线y=x2-6x+21的顶点坐标是(6,3),对称轴是x=6.
问题2.你能画出二次函数y=x2-6x+21的图象吗
分析:由以上问题的解决,我们已经知道函数y=x2-6x+21=(x-6)2+3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点,可以采用描点作图的方法作出函数y=x2-6x+21的图象,通过观察图象进而得到这个函数的性质.
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-6x+21的图象.
学生回忆画图的步骤,动手画图,相互比较.
教师对学生的作品进行评价,对于画得好的学生要加以鼓励,激发学生的学习热情.
解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y … 5 3 5 …
(2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2-6x+21的图象.
与同学分享作图过程.
说明:(1)列表时,应根据对称轴是x=6,以6为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值.相应的函数值是相等的;
(2)直角坐标系中,x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同.要根据具体问题选取适当的长度单位,使画出的图象美观.
问题3.观察函数y=x2-6x+21的图象,它具有哪些性质
师生活动:
教师引导学生观察二次函数y=x2-6x+21的图象.
学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识.
对函数y=x2-6x+21来说:
当x<6时,函数值y随x的增大而减小;
当x>6时,函数值y随x的增大而增大;
当x=6时,函数取得最小值,最小值y=3.
问题4.以上介绍的都是给出一个具体的二次函数来研究它的图象与性质.那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bz+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标呢 你能把结果写出来吗
师生活动:
教师留给学生足够的思考、探究时间.
学生联系上述处理问题的办法,试着对y=ax2+bx+c进行配方.
师生共同完成配方过程,分享成功.
y=ax2+bx+c
=a(x2+x)+c
=a[x2+x+()2-()2]+c
=a[x2+x+()2]+c-
=a(x+)2+
当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.
对称轴是x=-,顶点坐标是(-,).
三、巩固练习
1.通过配方写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=3x2+2x; (2)y=-x2-2x;
(3)y=-2x2+8x-8 (4)y=x2-4x+3.
【答案】略
2.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b= ,c= .
【答案】-4 0
3.已知二次函数y=-2x2-8x-6,当 时,y随x的增大而增大;当x= 时,y有最 值,是 .
【答案】x<-2 -2 大 2
4.用配方法求二次函数y=-2x2-4x+1的顶点坐标.
【答案】y=-2x2-4x+1
=-2(x2+2x)+1
=-2(x+1)2+3.
它的顶点坐标为(-1,3).
四、课堂小结
一般地,我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标与对称轴.
y=ax2+bx+c
=a(x+)2+
因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点的坐标是(-,).
教学反思
本节课研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,关键是通过配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式.教学时,可以结合复习一元二次方程的知识,认识两者的相同与不同之处.注意让学生根据图象或利用配方法确定抛物线的对称轴和顶点坐标.
本节课的处理仍然是在教师的引导下,让学生进行观察、归纳、总结,充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于提高学生分析问题、解决问题的能力.
第6课时 二次函数表达式的确定
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式的方法;使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式的方法.
【过程与方法】
体会数学在生活中的作用,培养学生的动手操作能力.
【情感、态度与价值观】
让学生体验二次函数的关系式的应用,提高学生对数学重要性的意识.
重点难点
【重点】
已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2+bx+c的关系式.
【难点】
已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式.根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数的表达式是什么 如何求出它的表达式
(一次函数的表达式y=kx+b,只需知道一次函数图象上两个点的坐标,利用待定系数法求出系数k、b.)
2.已知二次函数图象上的几个点的坐标,可以求出这个二次函数的表达式
本节课我们来研究用待定系数法求二次函数的表达式.(板书)
二、新课教授
问题1.如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的表达式吗 如果能,求出这个二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.由已知函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,得到关于a、b、c的三元一次方程组
解这个方程组,得:
a=2,b=-3,c=5.
所求二次函数的表达式是y=2x2-3x+5.
归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.
问题2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式.
分析:二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x-h)2+k的形式称为顶点式,(h,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,可以设函数关系式为:y=a(x-8)2+9,由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的值.
归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设函数关系式为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.
三、典型例题
【例1】 有一个二次函数,当x=0时,y=-1;当x=-2时,y=0;当x=时,y=0.求这个二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,根据题意,得
解方程组,得
.
答:所求二次函数的表达式为y=x2+x-1.
【例2】 已知抛物线的对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式.
解法一:设所求二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c=-5.又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得解这个方程组,得
所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5.
解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,-5)两点,可以得到:
解这个方程组,得
所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5.
【例3】抛物线y=x2-4x+8与直线y=x+1交于B、C两点.
(1)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线;
(2)记抛物线的顶点为A,求△ABC的面积.
解:(1)如图,画出直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+8.
(2)由y=x2-4x+8=(x-4)2,得点A的坐标为(4,0).
解方程组
得B、C两点的坐标分别为B(2,2)、C(7,4.5).
过B、C两点分别作x轴的垂线,垂足分别为B1、C1,则
S△ABC=--
=(BB1+CC1)B1C1-AB1·BB1-AC1·CC1
=(2+4.5)×5-×2×2-×3×4.5
=7.5.
小结:让学生讨论、交流、归纳得到:已知二次函数的最大值或最小值,就是已知该函数的顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量较大.
四、巩固练习
1.已知二次函数当x=-3时,有最大值-1,且当x=0时,y=3,求二次函数的关系式.
【答案】解法一:设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c,因为图象过点(0,3),所以c=3.又由于二次函数当x=-3时,有最大值-1,可以得到:解这个方程组,得
所以,所求二次函数的关系式为y=x2+x+3.
