人教版数学 八年级上册 教案

第十一章　三角形
11.1　与三角形有关的线段
11.1.1　三角形的边
【教学目标】
知识与技能
1.了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形.
2.理解三角形三边不等的关系,会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题.
过程与方法
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
情感、态度与价值观
体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
【教学重难点】
重点:三角形的有关概念和符号表示,三角形三边间的不等关系.
难点:用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.
【教学过程】
一、情景导入
三角形是一种最常见的几何图形,[投影]如古埃及金字塔,香港中银大厦,交通标志等等,处处都有三角形的形象.
那么什么叫做三角形呢
三角形及有关概念
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
注意:三条线段必须①不在一条直线上,②首尾顺次相接.
组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
三角形三边的不等关系
探究:[投影]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择 各条路线的长一样吗 为什么
有两条路线:(1)从B→C,(2)从B→A→C;不一样,AB+AC>BC ①;因为两点之间线段最短.
同样地有　　AC+BC>AB ②
AB+BC>AC ③
由式子①②③我们可以知道什么
三角形的任意两边之和大于第三边.
三角形的分类
我们知道,三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形,我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形.
按角分类:
三角形
那么三角形按边如何进行分类呢 请你按“有几条边相等”将三角形分类.
三边都相等的三角形叫做等边三角形;
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.
显然,等边三角形是特殊的等腰三角形.
按边分类:
三角形
二、例题
例:用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少
(2)能围成有一边长的为4 cm的等腰三角形吗 为什么
分析:(1)等腰三角形三边的长是多少 若设底边长为x cm,则腰长是多少 (2)“边长为4 cm”是什么意思
解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm.
x+2x+2x=18
解得x=3.6
所以,三边长分别为3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm.
(2)如果长为4 cm的边为底边,设腰长为x cm,则4+2x=18.
解得x=7.
如果长为4 cm的边为腰,设底边长为x cm,则
2×4+x=18.
解得x=10.
因为4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形.
由以上讨论可知,可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.
三、课堂练习
课本4页练习第1、2题.
四、课堂小结
1.三角形及有关概念.
2.三角形的分类.
3.三角形三边的不等关系及应用.
五、布置作业
课本8页习题11.1第1、2、6题.
11.1.2　三角形的高、中线与角平分线
【教学目标】
知识与技能
1.经历画图的过程,认识三角形的高、中线与角平分线.
2.会画三角形的高、中线与角平分线.
3.了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点.
过程与方法
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
情感、态度与价值观
体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
【教学重难点】
重点:三角形的高、中线与角平分线是重点.
难点:三角形的角平分线与角的平分线的区别,画钝角三角形的高.
【教学过程】
一、导入新课
我们已经知道什么是三角形,也学过三角形的高.三角形的主要线段除高外,还有中线和角平分线值得我们研究.
三角形的高
请你在图中画出△ABC的一条高并说说你的画法.
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高,表示为AD⊥BC于点D.
注意:高与垂线不同,高是线段,垂线是直线.
请你再画出这个三角形AB、AC边上的高,看看有什么发现
三角形的三条高相交于一点.
如果△ABC是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗
现在我们来画钝角三角形三边上的高,如图.
显然,上面的结论成立.
请你画一个直角三角形,再画出它三边上的高.
上面的结论还成立.
三角形的中线
如图,我们把连接△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线,表示为BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.
请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线,看看有什么发现
三角的三条中线相交于一点.
如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗 请画图回答.
上面的结论还成立.
三角形的角平分线
如图,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD=∠BAC.
思考:三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗
三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线,是不一样的.
请你在图中再画出另两个角的平分线,看看有什么发现
三角形三个角的平分线相交于一点.
如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗 请画图回答.
　　上面的结论还成立.
想一想:三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部,而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交点在三角形直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.
二、课堂练习
课本5页练习1、2题.
三、课堂小结
1.三角形的高、中线、角平分线的概念和画法.
2.三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律.
四、布置作业
课本8页习题11.1第3、4题.
11.1.3　三角形的稳定性
【教学目标】
知识与技能
1.知道三角形具有稳定性,四边形没有稳定性.
2.了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用.
过程与方法
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
情感、态度与价值观
体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
【教学重难点】
重点:三角形稳定性及应用.
难点:三角形稳定性及应用.
【教学过程】
一、情景导入
盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢
三角形的稳定性
〔实验〕1.把三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗
(1)(2)(3)
不会改变.
2.把四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗
会改变.
3.在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后再扭动它,它的形状会改变吗
不会改变.
从上面的实验中,你能得出什么结论
三角形具有稳定性,而四边形不具有稳定性.
三角形稳定性和四边形不稳定的应用
三角形具有稳定性固然好,四边形不具有稳定性也未必不好,它们在生产和生活中都有广泛的应用.如:
钢架桥、屋顶钢架和起重机都利用三角形的稳定性,活动挂架则利用四边形的不稳定性.
你还能举出一些例子吗
二、课堂练习
1.下列图形中具有稳定性的是(　　)
A.正方形　　　　　B.长方形
C.直角三角形 D.平行四边形
2.课本7页练习.
三、布置作业
课本8~9页习题11.1第5、10题.
11.2　与三角形有关的角
11.2.1　三角形的内角
【教学目标】
知识与技能
掌握三角形内角和定理.
过程与方法
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
情感、态度与价值观
体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
【教学重难点】
重点:三角形内角和定理.
难点:三角形内角和定理的证明.
【教学过程】
一、导入新课
我们在小学就知道三角形内角和等于180°,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢
三角形内角和的证明
回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,如图(1)用量角器量出∠BCD的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=180°.[投影]
图(1)
想一想,还可以怎样拼
把∠B和∠C剪下按图(2)拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ABC=180°.
图(2)
如果把上面移动的角在图上进行转移,由图(1)你能想到证明三角形内角和等于180°的方法吗
已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:过点C作CM∥AB,则∠A=∠ACM,∠B=∠DCM.
又∵∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°,
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
即:三角形的内角和等于180°.
由图2、图3你又能想到什么证明方法 请说说证明过程.
二、例题
例:如图是A、B、C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度
【分析】怎样能求出∠ACB的度数
根据三角形内角和定理,只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可.∠CAB等于多少度 怎样求∠CBA的度数
解:∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.
∵AD∥BE,∴∠BAD+∠ABE=180°,
∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°,
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.
答:从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.
三、课堂练习
课本13页练习第1、2题.
四、布置作业
课本16页习题11.2第1、3、4题.
11.2.2　三角形的外角
【教学目标】
知识与技能
1.理解三角形的外角.
2.掌握三角形外角的性质,能利用三角形外角的性质解决问题.
过程与方法
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
情感、态度与价值观
体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
【教学重难点】
重点:三角形的外角和三角形外角的性质.
难点:理解三角形的外角.
【教学过程】
一、导入新课
[投影1]如图,△ABC的三个内角是什么 它们有什么关系
是∠A、∠B、∠C,它们的和是180°.
若延长BC至D,则∠ACD是什么角 这个角与△ABC的三个内角有什么关系
三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角.像这样,三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
想一想,三角形的外角共有几个
共有六个.
注意:每个顶点处有两个外角,它们是对顶角.研究与三角形外角有关的问题时,通常每个顶点处取一个外角.
三角形外角的性质
容易知道,三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角,那与另外两个角有怎样的数量关系呢
[投影2]如图,这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线,你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗
解:∵CE∥AB,∴∠A=∠1,∠B=∠2.
又∵∠ACD=∠1+∠2,
∴∠ACD=∠A+∠B.
你能用文字语言叙述这个结论吗
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
由加数与和的关系你还能知道什么
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角,即∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.
二、例题
[投影3]例:如图,∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角,它们的和是多少
【分析】∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系 ∠BAC、∠ABC、∠ACB有什么关系
解:∵∠1+∠BAC=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠ACB=180°,
∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=540°.
又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠1+∠2+∠3=360°.
你能用语言叙述本例的结论吗
三角形外角的和等于360°.
三、课堂练习
课本15页练习.
四、课堂小结
1.什么是三角形外角
2.三角形的外角有哪些性质
五、布置作业
课本16页5题 、17页6题.
11.3　多边形及其内角和
11.3.1　多边形
【教学目标】
知识与技能
(1)了解多边形及有关概念,理解正多边形的概念.
(2)区别凸多边形与凹多边形.
