2024届高三2月大联考（新课标卷）（新疆专用）
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数在复平面内对应的点的坐标为,则实数的值分别为（ ）
A．4 2 B．4 C． 2 D．
2．设集合,若,则（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或2
3．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.25 D．0.2
4．设为数列的前n项和，若，则（ ）
A．1012 B．2024 C． D．
5．将抛物线绕原点O顺时针旋转得到抛物线，若抛物线与抛物线交于异于原点O的点B，记抛物线与的焦点分别为，且四边形的而积为8，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．己知函数的图象在两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．
7．已知函数，若函数的图象关于原点对称，则实数a的最大负值为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，是的外心，M为的中点，是直线上异于的任意一点，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为，记椭圆C的右焦点为F,则（ ）
A． B．椭圆C的离心率为
C．椭圆C的焦距为 D．椭圆C上存在点P，使
10．己知向量，记，如的夹角为，则，若在正三棱台中，．则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的定义域为为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B．4为函数的一个周期
C．直线为曲线的一条对称轴 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某芯片制造公司近四年的收入（单位：千万元）呈增长趋势，其中第一年收入为20千万元，第四年收入为58千万元，且四年收入的平均数比中位数大1千万元，则该公司近四年的总收入为_______千万元．
13．高一（1）班李明在学习立体几何时，用铁皮制作了一个高为，体积为的圆锥模型（厚度忽略不计），则该圆锥模型的底面半径为_______，该圆锥模型的侧面积为___________．（第一空2分，第二空3分）
14．已知将中最小数记为，最大数记为，
若，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知是对数函数且图象过点，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若，求m的最小值．
16．（15分）
已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围．
17．（15分）
如图，在梯形中，，点P在以为直径的半圆上，设二面角的大小为．
（1）若，求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
已知双曲线的一条渐近线的一个方向向量为，右顶点E到一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）不与x轴垂直的直线与双曲线C交于两点（异于E点），若直线的斜率之积为2，试问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
19．（17分）
我国某企业研发的家用机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检．已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为．
（1）已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为，求在人工抽检时，工人抽检一个家用机器人恰好为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；
（2）该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券960元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束．
（i）求获得“优惠券”的概率；
（ii）若有16个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值．2024届高三 2月大联考（新课标卷）（新疆专用）
数学·全解全析及评分标准
阅卷注意事项：
1．阅卷前请各学科教研组长，组织本学科改卷老师开会，强调改卷纪律，统一标准。
2．请老师改卷前务必先做一遍试题，了解自己所改试题的答案、评分细则、答题角度后，再开始改卷。
3．请老师认真批阅，不可出现漏改、错改现象，如果不小心漏改或错改了，可以返回上一题重评。
4．成绩发布后，如果有学校反馈错评乱评，平台定位阅卷老师，进行通报批评。
5．解答题要在学生的答案中找寻有用的文字说明、证明过程或演算步骤，合理即可给分。
6．解答题不要只看结果，结果正确，但中间的文字说明、证明过程或演算步骤无法建立有效衔接的，不能
给满分；同样，结果错误，但正确写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤应给分，因第(1)问中结果算