解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,依题意,得y=a(x+3)2-1.
因为二次函数的图象过点(0,3),所以有3=a(0+3)2-1,解得a=,所以,所求二次函数的关系式为y=(x+3)2-1,即y=x2+x+3.
2.已知二次函数y=x2+px+q的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数的关系式.
【答案】依题意,得
解得:p=-10,q=23,
所以,所求二次函数的关系式是y=x2-10x+23.
五、课堂小结
1.求二次函数的关系式,常见的有几种类型
两种类型:
(1)一般式:y=ax2+bx+c;
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k).
2.如何确定二次函数的关系式
让学生回顾、思考、交流,得出:关键是确定上述两个式子中的待定系数,通常需要三个已知条件.在具体解题时,应根据具体的已知条件灵活选用合适的形式,运用待定系数法求解.
教学反思
本节课研究了二次函数y=ax2+bx+c表达式的求法:
归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.
归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设方程为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.
要根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式,体会一题多解的乐趣,激发学生的学习欲望.本节课的处理仍然是在教师的引导下,让学生探索、归纳,得到新知.
21.3 二次函数与一元二次方程
教学目标
【知识与技能】
掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.
【过程与方法】
经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.
【情感、态度与价值观】
进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.
重点难点
【重点】
用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.
【难点】
用数形结合的思想解方程及不等式.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点
生甲:一个.
生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.
生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.
师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗 比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少
学生计算后回答.
二、共同探究,获取新知
师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点 我们可以借助什么来研究
学生思考.
生:借助二次函数的图象.
师:对.
教师多媒体课件出示:
二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:
1.它与x轴有公共点吗 如果有,公共点的横坐标是多少
2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少
3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗
4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系
师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.
学生作图,教师巡视指导.
教师出示图象:
学生观察图象后回答.
生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.
师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗 交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢
学生思考,交流讨论.
生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.
师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢
生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.
三、例题讲解
【例】 用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).
解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.
由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.
先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表:
x … -2.5 -2.4 …
y … 0.25 -0.04 …
观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.
同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.
方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.
如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.
四、练习新知
师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 .
【答案】x1=1,x2=-5
2.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.
(1)y=2x2-5x+3; (2)y=x2+3x+5;
(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.
【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);
(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;
(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;
(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).
3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.
【答案】根据题意,得
解得k>-且k≠0.
五、继续探究,层层推进
师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.
学生看图.
师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么
生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.
生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.
师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.
学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.
六、课堂小结
师:本节课你学习了什么内容 有什么收获
学生回答.
师:你还有什么不明白的地方吗
学生提问,教师解答.
教学反思
学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.
21.4 二次函数的应用
第1课时 二次函数的应用(1)
教学目标
【知识与技能】
能应用二次函数的图象来分析问题、解决问题,在应用中体会二次函数的实际意义.
【过程与方法】
1.通过将二次函数应用于解决实际问题体验数学在实际生活中的广泛应用,发展数学思维.
2.在数学建模中使学生学会交流、合作.
【情感、态度与价值观】
培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.
重点难点
【重点】
用二次函数的性质解决实际问题,特别是最大值、最小值问题.
【难点】
建立二次函数的数学模型.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:二次函数有哪些性质
学生回忆.
教师提示:结合函数的图象.
生:y随x的变化增减的性质,有最大值或最小值.
师:很好!我们今天就用二次函数和它的这些性质来解决教材21.1节开关提出的一个实际问题.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体课件出示:
某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗,设此矩形水面的长为xm,面积为Sm2.那么,S与x之间有怎样的函数关系 要使围成的水面面积最大,它的长应是多少米
学生交流、讨论.
生:S与x之间的函数关系式为:S=x(20-x).要使围成的水面面积最大,就要使S取得最大值,它的长应该取图象顶点的横坐标.
师:你回答得很好!那怎么求出这个横坐标呢
生甲:配方,变为顶点式求出.
生乙:直接用顶点横坐标的公式x=-.
师:同学们回答得很好!用这两种方法都可以求出.请同学们求一下面积最大时长应是多少,并求出最大面积是多少.
学生计算后回答.
生:将这个函数关系式配方,得
S=-(x-10)2+100(0
这就是说,当围成的矩形水面长为10m,宽为10m时,它的面积最大,最大面积是100m2.
教师多媒体课件出示:
某商品现在的售价为每件10元,一周可卖出50件.市场调查表明:这种商品如果每件涨价1元,每周要少卖出5件.已知该商品的进价为每件8元,问每件商品涨价多少才能使每周得到的利润最大
师:请同学们思考一下,若我们设每件商品涨价x元,那么销售额为多少
学生思考、计算.
生:销售额为(10+x)(50-5x).
师:进货额为多少
生:进货额为8(50-5x).
师:利润呢
生:利润等于销售额减去进货额,即(10+x)(50-5x)-8(50-5x).
师:那还有没有其他的计算利润的方法了呢
学生思考.
生:还可以先表示出每件的利润,然后乘以数量,就是总的利润.
师:思路是对的,具体的式子是什么呢
生:每件的利润为(10+x-8),数量为(50-5x),总利润为(10+x-8)(50-5x).
师:变量x的取值范围怎么确定
生:x≥0且应满足50-5x>0,因为数量应为正值.
师:如何求得涨价多少利润最大呢
生:x取顶点的横坐标时利润最大,此时最大值为顶点的纵坐标.