过程与方法
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
情感、态度与价值观
体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
【教学重难点】
重点:多边形及有关概念、正多边形的概念.
难点:区别凸多边形与凹多边形.
【教学过程】
一、情景导入
[投影1]看下面的图片,你能从中找出由一些线段围成的图形吗
多边形及有关概念
这些图形有什么特点
由几条线段组成;它们不在同一条直线上;首尾顺次相接.
这种在平面内,由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形.这就是说,一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形,三角形是最简单的多边形.
与三角形类似地,多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角.
　　[投影2]
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
四边形有几条对角线 五边形有几条对角线 画图看看.
你能猜想n边形有多少条对角线吗 说说你的想法.
n边形有n(n-3)条对角线.因为从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,n个顶点共引n(n-3)条对角线,又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的,所以,n边形有1/2n(n-3)条对角线.
凸多边形和凹多边形
[投影3]如图,下面的两个多边形有什么不同
在图(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;而图(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形.
注意:今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形.
正多边形的概念
我们知道,等边三角形、正方形的各个角都相等,各条边都相等,像这样各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.
[投影4]下面是正多边形的一些例子.
二、课堂练习
课本21页练习第1、2题.
3.有五个人在告别的时候相互各握了一次手,他们共握了多少次手 你能找到一个几何模型来说明吗
三、课堂小结
1.多边形及有关概念.
2.区别凸多边形和凹多边形.
3.正多边形的概念.
4.n边形对角线有1/2n(n-3)条.
四、布置作业
课本24页习题11.3第1题.
11.3.2　多边形的内角和
【教学目标】
知识与技能
1.了解多边形的内角、外角等概念.
2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.
过程与方法
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
情感、态度与价值观
体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
【教学重难点】
重点:多边形的内角和与多边形的外角和公式.
难点:多边形的内角和定理的推导.
【教学过程】
一、复习导入
我们已经证明了三角形的内角和为180°,在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数,知道四边形的内角和为360°,现在你能利用三角形的内角和定理证明吗
多边形的内角和
[投影1]如图,从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线 它们将四边形分成几个三角形 那么四边形的内角和等于多少度
可以引一条对角线;它将四边形分成两个三角形;因此,四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°.
类似地,你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗
[投影2]观察下面的图形,填空:
从五边形一个顶点出发可以引　　　　对角线,它们将五边形分成　　　　三角形,五边形的内角和等于　　　　;
从六边形一个顶点出发可以引　　　　对角线,它们将六边形分成　　　　三角形,六边形的内角和等于　　　　;
[投影3]从n边形一个顶点出发,可以引　　　　对角线,它们将n边形分成　　　　三角形,n边形的内角和等于　　　　.
n边形的内角和等于(n一2)·180°.
从上面的讨论我们知道,求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求.现在以五边形为例,你还有其它的分法吗
分法一　如图1,在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形.
∴五边形的内角和为5×180°-2×180°=(5-2)×180°=540°.
分法二　如图2,在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形.
∴五边形的内角和为(5-1)×180°-180°=(5-2)×180°.
如果把五边形换成n边形,用同样的方法可以得到n边形内角和=(n-2)×180°.
二、例题
[投影6]例1:如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系
如图,已知四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,求∠B与∠D的关系.
【分析】∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系
解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,∠A+∠C=180°,
∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°.
这就是说,如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.
[投影7]例2:如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少
如图,已知∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF的外角,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.
【分析】多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系 六边形的外角和是多少度
解:∵∠1+∠BAF=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDE=180°,∠5+∠DEF=180°,∠6+∠EFA=180°,
∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°.
又∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°,
　　∴∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°.
这就是说,六边形形的外角和为360°.
如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果:
n边形的外角和等于360°.
对此,我们也可以这样来理解.
[投影8]如图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.
三、课堂练习
课本24页习题11.3第2、3题.
四、课堂小结
n边形的内角和是多少度
n边形的外角和是多少度
五、布置作业
课本24页第2、3题.
第十二章　全等三角形
12.1　全等三角形
【教学内容】
本节课主要介绍全等三角形的概念和性质.
【教学目标】
知识与技能
领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念.
过程与方法
经历探索全等三角形性质的过程,能在全等三角形中正确找出对应边、对应角.
情感、态度与价值观
培养观察、操作、分析能力,体会全等三角形的应用价值.
【教学重难点】
重点:会确定全等三角形的对应元素.
难点:掌握找对应边、对应角的方法.
关键:找对应边、对应角有下面两种方法:
1.全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.
2.对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.
【教学过程】
一、动手操作,导入课题
1.先在其中一张纸上画出任意一个多边形,再用剪刀剪下,思考得到的图形有何特点
2.重新在一张纸板上画出任意一个三角形,再用剪刀剪下,思考得到的图形有何特点
【学生活动】动手操作,用脑思考,与同伴讨论,得出结论.
【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形.
学生在操作过程中,教师要让学生事先在纸上画出三角形,然后固定重叠的两张纸,注意整个过程要细心.
【互动交流】从剪出的多边形和三角形可以看出:形状、大小相同,能够完全重合.这样的两个图形叫做全等形,用“≌”表示.
概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【教师活动】在纸板上任意剪下一个三角形,要求学生手拿一个三角形,做如下运动:平移、翻折、旋转,观察其运动前后的三角形会全等吗
【学生活动】动手操作,实践感知,得出结论:两个三角形全等.
【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形,同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边.
【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母,并任意放置,与同桌交流:(1)何时能完全重在一起 (2)此时它们的顶点、边、角有何特点
【交流讨论】通过同桌交流,实验得出下面结论:
1.任意放置时,并不一定完全重合,只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合.
2.这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了.
3.完全重合说明三条边对应相等,三个内角对应相等,对应顶点在相对应的位置.
【教师活动】根据学生交流的情况,给予补充和语言上的规范.
1.概念:把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.
2.证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如果本图11.1─2△ABC和△DBC全等,点A和点D,点B和点B,点C和点C是对应顶点,记作△ABC≌△DBC.
【问题提出】课本图12.1─1中,△ABC≌△DEF,对应边有什么关系 对应角呢
【学生活动】经过观察得到下面性质:
1.全等三角形对应边相等;
2.全等三角形对应角相等.
二、随堂练习,巩固深化
课本P37练习.
【探研时空】
1.如图1所示,△ACF≌△DBE,∠E=∠F,若AD=20 cm,BC=8 cm,你能求出线段AB的长吗 与同伴交流.(AB=6)
图1　　图2
2.如图2所示,△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.(∠AEC=30°,∠EAC=65°,∠ECA=85°)
三、课堂总结,发展潜能
1.什么叫做全等三角形
2.全等三角形具有哪些性质
四、布置作业,专题突破
课本33页习题12.1第1,2,3,4题.
12.2　三角形全等的判定
第1课时
【教学内容】
本节课主要内容是探索三角形全等的条件(SSS),及利用全等三角形进行证明.
【教学目标】
知识与技能
了解三角形的稳定性,会应用“边边边”判定两个三角形全等.
过程与方法
经历探索“边边边”判定全等三角形的过程,解决简单的问题.
情感、态度与价值观
培养有条理的思考和表达能力,形成良好的合作意识.
【教学重难点】
重点:掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法.
难点:理解证明的基本过程,学会综合分析法.
关键:掌握图形特征,寻找适合全等条件的两个三角形.
【教学过程】
一、设疑求解,操作感知
【教师活动】(出示教具)
问题提出:一块三角形的玻璃损坏后,只剩下如图1所示的残片,你对图中的残片作哪些测量,就可以割取符合规格的三角形玻璃,与同伴交流.
【学生活动】观察,思考,回答教师的问题.方法如下:可以将图1的玻璃碎片放在一块纸板上,然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形.如图2,剪下模板就可去割玻璃了.
【理论认知】
如果△ABC≌△A'B'C',那么它们的对应边相等,对应角相等.反之,如果△ABC与△A'B'C'满足三条边对应相等,三个角对应相等,即AB=A'B',BC=B'C',CA=C'A',∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'.
这六个条件就能保证△ABC≌△A'B'C',从刚才的实践我们可以发现:只要两个三角形三条对应边相等,就可以保证这两块三角形全等.