错，使后面最终结果出错(过程列式正确)，不宜重复扣分。
7．阅卷平台出现的相关问题，如果刷新页面重新登录未能解决，请将问题反馈给学校负责技术的老师(或考
试负责人），由其统一在技术 QQ 群里反馈问题并协助解决。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D C A C D C B BD ABD BCD
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
a a(1 i) a ai a a a a
1．B 【解析】因为 z i 2 bi(a R,b R) ，所以
2, b, 所以
1 i (1 i)(1 i) 2 2 2 2 2
a 4,b 2 ．故选 B．
2．D 【解析】由 A B {n}，知集合 A,B中有且只有一个公共元素，所以当m 1时， B {1, 2}，不满足
题意；当m 2时， B {2,3}， A B {2}，满足题意；当m 1 1时，m 0 ， B {0,1}， A B {1}，
满足题意；当m 1 2 时，m 1，不满足题意，所以m 0 或 2．故选 D．
1
3 ． C 【 解 析 】 因 为 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N (1, 2 ) ， 且 P(X 2) P(X 1) ， 所 以
2
1
P(X 2) P(X 1) 0.25 ，所以 P(X 0) P(X 2) 0.25．故选 C．
2
π
4．A 【解析】易知函数 y sin x的最小正周期为 4，
2
由题意，得 a1 a2 a3 a4 1 1 1 0 ( 1) 3 ( 1) 0 1 3 2 ，所以 S2024 (a1 a2 a3 a4 )
2024
(a5 a6 a7 a8 ) (a2021 a2022 a2023 a2024 ) 2 1012.故选 A． 4
数学 全解全析及评分标准 第 1 页（共 11 页）
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2 y
2 2px
5．C【解析】由抛物线的性质，知抛物线C2 的方程为 x 2py(p 0) ，联立 2 ，得点 B 的坐标 x 2py
为 (2p, 2p) ，所以四边形OMBN 的面积可以表示为△OMB,△ONB的面积之和，即 S四边形OMBN S△OMB
1 1 1 p
S△ONB |OM | | 2p | |ON | | 2p | 2p 2 p
2 8, 解得 p 2 2 .故选 C．
2 2 2 2
2 2 2
6．D【解析】对 f (x) 求导，得 f (x) 2x ，所以 2x1 2x2 .又 x1 x2 ，且均大于 0，所以 x1xx 2
1，
x 1 x2
1
所以 x1 x2 2 x1x2 2 ，经验证，当 x1, x2 分别取3, 时，D 项满足题意．故选 D． 3
7．C【解析】因为
f (x) sin 2x 2[(cos cos x sin sin x)(cos cos x sin sin x) 2 sin 2x 2 ( )2 (cos2 x sin2 x)
4 4 4 4 2
π
sin 2x cos 2x 2 sin(2x ) ，
4
π π
所以 f (x a) 2 sin[2(x a) ] 2 sin(2x 2a ) .
4 4
因为函数 f (x a)的图象关于原点对称，所以 f (x a)是奇函数，
π π kπ 3π 3π
所以 2a kπ(k Z) ，所以 a (k Z) ，当 k 1时， a ，即实数 a的最大负值为 .
4 8 2 8 8
故选 C.
8．B【解析】因为O是△ABC的外心，M 为 BC的中点，所以OM BC .设ON OM ，
则 AN BC (AO ON ) BC AO BC OM BC AO BC AO (BA AC) AO BA AO AC .
1
因为O是△ABC的外心，所以 AO AC | AO | | AC | cos∠CAO | AO | cos∠CAO | AC | | AC |2 14 ，所
2
以 AN BC 8 14 6 ．故选 B．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
1
9．BD 【解析】由题意，得 2ab ab 2 3.又b 3 ，所以 a 2，所以椭圆C的半焦距为 1，离心率为
2
1
，焦距为 2， | PF |的取值范围为[1,3]，故选 BD．
2
10．ABD 【解析】在正三棱台 ABC A1B1C1 中， | AB AC | | AB | | AC | sin AB, AC 2 2 sin 60 2 3 ，
故 A 正确；
1
计算可知 AC 3 ， sin∠CA1C1
1 3
1 ，所以 | A1C1 A1C | | A1C1 | | A1C | sin∠CA1C1 1 3 ，故2 2 2
数学 全解全析及评分标准 第 2 页（共 11 页）
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B 正确；
1 1
计算可知 AB 3 ，sin∠ABA1 ，所以| BA BA1 | | BA | | BA1 | sin∠ABA1 2 3 31 ，故C 错误； 2 2
易 知 △BA1C
11
1 是 腰 长 为 3 ， 底 边 长 为 1 的 等 腰 三 角 形 ， sin∠A1BC1 ， 所 以6
11 11
|BA1 BC1 | 3 3 ，故 D 正确． 6 2
故选 ABD．
11．BCD【解析】由题意，得函数 f (x) 的图象关于点 (1,1)对称，关于直线 x 2对称，所以 f (x) f ( x 4) .