师:很好,但你还要注意顶点的横坐标在不在自变量的取值范围内.当极值点在自变量的取值范围内时,极值点就是函数的最值点.若极值点不在函数自变量的取值范围内,你怎么求函数的最值呢
学生思考,交流.
教师提示:请同学们画出符合这个条件一条抛物线,最值点不在自变量的取值范围内时,图象与完整的抛物线的对称轴有什么关系
学生作图后观察.
生:图象在完整的抛物线的对称轴的一侧.
师:在一侧,y是不是随x的变化而变化
生:是.
师:所以在这种情况下,在它的两个端点处取到极值.还要注意的是,在解决有关销量与售价的问题时,你要看清楚是问售价是多少时的销售额或利润,还是问涨价多少时的销售额或利润 请同学们分别回答下列情形时的式子.
教师多媒体课件出示:
售价为a元时,一周可卖出m件,每涨价p元,每周要少卖出n件,每件的进价为r元
1.售价为x元时的销售额s为多少 利润f为多少
教师找一生回答.
教师板书:
s=x(m-n),f=(x-r)(m-n)
2.涨价x元时的销售额s为多少
教师找一生回答.
教师板书:
s=(a+x)(m-n),f=(a+x-r)(m-n)
教师多媒体课件出示:
如图(1),悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.
(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图(2),求这条抛物线对应的函数表达式;
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长.
解:(1)根据题意,得抛物线的顶点坐标为(0,0.5),对称轴为y轴,设抛物线对应的函数表达式为
y=ax2+0.5.
抛物线经过点(450,81.5),代入上式,得
81.5=a·4502+0.5.
解方程,得
a==.
答:所求抛物线对应的函数表达式为
y=x2+0.5(-450≤x≤450).
(2)当x=450-100=350(m)时,得
y=×3502+0.5=49.5(m).
当x=450-50=400(m)时,得
y=×4002+0.5=64.5(m).
答:距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别为49.5m、64.5m.
三、练习新知
教师找两生分别板演教材第36页练习的1、2题,然后集体订正.
教师引导学生完成教材第41页练习的第2题.
师:接受能力逐步增强的表现是什么
生:y值逐渐增大.
师:对.那么问题是x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强,就是说x在什么范围内,y的值逐渐增大 类似地,我们可以把问题x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低转化为什么
生:x在什么范围内,y的值逐渐减小
教师找一生回答:你怎么求解这个问题呢
生:我们知道二次项系数-0.1是小于0的,抛物线开口向下,求出抛物线的对称轴,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.
师:那么对称轴怎么求呢
生:可用配方法或者用公式x=-求.
师:很好!
教师找另外两位同学回答第(2)(3)问,然后集体订正.
师:同学们,通过刚才的学习,你们掌握得怎么样呢 我现在出几个问题来检测一下你们,好不好
教师多媒体课件出示:
1.某商店销售一种品牌衬衣,若这种衬衣每天所获得的利润y元与衬衣的销售单价x元之间满足关系式y=-x2+50x+500.若要想每天获得最大利润,则单价应定为( )
A.20元 B.25元 C.30元 D.40元
【答案】B
2.一个小球以20m/s的速度从地面竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h=20t-5t2,则当h=20m时,小球的运动时间为( )
A.20s B.2s
C.(2+2)s D.(2-2)s
【答案】B
3.出售某种文具盒,若每个获利x元,一天可售出(6-x)个,则当x= 元时,一天出售该种文具盒获得的总利润y最大.
【答案】3
4.某商场经营某种品牌玩具,已知成批购进时单价是2.5元,现根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你分析销售单价是多少元时,可以获利最多
如果设销售单价为x(x≤13.5)元,那么:
(1)销售量可以表示为 ;
(2)销售额可以表示为 ;
(3)所获利润可以表示为 ;
(4)当销售单价x是 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.
【答案】(1)3200-200x (2)3200x-200x2
(3)-200x2+3700x-8000 (4)9.25 9112.5
师:请同学们认真思考这几个问题,然后在草稿纸上完成.
教师巡视,对有疑问的学生进行指导.
四、课堂小结
师:本节课你学习了什么内容,有什么收获
学生回答.
师:你还有什么不明白的地方
学生提问,教师解答.
教学反思
二次函数历来是初三学生要重点掌握的数学知识,尤其是二次函数的最值问题及在生活中的应用,更是中考尤其是压轴题中常见的题型.二次函数在知识上的难度较大,且具有特殊地位,二次函数的应用中渗透了数学建模的思想,使学生感受实际生活中的相关量之间的二次函数关系,并且通过求利益最大化的实例让学生再一次感受到了数学的实用性.在求利润时,因为有些问题比较相似,为避免学生混淆,我强调了不同问题的区别.在求最值时,在实际问题的最值点可能不是函数在全体实数范围内的极值点求到的,所以要学生注意自变量的取值范围.
第2课时 二次函数的应用(2)
教学目标
【知识与技能】
通过建立数学模型学会用二次函数知识解决有关的实际问题.
【过程与方法】
1.掌握数学建模的思想,体会数学与生活的密切联系.
2.在数学建模中,使学生学会交流、合作.
【情感、态度与价值观】
培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.
重点难点
【重点】
根据具体情境建立适当的直角坐标系,并将有关线段转化为坐标系中的点.
【难点】
建立适当的直角坐标系,并选用简便的方式求出二次函数表达式.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:前面我们把一些实际问题转化成了求二次函数的极值问题.本节我们继续学习二次函数的应用.同学们看这样一个问题.