信不信
【作图验证】(用直尺和圆规)
先任意画出一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.把画出的△A'B'C'剪下来,放在△ABC上,它们能完全重合吗 (即全等吗)
【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图,并验证.(如课本图12.2-2所示)
画一个△A'B'C',使A'B'=AB',A'C'=AC,B'C'=BC:
1.画线段取B'C'=BC;
2.分别以B'、C'为圆心,线段AB、AC为半径画弧,两弧交于点A';
3.连接线段A'B'、A'C'.
【教师活动】巡视、指导,引入课题:“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律 ”
【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理.
(1)判定方法:三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).
(2)判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.
【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等,逐步探索出最后的结论——边边边,在这个过程中,学生不仅得到了两个三角形全等的条件,同时增强了数学体验.
二、范例点击,应用所学
例:如课本图12.2─3所示,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证:△ABD≌△ACD.(教师板书)
【教师活动】分析例1:
要证明△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.
证明:∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD(SSS).
【评析】符号“∵”表示“因为”,“∴”表示“所以”;从例1可以看出,证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.书写中注意对应顶点要写在同一个位置上,哪个三角形先写,哪个三角形的边就先写.
三、实践应用,合作学习
【问题思考】
已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在直线上,AD=FB(如图所示),要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件 怎样才能得到这个条件
【教师活动】提出问题,巡视、引导学生,并请学生说说自己的想法.
【学生活动】先独立思考后,再发言:“还应该有AB=FD,只要AD=FB两边都加上DB即可得到AB=FD.”
【教学形式】先独立思考,再合作交流,师生互动.
四、随堂练习,巩固深化
课本P37练习.
【探研时空】
如图所示,AB=DF,AC=DE,BE=CF,BC与EF相等吗 你能找到一对全等三角形吗 说明你的理由.(BC=EF,△ABC≌△DFE)
五、课堂总结,发展潜能
1.全等三角形性质是什么
2.正确地判断出全等三角形的对应边、对应角,利用全等三角形处理问题的基础,你是怎样掌握判断对应边、对应角的方法
3.“边边边”判定法告诉我们什么呢 (答:只要一个三角形三边长度确定了,则这个三角形的形状大小就完全确定了,这就是三角形的稳定性)
六、布置作业,专题突破
课本43页习题12.2第1,2题.
第2课时
【教学内容】
本节课主要内容是探索三角形全等的条件(SAS),及利用全等三角形证明.
【教学目标】
知识与技能
领会“边角边”判定两个三角形的方法.
过程与方法
经历探究三角形全等的判定方法的过程,学会解决简单的推理问题.
情感、态度与价值观
培养合情推理能力,感悟三角形全等的应用价值.
【教学重难点】
重点:会用“边角边”证明两个三角形全等.
难点:应用结合法的格式表达问题.
关键:在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法.
【教学过程】
一、回顾交流,操作分析
【动手画图】
【投影】作一个角等于已知角.
【学生活动】动手用直尺、圆规画图.
已知:∠AOB.
求作:∠A1O1B1,使∠A1O1B1=∠AOB.
【作法】(1)作射线O1A1;(2)以点O为圆心,以适当长为半径画弧,交OA于点D,交OB于点C;(3)以点O1为圆心,以OC长为半径画弧,交O1A1于点C1;(4)以点C1为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D1;(5)过点D1作射线O1B1,∠A1O1B1就是所求的角.
【导入课题】
教师叙述:请同学们连接CD、C1D1,回忆作图过程,分析△COD和△C1O1D1中相等的条件.
【学生活动】与同伴交流,发现下面的相等量:
OD=O1D1,OC=O1C1,∠COD=∠C1O1D1,△COD≌△C1O1D1.
归纳出规律:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).
【评析】通过让学生回忆基本作图,在作图过程中体会相等的条件,在直观的操作过程中发现问题,获得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力.
【媒体使用】投影显示作法.
【教学形式】操作感知,互动交流,形成共识.
二、范例点击,应用新知
例:如课本图12.2-6所示,有一池塘,要测池塘两侧A、B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B的点,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么
【教师活动】
操作投影仪,显示例题,分析:如果能够证明△ABC≌△DEC,就可以得出AB=DE.在△ABC和△DEC中,CA=CD,CB=CE,如果能得出∠1=∠2,△ABC和△DEC就全等了.
证明:在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(SAS),
∴AB=DE.
想一想:∠1=∠2的依据是什么 (对顶角相等)AB=DE的依据是什么 (全等三角形对应边相等)
【学生活动】参与教师的讲例之中,领悟利用“边角边”证明三角形全等的方法,学会分析推理和规范书写.
【媒体使用】投影显示例2.
【教学形式】教师讲例,学生接受式学习,但要积极参与.
【评析】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.
三、辨析理解,正确掌握
【问题探究】(投影显示)
我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗 为什么
【教师活动】拿出教具进行示范,让学生直观地感受到问题的本质.
操作教具:把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起,使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合,适当调整好长木棍与射线BC所成的角后,固定住长木棍,把短木棍摆起来(课本图11.2-7),出现一个现象:△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件,但△ABC与△ABD不全等.这说明,有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
【学生活动】观察教师操作教具,发现问题,辨析理解,动手用直尺和圆规实验一次,做法如下:(如图所示)
(1)画∠ABT;(2)以A为圆心,以适当长为半径画弧,交BT于C、C';(3)连线AC,AC',△ABC与△ABC'不全等.
【形成共识】“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件.
【教学形式】观察、操作、感知,互动交流.
四、随堂练习,巩固深化
课本P39练习第1、2题.
【探研时空】
一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事:(如图1所示)
在一次战役中,我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡,需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下,一个战士想出来这样一个办法,他面向碉堡的方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后,他转过一个角度,保持刚才的姿态,这时视线落在了自己所在岸的某一点上.接着,他用步测的办法量出自己与那个点的距离,这个距离就是他与碉堡间的距离.(如图2所示)
图1
图2
(1)按这个战士的方法,找出教室或操场上与你距离相等的两个点,并通过测量加以验证.
(2)你能解释其中的道理吗
【思路点拨】情境中使用的方法在实际应用中虽然是一种估测,但用到的原理都是三角形全等(SAS).教学中,让学生在教室里或操场上亲自做一做,实际体验.
五、课堂总结,发展潜能
1.请你叙述“边角边”定理.
2.证明两个三角形全等的思路是:首先分析条件,观察已经具备了什么条件;然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法,来确定还需要证明哪些边或角对应相等,再设法证明这些边和角相等.
六、布置作业,专题突破
课本43页习题12.2第3题.
第3课时
【教学内容】
本节课主要内容是探索三角形全等的判定(ASA,AAS),及利用全等三角形的证明.
【教学目标】
知识与技能
理解“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法.
过程与方法
经历探索“角边角”、“角角边”判定三角形全等的过程,能运用已学三角形判定法解决实际问题.
情感、态度与价值观
培养良好的几何推理意识,发展思维,感悟全等三角形的应用价值.
【教学重难点】
重点:应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等.
难点:学会综合法解决几何推理问题.
关键:把握综合分析法的思想,寻找问题的切入点.
【教学过程】
一、回顾交流,巩固学习
【知识回顾】(投影显示)
情境思考:
1.小菁做了一个如图1所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH,ED=FD,将上述条件注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH吗 与同伴交流.
图1　　图2
[答案:能,因为根据“SAS”可以得到△EDH≌△FDH,从而EH=FH]
2.如图2,AB=AD,AC=AE,能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗
[答案:BC=DE(SSS)或∠BAC=∠DAE(SAS)].
3.如果两边及其中一边的对角对应相等,两个三角形一定会全等吗 试举例说明.
【教师活动】操作投影仪,提出问题,组织学生思考和提问.
【学生活动】通过情境思考,复习前面学过的知识,学会正确选择三角形全等的判定方法,小组交流,踊跃发言.
【教学形式】用问题牵引,辨析、巩固已学知识,在师生互动交流过程中,激发求知欲.
二、实践操作,导入课题
【动手动脑】(投影显示)
问题探究:先任意画一个△ABC,再画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等),把画出的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗
【学生活动】动手操作,感知问题的规律,画图如下:
画一个△A'B'C',使A'B'=AB,
∠A'=∠A,∠B'=∠B:
1.画A'B'=AB;
2.在A'B'的同旁画∠DA'B'=∠A,
∠EB'A'=∠B,A'D,B'E交于点C'.
探究规律:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).