由函数 f (x) 图象的对称性，得 4 为函数 f (x) 的一个周期，所以 f ( x 4) f ( x 8) ，所以
f (x) f ( x 8)，所以直线 x 4为曲线 y f (x) 的一条对称轴，
所以 f (1) a b 1, f (0) 2 f (2) 2 (4a b) 8，解得 a 3,b 2 ，故当 x [1,2] 时，f (x) 3x2 2.
由对称性和周期性，得 f ( 1) f (3) f (1) 1，故 A 错误，B，C 正确；
1 1 1 1 3 3 11
f (2023 ) f (2020 3 ) f (3 ) f ( ) 2 f ( ) 2 [3 ( )2 2] ，故 D 正确.
2 2 2 2 2 2 4
故选 BCD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．152 【解析】设该公司第二、第三年的收入分别为 x千万元 , y千万元，因为四年收入的平均数比中位
x y 20 x y 58
数大 1 千万元，所以 1，解得 x y 74 ，所以该公司近四年的总收入为
2 4
20 x y 58 152 （千万元）．故填 152．
1
13 2 2． ；4 10π 【解析】由题意，设圆锥模型的底面半径为 rcm ，所以其体积为 6πr 8π ，解得 r 2，
3
其母线长为 r 2 62 40 2 10 ，所以该圆锥模型的侧面积为 π 2 2 10 4 10π．故填 2；4 10π .
2 16 53
14．10 【解析】设M max{2a,3b, 4c, }，则M 0 ,
a2 b2 c2
M 2a M
1 4
a 2
a2 2
M
M
3b
M 1 9
由题意，得 M 4c ，所以 b ，即 ，
3
2 2
2 16 53
b M
M M 1 16
a2 b2 c2
c
4
c2 M 2
2 16 53 8 144 848 1000
所 以 M ， 所 以 M 3 1000 ， 所 以 M 10 ， 当 且 仅 当
a2 b2 c2 M 2 M 2 M 2 M 2
2a 3b 4c 10 时取等号，所以M 的最小值为10 .故填10 .
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
1
【解析】（1）因为 f (x) 是对数函数且图象过点 ( 5，)，
2
所以设 f (x) loga x(a 0且 a 1) ，（1 分）
1 1
把点 ( 5, )代入，得 f ( 5) = loga 5 ，（2 分） 2 2
解得 a 5 ，（3 分）
所以 f (x) = log5 x，（4 分）
1 n n
所以 an f (1 ) = f ( ) = log ．（5 分） n 1 n 1 5 n 1
n
（2）由（1）得 an log5 = log5 n log 5
(n 1) ，（6 分）
n 1
Sn a1 a2 a3 an
(log5 1 log5 2) (log5 2 log5 3) (log5 3 log5 4) [log5 n log5 (n 1)] （7 分）
log5 1 log5 (n 1) （8 分）
log5 (n 1) ，（9 分）
所以 | Sn | log5 (n 1)．（10 分）
又 | Sm | 2 ，即 log5 (m 1) 2, （11 分）
解得m 24.（12 分）
又m N*，所以m 的最小值为 24．（13 分）
说明：
1.1 分段指设“ f (x) loga x(a 0且 a 1) ”；
1
2.2 分段指写出“ loga 5 ”； 2
3.3 分段指得出“ a 5 ”；
4.4 分段指写出“ f (x) = log5 x ”；
n
5.5 分段指写出“ an = log5 ”； n 1
6.6 分段指写出“ an log5 n log5 (n 1) ”；
7.7 分段指写出“ Sn (log5 1 log5 2) (log5 2 log5 3) [log5 n log5 (n 1)] ”；
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8.8 分段指化简“ Sn log5 1 log5 (n 1) ”；
9.9 分段指写出“ Sn log5 (n 1) ”；
10.10 分段指写出“ | Sn | log5 (n 1) ”；
11.11 分段指写出“ log5 (m 1) 2 ”；
12.12 分段指求出“m 24 ”；
13.13 分段指写出结果“m 的最小值为 24”.