教师多媒体课件出示:
一个涵洞成抛物线形,它的截面如图所示,现测得当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少 是否会超过1 m
你能求出来吗
二、共同探究,获取新知
师:我们以前求过坐标系里的这种问题,现在没有坐标系怎么办呢
学生思考,讨论.
生:建立坐标系.
师:你怎么建立呢
生甲:以A、B所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立坐标系.
生乙:以过涵洞最高点且在水平方向的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立坐标系.
师:这两种方法都是可以的,但哪种更方便呢
学生讨论,交流.
生:用第二种方法建立的坐标系更为简便.
师:为什么
生:因为这样的表达式是y=ax2的形式,比较简单.
师:对.那你能用第二种方法建立坐标系吗
学生作图、计算.
教师提示:建立坐标系要用到已知了的哪些条件
生:当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.
师:这个条件怎么用呢
生:把x==0.8,y=-2.4代入y=ax2,得到关于a的一元一次方程,解这个方程得到a的值,进而得到表达式.
师:很好!我们再看一个例子.
【例1】 上抛物体不计空气阻力的情况下,有如下的表达式:
h=v0t-gt2,
其中h是物体上升的高度,v0是物体被上抛时竖直向上的初始速度,g是重力加速度(取g=10 m/s2),t是物体抛出后经过的时间.
在一次排球比赛中,排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10 m/s.
(1)问排球上升的最大高度是多少
(2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳,如果她要打快攻,问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳 (精确到0.1s)
解:(1)根据题意,得
h=10t-×10t2
=-5(t-1)2+5(t≥0).
因为抛物线开口向下,顶点坐标为(1,5).
答:排球上升的最大高度是5 m.
(2)当h=2.5 m时,得
10t-5t2=2.5
解方程,得
t1≈0.3(s),t2≈1.7(s).
排球在上升和下落中,各有一次经过2.5 m的高度,但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3s,要打快攻,选择此时扣球,可令对方措手不及,易获成功.
答:该运动员应在排球被垫起后0.3s时扣球最佳.
教师多媒体课件出示:
【例2】 行驶中的汽车,在制动后由于汽车具有惯性,还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能,对其进行了测试,测得数据如下表:
制动时车速度/km·h-1 0 10 20 30 40 50
制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5
现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故,现场测得制动距离为46.5 m,则交通事故发生时车速是多少 是否因超速(该段公路最高限速为110 km/h)行驶导致了交通事故
学生思考交流.
教师提示:前面我们在学习一次函数时,给出一些数据让你根据数据来用一次函数模拟,现在你用什么函数来模拟呢
学生讨论.
生:在坐标系中描点,看这些点大致在什么样的曲线上.
师:对!现在请同学们以制动时车速的数据为横坐标(x值),在平面直角坐标系中描出这些数据对应的点.
学生作图,作完图象后,观察图象上点的整体分布后回答:应用二次函数模拟.
师:为什么选用二次函数呢
生:因为这些点的分布近似在一条抛物线上.
师:你能求出这条抛物线的表达式吗
生:能.
教师找一生回答:你是怎样求的
生:设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,在已知数据中,任选三组,如取(0,0),(10,0.3),(20,1.0),分别代入所设函数关系式,得到一个三元一次方程组,然后解这个三元一次方程组求出a、b、c的值,从而得到表达式.
师:很好!现在请同学们写出得到的方程组并求解.
学生得到方程组:
解方程组,得
∴表达式为y=0.002x2+0.01x(x≥0).
师:你怎样算出这起交通事故发生时车速是多少呢
生:把y=46.5 m代入函数关系式,得到一个关于x的一元一次方程,解这个方程得出x的值,即车速.
即46.5=0.02x2+0.01x,解方程,得x1=150(km/h),x2=-155(km/h)(舍去).故车速为150 km/h.
师:你怎样知道这辆车有没有超速呢
生:当得到的速度大于限速时就超速,否则不超速.因为150 km/h>110 km/h,所以在事故发生时,该汽车属于超速行驶.
师:对.
三、练习新知
教师多媒体课件出示:
1.周长为12的矩形窗户,当面积最大时,其边长为( )
A.3 B.6 C.2 D.
【答案】A
2.从地面垂直向上抛出一个小球,小球的高度h(m)与小球的运动时间t(秒)的函数关系式是h=9.8t-4.9t2,那么小球在运动中的最大高度为 m.
【答案】4.9
3.一跳水运动员从10 m的高台上跳下,他的高度h(m)与所用时间t(s)的关系为y=-5(t-2)(t+1).请你帮助该运动员计算一下,他起跳后多长时间达到最大高度 最大高度是多少
【答案】h=-5(t-2)(t+1)=-5(t2-t-2)=-5(t-)2+.∵a=-5<0,∴抛物线开口向下.当t=时,h最大=.
四、课堂小结
师:今天你又学习了什么内容 有什么收获
学生回答.
师:你还有什么疑问
学生提问,教师解答.
教学反思
本节课的教学目标:继续经历利用二次函数知识解决最值问题;会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、建立函数模型等问题;发展应用数学知识解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.建立函数模型时采用最简便的法则,即一般把图象的顶点放在坐标系的原点,这样就可以设表达式为y=ax2的形式了,只需求出一个未知量a即可.有的情况下要设顶点式和交点式.在求出表达式后的问题一般是给出一点的x值求y值或给出一点的y值求x值.在解题过程中要注意利用二次函数图象的对称性.
21.5 反比例函数
第1课时 反比例函数
教学目标
【知识与技能】
1.理解反比例函数的概念,能判断一个给定的函数是否为反比例函数.