【知识铺垫】课本图12.2─8中,∠A'=∠A,∠B'=∠B,那么∠C=∠A'C'B'吗 为什么
【学生回答】根据三角形内角和定理,∠C'=180°-∠A'-∠B',∠C=180°-∠A-∠B,由于∠A=∠A',∠B=∠B',∴∠C=∠C'.
教师提问:在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF(课本图12.2─10),△ABC与△DEF全等吗
【学生活动】运用三角形内角和定理,以及“ASA”很快证出△ABC≌△EFD,并且归纳如下:
归纳规律:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简与成AAS).
三、范例点击,应用所学
例:如课本图12.2─9,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:AD=AE.
【教师活动】引导学生,分析例题.关键是寻找到和已知条件有关的△ACD和△ABE,再证它们全等,从而得出AD=AE.
证明:在△ACD与△ABE中,
∴△ACD≌△ABE(ASA),
∴AD=AE.
【学生活动】参与教师分析,领会推理方法.
【媒体使用】投影显示例题.
【教学形式】师生互动.
教师提问:三角对应相等的两个三角形全等吗
【学生活动】与同伴交流,得到有三角对应相等的两个三角形不一定会全等,拿出三角板进行说明,如图,这块三角形的内外边形成的△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',但是它们不全等.(形状相同,大小不等).
四、随堂练习,巩固深化
课本41页练习第1,2题.
【探研时空】
1.如图,小红不慎将一块三角形模具打碎为两块,她是否可以只带其中一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具呢 如果可以,带哪块去合适 为什么
　　【思路点拨】这是一个实际问题,应带含有两个角的那一块,由“角边角”可知,利用这块能配出一个与原来全等的三角形模具.
第1题图　　第2题图
2.小颖在练习本上画一个三角形,小兰和她开个玩笑,将墨迹污染到这块三角形的图形上(如图),急得小颖直叫,要小兰画出一个与原来完全一样的三角形来,小兰该怎么办呢 你能帮她吗
【思路点拨】观察图形,可知未被墨水污染的有两条边及其夹角,根据“SAS”可以作一个与原来完全一样的三角形.
五、课堂总结,发展潜能
1.证明两个三角形全等有几种方法 如何正确选择和应用这些方法
2.全等三角形性质可以用来证明哪些问题 举例说明.
3.你在本节课的探究过程中,有什么感想
六、布置作业,专题突破
课本44页习题12.2第4,5,6,10题.
第4课时
【教学内容】
本节课主要内容是探究直角三角形的判定方法.
【教学目标】
知识与技能
在操作、比较中理解探究直角三角形全等的过程,并能用于解决实际问题.
过程与方法
经历探索直角三角形全等判定的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力.
情感、态度与价值观
培养几何推理意识,激发学生求知欲,感悟几何思维的内涵.
【教学重难点】
重点:理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法.
难点:培养有条理的思考能力,正确使用“综合法”表达.
关键:判定两个三角形全等时,要注意这两个三角形中已经具有一对角相等的条件,只需找到另外两个条件即可.
【教学过程】
一、回顾交流,迁移拓展
【问题探究】
如图是两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,这两个直角三角形才能全等
　　【教师活动】操作投影仪,提出“问题探究”,组织学生讨论.
【学生活动】小组讨论,发表意见:“由三角形全等条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了.”
【媒体使用】投影显示“问题探究”.
【教学形式】分四人小组,合作、讨论.
【情境导入】舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
(1)你能帮他想个办法吗
(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”,你相信他的结论吗
【思路点拨】(1)学生可以回答去量斜边和一个锐角,或直角边和一个锐角.但对问题(2),学生难以回答.此时,教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考,并验证它们的方法,从而展开对直角三角形特殊条件的探索.
【教师活动】操作投影仪,提出问题,引导学生思考、验证.
【学生活动】思考问题,探究原理.
做一做:如课本图12.2─11:任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°,再画一个Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB,把画好的Rt△A'B'C'剪下,放到Rt△ABC上,它们全等吗
【学生活动】画图分析,寻找规律.如下规律:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
画一个Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB;
1.画∠MC'N=90°;
2.在射线C'M上取B'C'BC;
3.以点B'为圆心,AB为半径画弧,交射线C'N于点A';
4.连接A'B'.
二、范例点击,应用所学
例:如课本图12.2─12,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C、D,AC=BD,求证BC=AD.
【分析】欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO,O为DB、AC的交点,经过对条件的分析,△ABD和△BAC具备全等的条件.
【教师活动】引导学生共同参与分析例题.
证明:∵AC⊥BC,BD⊥BD,
∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
【学生活动】参与教师分析,提出自己的见解.
【评析】在证明两个直角三角形全等时,要防止学生使用“SSA”来证明.
【媒体使用】投影显示例题.
三、随堂练习,巩固深化
课本43页第练习1、2题.
【探研时空】
如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系
下面是三个同学的思考过程,你能明白他们的意思吗
→△ABC≌△DEF→∠ABC=∠DEF→∠ABC+∠DFE=90°.
有一条直角边和斜边对应相等,所以△ABC与△DEF全等.这样∠ABC=∠DEF,也就是∠ABC+∠DEF=90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF,因此这两个三角形是全等的,这样∠ABC=∠DEF,所以∠ABC与∠DEF是互余的.
【教学形式】这个问题涉及的推理比较复杂,可以通过全班讨论,共同解决这个问题,但不需要每个学生自己独立说明理由,只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了.
四、课堂总结,发展潜能
本节课通过动手操作,在合作交流、比较中共同发现问题,培养直观发现问题的能力,在反思中发现新知,体会解决问题的方法.通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求,可知判定直角三角形全等有五种方法.(教师让学生讨论归纳)
五、布置作业,专题突破
课本44页习题12.2第7,8题.
六、课堂总结,发展潜能
由学生谈学习收获.
12.3　角的平分线的性质
第1课时
【教学内容】
本节课首先介绍作一个角的平分线的方法,然后用三角形全等证明角平分线的性质定理.
【教学目标】
知识与技能
通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.
过程与方法
经历探究角的平分线的性质的过程,领会其应用方法.
情感、态度与价值观
激发学生的几何思维,启迪他们的灵感,使学生体会到几何的真正魅力.
【教学重难点】
重点:领会角的平分线的两个互逆定理.
难点:两个互逆定理的实际应用.
关键:可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论.利用全等来证明它的逆定理.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
【问题探究】(投影显示)
如课本图12.3-1是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗
【教师活动】首先将“问题提出”,然后运用教具(如课本图12.3-1)直观地进行讲述,提出探究的问题.
【学生活动】小组讨论后得出:根据三角形全等条件“边边边”判定法,可以说明这个仪器的制作原理.
【教师活动】
请同学们和老师一起完成下面的作图问题.
已知:∠AOB.
求法:∠AOB的平分线.
作法:(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N.
(2)分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.
(3)作射线OC,射线OC即为所求(课本图12.3-2).
【学生活动】动手制图(尺规),边画图边领会,认识角平分线的定义;同时在实践操作中感知.
【媒体使用】投影显示学生的“画图”.
【教学形式】小组合作交流.
二、随堂练习,巩固深化
【探研时空】(投影显示)
如课本图12.3─3,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论
【教师活动】操作投影仪,提出问题,提问学生.
【学生活动】实践感知,互动交流,得出结论:“从实践中可以看出,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.”
论证如下:
已知:OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E(课本图12.3─4).
求证:PD=PE.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中,
∴△PDO≌△PEO(AAS),
∴PD=PE.
【归纳如下】
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【教学形式】师生互动,生生互动,合作交流.
三、情境合一,优化思维
【问题思索】(投影显示)
如课本图12.3─5,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路与铁路的交叉处500米,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20 000)
【学生活动】四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知:角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边的距离相等的点也在角的平分线.
证明如下:
已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
证明:经过点P作射线OC.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中,
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL),
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC是∠AOB的平分线.
【教师活动】启发、引导学生;组织小组之间的交流、讨论;帮助“学困生”.
【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
【教学形式】自主、合作、交流,在教师的引导下,比较上述两个结论,弄清其条件和结论,加深认识.
四、范例点击,应用所学
例:如课本图12.3─6,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
【分析】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.
【教师活动】操作投影仪,显示例子,分析例子,引导学生参与.
证明:过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等.
【评析】在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.