16．（15 分）
x 1
【解析】（1）由题意，知 f (x) 的定义域为R . 2当 a 1时， f (x) x x，
ex 2
求导，得 f (x) (1 x)e x x 1（1 分）
(x 1)(e x 1)，（2 分）
又 e x 1 0 ，所以由 f (x) 0，得 x 1，（3 分）
由 f (x) 0 ，得 x 1，（4 分）
所以 f (x) 在 ( ,1)上单调递增，在 (1, )上单调递减．（6 分）
f (x) 1 a
（2） 0恒成立，即 x a 0 (x 0)x 恒成立， x e 2
2
即 a(x 2) (x 0)x 恒成立.（7 分） e
2
当 a 0时，因为 ex 0 ，所以 a(x 2) (x 0)x 恒成立；（9 分） e
2 2
当 a 0 时，由 a(x 2) ，得 (x 2)ex .（10 分）
ex a
令 g(x) (x 2)ex (x 0)，则 g (x) (x 1)ex ，令 g'(x) 0, 得 x 1，令 g'(x) 0,得 x 1且 x 0，（11 分）
所以 g(x) 在 (1, )上单调递增，在 ( ,0), (0,1)上单调递减，（12 分）
2 2
所以 g(x) g(1) e ，即 e，所以 a 0，
a e
2 2
显然当 a 0时， a(x 2) 在 ( ,0) (0, )x 上也成立.（14 分） e e
2
综上所述，实数 a的取值范围为[ ,0]．（15 分）
e
说明：
1.1 分段指求导“ f (x) (1 x)e x x 1”；
2.2 分段指写出“ f (x) (x 1)(e x 1) ”；
3.3 分段指写出“由 f (x) 0，得 x 1 ”；
数学 全解全析及评分标准 第 5 页（共 11 页）
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4.4 分段指写出“由 f (x) 0 ，得 x 1”；
5.6 分段指写出“ f (x) 在 ( ,1)上单调递增，在 (1, )上单调递减”；
2
6.7 分段指写出“ a(x 2) (x 0)x 恒成立”； e
2
7.9 分段指写出“当 a 0时， a(x 2) (x 0)x 恒成立”； e
8.12 分段指得出函数 g(x) 的单调性；
2
9.15 分段指写出结果“实数 a的取值范围为[ ,0] ”.
e
17．（15 分）
【解析】（1）因为
π
，所以平面PCD 平面ABCD .（1 分）
2
因为 AD CD，且平面PCD 平面ABCD CD，所以 AD 平面PCD .（2 分）
又 PC 平面PCD，所以 AD PC .（3 分）
因为点 P在以CD为直径的半圆上，所以 PD PC .（4 分）
又 AD PD D，所以 PC 平面PAD .（5 分）
因为 PC 平面PBC ，所以平面PAD 平面PBC．（6 分）
（2）以D为坐标原点，DA,DC所在的直线分别为 x轴、 y轴建立如图所示的空间直角坐标系，（7 分）
设 AD 8，则D(0,0,0), A(8,0,0),B(4,8,0),C(0,8,0) .（8 分）
π因为 PD 2PC ，所以 PCD ，所以 P( 3,6, 3) ，（10 分）
3
所以DP ( 3,6, 3) ，（11 分）
PA (11, 6, 3) , BA (4, 8,0) .
n PA 0
11x 6y 3z 0
设平面 PAB的法向量为n (x, y, z)，则 ,即 ,
n BA 0 4x 8y 0
取 x 6 ，得 y 3, z 16 3 ，所以n (6,3,16 3) 是平面 PAB的一个法向量.（13 分）
设直线DP与平面 PAB所成角的大小为 ，
| DP n |则 sin | cos DP,n | （14 分）
| n || DP |
48 4 271
，
813 48 271
4 271
所以直线DP与平面 PAB所成角的正弦值为 ．（15 分）
271
数学 全解全析及评分标准 第 6 页（共 11 页）
{#{QQABKYSUogAgABJAAAgCEwFaCgAQkBGACKoGhAAMIAABSANABAA=}#}
说明：
1.2 分段指证明“ AD 平面PCD ”，漏写“平面 PCD 平面 ABCD CD ”不扣分；
2.3 分段指证明“ AD PC ”；
3.5 分段指证明“ PC 平面 PAD ”，漏写“ AD PD D ”不扣分；
4.6 分段指证明“平面 PAD 平面 PBC ”，漏写“ PC 平面 PBC ”不扣分；
5.7 分段指建系；
6.8 分段指写出至少 2 个点的坐标；
7.10 分段指写出“ P( 3,6, 3) ”；
8.11 分段指写出“DP ( 3,6, 3) ”；
9.13 分段指写出“n (6,3,16 3) 是平面 PAB的一个法向量”；
| DP n |10.14 分段指写出公式“ sin | cos DP,n | ”；
| n || DP |
11.15 分段指写出“ sin 4 271 ”.