2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式,体会函数的模型思想.
【过程与方法】
从现实情境和已有知识经验出发,经历抽象反比例函数的过程,让学生建立初步的符号感,发展学生的抽象思维能力.
【情感、态度与价值观】
通过创设情境让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程,养成用数学思维方式解决实际问题的习惯.
重点难点
【重点】
反比例函数的概念和应用.
【难点】
理解反比例函数的含义.
教学过程
一、复习回顾
师:什么是正比例函数 它的两个变量之间有什么关系呢
学生回答.
教师多媒体课件出示:
1.下列函数中,哪些是正比例函数
(1)y=3x-1; (2)y=x2; (3)y=3x;
(4)y=-; (5)y=; (6)x=;
(7); (8)y=.
学生回答.
教师多媒体课件出示:
2.观察下列函数,它们有什么特点
(1)-y=-; (2)y=;
(3)y=; (4)y=.
生:……
师:我们知道正比例函数都可以写成y=kx的形式,这些函数呢 它们都可以写成哪种形式
生:写成y=(k为常数,且k≠0)的形式.
二、共同探究,获取新知
1.给出定义.
师:我们把这个等式进行变形,两边同乘以x,就变为xy=k,因为k为常数,所以x和y的乘积是一定的,这就是我们小学学过的反比例关系.
教师板书:
一般地,函数y=(k为常数,且k≠0)叫做反比例函数.
教师多媒体课件出示:
(1)下列选项中,两个变量之间的关系为反比例关系的是( )
A.匀速行驶的过程中,行驶的路与时间的关系
B.体积一定,物体的质量与密度的关系
C.质量一定,物体的体积与密度的关系
D.长方形的长一定,它的周长与宽的关系
(2)京沪高速公路全长约为1 262 km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京,汽车行完全程所需要的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系 变量t是v的反比例函数吗
(3)三角形的面积为6,它的底y与底边上的高x之间的函数关系式为 .
教师找三生回答.
2.例题讲解.
【例1】 已知参加施工的人数y与完成某项工程的时间x天成反比例关系.当施工人数为4时,10天能完成这项工程.现要求8天完成这项工程,应选派多少人去施工
师:你知道这种问题应该怎么解决吗
生:知道,用待定系数法.
师:具体的思路是什么呢
生:先求出y与x之间的函数关系式,然后把天数代入,求出人数.
师:这里哪两个量是成反比例的
生:人数y与时间x天.
师:那么我们可以怎样它们之间的关系
生:设y=.
师:然后怎么做呢
教师找一生回答.
生:当x=10时,y=4,代入上式,得k=40,即y=.将x=8代入上式,得y==5.
师:你回答得太好了!因此,当要求8天完成这项工程时,应选派5个人去施工.
【例2】 在压力不变的情况下,某物体承受的压强pPa是它的受力面积Sm2的反比例函数,如图.
(1)求p与S之间的函数表达式;
(2)当S=0.5时,求物体承受的压强p的值.
解:(1)根据题意,设p=.
函数图象经过点(0.1,1 000),代入上式,得1 000=.
解方程,得
k=100.
答:p与S之间的函数表达式为
p=(p>0,S>0).
(2)当S=0.5时,p==200.
答:当S=0.5时,物体承受的压强p的值为200.
三、练习新知,加深理解
教师找两生板演教材第44页练习的第2题,其余同学在下面做,然后集体订正,得到:
解:(1)设ρ=,把V=10,ρ=1.43代入这个式子得到k=14.3,所以ρ与V之间的函数关系式为:ρ=;
(2)把V=2代入上式,得ρ==7.15.所以当V=2 m3时,氧气的密度ρ为7.15 kg/m3.
教师多媒体课件出示:
1.某村有耕地200 hm2,人口数量x逐年发生变化,该村人均耕地面积y hm2与人口数量x之间有怎样的关系
2.某市距省城248 km,汽车由该市驶往省城,汽车行驶全程所需的时间t h与行驶的平均速度v km/h之间有怎样的关系
3.当电压U一定时,通过电阻的电流I与电阻的阻值R之间有怎样的关系
师:请同学们看这几个问题,你能得到题中两个量之间的关系吗
学生读题,思考.
教师找三生回答,然后集体订正得到:
1.y=; 2.t=; 3.I=.
教师多媒体课件出示:
为建设社会主义新农村,某地方政府准备修建一条连接各村庄的水泥路.修路时需要运输的土石方总量为1.2×108 m3,某运输承接了这项运输土石方的任务.
(1)请写出运输公司平均每天的工作量y(m3/天)与完成运输任务所需的时间t(天)之间的函数关系式;
(2)这个运输公司共有100辆汽车,每天一共运送土石方6×105 m3,那么该公司完成全部运输任务需要多长时间
教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
四、课堂小结
师:通过本节课的学习,你有什么收获
学生回答.
教学反思
在这节课中,我认为最成功之处是比较充分地调动了学生的积极性、主动性.通过让学生回忆正比例函数,然后引出与它相反的反比例函数,用它们的对比吸引了学生的注意力,充分引发了学生学习的兴趣,从而使得这节课能得以发挥.由于学生的兴趣得以激发,所以在教授新课的过程中,师生得以互动.这节课让学生得到了一个良好的自主学习的环境,整节课学生积极举手发言,场面比较热烈.在课程设计中,将反比例函数比较数学化的问题实际化,从实际出发又回到实际也是比较合理的.由于现在学生知识面的扩大,数学教学应该为实际服务越来越被大家接受,因此我认为联系实际是很重要的.