【学生活动】参与教师分析,主动探究学习.
五、随堂练习,巩固深化
课本50页练习.
六、课堂总结,发展潜能
1.学生自行小结角平分线性质及其逆定理,和它们的区别.
2.说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题,说明这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏).
七、布置作业,专题突破
课本51页习题12.3第1、2、3题.
第2课时
【教学内容】
本节课主要是对角的平分线的性质定理的应用展开讨论,让学生熟练地应用它们解决实际问题.
【教学目标】
知识与技能
能应用角的平分线的性质定理解决一些实际的问题.
过程与方法
经历探索角的平分线性质的应用过程,领会几何分析的内涵,掌握综合法的表达思想.
情感、态度与价值观
激发学生的逻辑思维,在比较中获取知识,使学生感悟几何的简练思维.
【教学重难点】
重点:应用角的平分线性质定理.
难点:应用“综合法”进行表达.
关键:通过观察、操作、分析来感悟定理的内涵,抓住问题的因果关系进行推理.
【教学方法】
一、回顾交流,练中反思
【概念复习】
【教学提问】同学们能否从集合的观点来说明角的平分线的性质.
【学生活动】在教师对“集合”的思想做初步讲解后,学生可以通过交流得出:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
【分层练习】(投影显示)
1.已知:如图,△ABC中,AD是角的平分线,BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,E、F是垂足,求证:EB=FC.
【思路点拨】只要证明EB和FC分别所在的两个三角形全等(△EBD≌△FCD).
【教师活动】操作投影仪,巡视,启发引导,适时提问.
【学生活动】小组合作学习,寻求解题思路,踊跃上台演示自己的证明.
证明:∵AD是角的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
在△EBD和△FCD中,
∴△EBD≌△FCD(HL),
∴EB=FC.
【媒体使用】投影显示“分层练习1”和学生的练习.
【教学形式】小组合作(4人小组)交流,然后全班汇报,以练促思.
2.已知:如图,河的南区有一个工厂,在公路西侧,到公路的距离与到河岸的距离相等,并且与河上公路桥的距离为300米,在图上标出工厂的位置,并说明理由.
【思路点拨】画图略,根据角的平分线性质,工厂应在河流与公路交角的平分线上.
【教师活动】操作投影仪,提出问题,参与学生的思考和讨论.
【学生活动】分四人小组积极地讨论,得出结论,踊跃发表自己的看法.
【媒体使用】投影显示“分层练习2”.
【教学形式】合作学习,生生互动交流.
二、操作观察,辨析理解
【操作思考】(投影显示)
首先按如下步骤进行操作:
(1)在一张纸上任意画一个角(角的边不要画得太短)∠AOB.
(2)剪下所画的角.
(3)折叠所画的角,使角的两边OA与OB重合,设折痕为Ox,如图.
(4)在折叠形成的两层纸之间放入复写纸.
(5)在Ox上取一点P,并且过点P画OA的垂线.
(6)拿出复写纸,并且把折叠的纸展开,观察展开后的图形,并进行思考,上面的操作反映了哪条规律 是课本上一节课中的那个概念吗
【教师活动】操作投影仪,巡视,参与学生的讨论,引导启发.
【学生活动】分四人小组合作学习,从操作中感悟知识和规律,得到结论:反映的规律是:角的平分线上的点到角的两边距离相等.
【媒体使用】投影显示“操作思考”.
【教学形式】分四人小组合作学习,动手动脑,互动交流.
三、课堂演练,系统跃进
已知:如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N,求证:PM=PN.
　　[提示]∵∠ABD=∠CBD,AB=CB,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB.又∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.
四、课堂总结,发展潜能
由学生分四人小组进行学习反思,然后各小组汇报学习情况.
五、布置作业,专题突破
课本P55复习题12第6题.
第十三章　轴对称
13.1　轴对称
13.1.1　轴对称
第1课时
【教学目标】
知识与技能
1.在生活实例中认识轴对称图.
2.分析轴对称图形,理解轴对称的概念、轴对称图形的概念.
过程与方法
1.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
2.在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步说理和进行简单推理的能力.
情感、态度与价值观
1.体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
2.会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识.
3.使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点.
【教学重难点】
重点:理解轴对称的概念.
难点:能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.
【教学过程】
一、创设情境,引入新课
1.举实例说明对称的重要性和生活中充满着对称.
2.对称给我们带来多少美的感受!初步掌握对称的奥秒,不仅可以帮助我们发现一些图形的特征,还可以使我们感受到自然界的美与和谐.
3.轴对称是对称中重要的一种,让我们一起走进轴对称世界,探索它的秘密吧!
二、导入新课
1.观察:几幅图片(出示图片),观察它们都有些什么共同特征.
强调:对称现象无处不在,从自然景观到分子结构,从建筑物到艺术作品,甚至日常生活用品,人们都可以找到对称的例子.
练习:从学生生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子.
2.观察:如图13.1.2,把一张纸对折,剪出一个图案(折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸,就剪出了美丽的窗花.你能发现它们有什么共同的特点吗
3.如果一个图形沿一直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
4.动手操作:取一张质地较硬的纸,将纸对折,并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案,将纸打开后铺平,你得到两个成轴对称的图案了吗
归纳小结:由此我们进一步了解了轴对称图形的特征:一个图形沿一条直线折叠后,折痕两侧的图形完全重合.
5.练习:你能找出它们的对称轴吗 分小组讨论.
思考:大家想一想,你发现了什么
小结得出:.像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
三、随堂练习
课本60页练习.
四、课时小结
这节课我们主要认识了轴对称图形,了解了轴对称图形及有关概念,进一步探讨了轴对称的特点,区分了轴对称图形和两个图形成轴对称.
五、课后作业
课本64页习题13.1的第1、2题.
第2课时
【教学目标】
知识与技能
1.了解两个图形成轴对称性的性质,了解轴对称图形的性质.
2.探究线段垂直平分线的性质.
过程与方法
1.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
2.在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步说理和进行简单推理的能力.
情感、态度与价值观
1.体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
2.会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识.
【教学重难点】
重点:轴对称的性质,线段垂直平分线的性质.
难点:
1.轴对称的性质.
2.线段垂直平分线的性质.
3.体验轴对称的特征.
【教学过程】
一、创设情境,引入新课
1.什么样的图形是轴对称图形呢
2.轴对称图形有哪些性质,从图形中能得到结论
二、导入新课
1.如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,点A'、B'、C'分别是点A、B、C对称点,线段AA'、BB'、CC'与直线MN有什么关系 为什么 (学生思考并做小范围讨论)
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
2.画一个轴对称图形,并找出两对称点,看一下对称轴和两对称点连线的关系.
3.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.
归纳图形轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.
下面我们来探究线段垂直平分线的性质.
[探究1]如图,木条L与AB钉在一起,L垂直平分AB,P1,P2,P3,…是L上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现
证法一:利用判定两个三角形全等.
如图,在△APC和△BPC中,
△APC≌△BPC PA=PB.
证法二:利用轴对称性质.
由于点C是线段AB的中点,将线段AB沿直线L对折,线段PA与PB是重合的,因此它们也是相等的.
带着探究1的结论我们来看下面的问题.
[探究2]
如图,用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢 为什么
探究结论:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
　　上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质,即:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.
三、随堂练习
如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗
四、课时小结
这节课通过探索轴对称图形对称性的过程,了解了线段的垂直平分线的有关性质,同学们应灵活运用这些性质来解决问题.
五、课后作业
课本65页习题13.1的第3、4题.
13.1.2　线段的垂直平分线的性质
【教学目标】
知识与技能
1.探索作出轴对称图形的对称轴的方法.掌握轴对称图形对称轴的作法.
2.在探索的过程中,培养学生分析、归纳的能力.
过程与方法
1.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
2.在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步说理和进行简单推理的能力.
情感、态度与价值观
1.体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
2.会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识.
【教学重难点】
重点:轴对称图形对称轴的作法.
难点:探索轴对称图形对称轴的作法.
【教学过程】
一、提出问题,引入新课
1.有时我们感觉两个图形是轴对称的,如何验证呢 不折叠图形,你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗
2.轴对称图形性质.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴,是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.
3.找到一对对应点,作出连结它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴了.4.问题:如何作出线段的垂直平分线
二、导入新课
要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定定理,到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,又由两点确定一条直线这个公理,那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点,这样才能确定已知线段的垂直平分线.