271
18．（17 分）
【解析】（1）因为一条渐近线的一个方向向量为 (1, 3)，所以这条渐近线的方程为 y 3x,（2 分）
b
3a
易得 E(a,0),
所以 ，（3 分）
3a 3
1 3 2
a 1
解得 ,（5 分）
b 3
y2
所以双曲线C 的标准方程为 x2 1．（6 分）
3
1
（2）直线 l过定点，定点坐标为 ( ,0) .
5
由题意，知直线 l的斜率存在，设直线 l : y kx m， N (x1, y1),H (x2 , y2 ) ，（7 分）
数学 全解全析及评分标准 第 7 页（共 11 页）
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y kx m
联立 y2 ，2 得 (3 k
2 )x2 2kmx m2 3 0,（8 分）
x 1 3
当 0 时，得m2 3 k 2 0，且3 k 2 0，（9 分）
2km m2 3
根据根与系数的关系，得 x1 x2 , x1x2 ,（11 分） 3 k 2 k 2 3
y 2 2
由（1）知 E(1,0) ，则 k k 1
y2 (kx1 m)(kx2 m) k x1x2 km(x1 x2 ) m
NE HE 2，（13 分） x1 1 x2 1 (x1 1)(x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1
化简得 k 2 4km 5m2 0，解得 k 5m或 k m，（14 分）
1
当 k 5m时， y 5mx m m(5x 1) ，直线 l过定点 ( ,0) .（15 分）
5
当 k m时， y mx m m( x 1) ，直线 l过定点 (1,0) ，舍去.（16 分）
1
综上所述，直线 l过定点 ( ,0)．（17 分）
5
说明：
1.2 分段指写出“渐近线的方程为 y 3x ”；
b
3 a
2.3 分段指列方程组“ ”；
3a 3
1 3 2
a 1
3.5 分段指写出“ ”；
b 3
y2
4.6 分段指写出双曲线C 的标准方程为“ x2 1 ”；
3
5.7 分段指设出“直线 l : y kx m ”；
6.8 分段指写出“ (3 k 2 )x2 2kmx m2 3 0 ”；
2km m2 3
7.11 分段指写出“ x1 x2 , x3 k 2 1
x2 ”2 ； k 3
(kx m)(kx m)
8.13 1 2分段指写出“ 2 ”；
(x1 1)(x2 1)
1
9.15 分段指写出“当 k 5m时，直线 l过定点 ( ,0) ”；
5
10.16 分段指写出“当 k m时，直线 l过定点 (1,0) ，舍去”；
1
11.17 分段指写出“直线 l过定点 ( ,0) ”.
5
数学 全解全析及评分标准 第 8 页（共 11 页）
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1
注意：若考生没有写出正确的完整过程，直接写出直线 l过定点 ( ,0)，可给 1 分.