第2课时 反比例函数的图象与性质
教学目标
【知识与技能】
1.知道反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画反比例函数的图象,说出它的性质.
2.能利用反比例函数的图象和性质解决有关问题.
【过程与方法】
1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程,总结出它的性质.
2.探索反比例函数的图象的性质,体会并掌握用数形结合思想解决数学问题的方法.
【情感、态度与价值观】
调动学生的主观能动性,积极参与数学活动,培养合作、交流意识,提高观察、分析、抽象的能力.
重点难点
【重点】
反比例函数的图象和性质.
【难点】
反比例函数图象的画法及其性质的归纳.
教学过程
一、回顾交流,问题牵引
教师多媒体课件出示:
1.什么叫做反比例函数 下列函数中哪些是反比例函数
y=,y=-,y=6x+,y=-4x+1.
反比例函数的定义中需要注意什么
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,那么反比例函数的图象是什么样的呢
3.画函数图象的一般步骤是什么
师:请同学们回答以上问题.
学生抢答.
二、师生互动,探求新知
师:下面我们来画一个反比例函数y=的图象.它的取值范围是什么呢
生:x≠0.
师:对,所以我们取x的值时,应取不等于0的数.请同学们根据作图的一般步骤作出这个函数的图象.
学生作图,教师巡回指导.
师:你能说出这个图象的特征吗
生甲:它的图象在一、三象限.
生乙:在每个象限内,函数值y随x值的增大而减小.
师:图象与坐标轴有交点吗
学生观察后回答,图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但永远不与它们相交.
师:你能根据它的表达式分析一下出现这种现象的原因吗
学生交流、讨论.
师:一条线若与x轴相交,交点的纵坐标为多少
生:为0.
师:若与y轴相交,交点的横坐标呢
生:为0.
师:那表达式的图象不会与x轴和y轴相交,说明了什么
生:x和y都不能为0.
师:你们太聪明了!你能说说为什么x和y都不能为0吗
学生讨论.
生:因为y=变形后是xy=6,若x、y中有一个为0,则它们的积就是0了.
师:对,你分析得太好了!这个图形的形状有什么特点呢
生:……
师:如果点P(x0,y0)在函数y=的图象上,那么,与点P关于原点成中心对称的P'的坐标应是什么
生:(-x0,-y0).
师:这个点在函数y=的图象上吗
学生思考后回答:在.
师:为什么
生:因为当(x0,y0)在这个图象上时,有y0=,即x0y0=6,所以(-x0)(-y0)=6,-y0=,所以(-x0,-y0)也在y=的图象上.因此,你能得到什么结论
生:y=的图象关于原点成中心对称.
师:现在请同学们在同一平面坐标系中画出反比例函数y=-与y=的图象,然后观察这两个图象,看它们之间有什么关系
学生作图.
师:观察函数y=-和y=的图象,你能发现它们的共同特征以及不同点吗 每个图象的象限分别位于哪几个象限 在每个象限内,y随x的变化如何变化
学生观察图象后回答.
师:请同学们在课本第46页图21-29中画出函数y=-的图象.
学生作图.
三、归纳与概括
师:观察并比较函数y=与y=-的图象,你能分别就k>0和k<0两种情况总结反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的性质吗
师生一起总结出:
反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的性质吗
师生一起总结出:
反比例函数y=(k为常数,且k≠0)有下列性质:
(1)当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小;
(2)当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.
师:同学们都总结得不错!下面让就我们一起用刚才总结出来的规律来解决几个问题.
教师读题,学生在下面思考.
1.已知点M(-2,3)在双曲线y=上,则下列各点一定在该双曲线上的是( )
A.(3,-2) B.(-2,-3)
C.(2,3) D.(3,2)
【答案】A
2.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数y=图象上的两个点,且a1
【答案】D
3.已知A是反比例函数y=上的一点,自点A向y轴作垂线,垂足为T.若S△AOT=3,则此函数的关系式为 .
【答案】y=±
4.直线y=x与反比例函数y=的图象交于A、B两点,过点A作AC垂直于y轴,垂足为C,则△ABC的面积为 .
【答案】4
5.在反比例函数y=的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而减小.
(1)求k的取值范围;
(2)在曲线上取一点A,分别向x轴、y轴作垂线段,垂足分别为B、C,坐标原点为O,若四边形ABOC的面积为6,求k的值.
【答案】(1)∵在图象的每条曲线上,y随x的增大而减小,∴k>0;
(2)设A(x0,y0),则由已知应有|x0y0|=6,即|k|=6,又∵k>0,∴k=6.
四、应用所学,解决问题
【例】 已知反比例函数y=.
(1)如果这个函数的图象经过点(-3,5),求k的值;
(2)如果这个函数的图象在它所处的象限内,函数y随x的增大而减小,求k的取值范围.
解:(1)因为函数的图象经过点(-3,5),代入函数的表达式,得
5=.
解方程,得k=-7.
(2)根据题意,有2k-1>0.
解不等式,得k>.
师:下面我们通过进一步的练习巩固反比例函数的性质:
1.在某一电路中,保持电压U不变,电流I(安培)与电阻R(欧姆)之间的关系是:U=IR,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培,则电流I(安培)是电阻R(欧姆)的 函数,且I与R之间的函数关系式是 .
师:请大家交流后回答.
生:电流I(安培)是电阻R(欧姆)的反比例函数,关系式为I=.
师:回答正确,很好!下面请大家再思考一个问题:
2.已知△ABC的面积为12,则△ABC的高h与它的底边a的函数关系式为 .