例1:如图(1),点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗
已知:线段AB[如图(1)].
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:如图(2)
(1)分别以点A、B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C和D两点;
(2)作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
例2:图中的五角星有几条对称轴 作出这些对称轴.
作法:
1.找出五角星的一对对应点A和A',连接AA'.
2.作出线段AA'的垂直平分线L.
则L就是这个五角星的一条对称轴.
用同样的方法,可以找出五条对称轴,所以五角星有五条对称轴.
三、随堂练习
如图,与图形A成轴对称的是哪个图形 画出它们的对称轴.
　　　A　　　　　B　　　　C　　　　　D
答案:与A成轴对称的是图形D(或B).
四、课时小结
本节课我们探讨了尺规作图,作出线段的垂直平分线.并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法:找出轴对称图形的任意一对对应点,连接这对对应点,作出连线的垂直平分线,该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴.
五、课后作业
课本65页习题13.1的第5、10、11、12题.
13.2　画轴对称图形
第1课时
【教学目标】
知识与技能
1.通过实际操作,了解什么叫做轴对称变换.
2.如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形.
过程与方法
经历实际操作、认真体验的过程,发展学生的思维空间,并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用.
情感、态度与价值观
1.鼓励学生积极参与数学活动,培养学生的数学兴趣.
2.初步认识数学和人类生活的密切联系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的应用意识.
3.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
【教学重难点】
重点:
1.轴对称变换的定义.
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.
难点:
1.作出简单平面图形关于直线的轴对称图形.
2.利用轴对称进行一些图案设计.
【教学过程】
一、提出问题,创设情境
师:上节课我们学习了轴对称变换的概念,知道了一个图形经过轴对称变换可以得到它的轴对称图形,那么具体过程如何操作呢 这就是我们这节课要学习的.下面同学们来仔细观察一个图案.(小黑板展示)
以虚线为对称轴画出图的另一半:
[生甲]这个图案(1)左右两边应该完全相同,画出的整个图案的形状应该是个脸.
[生乙]图案(2)画出另一半后应该是一座小房子.
师:大家能把这两个图案的另一半画出来吗
师:我们利用方格纸来试着画一画.
……
师:画好了吧 我们今天就来学习作出简单平面图形经过轴对称后的图形.
二、导入新课
师:如何作一个图形经过轴对称后的图形呢 我们知道:任何一个图形都是由点组成的.因为我们来作一个点关于一条直线的对称点.由已经学过的知识知道:对应点的连线被对称轴垂直平分.所以,已知对称轴L和一个点A,要画出点A关于L的对应点A',可采取如下方法:
(1)过点A作对称轴L的垂线,垂足为B;
(2)在垂线上截取BA',使BA'=AB.
点A'就是点A关于直线L的对应点.
好,大家来动手画一点A关于直线L对称的对应点,教师口述,大家来画图,要注意作图的准确性.
……
师:画好了没有
[生]画好了.
师:好,现在我们会画一点关于已知直线的对称点,那么一个图形呢
例:如图(1),已知△ABC和直线L,作出与△ABC关于直线L对称的图形.
师:同学们讨论一下.
……
[生甲]可以在已知图形上找一些点,然后作出这些点关于这条直线的对应点,再按图形上点的顺序连接这些点.这样就可以作出这个图形关于直线L的对称图形了.
师:说说看,找几个什么样的点就行呢
[生乙]△ABC可以由三个顶点的位置确定,只要找A、B、C三点就可以了.
师:好,下面大家一起动手做.
作法:如图(2).
(1)过点A作直线L的垂线,垂足为点O,在垂线上截取OA'=OA,点A'就是点A关于直线L的对称点;
(2)类似地,作出点B、C关于直线L的对称点B'、C';
(3)连接A'B'、B'C'、C'A',得到△A'B'C'即为所求.
师:大家做完后,我们共同来归纳一下如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形.
归纳:
几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点,再连接这些对应点,就可得到原图形的轴对称图形;对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对应点,连接这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形.
师:看来在作一个平面图形关于直线轴对称的图形,找一些特殊点是关键.下图中,要作出图形的另一半,哪些点可以作为特殊点 并画出图形的另一半.
师:大家作个简单讨论,共同来完成这个题.
[生]在图形(1)上找三个点,在图形(2)中找一个点就可以,如下图:
师:现在我们来做练习.
三、随堂练习
(一)课本P68练习第1、2题.
1.如图课本68页1题图,把下列图形补成关于直线L对称的图形.
提示:找特殊点.
答案:图(略)
2.用纸片剪一个三角形,分别沿它一边的中线、高、角平分线对折,看看哪些部分能够重合,哪些部分不能重合.
答案:本题答案不唯一,要求学生尽可能用准确的数学语言将自己剪出的三角形的情况进行表述.
(二)阅读课本P67~P68,然后小结.
四、课时小结
本节课我们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形.在按要求作图时要注意作图的准确性.
求作一个几何图形关于某条直线对称的图形,可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线的对称点.对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段的端点)的对称点,连结这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.
五、课后作业
课本71~72页习题13.2第1、4题.
第2课时
【教学目标】
知识与技能
1.在平面直角坐标系中,探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律.
2.利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律,能作出关于x轴、y轴对称的图形.
过程与方法
1.在探索关于x轴,y轴对称的点的坐标的规律时,发展学生数形结合的思维意识.
2.在同一坐标系中,感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系.
情感、态度与价值观
在探索规律的过程中,提高学生的求知欲和强烈的好奇心.
【教学重难点】
重点:
1.理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系.
2.在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识.
难点:用坐标表示轴对称.
【教学过程】
一、提出问题,创设情境
[活动1]1.如图:
(1)观察上图中两个圆脸有什么关系
(2)已知右边图脸右眼的坐标为(4,3),左眼的坐标为(2,3),嘴角两个端点,右端点的坐标为(4,1),左端点的坐标为(2,1).
你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼,右眼及嘴角两端点的坐标吗
2.在平面直角坐标系中,将坐标为(2,2),(4,2),(4,4),(2,4),(2,2)的点用线段依次连结起来形成一个图案.
(1)纵坐标不变,横坐标分别乘以-1,再将所得的各个点用线段依次连结起来,所得的图案与原图案相比有何变化
(2)横坐标不变,纵坐标分别乘以-1,再将所得的各个点用线段依次连结起来,所得的图案又与原图案相比有何变化
设计意图:
通过有趣的轴对称图形的研究,激发学生探究坐标特点的好奇心,是一种形到数的探究,接着又从对坐标实施变化,引起图案的变化,使学生在坐标的变化中产生对每对关于x轴、y轴对称的点的坐标规律的探究.
师生行为:
[生]1.(1)观察可发现图中的两个圆脸关于y轴对称.
(2)我们可以设右脸中的左眼为A点,右眼为B点,则A(2,3),B(4,3),嘴角的左右端为D(2,1),C(4,1).根据轴对称的性质,A与A1关于y轴对称,则A1到y轴的距离和A到y轴的距离相等,A1、A到x轴的距离也相等,∵A1在第二象限,∴A1的坐标为(-2,3).
同理,B1、C1、D1的坐标分别为(-4,3)、(-4,1)、(-2,1).
2.师生共同完成
[生]在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连结如图.A(2,2),B(4,2),C(4,4),D(2,4).
(1)纵坐标不变,横坐标乘以-1,得到相应四个点为A1(-2,2),B1(-4,2),C1(-4,4),D1(-2,4).顺次连结所得到的图案和原图案比较,不难发现它们是关于y轴对称的.
(2)横坐标不变,纵坐标乘以-1,得到相应的四个点为A2(2,-2),B2(4,-2),C2(4,-4),D2(2,-4).顺次连结所得到的图案和原图案比较,可得它们是关
于x轴对称的.
师:A(2,2)与A1(-2,2)关于y轴对称,
B(4,2)与B1(-4,2)关于y轴对称,
C(4,4)与C1(-4,4)关于y轴对称,
D(2,4)与D1(-2,4)关于y轴对称.
那么关于y轴对称的点具有什么规律呢
A(2,2)与A2(2,-2)关于x轴对称,
B(4,2)与B2(4,-2)关于x轴对称,
C(4,4)与C2(4,-4)关于x轴对称,
D(2,4)与D2(2,-4)关于x轴对称.