5
19．（17 分）
【解析】（1）设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为 P，
1 1 1 31 32 33
由题意，知 P (1 ) (1 ) (1 ) （1 分）
32 33 34 32 33 34
31
．（2 分）
34
设家用机器人智能自动检测合格为事件 A，人工抽检合格为事件 B，
93 31
由题意，得 P(A) ,P(AB) ，（3 分）
100 34
P(AB) 31 100 50
所以 P(B | A) = 98.04%，
P(A) 34 93 51
所以在人工抽检时，工人抽检一个家用机器人恰好为合格品的概率约为98.04% ．（4 分）
（2）（ⅰ）设乙箱中有 n个球的概率为 Pn (1 n 10) ，
1 1
第一次抽到奇数，家用机器人运 1 个乒乓球，概率为 ，即 P ．
2 1 2
1 1 1 3
乙箱中有 2 个球，有两类情况,所以 P2 ．（5 分） 2 2 2 4
乙箱中有 n (3 n 9) 个球的情况是下列两种．
1
①家用机器人已运 (n 2) 个球，又抽出偶数，其概率为 P
2 n 2
；
1
②家用机器人已运 (n 1) 个球，又抽出奇数，其概率为 Pn 1， 2
1 1
所以 Pn Pn 2 P2 2 n 1
, （6 分）
1
Pn Pn 1 (Pn 1 Pn 2 ) ，（7 分） 2
5 5 3 1
易求得 P3 ，所以 P3 P2 ， 8 8 4 8
1
即当3 n 9 时，数列{Pn Pn 1}是公比为 的等比数列．
2
1 1
P P ( ) ( )n 3
1
所以 n n 1 ( )
n ( ) .（8 分）
8 2 2
1 1 2
又 P1 ， P2 P1 ( ) ，所以当 n 2时也满足 ( )式， 2 2
1 2 1 1
所以 P2 P1 ( ) ， P3 P2 ( )
3， ，Pn P
n
2 2 n 1
( ) ，
2
1 2 1 1
将以上各式相加，得 Pn P1 ( ) ( )
3 ( )n ，（9 分）
2 2 2
数学 全解全析及评分标准 第 9 页（共 11 页）
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1 2 1
P P [1 ( )n+1又 1 ，所以 n ](n 2,3, ,9)，经检验，当 n 1时也满足上式，（10 分） 2 3 2
2 1 n+1
所以 Pn [1 ( ) ](n 1,2,3, ,9)，（11 分） 3 2
2 1 10 341
所以获得“优惠券”的概率 P9 [1 ( ) ] ．（12 分） 3 2 512
341
（ⅱ）设参与游戏的 16 个幸运顾客中获得优惠券的人数为 X ，则 X ~ B(16, ) ，
512
341 341
所以 X 的期望值 E(X ) 16 ．（14 分）
512 32
设优惠券总金额为 Y元，
所以Y 960X ，（15 分）
341
所以 16 个幸运顾客获得优惠券总金额的期望值 E(Y ) E(960X ) 960 10230 元，
32
故该企业预备的优惠券总金额的期望值为10230 元．（17 分）
说明：
1 1 1 31 32 33
1.1 分段指列式“ P (1 ) (1 ) (1 ) ”；
32 33 34 32 33 34
31
2.2 分段指写出结果“ P ”；
34
93 31
3.3 分段指写出“ P(A) ,P(AB) ”；
100 34
50
4.4 分段指写出“ P(B | A) 98.04% ”，若写“ P(B | A) ”，此分扣去；
51
3
5.5 分段指计算出“ P2 = ”； 4
1 1
6.6 分段指写出“ Pn P2 n 2
P
2 n 1
”；
1
7.7 分段指写出“ Pn Pn 1 (P2 n 1
Pn 2 ) ”；
8.8 分段指写出“{Pn Pn 1}的通项”；
2 1
9.11 分段指求出“ Pn [1 ( )
n+1](n 1,2,3, ,9) ”；
3 2
2 1 10 34110.12 分段指写出“ P9 [1 ( ) ] ”； 3 2 512
341
11.14 分段指写出“ E(X ) ”；
32
12.17 分段指写出“ E(Y ) 10230 ”.
另解：
1 1
Pn Pn 2 Pn 1, （6 分） 2 2
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1 1
Pn Pn 1 Pn 1 Pn 2 ,（7 分） 2 2
即当3 n 9 时，
1 1 1 3 1 1
Pn P2 n 1
Pn 1 Pn 2 P2 P1 1，（8 分） 2 2 4 2 2
1 2 1 2
即 Pn Pn 1 1，故 P (P )， 2 n 3 2 n 1 3
2 1
所以数列{Pn }是公比为 的等比数列， 3 2
2 2 1
P (P )( )n 2所以 n 2 ， 3 3 2
2 1 n+1
所以 Pn [1 ( ) ](n 3, ,9)，经检验，当 n 1,n 2 时也满足上式， 3 2
2 1
所以 Pn [1 ( )
n+1](n 1,2,3, ,9)．（11 分）
3 2
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