生:h=.
师:回答正确,同学们掌握得都很好!继续思考下面的问题:
3.如果反比例函数y=的图象位于第二、四象限,那么m的取值范围为 .
生:由1-3m<0,
得-3m<-1,
∴m>.
4.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则y1与y2的大小关系(从大到小)为 .
生:y2>y1.
师:好!通过上面几道题的练习,同学们已经基本掌握了反比例函数的性质,那么我们更上一层楼,思考下面几道题:
1.若点P是反比例函数y=的图象上的一点,PD⊥x轴于D,则△POD的面积为 .
2.三个反比例函数在x轴上方的图象,y1=,y2=,y3=.由此得到( )
A.k1>k2>k3 B.k3>k2>k1
C.k2>k1>k3 D.k3>k1>k2
师:大家可以独立完成此题,如有困难再进行交流.
学生交流、讨论.
师:请同学们举手回答.
生:第1题答案为1.
师:请你解释一下.
生:因为反比例函数的表达式又可以写成xy=k,即图象上的点的横、纵坐标的积就是k的值,由题意得xy=2.又xy=S△POD,∴S△POD=1.
师:回答正确!哪位同学业来回答第2题
生:由反比例函数的性质可知,k2>k1,又k3>k2,所以k3>k2>k1,答案为B.
师:很好!通过这节课的学习,同学们已经基本掌握了反比例函数的性质,那么下面同学们能不能自己出两个有关反比例函数的问题 写出函数表达式,与同伴进行交流.
师生互动,交流.
五、课堂小结
师生总结回顾本节课所学的内容.
反比例函数的图象和性质:
形状:反比例函数的图象称为双曲线;
位置:当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内;
当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内;
增减性:当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
图象的发展趋势:反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远不能到达x、y轴.
对称性:反比例函数y=的图象关于坐标原点对称.
教学反思
本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比、数形结合的数学思想方法.
21.6 综合与实践 获取最大利润
教学目标
【知识与技能】
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(或小)值,培养学生解决问题的能力.
【过程与方法】
应用已有的知识,经过自主探索和合作交流尝试解决问题.
【情感、态度与价值观】
在经历和体验数学知识发现的过程中,提高思维品质,在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心.
重点难点
【重点】
二次函数在最优化问题中的应用.
【难点】
从现实问题中建立二次函数模型,学生较难理解和掌握.
教学过程
一、问题引入
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可使面积最大、利润最大、材料最省、时间最少、效率最高等问题,这类问题称为最优化问题.其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值.如何利用二次函数分析解决这样的问题呢
本节课我们来研究二次函数在实际问题中的应用.
做一做:从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是:h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高 小球运动中的最大高度是多少
我们可以借助函数图象解决这个问题,画出函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象,如图所示,可以看出这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.
因此,当t=-=-=3时,h有最大值=45,也就是说,小球运动的时间是3s时,小球最高,小球运动中的最大高度是45 m.
一般地,当a>0(或a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(或高)点,也就是说,当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(或大)值.
二、新课教授
问题1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地面积S最大
师生活动:
学生积极思考,找到等量关系式,并尝试解答.
教师巡视、指导,最后给出解答过程.
解:矩形场地的周长是60 m,一边长l,则另一边长为(-l),场地的面积S=l(30-l),即S=-l2+30l(0
即当l是15 m时,场地面积S最大,最大值是225 m2.
问题2.某商品现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映,如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大
师生活动:
教师分析存在的问题,书写解答过程.
分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况.
设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之改变.我们先来确定y随x变化的函数关系式,涨价x元时,每星期少卖10x件,实际卖出(300-10x)元.销售额为(60+x)(300-10x)元,买进商品需付40(300-10x)元.因此,所得利润为
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),(0≤x≤30)
即y=-10x2+100x+600
=-10(x2-10x)+600
=-10(x2-10x+25)+850
=-10(x-5)2+850(0≤x≤30)
所在,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大为850元.
思考:在降价的情况下,最大利润是多少
(降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大为6 125元.)
思考:由上面的讨论及现在的销售情况,你知道如何定价才能使利润最大了吗
(在涨价的情况下,定价65元;在降价的情况下,定价57.5元.)
问题3:图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.若水面下降1 m,水面宽度增加多少
师生活动:
学生完成解答.
教师分析存在的问题,书写解答过程.
分析:我们知道二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.
由抛物线经过点(2,-2),可得
-2=a×22,解得a=-,
这条抛物线表示的二次函数为y=-x2.
水面下降1 m,水面所在位置的纵坐标为y=-3,代入上述表达式得x=±.
故水面下降1 m,水面宽度增加(2-4)m.
让学生回顾解题过程,讨论、交流、归纳解题步骤:
(1)先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;
(2)研究自变量的取值范围;
(3)研究所得的函数;
(4)检验x的取值是否是自变量的取值范围内,并求相关的值;
(5)解决提出的实际问题.
学生尝试从前面四道题中找到解题规律.
教师补充学生回答中的不足,及时纠正.
三、巩固练习
1.已知二次函数y=(3+x)(1-2x),当x= 时,函数有最 值,为 .
【答案】- 大
2.二次函数y=x2-8x+c的最小值为0,那么c的值等于( )
A.4 B.8 C.-4 D.16
【答案】D
3.沿墙用长32 m的竹篱笆围成一个矩形的护栏(三面),怎样围才能使矩形护栏面积最大 最大面积为多少 试画出所得函数的图象.