那么关于x轴对称的点有何规律呢
这节课我们就来研究关于x轴,y轴对称的每对对称点坐标的规律.
二、导入新课
[活动2]
在如图所示的平面坐标系中,画出下列已知点及其对称点,并把坐标填入表格中.看看每对对称点的坐标有怎样的规律.再和同学讨论一下.
已知点A(2,-3),B(-1,2),C(-6,-5),D(,1),E(4,0).
关于x轴的对称点A'(　　　　,　　　　)
B'(　　　　,　　　　)C'(　　　　,　　　　)
D'(　　　　,　　　　)E'(　　　　,　　　　).
关于y轴的对称点A″(　　　　,　　　　)
B″(　　　　,　　　　)C″(　　　　,　　　　)
D″(　　　　,　　　　)E″(　　　　,　　　　).
设计意图:
通过学生动手操作,分别作A,B,C,D,E关于x轴、y轴的对称点A',B',C',D',E';A″,B″,C″,D″,E″,并且求出它们的坐标,观察,归纳它们坐标之间的关系.
师生行为:
教师引导,学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律.
[生]如图,我们先在直角坐标系中描出A(2,-3),B(-1,2),C(-6,-5),D(,1),E(4,0)点.
我们先在坐标系中作出A点关于x轴的对称点,即过A作x轴的垂线交x轴于M点,M点的坐标为(2,0).在AM的延长线上截A'M=AM,则A'就是A点关于x轴的对称点,所以A'在第一象限,因为A'M=AM,所以A'的纵坐标为3,因为AA'⊥x轴,即AA'∥y轴,所以A'的横坐标为2,即A'的坐标为(2,3).
同理可求得B,C,D,E关于x轴的对称点B',C',D',E'的坐标分别为B'(-1,-2),C'(-6,5),D'(,-1),E'(4,0).列表如下:
已知点 A (2,-3) B (-1,2) C (-6,-5) D (,1) E (4,0)
关于x轴 的对称点 A' (2,3) B' (-1,-2) C' (-6,5) D' (,-1) E' (4,0)
　　师:观察上表每对对称点坐标之间的关系,你发现什么规律
[生]每对对称点的横坐标相同,纵坐标互为相反数.
师:我们不仿再找几对关于x轴对称的点,写出它们的坐标,还有上面的规律吗
学生亲自动手进一步尝试,在学生认可的情况下明确关于x轴对称的每对对称点的坐标的规律.
[师生共析]
关于x轴对称的每对对称点的坐标:横坐标相同,纵坐标互为相反数.
接着我们再来作出A,B,C,D,E关于y轴的对称点,并求出它们的坐标.
[生]同样,我们先作出A关于y轴的对称点A″,并求出A″的坐标.
过A作y轴的垂线AN,垂足为N,则N点坐标为(0,-3),然后在AN的延长线上截A″N,使A″N=AN,则A″就是所求的A关于y轴的对称点.A″在第三象限,AA″⊥y轴,且AN=A″N,所以A″的坐标为(-2,-3),同理可求得B,C,D,E关于y轴的对称点B″,C″,D″,E″的坐标分别为B″(1,2),C″(6,-5),D″(-,1),E″(-4,0).列表如下:
已知点 A (2,-3) B (-1,2) C (-6,-5) D (,1) E (4,0)
关于y轴 对称点 A″ (-2,-3) B″ (1,2) C″ (6,-5) D″ (,1) E″ (-4,0)
　　师:观察上表,比较每对关于y轴的对称点的坐标,你能发现什么规律
[生]关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同,横坐标互为相反数.
三、随堂练习
课本70~71页练习.
四、课时小结
本节课的主要内容(由学生在教师的引导下共同回忆总结):
1.在直角坐标系中,探索了关于x轴,y轴对称的对称点坐标规律.
2.利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,作已知图形的轴对称图形,体现了数形结合的数学思想.
五、课后作业
课本70页第2、3题
13.3.1　等腰三角形
第1课时
【教学目标】
教学知识点
1.等腰三角形的概念.
2.等腰三角形的性质.
3.等腰三角形的概念及性质的应用.
能力训练要求
1.经历作(画)出等腰三角形的过程,从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点.
2.探索并掌握等腰三角形的性质.
情感与价值观要求
通过学生的操作和思考,使学生掌握等腰三角形的相关概念,并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯.
【教学重难点】
重点:
1.等腰三角形的概念及性质.
2.等腰三角形性质的应用.
难点:等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
【教学过程】
一、提出问题,创设情境
师:在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究:①三角形是轴对称图形吗 ②什么样的三角形是轴对称图形
[生]有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.
师:那什么样的三角形是轴对称图形
[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.
师:很好,我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形.
二、导入新课
师:同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.
作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连接AB、BC、CA,则可得到一个等腰三角形.
[生乙]在甲同学的做法中,A点可以取直线L上的任意一点.
师:对,按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形.现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀,按自己设计的方法,剪出一个等腰三角形.
……
师:按照我们的做法,可以得到等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.
师:有了上述概念,同学们来想一想.
1.等腰三角形是轴对称图形吗 请找出它的对称轴.
2.等腰三角形的两底角有什么关系
3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗
4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗 底边上的高所在的直线呢
[生甲]等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.
师:同学们把自己做的等腰三角形进行折叠,找出它的对称轴,并看它的两个底角有什么关系.
[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后,发现等腰三角形的两个底角相等.
[生丙]我把等腰三角形折叠,使两腰重合,这样顶角平分线两旁的部分就可以重合,所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.
[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折,可以看到它两旁的部分互相重合,说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.
[生戊]老师,我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.
师:你们说的是同一条直线吗 大家来动手折叠、观察.
[生齐声]它们是同一条直线.
师:很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.
[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高.
师:很好,我们来总结等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).
师:由上面折叠的过程获得启发,我们可以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).
[生甲]如右图,在△ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD,因为
所以△BAD≌△CAD(SSS).
所以∠B=∠C.
[生乙]如右图,在△ABC中,AB=AC,作顶角∠BAC的角平分线AD,因为
所以△BAD≌△CAD(SAS),
所以BD=CD,∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°.
师:很好,甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明,过程也写得很条理、很规范.下面我们来看例题.
例:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
师:同学们先思考一下,我们再来分析这个题.
[生]根据等边对等角的性质,我们可以得到∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为180°,就可求出△ABC的三个内角.
师:这位同学分析得很好,对我们以前学过的定理也很熟悉.如果我们在解的过程中把∠A设为x的话,那么∠ABC、∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷.
解:因为AB=AC,BD=BC=AD,
所以∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°.
在△ABC中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°.
师:下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.
三、随堂练习
课本P56练习1、2、3题.
四、课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等(等边对等角),等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的中线,又是底边上的高.
我们通过这节课的学习,首先就是要理解并掌握这些性质,并且能够灵活应用它们.
五、课后作业
课本77页练习.
第2课时
【教学目标】
知识与技能
探索等腰三角形的判定定理.
过程与方法
探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.
情感、态度与价值观
通过对等腰三角形的判定定理的探索,让学生体会探索学习的乐趣,并通过等腰三角形的判定定理的简单应用,加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.
【教学重难点】
重点:等腰三角形的判定定理及其应用.
难点:探索等腰三角形的判定定理.
【教学过程】
一、提出问题,创设情境
师:上节课我们学习了等腰三角形的性质,现在大家来回忆一下,等腰三角形有些什么性质呢
[生甲]等腰三角形的两底角相等.
[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
师:同学们回答得很好,我们已经知道了等腰三角形的性质,那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢 这就是我们这节课要研究的问题.
二、导入新课
师:同学们看下面的问题并讨论、思考:如图,位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)
在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系
[生甲]应该能同时赶到出事地点.因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.
[生乙]我认为能同时赶到O点的位置很重要,也就是∠A如果不等于∠B,那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点.
师:现在我们把这个问题一般化,在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系
[生丙]我想它们所对的边应该相等.
师:为什么它们所对的边相等呢 同学们思考一下,给出一个简单的证明.
[生丁]我是运用三角形全等来证明的.
例1:已知:在△ABC中,∠B=∠C(如图).
求证:AB=AC.
证明:作∠BAC的平分线AD.
在△BAD和△CAD中
∴△BAD≌△CAD(AAS).
∴AB=AC.