【答案】围成的矩形一边长为8 m、另一边长为16 m可使矩形护栏的面积最大,最大面积为128 m2.图象略.(注意自变量的取值范围)
4.某旅社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金增加5元,则客房每天出租会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高 比装修前的日租金总收入增加多少元
【答案】将每间客房的日租金提高到75元时,总收入最高,比装修前的日租金总收入增加750元.
5.某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y(台)之间的函数关系如下表所示:
x(元) 130 150 165
y(台) 70 50 35
并且日销售量y是每件售价x的一次函数.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)为获得最大利润,每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售的利润是多少
【答案】(1)y=-x+200
(2)销售利润S=(-x+200)(x-120),当售价定为每件160元时,每日销售利润最大为1 600元.
四、课堂小结
1.得出用二次函数知识解决实际生活中的最值问题的一般步骤:
(1)列出二次函数的表达式,并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
2.解题循环图:
教学反思
本节课充分运用导学提纲,教师提前通过一系列问题的设置引导学生课前预习.在课堂上通过对一系列问题的解决与交流,让学生通过二次函数掌握解决面积最大、利润最大等这一类题的方法,学会用建模的思想去解决和函数有关的应用问题.
所以在例题的处理中适当地降低了难度,让学生的思维有一个拓展的空间.在训练的过程中,通过学生的独立思考与小组合作探究相结合,使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高.同时也注重对解题方法与解题模式的归纳与总结,并适当地渗透转化、化归、数形结合等数学思想方法.
就整节课看,学生的积极性得以充分调动,特别是学困生,在独立思考和小组合作中改变以往的配角地位,也能积极参与到课堂学习活动中.今后继续发扬从学生出发,从学生的需要出发,把问题的难度降低,让学生在能力范围内掌握新知识,等有了足够的热身运动之后再去拓展延伸.
第22章 相似形
22.1 比例线段
第1课时 相似多边形
教学目标
【知识与技能】
知道相似图形的两个特征:对应边成比例,对应角相等.掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似”.
【过程与方法】
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程,体会由特殊到一般的思想方法,感受图形世界的丰富多彩.
【情感、态度与价值观】
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质.
重点难点
【重点】
知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等.
【难点】
能运用相似图形的性质解决问题.
教学过程
一、问题引入
活动1:观察图片,体会开关相同的图形.(多媒体出示)
师:同学们,请观察下列几幅图片,你能发现什么 你能对观察到图片特点进行归纳吗
生:这些图形的开关相同,而大小不同.
二、新课教授
活动2:思考:如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状相同吗
生:形状不同.
师生活动.
教师出示图片,提出问题.
学生细心观察,认真思考,小组讨论后回答问题.
教师对学生的回答进行评价,总结:哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状不同,它们的形状发生了改变.
形状相同而大小不同的两个平面图形,较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的,较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中,两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”,因此,对于形状相同而大小不同的两个图形,我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.
活动3:探究.
如图(1)的两个正方形,应有
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;
=====.
如图(2)的两个等边三角形,应有
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1;
====.
(1)
(2)
一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.
师生总结:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
(1)如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似;
(2)相似多边形的对应边的比称为相似比;
(3)当相似比为1时,两个多边形全等.
三、例题讲解
【例1】 如图所示,四边形ABCD和四边形EFGH相似,求角α和β的大小以及EH的长度x.
师生活动.
教师出示例题,提出问题.
学生通过运用相似多边形的性质正确解答出角α和β的大小以及EH的长度x.
解:四边形ABCD和四边形EFGH相似,它们的对应角相等.由此可得
∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°,
在四边形ABCD中,
∠β=360°-(78°+83°+118°)=81°.
四边形ABCD和四边形EFGH相似它们的对应边成比例.由此可得
=,即=.
解得:x=28(cm).
【例2】 已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,且A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14.若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD各边的长.
分析:因为两个四边形相似,因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题.
解:∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,
∴AB∶BC∶CD∶DA=A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1.
∵A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14,
∴AB∶BC∶CD∶DA=7∶8∶11∶14.
设AB=7m,则BC=8m,CD=11m,DA=14m.
∵四边形ABCD的周长为40,
∴7m+8m+11m+14m=40,
∴m=1,
∴AB=7,则BC=8,CD=11,DA=14.
四、巩固练习
1.在比例尺为1∶10 000 000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30 cm,求两地的实际距离,
【答案】3 000 km
2.如图所示的两个直角三角形相似吗 为什么
【答案】相似,因为它们的对应角相等,对应边的比相等.
3.如图所示的两个五边形相似,求求知边a、b、c、d的长度.
【答案】a=3,b=,c=4,d=6.
五、课堂小结
本节课主要学习了以下内容:
1.相似多边形的定义:如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似.
2.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
教学反思
本节课主要教学对相似图形的认识.在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题,让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线,让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键处进行点拨,不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大胆验证.让学生在研究过程中渗透教学思想,有意识地培养学生的解题能力.
第2课时 成比例线段(1)
教学目标
【知识与技能】
从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段,理解成比例线段的概念.
【过程与方法】
在成比例线段的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题.
【情感、态度与价值观】
在探究成比例线段的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识.
重点难点
【重点】
认识成比例的线段.
【难点】
理解成比例线段的概念.
教学过程
一、复习回顾,引入新课
师:同学们还记得我们上节课学习了什么知识吗
生:学习了相似多边形.
师:是的,你能说说什么是相似多边形吗
生:一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.
师:很好!由于多边形的边是线段,所以在研究图形相似之前,这节课我们先要学习成比例线段的有关知识.