师:太好了.从丁同学的证明结论来看,在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等,也就说这个三角形就是等腰三角形.这个结论也回答了我们一开始提出的问题.也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形.
等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
师:下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用.
例2:求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
【分析】这个题是文字叙述的证明题,我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.
已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图).
求证:AB=AC.
师:同学们先思考,再分析.
[生]要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C.
师:这位同学首先想到我们这节课的重点内容,很好!
[生]接下来,可以找∠B、∠C与∠1、∠2的关系.
师:我们共同证明,注意每一步证明的理论根据.
证明:∵AD∥BC,
∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等),
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).
又∵∠1=∠2,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC(等角对等边).
师:看小黑板,同学们试着完成这个题.
已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.
求证:AB=AD.
证明:∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC(两直线平行,内错角相等).
又∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD(等角对等边).
师:下面来看另一个例题.
例3:如图(1),标杆AB的高为5米,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子,使得D、B、E在一条直线上,量得DE=4米,绳子CD和CE要多长
(1)　(2)
【分析】这是一个与实际生活相关的问题,解决这类型问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.
解:选取比例尺为1∶100(即为1 cm代表1 m).
(1)作线段DE=4 cm;
(2)作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B;
(3)在MN上截取BC=2.5 cm;
(4)连接CD、CE,△CDE就是所求的等腰三角形,量出CD的长,就可以算出要求的绳长.
师:同学们按以上步骤来做一做,看结果是多少.
三、随堂练习
课本79页第1、2、3题
四、课时小结
本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理,并对判定定理的简单应用作了一定的了解.在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力.
五、课后作业
课本91页第3、6题.
六、活动与探究
[探究1]等腰三角形两底角的平分线相等.
过程:利用等腰三角形的性质即等边对等角、全等三角形的判定及性质.
结果:
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的平分线.
求证:BD=CE.
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中,
∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,
∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
[探究2]等腰三角形两腰上的高相等.
过程:同探究1.
结果:
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BE、CF分别是△ABC的高.
求证:BE=CF.
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵BE、CF分别是△ABC的高,
∴∠BFC=∠CEB=90°.
在△BFC和△CEB中,
∵∠ABC=∠ACB,∠BFC=∠CEB,BC=CB,
∴△BFC≌△CEB(AAS).
∴BE=CF.
[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等.
过程:同探究1.
结果:
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是两腰上的中线.
求证:BD=CE.
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵CD=AC,BE=AB,
∴CD=BE.
在△BEC和△CDB中,
∵BE=CD,∠ABC=∠ACB,BC=CB,
∴△BEC≌△CDB(SAS).
∴BD=CE.
13.3.2　等边三角形
第1课时
【教学目标】
知识与技能
经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程.
过程与方法
1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.
2.经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
情感、态度与价值观
1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
【教学重难点】
重点:等边三角形判定定理的发现与证明.
难点:
1.等边三角形判定定理的发现与证明.
2.引导学生全面、周到地思考问题.
【教学过程】
一、提出问题,创设情境
师:我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理,我们知道,在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形,叫等边三角形.回答下面的三个问题.
1.把等腰三角形的性质用到等边三角形,能得到什么结论
2.一个三角形满足什么条件就是等边三角形
3.你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗 你能证明你的结论吗 把你的证明思路与同伴交流.
(教师应给学生自主探索、思考的时间)
[生甲]由等边对等角的性质可知,等边三角形的三个角相等,又由三角形三内角和定理可知,等边三角形的三个角相等,并且都等于60°.
[生乙]等腰三角形已有两边分别相等,所以我认为只要腰和底边相等,等腰三角形就是等边三角形了.
[生丙]等边三角形的三个内角都相等,且分别都等于60°,我认为等腰三角形的三个内角都等于60°,也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了.
(此时,部分同学同意上面的看法,部分同学不同意上面的看法,引起激烈的争论,教师可让同学代表发表自己的看法)
[生丁]我不同意这个同学的看法,因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形.根据等角对等边,三个内角都是60°,所以它们所对的边一定相等,但这一问题中“已知是等腰三角形,满足什么条件时便是等边三角形”,我觉得他给的条件太多,浪费!
师:给三个角都是60°,这个条件确实有点浪费,那么给什么条件不浪费呢 下面同学们可以在小组内交流自己的看法.
二、导入新课
探索等腰三角形成等边三角形的条件.
[生]如果等腰三角形的顶角是60°,那么这个三角形是等边三角形.
师:你能给大家陈述一下理由吗
[生]根据三角形的内角和定理,顶角是60°,等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°,再根据等腰三角形两个底角是相等的,所以每个底角分别是120°÷2=60°,则三个内角分别相等,根据等角对等边,则此时等腰三角形的三条边是相等的,即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形.
[生]等腰三角形的底角是60°,那么这个三角形也是等边三角形,同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质.
师:从同学们自主探索和讨论的结果可以发现:在等腰三角形中,不论底角是60°,还是顶角是60°,那么这个等腰三角形都是等边三角形.你能用更简洁的语言描述这个结论吗
[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
(这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点,难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况.这是一种分类讨论的思想,教师要关注学生得出证明思路的过程,引导学生全面、周到地思考问题,并有意识地向学生渗透分类的思想方法)
师:你在与同伴的交流过程中,发现了什么或受到了何种启示
[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”,在等腰三角形中有两种情况:(1)这个角是底角;(2)这个角是顶角.也就是说我们思考问题要全面、周到.
师:我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况,我们鼓掌表示对他们的鼓励.
今天,我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形,我们在证明这个定理的过程中,还得出了三角形为等边三角形的条件,是什么呢
[生]三个角都相等的三角形是等边三角形.
师:下面就请同学们来证明这个结论.
已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵∠A=∠B,
∴BC=AC(等角对等边).
又∵∠A=∠C,
∴BC=AB(等角对等边).
∴AB=BC=AC,即△ABC是等边三角形.
师:这样,我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到.
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
师:有了上述结论,我们来学习下面的例题,体会上述定理.
例:如图,课外兴趣小组在一次测量活动中,测得∠APB=60°,AP=BP=200 m,他们便得出一个结论:A、B之间距离不少于200 m,他们的结论对吗
【分析】我们从该问题中抽象出△APB,由已知条件∠APB=60°且AP=BP,由本节课探究结论知△APB为等边三角形.
解:在△APB中,AP=BP,∠APB=60°,
所以∠PAB=∠PBA=(180°-∠APB)=(180°-60°)=60°.
于是∠PAB=∠PBA=∠APB.
从而△APB为等边三角形,AB的长是200 m,由此可以得出兴趣小组的结论是正确的.
三、随堂练习
(一)课本80页练习第1、2题.
(二)补充练习
如图,△ABC是等边三角形,∠B和∠C的平分线相交于D,BD、CD的垂直平分线分别交BC于E、F,求证:BE=CF.
证明:连接DE、DF,则BE=DE,DF=CF.
由△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,得∠1=30°,故∠2=30°,从而∠DEF=60°.
同理∠DFE=60°,
故△DEF是等边三角形.
∴DE=DF,
∴BE=CF.
四、课时小结
这节课,我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件,并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法.这节课我们学的定理非常重要,在我们今后的学习中起着非常重要的作用.
五、课后作业
课本83页第12、14题.
六、活动与探究
探究:如图,在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE.△ADE是等边三角形吗 试说明理由.
过程:通过分析、讨论,让学生进一步了解等边三角形的性质及判定.
结果:
已知:三角形ABC为等边三角形.D、E为边AB、AC上两点,且AD=AE.判断△ADE是否是等边三角形,并说明理由.
解:△ADE是等边三角形,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°.
又∵AD=AE,
∴△ADE是等腰三角形.
∴△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
第2课时
【教学目标】
知识与技能
1.探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质.
2.有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用.
过程与方法
1.经历“探索──发现──猜想──证明”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.
2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.
情感、态度与价值观
1.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲.
2.体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.
【教学重难点】
重点:含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
难点:1.含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
2.引导学生全面、周到地思考问题.
【教学过程】
一、提出问题,创设情境
师:我们学习过直角三角形,今天我们先来看一个特殊的直角三角形,看它具有什么性质.大家可能已猜到,我让大家准备好的含30°角的直角三角形,它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢
问题:用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形 能拼出一个等边三角形吗 说说你的理由.
由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系 你能证明你的结论吗
二、导入新课
(让学生经历拼